模塊3 材料力學(xué)(應(yīng)力和變形)

1、材料力學(xué)材料力學(xué)模塊三模塊三 應(yīng)力和變形應(yīng)力和變形【模塊概述模塊概述】 內(nèi)力是桿件橫截面上的分布內(nèi)力系的合力內(nèi)力是桿件橫截面上的分布內(nèi)力系的合力或合力偶矩，是截面上連續(xù)分布內(nèi)力的合成結(jié)或合力偶矩，是截面上連續(xù)分布內(nèi)力的合成結(jié)果果, ,而桿件的失效或破壞，不僅與截面上的總而桿件的失效或破壞，不僅與截面上的總內(nèi)力有關(guān)，而且與截面上內(nèi)力分布的密集程度，內(nèi)力有關(guān)，而且與截面上內(nèi)力分布的密集程度，應(yīng)力及變形等有關(guān)。應(yīng)力及變形等有關(guān)。 本模塊以應(yīng)力和變形為主線，討論分析軸本模塊以應(yīng)力和變形為主線，討論分析軸心拉壓桿、扭轉(zhuǎn)圓軸、平面彎曲梁等桿件的應(yīng)心拉壓桿、扭轉(zhuǎn)圓軸、平面彎曲梁等桿件的應(yīng)力分布情況及變形特點(diǎn)

2、力分布情況及變形特點(diǎn), ,找到應(yīng)力和變形的計(jì)找到應(yīng)力和變形的計(jì)算公式，為強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的計(jì)算提供理算公式，為強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的計(jì)算提供理論依據(jù)。論依據(jù)?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn) 】 應(yīng)力、應(yīng)變、胡克定律的概念；應(yīng)力、應(yīng)變、胡克定律的概念；軸向拉壓桿的應(yīng)力和變形計(jì)算；軸向拉壓桿的應(yīng)力和變形計(jì)算；平面彎曲梁橫截面上的應(yīng)力和切應(yīng)力的分平面彎曲梁橫截面上的應(yīng)力和切應(yīng)力的分布及計(jì)算；布及計(jì)算；梁的撓度和轉(zhuǎn)角的計(jì)算。梁的撓度和轉(zhuǎn)角的計(jì)算。3.1 3.1 應(yīng)力、應(yīng)變及相互關(guān)系應(yīng)力、應(yīng)變及相互關(guān)系3.1.13.1.1 應(yīng)力應(yīng)力1 1、應(yīng)力的概念、應(yīng)力的概念 構(gòu)件的失效或破壞，不僅與截面上

3、的總內(nèi)力有關(guān)，構(gòu)件的失效或破壞，不僅與截面上的總內(nèi)力有關(guān)，而且與橫截面上內(nèi)力分布的密集程度有關(guān)。而且與橫截面上內(nèi)力分布的密集程度有關(guān)。FFAFF2A試問試問下面兩根材料相同的桿件哪一根容易破壞？下面兩根材料相同的桿件哪一根容易破壞？3.1.13.1.1 應(yīng)力應(yīng)力當(dāng)面積趨于零時，平均應(yīng)力的大小和方向都將趨于一定當(dāng)面積趨于零時，平均應(yīng)力的大小和方向都將趨于一定極限，得到：極限，得到：dAdFAFp lim0AAFpm平均應(yīng)力平均應(yīng)力: :某范圍內(nèi)單位面積上內(nèi)力的平均集度某范圍內(nèi)單位面積上內(nèi)力的平均集度3F4F4F3FAFCCp我們將內(nèi)力在一點(diǎn)處的密集程度稱為應(yīng)力。我們將內(nèi)力在一點(diǎn)處的密集程度稱為應(yīng)

4、力。P P稱為該截面上該點(diǎn)處的應(yīng)力。稱為該截面上該點(diǎn)處的應(yīng)力。3F4F4F3FAFCCp某點(diǎn)的總應(yīng)力某點(diǎn)的總應(yīng)力P P 可以分解成可以分解成: : 垂直于截面的法向分量垂直于截面的法向分量正應(yīng)力正應(yīng)力 （拉應(yīng)力為正值，壓應(yīng)力為負(fù)值）（拉應(yīng)力為正值，壓應(yīng)力為負(fù)值） 平行于截面的切向分量平行于截面的切向分量切應(yīng)力切應(yīng)力 （繞研究對象產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢時為正值（繞研究對象產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢時為正值或或 左上右下為正）左上右下為正）3.1.13.1.1 應(yīng)力應(yīng)力2 2、正應(yīng)力和切應(yīng)力、正應(yīng)力和切應(yīng)力應(yīng)力的單位是帕斯卡（簡稱帕）（應(yīng)力的單位是帕斯卡（簡稱帕）（PaPa），）， 1Pa1Pa（帕斯卡）（帕

5、斯卡）= = 1N/m1N/m2 2 工程實(shí)際中常采用兆帕（工程實(shí)際中常采用兆帕（MPaMPa）、吉帕（）、吉帕（GPaGPa）等單位。等單位。 1MPa = 101MPa = 106 6Pa 1GPa = 10Pa 1GPa = 109 9PaPa3.1.13.1.1 應(yīng)力應(yīng)力3 3、應(yīng)力的單位、應(yīng)力的單位 對于構(gòu)件任一點(diǎn)的變形，只有線變形和角變對于構(gòu)件任一點(diǎn)的變形，只有線變形和角變形兩種基本變形，分別由線應(yīng)變和切應(yīng)變來度量。形兩種基本變形，分別由線應(yīng)變和切應(yīng)變來度量。 3.1.23.1.2 線應(yīng)變和胡克定律線應(yīng)變和胡克定律dxdu 與正應(yīng)力相應(yīng)，單元體沿著正應(yīng)力方向和垂與正應(yīng)力相應(yīng)，單元體

6、沿著正應(yīng)力方向和垂直于正應(yīng)力方向產(chǎn)生了伸長和縮短，這種變直于正應(yīng)力方向產(chǎn)生了伸長和縮短，這種變形稱為線變形。形稱為線變形。線應(yīng)變線應(yīng)變: : 為無量綱量值，為無量綱量值，規(guī)定規(guī)定拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)槔瓚?yīng)變?yōu)檎瑝簯?yīng)變?yōu)樨?fù)。負(fù)。胡克定律：胡克定律：3.1.23.1.2 線應(yīng)變和胡克定律線應(yīng)變和胡克定律EE-E-是與材料有關(guān)的常數(shù)，稱為彈性模量。是與材料有關(guān)的常數(shù)，稱為彈性模量。 它是材料力學(xué)性質(zhì)之一，是衡量材料抵抗彈它是材料力學(xué)性質(zhì)之一，是衡量材料抵抗彈性變形能力的一個指標(biāo)，對同一材料，彈性模量性變形能力的一個指標(biāo)，對同一材料，彈性模量E E為常數(shù)。彈性模量的單位與應(yīng)力的單位相同。為常數(shù)。彈性模

