第三章矩陣的初等變換及線性方程組習題課

1、線性代數(shù)習題課第三章 矩陣的初等變 換與線性方程組（第（第 行的行的 倍加到第倍加到第 行上，記作行上，記作 ）.一、內(nèi)容提要一、內(nèi)容提要（一）初等變換（一）初等變換定義定義1 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:（i）對調(diào)兩行（對調(diào)兩行）對調(diào)兩行（對調(diào)兩行 ，記作，記作 ）；）； ji ,jirr （ii）以數(shù)）以數(shù) 乘某一行中的所有元素（第乘某一行中的所有元素（第 行乘行乘 ，記作，記作 )0kikkri（iii）把某一行所有元素的）把某一行所有元素的 倍加到另一行對應的元倍加到另一行對應的元素上去；素上去； kjkijikrr （記號：（記號：“ ”換為換為

2、“ ” ）矩陣矩陣 與與 列等價；記作列等價；記作 ； 若矩陣若矩陣 經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣 ，則稱，則稱陣陣 與與 等價；記作等價；記作 ； 矩陣矩陣 與與 行等價；記作行等價；記作 ； 若矩陣若矩陣 經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 ，則稱矩，則稱矩 定義定義2 若矩陣若矩陣 經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣 ，則稱，則稱 （1）將定義中）將定義中“行行”改為改為“列列”，稱為矩陣的初等列變，稱為矩陣的初等列變換；換；rcABABBAr ABBABAc AABBBA （2）初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換）初

3、等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換（二）初等矩陣（二）初等矩陣1定義定義 由單位矩陣由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為 E2三種初等矩陣三種初等矩陣 ， ， .) ,( jiE)( kiE)( ,kjiE 行列式：行列式： ， ， . 1| ) , (|jiEkkiE|)(|1|)( , |kjiE 逆矩陣：逆矩陣： , , .1) ,(jiE) ,(jiE1)( kiE)1 (kiE1)( ,kjiE)( ,kjiE作作 用：用：“左乘變行，右乘變列左乘變行，右乘變列”初等矩陣初等矩陣 （三）矩陣的秩（三）矩陣的秩 1定義定義 設矩陣設矩陣 中有一個不等

4、于中有一個不等于 的的 階子式階子式 ，且所有，且所有 A0rD 階子式（如果存在的話）全為階子式（如果存在的話）全為 ,則稱則稱 為為 的最高的最高1r0DA階非零子式數(shù)階非零子式數(shù) 稱為矩陣稱為矩陣 的秩，記為的秩，記為 . rA)(AR規(guī)定：零矩陣的秩為規(guī)定：零矩陣的秩為 02性質(zhì)性質(zhì) （1） . ,min)(0nmARnm（2） .)()(ARART（3）若）若 ，則，則 .BA )()(BRAR（4）若）若 可逆，則可逆，則 .QP , )()(ARPAQR3求法求法 （1）定義法；）定義法；（四）線性方程組的解（四）線性方程組的解1 有非零解有非零解 ；0 xAnmnAR)(2 有

5、解有解 ， ；即；即bxAnm)()(BRAR),(bAB （1）當）當 時，時， 有唯一解；有唯一解；nBRAR)()(bxAnm（2）當）當 時，時， 有無窮多解；有無窮多解；nrBRAR)()(bxAnm（3）當）當 時，時， 無解無解)()(BRARbxAnm3通解的求法通解的求法: 初等行變換法初等行變換法（2）利用初等行變換化）利用初等行變換化 為與之等價的行階梯形為與之等價的行階梯形 矩陣矩陣 非零行的行數(shù)就是非零行的行數(shù)就是 的秩的秩 ABBA 存在可逆陣存在可逆陣 、 ，使，使 （五）一些重要結(jié)論（五）一些重要結(jié)論1 可逆可逆 （ 為初等矩陣為初等矩陣， ） AlPPPA21

6、iPli, 2, 1nmnmBAPQBPAQ 2逆矩陣的求法逆矩陣的求法 ),(),(1AEEA初等行變換二、典型例題舉例二、典型例題舉例 （一）填空題（一）填空題【例【例1】 給給 矩陣矩陣 左乘一個初等方陣，相當于對左乘一個初等方陣，相當于對 施行施行一次相應的一次相應的 ；給；給 矩陣矩陣 右乘一個初等方陣，相當于右乘一個初等方陣，相當于 對對 施行一次相應的施行一次相應的 .nmAAAAnm分析分析 本題是考查初等方陣的性質(zhì)本題是考查初等方陣的性質(zhì)解解 初等行變換；初等列變換初等行變換；初等列變換【例【例2】 ， ， .2) ,(jiE2)( , (kjiE2)( kiE分析分析 本題