7、量的單位與應(yīng)力的單位相同。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，若在彈性范圍內(nèi)加載，正應(yīng)力實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，若在彈性范圍內(nèi)加載，正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比，即：與正應(yīng)變成正比，即：3.1.33.1.3 切應(yīng)變和剪切胡克定律切應(yīng)變和剪切胡克定律 為無量綱的量值，單位是弧度（為無量綱的量值，單位是弧度（radrad）。）。 切應(yīng)變切應(yīng)變: : 與切應(yīng)力相應(yīng)，單元體發(fā)生了剪切變形，剪與切應(yīng)力相應(yīng)，單元體發(fā)生了剪切變形，剪切變形程度用單元體直角的改變量度量。單切變形程度用單元體直角的改變量度量。單元體直角的改變量稱為切應(yīng)變，用元體直角的改變量稱為切應(yīng)變，用 表示。表示。3.1.33.1.3 切應(yīng)變和剪切胡克定律切應(yīng)變和剪切胡克定律

8、實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，若在彈性范圍內(nèi)加載（應(yīng)力小實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，若在彈性范圍內(nèi)加載（應(yīng)力小于某一極限值），切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即于某一極限值），切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即 G-G-是與材料有關(guān)的常數(shù)，稱為剪切彈性模量。是與材料有關(guān)的常數(shù)，稱為剪切彈性模量。剪切胡克定律：剪切胡克定律： 它是材料的又一力學(xué)性質(zhì)。對同一材料，剪切它是材料的又一力學(xué)性質(zhì)。對同一材料，剪切彈性模量彈性模量G G為常數(shù)。剪切彈性模量為常數(shù)。剪切彈性模量G G的單位與應(yīng)力的的單位與應(yīng)力的單位相同。單位相同。 3.1.43.1.4 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 平面的交線，其方向則共同指向或共同背離兩平平面的交線，其方向則共同指向或共

9、同背離兩平面的交線，這種關(guān)系稱面的交線，這種關(guān)系稱切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理。 。 由平衡方程由平衡方程0Zm得得yxzxyzdddddd )()(該定理具有普遍性。該定理具有普遍性。 在單元體互相垂直的兩個在單元體互相垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對存在，平面上，剪應(yīng)力必然成對存在，且數(shù)值相等；且數(shù)值相等；二者都垂直于兩二者都垂直于兩3.23.2 軸向拉壓桿的應(yīng)力和變形軸向拉壓桿的應(yīng)力和變形3.2.13.2.1 軸向拉（壓）桿的應(yīng)力軸向拉（壓）桿的應(yīng)力1.1.橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力 拉壓桿橫截面上的內(nèi)力為軸力，其方向垂直于橫拉壓桿橫截面上的內(nèi)力為軸力，其方向垂直于橫截面，顯然與軸力相

10、應(yīng)的只可能是垂直于截面的正應(yīng)截面，顯然與軸力相應(yīng)的只可能是垂直于截面的正應(yīng)力。做如下實(shí)驗(yàn)：力。做如下實(shí)驗(yàn)：FF1122112 2 現(xiàn)象：橫向線現(xiàn)象：橫向線1-11-1、2-22-2仍為直線，且垂直于桿件軸線，仍為直線，且垂直于桿件軸線，只是間距增大，分別平移至圖示只是間距增大，分別平移至圖示1 1-1-1與與2 2-2-2位置。位置。：橫截面面積：橫截面上的軸力ANANAF拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。 根據(jù)現(xiàn)象可作出假設(shè)：受軸向拉伸的桿件，變形根據(jù)現(xiàn)象可作出假設(shè)：受軸向拉伸的桿件，變形后橫截面仍保持為平面，兩橫截面之間所有的縱向纖后橫截面仍保持為平面，兩橫截面之間所有的縱向

11、纖維都伸長了相同的長度。維都伸長了相同的長度。3.2.13.2.1 軸向拉（壓）桿的應(yīng)力軸向拉（壓）桿的應(yīng)力FNFN得出結(jié)論：軸向拉壓時，桿件橫截面上各點(diǎn)處只產(chǎn)生得出結(jié)論：軸向拉壓時，桿件橫截面上各點(diǎn)處只產(chǎn)生正應(yīng)力，且大小相等。即正應(yīng)力，且大小相等。即3.2.13.2.1 軸向拉（壓）桿的應(yīng)力軸向拉（壓）桿的應(yīng)力：橫截面面積：橫截面上的軸力ANANAF公式的適用范圍：公式的適用范圍： 外力作用線必須與桿軸線重合；外力作用線必須與桿軸線重合； 距外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)部分正確（圣維南原理）；距外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)部分正確（圣維南原理）； 必須是等截面直桿，截面變化較緩慢時，可近必須是等截面直桿，截面變化較緩慢

12、時，可近似計(jì)算。似計(jì)算。 對于對于等直桿等直桿:當(dāng)有多段軸力時，最大軸力所當(dāng)有多段軸力時，最大軸力所對應(yīng)的截面即為危險截面；對應(yīng)的截面即為危險截面；對對變截面桿變截面桿：則?。簞t取決于內(nèi)力值和截面尺寸兩個因素，則應(yīng)對若干決于內(nèi)力值和截面尺寸兩個因素，則應(yīng)對若干個可能的危險截面進(jìn)行計(jì)算并比較才能知道最個可能的危險截面進(jìn)行計(jì)算并比較才能知道最大應(yīng)力之所在。大應(yīng)力之所在。 危險截面危險截面: :最大應(yīng)力所在的橫截面，也就是最大應(yīng)力所在的橫截面，也就是可能最先破壞的橫截面，稱為危險截面?？赡茏钕绕茐牡臋M截面，稱為危險截面。 危險點(diǎn)危險點(diǎn): :危險截面上最大應(yīng)力所在的點(diǎn)危險截面上最大應(yīng)力所在的點(diǎn) 。AN