7、是考查初等方陣的定義及性質(zhì)本題是考查初等方陣的定義及性質(zhì)解解 ； ； E)2(,kjiE)(2kiE【例【例3】設矩陣】設矩陣 ， ,則逆矩陣則逆矩陣 . 300041003A 100010001E1)2(EA分析分析 本題可利用初等行變換法求逆矩陣本題可利用初等行變換法求逆矩陣 解解 10002121001可知，可知， 的任何的任何 階子式均為階子式均為 ，故此時，故此時 ，所以，所以分析分析 本題是考查矩陣和伴隨矩陣秩之間的關(guān)系由本題是考查矩陣和伴隨矩陣秩之間的關(guān)系由 解解 【例【例4】設】設 4 階方陣階方陣A 的秩為的秩為2，則其伴隨矩陣，則其伴隨矩陣 的秩為的秩為 .0*A2)(AR

8、A300)(*AR 0注注 與與 的秩的一般關(guān)系是的秩的一般關(guān)系是 .A*A1)( , 01)( , 1)( ,)(*nARnARnARnAR【例【例5】設】設 是是 矩陣，矩陣， 的秩的秩 ，而，而 ，A34A2)(AR 301020201B分析分析 本題是考查矩陣秩的性質(zhì)因本題是考查矩陣秩的性質(zhì)因 ，所以，所以 可逆，可逆，010 |BB)(ABR2)(AR解解 2)(ABR*A . 從而從而【例【例6】已知】已知 矩陣矩陣 的秩為的秩為 ， 矩陣矩陣 的秩為的秩為 ，則，則1m1Am1Q1AQ的秩為的秩為 . 分析分析 本題是考查列乘行形式的矩陣秩的性質(zhì)因本題是考查列乘行形式的矩陣秩的性

9、質(zhì)因 ，1)(AR ，故，故 與與 均至少有一個非零元，所以均至少有一個非零元，所以 也至少有也至少有1)(QRAQAQ一個非零元，從而一個非零元，從而 ；又；又 的各行元素對應成比例，的各行元素對應成比例， 1)(AQRAQ所以所以 的任何階的任何階 子式均為子式均為 ，故，故 .可見可見 .AQ201)(AQR1)(AQR解解 1注注 一般結(jié)論：設一般結(jié)論：設 ， 均為非零列矩陣，則均為非零列矩陣，則 .TA1)(AR分析分析 本題是考查初等方陣的性質(zhì)及逆由于本題是考查初等方陣的性質(zhì)及逆由于 與與 互為逆矩陣，所以互為逆矩陣，所以 ， 故應選故應選 .)A(AEA2)8(2 , 1 ()B

10、(AAEE )6( 2 , 1 ()6 ( 2 , 1 ()C(AiEiEA )3()3()D(AAiE2)3( . . 【 】. . )6( 2 , 1 (E)6( 2 , 1 (EAEAAEE )6(2 , 1 ()6(2 , 1 ()B(解解 選選 .)B(【例【例2】設】設 ， 是是3 階初等方陣，則階初等方陣，則 等于等于 032410321 F)2(3EFE)2( 3)A( 064410321 . )B( 410032321 . )C( 302140231 . )D( 032810621 . 【 】 【例【例1】設】設A是是n 階方陣，則下列各式中正確的是階方陣，則下列各式中正確的

11、是（二）選擇題（二）選擇題知應選知應選 .矩陣矩陣 的第三行，故應選的第三行，故應選 .分析分析 本題是考查初等方陣的性質(zhì)由于本題是考查初等方陣的性質(zhì)由于 為用為用 乘乘FE) 2( 32F)A(解解 選選 .)A(【例【例3】設線性方程組】設線性方程組 有唯一解，則必有有唯一解，則必有bxA1555)A(1)(AR. )B(2)(AR. )C(5)(AR. )D(4)(AR. 【 】 分析分析 本題是考查線性方程組有唯一解的條件由本題是考查線性方程組有唯一解的條件由5)()(nBRAR)C(解解 選選 .)C(【例【例4】設】設 為為 矩陣矩陣, 為為 矩陣，若方程組矩陣，若方程組A45b1

12、5bAx )A(1)(AR . )B(2)(AR. )C(4)(AR . )D(5)(AR. 【 】 有無窮多解，則必有有無窮多解，則必有 知應選知應選 .分析分析 本題是考查線性方程組有無窮多解的條件由：本題是考查線性方程組有無窮多解的條件由：4)()(nBRAR)C( 解解 選選 .)C(（三）計算題（三）計算題【例【例1】求矩陣】求矩陣 的逆矩陣的逆矩陣 113122214A分析分析 本題本題A為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求逆陣為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求逆陣.) ,() ,(1AEEAr 解解 100113010122001214 )(EA 110211010122021