13、max2.2.危險截面及危險點(diǎn)危險截面及危險點(diǎn) 3.2.13.2.1 軸向拉（壓）桿的應(yīng)力軸向拉（壓）桿的應(yīng)力 危險點(diǎn)則是由應(yīng)力在截面上的分布規(guī)律來判危險點(diǎn)則是由應(yīng)力在截面上的分布規(guī)律來判定的。定的。軸心壓桿危險點(diǎn)的應(yīng)力軸心壓桿危險點(diǎn)的應(yīng)力解：解：(1)(1)作軸力圖作軸力圖 【例例3.13.1】已知圖示階梯狀直桿若橫截面面積為已知圖示階梯狀直桿若橫截面面積為: : , ,求各橫截面上的應(yīng)力。求各橫截面上的應(yīng)力。(2)(2)求應(yīng)力求應(yīng)力 311120 10100200NMPaA 322210 1033.3300NMPaA 333310 1025400NMPaA3.3.斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)

14、力3.2.13.2.1 軸向拉（壓）桿的應(yīng)力軸向拉（壓）桿的應(yīng)力F FF Fk kk ka aA AF Fk kk kN Na ap pa a橫截面上：橫截面上：斜截面上：斜截面上：總總應(yīng)力應(yīng)力：AFAFN cosAA AFpN cosAF cos Fkkp nt 3.2.13.2.1 軸向拉（壓）桿的應(yīng)力軸向拉（壓）桿的應(yīng)力F FF Fk kk ka aA AF Fk kk kN Na ap pa a 將總應(yīng)力分解為垂直于將總應(yīng)力分解為垂直于斜截面的斜截面的正應(yīng)力和正應(yīng)力和相切于斜相切于斜截面的截面的切應(yīng)力切應(yīng)力，則，則2coscos p2sin2sin p結(jié)論：軸向拉壓桿在斜截結(jié)論：軸向拉

15、壓桿在斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力隨面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力隨斜截面方位的變化而變化斜截面方位的變化而變化。3.2.13.2.1 軸向拉（壓）桿的應(yīng)力軸向拉（壓）桿的應(yīng)力幾個特殊截面上的應(yīng)力幾個特殊截面上的應(yīng)力：1.1.橫截面橫截面 = 0= 0 ，max0 2.2.縱截面縱截面 = 90= 90 ，09090 3.3.斜截面斜截面 = 45= 45 ， ,245 4.4.斜截面斜截面 = -45= -45 ， ,245 0 ,0 max452 min452 2cos2sin2 拉壓桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上；最大拉壓桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上；最大切應(yīng)力發(fā)生在與桿成切應(yīng)力發(fā)生在與桿成4545斜截

16、面上；平行于桿軸斜截面上；平行于桿軸線的縱向截面上無任何應(yīng)力。線的縱向截面上無任何應(yīng)力。3.2.23.2.2 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形1.1.軸向拉（壓）桿的變形軸向拉（壓）桿的變形LLL1（1 1）縱向變形：）縱向變形：伸長量：伸長量：縱向線應(yīng)變縱向線應(yīng)變 ：ll（2 2）橫向變形：）橫向變形： 橫向變形量：橫向變形量：橫向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變 ：1aaa ,aa3.2.23.2.2 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形2.2.胡克定律胡克定律 即當(dāng)桿件的應(yīng)力不超過某一極限時，其縱向即當(dāng)桿件的應(yīng)力不超過某一極限時，其縱向變形與軸力、桿長成正比，與橫截面面積成反比。變形與軸力、桿長成正比，與橫

17、截面面積成反比。 稱為桿的拉伸（壓縮）剛度。另外，此稱為桿的拉伸（壓縮）剛度。另外，此式只適用于在桿長度內(nèi)變形是均勻的情況。式只適用于在桿長度內(nèi)變形是均勻的情況。 EAlNl.EA 因?yàn)橐驗(yàn)?， ，則根據(jù)胡克定律，則根據(jù)胡克定律 ，可得胡克定律的另一種表達(dá)式為可得胡克定律的另一種表達(dá)式為3.2.23.2.2 軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形EANll3.3.泊松比泊松比 , , 2(1)EG或或 對于各向同性材料來說，拉壓彈性模量對于各向同性材料來說，拉壓彈性模量E E、泊、泊松比松比及剪切彈性模量及剪切彈性模量G G之間有如下的關(guān)系之間有如下的關(guān)系: :3.2.23.2.2 軸向拉壓桿的變形

18、軸向拉壓桿的變形 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)桿件應(yīng)力不超過比例極限時，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)桿件應(yīng)力不超過比例極限時，橫向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變的絕對值之比為一的絕對值之比為一常數(shù)，此比值稱為泊松比常數(shù)，此比值稱為泊松比，為無量綱的量。即，為無量綱的量。即 3.33.3 圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力和變形3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 基本思路：基本思路： 應(yīng)力分布應(yīng)力分布應(yīng)力公式應(yīng)力公式變變 形形應(yīng)變分布應(yīng)變分布平面假定平面假定物理關(guān)系物理關(guān)系靜靜力方程力方程變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力靜力學(xué)學(xué)關(guān)系關(guān)系 3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓

19、軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 1.1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系作如下實(shí)驗(yàn)：作如下實(shí)驗(yàn)：可看到如下現(xiàn)象：可看到如下現(xiàn)象： (l)(l)所有縱線都傾斜了相同角度而成為平行螺所有縱線都傾斜了相同角度而成為平行螺旋線，變形很小時近似為一直線，矩形都歪斜旋線，變形很小時近似為一直線，矩形都歪斜成為平行四邊形成為平行四邊形。直角發(fā)生了改變，其改變量直角發(fā)生了改變，其改變量為為 （切應(yīng)變）（切應(yīng)變）。 (2)(2)橫向的各圓周線大小、形狀以及之間的距橫向的各圓周線大小、形狀以及之間的距離均無改變，只是都繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。離均無改變，只是都繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 根

20、據(jù)變形現(xiàn)象作出根據(jù)變形現(xiàn)象作出“平面假設(shè)平面假設(shè)”：圓軸的：圓軸的橫截面在受扭變形時保持為平面，并像剛性平橫截面在受扭變形時保持為平面，并像剛性平面一樣繞軸線相對轉(zhuǎn)動。面一樣繞軸線相對轉(zhuǎn)動。3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力橫截面上各點(diǎn)無軸向變形，故橫截面上沒有橫截面上各點(diǎn)無軸向變形，故橫截面上沒有正應(yīng)力。正應(yīng)力。橫截面繞軸線發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對錯動，故橫截面繞軸線發(fā)生了旋轉(zhuǎn)式的相對錯動，故橫截面上有剪應(yīng)力存在。橫截面上有剪應(yīng)力存在。各橫截面半徑不變，所以剪應(yīng)力方向與截面各橫截面半徑不變，所以剪應(yīng)力方向與截面徑向垂直徑向垂直?？傻玫饺缦陆Y(jié)論：可得到如下結(jié)論： 受扭圓軸的橫截面

21、上存在有與截面徑向垂受扭圓軸的橫截面上存在有與截面徑向垂直的剪應(yīng)力。直的剪應(yīng)力。3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 從受扭圓軸中取出一微段從受扭圓軸中取出一微段dxdx，則在則在dxdx微段上的楔形單元體的矩微段上的楔形單元體的矩形格子形格子abcdabcd變成了平行四邊形變成了平行四邊形ababc cd d，如右圖所示。直角改變，如右圖所示。直角改變即切應(yīng)變即切應(yīng)變 的大小為：的大小為：xbbabbbdtan 又在直角三角形又在直角三角形ObbObb中有：中有：rdbbdxdrr同一截面上的各點(diǎn)同一截面上的各點(diǎn)為常量。為常量。2 .2 .物理關(guān)系物理關(guān)系由剪切胡克定律由剪

22、切胡克定律 得：得： GdxdG由上式可知：由上式可知：橫截面上某點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比；橫截面上某點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比；在同一半徑的圓周上各店的切應(yīng)力值均相等；在同一半徑的圓周上各店的切應(yīng)力值均相等；在截面中心處切應(yīng)力為零，截面邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力最大，在截面中心處切應(yīng)力為零，截面邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力最大，其他各點(diǎn)處的切應(yīng)變沿截面半徑按直線規(guī)律變化。其他各點(diǎn)處的切應(yīng)變沿截面半徑按直線規(guī)律變化。及及3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力切應(yīng)力沿半徑的分布如下圖所示：切應(yīng)力沿半徑的分布如下圖所示： 因?yàn)橐驗(yàn)?為垂

23、直于半徑平面內(nèi)的切應(yīng)變，所以為垂直于半徑平面內(nèi)的切應(yīng)變，所以 也與半徑垂直：也與半徑垂直：3. 3. 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系 圓軸橫截面上各微面積上的微剪力對軸心的力矩的總圓軸橫截面上各微面積上的微剪力對軸心的力矩的總和必須與該截面上的扭矩相等，故有和必須與該截面上的扭矩相等，故有代入上式可得：代入上式可得： dxdG將將AxMdA3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力AxGAxGdAMAAAxddd ddd 22GIMx dd AIApd2式中式中就是該截面對形就是該截面對形心的極慣性矩，則得：心的極慣性矩，則得：代入物理關(guān)系式代入物理關(guān)系式得：得： IMx上式中：上式中：抗扭

24、截面模量或抗扭截面系數(shù)?？古そ孛婺Ａ炕蚩古そ孛嫦禂?shù)。 最大切應(yīng)力：最大切應(yīng)力：maxmaxxxppMMIWpW 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng) 時，即在橫截面周邊上的各點(diǎn)處剪應(yīng)時，即在橫截面周邊上的各點(diǎn)處剪應(yīng)力將達(dá)到其最大值。力將達(dá)到其最大值。 3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 即，圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公即，圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式為：式為：IMx2/maxD3.3.13.3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力IMx橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。 公式討論公式討論：僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變

25、形時的等截面圓軸。僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等截面圓軸。式中：式中：M Mx x橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。該點(diǎn)到圓心的距離。 I Ip p極慣性矩，純幾何量。極慣性矩，純幾何量。盡管由等直實(shí)心圓軸推出，但同樣適用于等直空心圓軸，也盡管由等直實(shí)心圓軸推出，但同樣適用于等直空心圓軸，也近似適用于截面沿軸線變化緩慢的小錐度圓軸。近似適用于截面沿軸線變化緩慢的小錐度圓軸。 3.3.23.3.2 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 在圓軸扭轉(zhuǎn)過程中，各橫截面像一個個圓盤繞桿軸做在圓軸扭轉(zhuǎn)過程中，各橫截面像一個個圓

26、盤繞桿軸做相對轉(zhuǎn)動。兩個橫截面繞桿軸線轉(zhuǎn)動的相對角位移即扭轉(zhuǎn)相對轉(zhuǎn)動。兩個橫截面繞桿軸線轉(zhuǎn)動的相對角位移即扭轉(zhuǎn)角，用角，用 表示。表示。其中其中，d d代表相距為代表相距為dxdx的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角。的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角。則相距為則相距為 的的兩橫截面間的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角可表示成：可表示成：GIMdxdx前面已知：前面已知：lxdxGIMd0l反映了抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為反映了抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為軸的抗扭剛度軸的抗扭剛度。GI對分段等截面直圓軸：對分段等截面直圓軸：GIlMx ACAC和和DBDB梁段的各橫截面梁段的各橫截面上，剪力和彎矩同時存在，上，剪力和彎矩同時存在

27、，這種平面彎曲稱為橫力彎曲。這種平面彎曲稱為橫力彎曲。 CD CD梁段內(nèi)，橫截面上只梁段內(nèi)，橫截面上只有彎矩而沒有剪力，這種平有彎矩而沒有剪力，這種平面彎曲稱為純彎曲。面彎曲稱為純彎曲。M圖FaQ圖FFFFaaCDAB3.43.4 平面彎曲梁的應(yīng)力平面彎曲梁的應(yīng)力3.4.13.4.1 純彎曲與橫力彎曲純彎曲與橫力彎曲 橫力彎曲時，各截面上彎橫力彎曲時，各截面上彎矩是不同的；純彎曲時，各截矩是不同的；純彎曲時，各截面上彎矩為一不變的常數(shù)值。面上彎矩為一不變的常數(shù)值。 同拉（壓）桿的正應(yīng)力、圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力的同拉（壓）桿的正應(yīng)力、圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力的分析一樣，純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力分析一樣，純彎曲

28、梁橫截面上的正應(yīng)力研究思路研究思路是是：3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力應(yīng)力分布應(yīng)力分布應(yīng)力公式應(yīng)力公式變變 形形應(yīng)變分布應(yīng)變分布平面平面、單向受力、單向受力假假設(shè)設(shè)物理關(guān)系物理關(guān)系靜靜力方程力方程變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系靜力靜力學(xué)學(xué)關(guān)系關(guān)系（中性軸）（對稱軸）yz中性層a)c)b)MMMMd2211縱線橫線x1 1、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 如右圖所示，在梁的如右圖所示，在梁的側(cè)面畫上與軸線平行的縱側(cè)面畫上與軸線平行的縱向線以及與梁軸垂直的橫向線以及與梁軸垂直的橫向線