13、430 21232rrrr 021430230540110211 13122rrrr 021430211110110211 32rr 614100211110101101 21233rrrr 614100825010513001 所以所以. 6148255131A首元所在列的原矩陣中尋找首元所在列的原矩陣中尋找A的最高階非零子式的最高階非零子式將將A 化為行階梯形矩陣，則與之等價的行階梯形矩陣的非零化為行階梯形矩陣，則與之等價的行階梯形矩陣的非零 行的行數(shù)就是行的行數(shù)就是A 的秩另外，可在階梯形矩陣中非零行非零的秩另外，可在階梯形矩陣中非零行非零 【例【例2】求矩陣】求矩陣 的秩，并求一最高階

14、的非子式的秩，并求一最高階的非子式 4820322513454947513253947543173125 A分析分析 本題中本題中A 為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求秩為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求秩 解解 因因 所以所以 53105310321043173125 A 00002100321043173125 3)(AR 因因 ，所以，所以 即為一個最高階的非零子式即為一個最高階的非零子式.025 549475539475173125 549475539475173125 【例【例3】設矩陣】設矩陣 與與 滿足滿足 ，其中，其中 AXXAAX2 300041034 A （1）求）求

15、；（；（2）求）求 . X)(XR分析分析 本題為常規(guī)的解矩陣方程題型一般方法是先將矩陣本題為常規(guī)的解矩陣方程題型一般方法是先將矩陣 解解（1）由）由 ，得，得 ；因；因XAAX2AXEA)2( 300100041021034032 )2(AEA 300100052010041021 21122rrrr 300100052010065001 所以所以. 300052065X方程化為基本型，再用初等行變換法求未知矩陣方程化為基本型，再用初等行變換法求未知矩陣（2）因）因 ，所以，所以 .039|X3)(XR【例【例4】求解齊次線性方程組】求解齊次線性方程組 0510503630 2 432143

16、214321xxxxxxxxxxxx分析分析 本題為解齊次線性方程組題一般方法本題為解齊次線性方程組題一般方法 將系數(shù)矩陣作初等行變換化為行最簡形；將系數(shù)矩陣作初等行變換化為行最簡形； 由由 判斷解的情況；判斷解的情況； 由最簡形得同解方程組；由最簡形得同解方程組； 選擇非自由未知數(shù)，寫出通解選擇非自由未知數(shù)，寫出通解)(AR 解解 因因 5110531631121 A 040004001121 000001001021 同解方程組為同解方程組為 0023421xxxx通解為通解為 ， 10010012214321ccxxxx. ) ,(21Rcc 【例【例5】設非齊次線性方程組】設非齊次線性

17、方程組 . 問問 取何值取何值 時，方程組有解；在方程組有解時，求出其通解時，方程組有解；在方程組有解時，求出其通解 3 32143243214321xxxtxxxxxxxxt分析分析 本題為解含參數(shù)的非齊次線性方程組題，是個很重要本題為解含參數(shù)的非齊次線性方程組題，是個很重要的典型題一般方法的典型題一般方法 將增廣矩陣將增廣矩陣 作初等行變換化為行最簡形；作初等行變換化為行最簡形； 由由 與與 的關(guān)系判斷解的情況，由此得相應的取值；的關(guān)系判斷解的情況，由此得相應的取值； 由最簡形得同解方程組；由最簡形得同解方程組； 選擇非自由未知數(shù)，寫出通解選擇非自由未知數(shù)，寫出通解),(bAB )(AR)

18、(BR 解解 因因 31110113211111 )(tbAB 311102111011111 t 100002111011111 tt 所以，當所以，當 ，即，即 時，方程組才有解，此時時，方程組才有解，此時 01t1t同解方程組為同解方程組為 ， 通解為通解為 000003111011111 B 000003111042201 3 422432431xxxxxx,003410120112214321kkxxxx. ) ,(21Rkk【例【例6】設】設 ， ，求，求 . 101110011 AAXAX 2X（教材教材P78, 習題習題6） 解解 由由 可得可得 ，因，因 AXAX 2AXEA

19、)2(101101110110011011) ,2(AEA112110110110011011 022200110110121101 011100101010110001 由上述結(jié)果可知由上述結(jié)果可知 可逆，且可逆，且 . 011101110 )2(1AEAXEA 2【例【例7】求解非齊次線性方程組】求解非齊次線性方程組 . 1 222241 2wzyxwzyxwzyx(教材教材P.79, 習題習題14(3) 解解111222122411112) ,(bAB020000100011112000000100010112所以所以 ，故原方程組有無窮多解，故原方程組有無窮多解 .42)()(BRAR且同解方程組為且同解方程組為 , 012wzxy令令 ， ，則得通解，則得通解 1cx 2cz ) ,(21Rcc, 0010 0110 002121ccwzyx). ,(21Rcc【例【例8】問】問 取何值時，非齊次線性方程組取何值時，非齊次線性方程組2321321321 1 xxxxxxxxx（1）有唯一解；（）有唯一解；（2）無解；（）無解；（3）有無窮多個解？）有無窮多個解？ （教材（教材P.80, 習題習題16）解法解法1 對增廣矩陣對增廣矩陣 作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣 ) ,(bAB 1111111 ) ,(2bAB3132rr