29、，然后在梁縱向?qū)ΨQ向線，然后在梁縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)加一對力偶矩為平面內(nèi)加一對力偶矩為M M的外力偶，使梁發(fā)生純彎的外力偶，使梁發(fā)生純彎曲，觀察其變形。曲，觀察其變形。（1 1）梁上的縱向線都彎成了曲線，且下部分（靠近凸邊）梁上的縱向線都彎成了曲線，且下部分（靠近凸邊）的縱向線伸長，上部分（靠近凹邊）的縱向線縮短，而中的縱向線伸長，上部分（靠近凹邊）的縱向線縮短，而中間的一條縱向線長度不變。間的一條縱向線長度不變。（2 2）梁上的橫向線仍為直線，只是互相傾斜了一個角度，）梁上的橫向線仍為直線，只是互相傾斜了一個角度，不再互相平行，但仍與梁彎曲后的軸線垂直；不再互相平行，但仍與梁彎曲后的軸線垂直；（3

30、 3）矩形截面的上部變寬下部變窄。）矩形截面的上部變寬下部變窄。Oyz1212MM3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力可以觀察到以下現(xiàn)象：可以觀察到以下現(xiàn)象： 平面假設(shè)平面假設(shè)：梁的橫截面在純彎曲變形后仍保：梁的橫截面在純彎曲變形后仍保持為平面，并垂直于梁彎曲后的軸線。橫截面只持為平面，并垂直于梁彎曲后的軸線。橫截面只是繞其面內(nèi)的某一軸線（中性軸）轉(zhuǎn)了一個角度。是繞其面內(nèi)的某一軸線（中性軸）轉(zhuǎn)了一個角度。 單向受力假設(shè)單向受力假設(shè)：將梁看成由無數(shù)條縱向纖維：將梁看成由無數(shù)條縱向纖維組成，各縱向纖維只是發(fā)生了簡單的軸向拉伸或組成，各縱向纖維只是發(fā)生了簡單的軸向拉

31、伸或壓縮，不存在相互的擠壓。壓縮，不存在相互的擠壓。3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力根據(jù)觀察到的變形現(xiàn)象，可作出如下假設(shè)：根據(jù)觀察到的變形現(xiàn)象，可作出如下假設(shè)：中性層MMzy中性軸受壓區(qū)受拉區(qū)中性層中性層：梁的下部縱向纖維伸長，而上部縱向纖維縮短，由：梁的下部縱向纖維伸長，而上部縱向纖維縮短，由變形的連續(xù)性可知，梁內(nèi)肯定有一層長度不變的纖維層，稱變形的連續(xù)性可知，梁內(nèi)肯定有一層長度不變的纖維層，稱為中性層。為中性層。中性軸中性軸：中性層與梁橫截面的交線稱為中性軸。：中性層與梁橫截面的交線稱為中性軸。 中性層是對整個梁講的，而中性軸是就梁的某個橫截中性層是對

32、整個梁講的，而中性軸是就梁的某個橫截面而言。面而言。3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力1212o1ao2b1122MM1212o1ao2bdx從梁中取出的長為從梁中取出的長為dxdx的微段的微段變形后其兩端相對轉(zhuǎn)了變形后其兩端相對轉(zhuǎn)了d d 角角a1b1O2O1d3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力距中性層為距中性層為y y處的縱向纖維處的縱向纖維abab的變形的變形式中式中為中性層上的纖維的曲率半徑。為中性層上的纖維的曲率半徑。則纖維則纖維abab的線應(yīng)變?yōu)榈木€應(yīng)變?yōu)樵L：原長：dxdOOab21211111OObaaba

33、bbaO1O2yyddd)(a1O1b1O2d變形后長：變形后長：dyba)(113.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力1212o1ao2b3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 對于確定的橫截面是一常量。該方程表明中性層對于確定的橫截面是一常量。該方程表明中性層等遠(yuǎn)處的各縱向纖維變形相同，等遠(yuǎn)處的各縱向纖維變形相同，線應(yīng)變沿截面高度成線線應(yīng)變沿截面高度成線性分布性分布，在中性軸上線應(yīng)變?yōu)榱?，在中性軸兩側(cè)分別為，在中性軸上線應(yīng)變?yōu)榱?，在中性軸兩側(cè)分別為拉應(yīng)變和壓應(yīng)變。拉應(yīng)變和壓應(yīng)變。故可得線應(yīng)變沿截面高度方向分布的表達(dá)式：故可得線

34、應(yīng)變沿截面高度方向分布的表達(dá)式：y其中曲率其中曲率dxd1 2 2、物理關(guān)系、物理關(guān)系 由于假設(shè)梁內(nèi)各縱向纖維只受拉伸或壓縮，所以當(dāng)材料由于假設(shè)梁內(nèi)各縱向纖維只受拉伸或壓縮，所以當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作時，由胡克定律可得各縱向纖維的正應(yīng)在線彈性范圍內(nèi)工作時，由胡克定律可得各縱向纖維的正應(yīng)力為：力為： EyE 梁橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與梁橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。即該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。即彎曲彎曲正應(yīng)力沿截面高度成線性分布正應(yīng)力沿截面高度成線性分布。 中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力等于零，中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力等于零，距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣上各點(diǎn)處距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊

35、緣上各點(diǎn)處正應(yīng)力最大，其它點(diǎn)的正應(yīng)力介于零正應(yīng)力最大，其它點(diǎn)的正應(yīng)力介于零到最大值。到最大值。3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力坐標(biāo)系的選?。鹤鴺?biāo)系的選?。?y y軸：截面的縱向?qū)ΨQ軸軸：截面的縱向?qū)ΨQ軸z z軸：中性軸軸：中性軸x x軸：沿軸線軸：沿軸線 受力分析：受力分析：d dA A上的內(nèi)力為上的內(nèi)力為dAdA，于是整個截面上所有內(nèi)于是整個截面上所有內(nèi)力組成一空間平行力系，由于橫截面上只有繞中性軸的彎矩力組成一空間平行力系，由于橫截面上只有繞中性軸的彎矩M MZ Z，所以橫截面法向的軸力所以橫截面法向的軸力F FN N和力偶矩和力偶矩MyMy應(yīng)為零，即

36、：應(yīng)為零，即：ANdAF00dAzAyMAzMMdAyFx0My=0Mz=M3 3、靜力學(xué)關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力xyzOdAM（y y，z z）ANdAF00dAzAyMAzMMdAy0SZAEydAE故：Sz = 0 即中性軸 z 必過橫截面的形心。y代入胡克定律：代入胡克定律：0E及：0yzAIEdAyZE故：Iyz0， y軸為對稱軸，z軸又過形心，則軸y，z為橫截面的形心主慣性軸。MEdAEIyZA2（中性層曲率公式）（中性層曲率公式）故故：zEIM13.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力其中

37、其中EIEIZ Z稱為梁的抗彎剛度。稱為梁的抗彎剛度。zIMyZEIM1得純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：得純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：y代入：代入：表明：橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該橫截面上的彎矩和表明：橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該橫截面上的彎矩和該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而與該截面對中性軸的慣性矩該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而與該截面對中性軸的慣性矩成反比。成反比。3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力梁軸線變形后的曲率公式：梁軸線變形后的曲率公式：zIMy計(jì)算正應(yīng)力時，計(jì)算正應(yīng)力時，M M和和y y可均用絕對值代入?？删媒^對值代入。為拉應(yīng)力還為拉應(yīng)力還

38、是壓應(yīng)力（正負(fù)）可由彎矩的正負(fù)和所求點(diǎn)的位置來判斷。是壓應(yīng)力（正負(fù)）可由彎矩的正負(fù)和所求點(diǎn)的位置來判斷。-+zMzM+-3.4.23.4.2 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力適用條件：適用條件： (1) (1) 梁的橫截面至少具有一個縱向?qū)ΨQ軸。梁的橫截面至少具有一個縱向?qū)ΨQ軸。 (2) (2) 正應(yīng)力不超過材料的比例極限。正應(yīng)力不超過材料的比例極限。 (3) (3) 梁產(chǎn)生純彎曲。梁產(chǎn)生純彎曲。 橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時，橫橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時，橫截面是不僅有正應(yīng)力，而且有切應(yīng)力。截面是不僅有正應(yīng)力，而且有切應(yīng)力。3.4.23.4.

39、2 橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力zIyxM)(hlhl 對于跨度與截面高度之比對于跨度與截面高度之比 大于大于5 5的橫力彎曲梁，橫截的橫力彎曲梁，橫截面上的最大正應(yīng)力按純彎曲正應(yīng)力公式計(jì)算，滿足工程上的面上的最大正應(yīng)力按純彎曲正應(yīng)力公式計(jì)算，滿足工程上的精度要求。梁的跨高比精度要求。梁的跨高比 越大，誤差就越小。越大，誤差就越小。 梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和各縱向纖維間無擠壓的梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和各縱向纖維間無擠壓的假設(shè)不再成立。假設(shè)不再成立。 例例 簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載q q作用，試完成：作用，試完成：(1) (1) 求距左端為求距左端為m m

40、的的C C截面上截面上a a、b b、c c三點(diǎn)的正應(yīng)力。三點(diǎn)的正應(yīng)力。(2) (2) 求梁的最大正應(yīng)求梁的最大正應(yīng)力值，并說明最大正應(yīng)力發(fā)生在何處。力值，并說明最大正應(yīng)力發(fā)生在何處。(3) (3) 作出作出C C截面上正截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。應(yīng)力沿截面高度的分布圖。 12050abc200q=3.5kN/mABc3m1m解解 （1 1）求指定截面上指定點(diǎn)的應(yīng)力）求指定截面上指定點(diǎn)的應(yīng)力先求出支座反力先求出支座反力, ,由對稱性由對稱性C C截面積的彎矩截面積的彎矩 矩形截面對中性矩形截面對中性軸軸z的慣性矩的慣性矩82qlM MC C= =(5.25(5.251 13.53.51

41、10.5)kNm0.5)kNm =3.5kNm =3.5kNm47433mm108mm)12200120(12bhIz12050abc200q=3.5kN/mABc3m1m 計(jì)算計(jì)算C C截面上截面上a a、b b、c c三點(diǎn)三點(diǎn)的正應(yīng)力：的正應(yīng)力：)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76拉應(yīng)力zacaIyM)(MPa19. 2MPa)10850105 . 3(76拉應(yīng)力zbcbIyM)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76壓應(yīng)力zcccIyM12050abc200(2) 求梁的最大正應(yīng)力值，及最大正應(yīng)力發(fā)生的位置。求梁的最大正應(yīng)力值，及最大正應(yīng)力發(fā)生的

42、位置。 梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩Mmax所在的上、下邊所在的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以判定，最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中緣處。由梁的變形情況可以判定，最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處；最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的邊緣處。截面的下邊緣處；最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的邊緣處。其最大正應(yīng)力的值為其最大正應(yīng)力的值為MPa93. 4MPa1081001094. 376maxmaxmaxzIyMmkN94. 3mkN)835 . 3(822maxqlM(3) 作作C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。MPa38. 4MPa38. 4一般情況下，最大正

43、應(yīng)力發(fā)生于彎矩最大的橫截一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生于彎矩最大的橫截面上矩中性軸最遠(yuǎn)處。面上矩中性軸最遠(yuǎn)處。maxzIyMmaxmaxmaxzzWyImaxzWMmaxmax式中式中W WZ Z僅與截面的幾何形狀及尺寸有關(guān)，稱為截面對中僅與截面的幾何形狀及尺寸有關(guān)，稱為截面對中性軸的抗彎截面模量。單位：性軸的抗彎截面模量。單位：m m3 3或或mmmm3 3 。令：令：梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力 習(xí)慣上把產(chǎn)生最大應(yīng)力的截面稱為習(xí)慣上把產(chǎn)生最大應(yīng)力的截面稱為危險截面危險截面，產(chǎn)生最，產(chǎn)生最大應(yīng)力的點(diǎn)稱為大應(yīng)力的點(diǎn)稱為危險點(diǎn)危險點(diǎn)。M 3.4.23.4.2 橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲梁橫截

44、面上的正應(yīng)力若截面是高為若截面是高為h h ，寬為，寬為b b的的矩形，則的的矩形，則6212223bhhbhhIWzz123bhIz若截面是直徑為若截面是直徑為d d的圓形，則的圓形，則32264234ddddIWzz644dIz3.4.23.4.2 橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 若截面是外徑為若截面是外徑為D D、內(nèi)徑為、內(nèi)徑為d d的空心圓形，則的空心圓形，則 43441322642DDdDDIWzzDdDd44164DIz 對于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書后對于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書后“附錄附錄”型鋼表中查出。型鋼表中查出。 3.4.23.

45、4.2 橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 對于中性軸不是截面對稱軸的梁，例如對于中性軸不是截面對稱軸的梁，例如T T型截面的等直梁。型截面的等直梁。yy1y2Cz 同一橫截面上同一橫截面上t tmaxmax c cmaxmax ，這時整個梁的，這時整個梁的t tmaxmax 或或 c cmaxmax不一定發(fā)生在不一定發(fā)生在| |M Mmaxmax| | 截面處，需對截面處，需對最大正彎矩和最大最大正彎矩和最大負(fù)彎矩處的負(fù)彎矩處的 t tmaxmax和和 c cmaxmax分別計(jì)算分別計(jì)算。3.4.23.4.2 橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力1 1、矩形

46、截面梁的彎曲切應(yīng)力、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 圖示一矩形截面梁受任意橫向荷載作用，假想用圖示一矩形截面梁受任意橫向荷載作用，假想用1-11-1和和2-22-2兩橫截面截出長為兩橫截面截出長為dxdx的微段，那么兩橫截面上均有的微段，那么兩橫截面上均有剪力和彎矩，其中剪力和彎矩，其中彎矩產(chǎn)生正應(yīng)力，剪力產(chǎn)生切應(yīng)力彎矩產(chǎn)生正應(yīng)力，剪力產(chǎn)生切應(yīng)力。F2F1q(x)1122xdx1122MM+dMQQ3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 由于橫向力作用在矩形截面梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，

47、由于橫向力作用在矩形截面梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，則任一截面的剪力則任一截面的剪力Q Q必位于對稱軸必位于對稱軸y y上，通常橫截面的寬上，通常橫截面的寬度度b b總是比高度總是比高度h h小。在這種情況下，對小。在這種情況下，對切應(yīng)力在橫截面切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律上的分布規(guī)律可作出如下兩個假設(shè)：可作出如下兩個假設(shè)： （1 1）截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力的方向都平行于剪力）截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力的方向都平行于剪力Q Q的方向。的方向。 （2 2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即切應(yīng)力的大小只）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即切應(yīng)力的大小只與與y y坐標(biāo)有關(guān)（坐標(biāo)有關(guān)（y y軸為截面的縱向?qū)ΨQ軸）。軸為截面的

48、縱向?qū)ΨQ軸）。1122y1122MM+dMFsFs 一般來說，一般來說，1-11-1截面上的彎矩和截面上的彎矩和2-22-2截面上的彎矩并截面上的彎矩并不相等，因此上述兩個截面上同一個坐標(biāo)點(diǎn)處（用不相等，因此上述兩個截面上同一個坐標(biāo)點(diǎn)處（用y y表示表示）的正應(yīng)力值也不相等，如下圖所示，但兩截面上的剪）的正應(yīng)力值也不相等，如下圖所示，但兩截面上的剪力力Q Q值相等。值相等。3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 假想距中性層為假想距中性層為y y處用一水平截面將該微段截開，

49、取處用一水平截面將該微段截開，取截面以下六面體進(jìn)行研究。在六面體左右豎直側(cè)面上有截面以下六面體進(jìn)行研究。在六面體左右豎直側(cè)面上有正應(yīng)力正應(yīng)力1 1、2 2和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力 ；頂面上有與；頂面上有與 互等的剪應(yīng)力互等的剪應(yīng)力 。3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 建立如下圖所示的坐標(biāo)系，可知在左、右側(cè)面上的建立如下圖所示的坐標(biāo)系，可知在左、右側(cè)面上的正應(yīng)力正應(yīng)力1 1和和22分別構(gòu)成了與正應(yīng)力方向相同的兩個合力分別構(gòu)成了與正應(yīng)力方向相同的兩個合力N N1 1和和N N2 2，它們?yōu)?，它們?yōu)閐AyIMdANAAz11111式中式中 A A1 1-橫截面

50、上距中性軸橫截面上距中性軸為為y y的橫線以外的面積。的橫線以外的面積。令令dAySAz11指指A1的截面積對矩的截面積對矩形截面中性軸的靜距。則上式可形截面中性軸的靜距。則上式可簡化為簡化為zzSIMN1同理可得同理可得zzSIdMMN2yyzbacdy1dA1N2NdA1Qxdxb3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力bacd1N2NQdxb 因微段的左右兩側(cè)面上的彎矩因微段的左右兩側(cè)面上的彎矩不同，故不同，故N N1 1和和N N2 2的大小也不相同。的大小也不相同。N N1 1和和N N1 1只有和水平切應(yīng)力的合力一只有和水平切應(yīng)力的合力一起，

51、才能維持六面體在起，才能維持六面體在x x方向的平方向的平衡，即衡，即0)(012bdxNNX將將N N1 1和和N N2 2代入上式，有代入上式，有zzzzzzdxbIdMSbdxSIMSIdMM0)(根據(jù)梁內(nèi)力間的微分關(guān)根據(jù)梁內(nèi)力間的微分關(guān)系系QdxdM可得可得zzbIQSbIQSzz*式中，式中，Q Q需求切應(yīng)力處橫截面上的剪力；需求切應(yīng)力處橫截面上的剪力； I Iz z為橫截面對中性軸的慣性矩；為橫截面對中性軸的慣性矩； S Sz z* *為橫截面上需求切應(yīng)力處平行于中性軸的線以為橫截面上需求切應(yīng)力處平行于中性軸的線以 上（或以下）部分的面積對中性軸的靜矩；上（或以下）部分的面積對中性

52、軸的靜矩； bb為橫截面的寬度。為橫截面的寬度。bhyzyQ3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 即矩形截面上距中性軸為即矩形截面上距中性軸為y y處任處任意點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式為：意點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式為：3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 由前面的假設(shè)可知，在由前面的假設(shè)可知，在同一橫截面上，與中性軸等距離點(diǎn)同一橫截面上，與中性軸等距離點(diǎn)的切應(yīng)力相等，方向與剪力同向平行。的切應(yīng)力相等，方向與剪力同向平行。根據(jù)切應(yīng)力公式可進(jìn)一根據(jù)切應(yīng)力公式可進(jìn)一步討論切應(yīng)力在矩形截面上的分布規(guī)律。步討論切應(yīng)力在矩形截面上的

53、分布規(guī)律。 如右圖所示，在矩形截面上取微面如右圖所示，在矩形截面上取微面積積dA=bdydA=bdy1 1, ,則距中性軸為則距中性軸為y y的橫線以下的的橫線以下的面積面積A A1 1對中性軸對中性軸Z Z的靜距為的靜距為)4(22221111yhbdbydAyShyyAz 將此式代入切應(yīng)力公式，可得矩形截面切應(yīng)力計(jì)算公式的將此式代入切應(yīng)力公式，可得矩形截面切應(yīng)力計(jì)算公式的具體表達(dá)式為具體表達(dá)式為)4(222yhIQzzIQh82max3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力)4(222yhIQz 從上式可以看出切應(yīng)力從上式可以看出切應(yīng)力 沿截面高度按

54、拋物線規(guī)律變化。沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。當(dāng)當(dāng) 時，即矩形截面的上、下邊緣處切應(yīng)力時，即矩形截面的上、下邊緣處切應(yīng)力 ；當(dāng)；當(dāng) 時時，截面中性軸上的切應(yīng)力為最大值，為，截面中性軸上的切應(yīng)力為最大值，為2hy00ybhQ5 . 1max 說明：矩形截面梁任一說明：矩形截面梁任一橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其值為該截面在中性軸上，其值為該截面上平均切應(yīng)力上平均切應(yīng)力Q Q/ /A A的的1.51.5倍，倍，切應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)切應(yīng)力沿截面高度的分布規(guī)律如圖示。律如圖示。 zyQ3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力將矩

55、形截面的慣性矩將矩形截面的慣性矩 代入代入 ，可得，可得123bhIzzIQh82max2 2、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 工字形截面梁由腹板和翼緣組成。實(shí)驗(yàn)表明，在翼緣上切工字形截面梁由腹板和翼緣組成。實(shí)驗(yàn)表明，在翼緣上切應(yīng)力很小，橫截面上的切應(yīng)力主要分布于腹板上，在腹板上切應(yīng)力很小，橫截面上的切應(yīng)力主要分布于腹板上，在腹板上切應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化，腹板的切應(yīng)力平行于腹板應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化，腹板的切應(yīng)力平行于腹板的豎邊，且沿寬度方向均勻分布，分布情況如下圖所示。的豎邊

56、，且沿寬度方向均勻分布，分布情況如下圖所示。max結(jié)論：結(jié)論： 翼緣部分翼緣部分t tmaxmax 腹板上的腹板上的t tmaxmax，只計(jì)算腹板上的只計(jì)算腹板上的t tmaxmax。 鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（9595 97%97%），且），且t tmax max t tminmin則工字鋼的最大剪應(yīng)力則工字鋼的最大剪應(yīng)力dIQSzz*dmax*maxzzISQ）（dhF1Qmax平均式中，式中，h h1 1腹板的高度。腹板的高度。 d d腹板的寬度。腹板的寬度。maxmin3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 腹板上切應(yīng)力仍

57、然沿用矩形截面梁彎曲切腹板上切應(yīng)力仍然沿用矩形截面梁彎曲切應(yīng)力計(jì)算公式：應(yīng)力計(jì)算公式：式中式中 d d取腹板的寬度取腹板的寬度最大切應(yīng)力在中性軸上，其值為最大切應(yīng)力在中性軸上，其值為I Iz z/(S/(Sz z* *) )maxmax就是型鋼表中給出的比值就是型鋼表中給出的比值I Ix x/S/Sx x3 3、圓形截面梁的彎曲切應(yīng)力、圓形截面梁的彎曲切應(yīng)力AQdddQIbQSz34641243*max3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 在圓形截面上，任一平行于中性軸的橫線在圓形截面上，任一平行于中性軸的橫線aaaa1 1兩端處，切應(yīng)兩端處，切應(yīng)力

58、的方向必切于圓周，并相交于力的方向必切于圓周，并相交于y y軸上的軸上的C C點(diǎn)。因此，橫線上各點(diǎn)。因此，橫線上各點(diǎn)切應(yīng)力方向是變化的。但圓截面上最大應(yīng)力仍在中性軸上各點(diǎn)切應(yīng)力方向是變化的。但圓截面上最大應(yīng)力仍在中性軸上各點(diǎn)處，切應(yīng)力的方向皆平行于剪力點(diǎn)處，切應(yīng)力的方向皆平行于剪力Q Q，分布情況如下圖所示。，分布情況如下圖所示。 橫截面上最大切應(yīng)力為其平均橫截面上最大切應(yīng)力為其平均切應(yīng)力的切應(yīng)力的1.331.33倍。倍。4 4、圓環(huán)形截面梁的彎曲切應(yīng)力、圓環(huán)形截面梁的彎曲切應(yīng)力AQtdttdQIbQSz28223020*max3.3.4 4. .3 3 橫力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力橫力彎曲梁橫

59、截面上的切應(yīng)力 薄壁圓環(huán)橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化，或沿壁厚薄壁圓環(huán)橫截面上切應(yīng)力的大小沿壁厚無變化，或沿壁厚為常量；任一點(diǎn)處的切應(yīng)力方向與所在點(diǎn)的圓周邊相切。為常量；任一點(diǎn)處的切應(yīng)力方向與所在點(diǎn)的圓周邊相切。 根據(jù)薄壁截面上剪流的特點(diǎn)，橫截面縱向?qū)ΨQ軸線上各點(diǎn)根據(jù)薄壁截面上剪流的特點(diǎn)，橫截面縱向?qū)ΨQ軸線上各點(diǎn)的切應(yīng)力必為零，切應(yīng)力沿的切應(yīng)力必為零，切應(yīng)力沿y y軸對稱分布，且最大切應(yīng)力仍在中軸對稱分布，且最大切應(yīng)力仍在中性軸上。性軸上。 薄壁圓環(huán)截面上最大切應(yīng)力為薄壁圓環(huán)截面上最大切應(yīng)力為其平均切應(yīng)力的其平均切應(yīng)力的2 2倍。倍。3.53.5 平面彎曲梁的變形平面彎曲梁的變形3.5.1

60、3.5.1平面彎曲梁的變形平面彎曲梁的變形 如下圖所示簡支梁，以變形前直梁的軸線為如下圖所示簡支梁，以變形前直梁的軸線為x x軸，垂直向軸，垂直向下的軸為下的軸為y y軸，建立軸，建立xOyxOy直角坐標(biāo)系。當(dāng)梁在直角坐標(biāo)系。當(dāng)梁在xyxy面內(nèi)發(fā)生彎曲時，面內(nèi)發(fā)生彎曲時，梁的軸線由直線變?yōu)榱旱妮S線由直線變?yōu)閤yxy面內(nèi)的一條光滑連續(xù)曲線面內(nèi)的一條光滑連續(xù)曲線，變形后的梁，變形后的梁軸稱為軸稱為梁的撓曲線（或彈性曲線）梁的撓曲線（或彈性曲線）。 當(dāng)梁發(fā)生彎曲時梁的各個截面不僅發(fā)生了當(dāng)梁發(fā)生彎曲時梁的各個截面不僅發(fā)生了線位移（線位移（y y），而且還產(chǎn)生了而且還產(chǎn)生了角位移（角位移（）。3.5.1