函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

1、3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間在給定區(qū)間 G 上，當上，當 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 時時yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，則則 f ( x ) 在在G 上是增函數(shù)上是增函數(shù)；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，則則 f ( x ) 在在G 上是減函數(shù)上是減函數(shù)；若若 f(x) 在在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，上是增函數(shù)或減函數(shù)，則則 f(x) 在在G上具有嚴格的單調(diào)性。上具有嚴格的單調(diào)性。G 稱為稱為單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間G = ( a , b )一、復習引入一、復習引入:單調(diào)性的概念：單

2、調(diào)性的概念：對于給定區(qū)間上的函數(shù)f(x):1.如果對于這個區(qū)間上的任意兩個自變量x1,x2,當x1x2時，都有 f(x1)f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)增函數(shù).2.如果對于這個區(qū)間上的任意兩個自變量x1,x2,當x1f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)減函數(shù)對于函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增遞增或單調(diào)遞減遞減的性性質(zhì)質(zhì)，叫做f(x)在這個區(qū)間上的單調(diào)性單調(diào)性，這個區(qū)間區(qū)間叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間。(1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性； (2)函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，它是個局部概函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，它是個局部

3、概 念。這個區(qū)間是定義域的子集。念。這個區(qū)間是定義域的子集。(3)單調(diào)區(qū)間：針對自變量單調(diào)區(qū)間：針對自變量x而言的。而言的。 若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)區(qū)間；間； 若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。 以前以前,我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設在假設x1x2的的前提下前提下,比較比較f(x1)0，則，則f（x） 是增函數(shù)。是增函數(shù)。 如果恒有如果恒有 f(x)0，則，則f（x） 是減函數(shù)。是減函數(shù)。 如果恒有如果恒有 f(x)=0，則，則f（x） 是常函數(shù)。是

4、常函數(shù)。例例1 已知導函數(shù)已知導函數(shù) 的下列信息的下列信息:當當1 x 4 , 或或 x 1時時,當當 x = 4 , 或或 x = 1時時,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf試畫出函數(shù)試畫出函數(shù) 的圖象的大致形狀的圖象的大致形狀.)(xf解解: 當當1 x 4 , 或或 x 0(或或f(x)1，即a2時，f(x)在(，1)和(a1，)上單調(diào)遞增，在(1，a1)上單調(diào)遞減，由題意知：(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)， 所以4a16，即5a7. 解法二：(數(shù)形結(jié)合) 如圖所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)內(nèi)f(x)0，(6，)內(nèi)f(x)0，且f(x)

5、0有一根為1，則另一根在4,6上 解法三：(轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題) f(x)x2axa1.因為f(x)在(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因為2x17，所以a7時，f(x)0在(6，)上恒成立由題意知5a7. 點評本題是含參數(shù)單調(diào)性問題，是高考的重點和熱點，體現(xiàn)了數(shù)學上的數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想2120 10 1已 知 函 數(shù) （ ），( 若 （ ） 在(上 是 增 函 數(shù) ， 求的 取 值 范 圍fxaxx,fxxx,a.322( )f xax解：由已知得解：由已知得因為函數(shù)在（因為函數(shù)在（0，1上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增32

6、( )0,即在（0， 1上恒成立f xa-xx31max而 ( )在（0， 1上單調(diào)遞增，( )(1)=-1g xxg xg 1a -變式變式322當a1時， ( )f xx 1對x （0， 1）也有 ( ) 0時，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù)f xa-f x所以a的范圍是-1，+ ）本題用到一個重要的轉(zhuǎn)化：本題用到一個重要的轉(zhuǎn)化：maxminm f( )恒 成 立( )( )恒 成 立( )xmfxmfxmfx320已知函數(shù) ( )=，(0, 1,若 ( )在（0， 1上是增函數(shù)，求 的取值范圍練。習2f xax - xxaf xa3)2,練習練習10a4在某個區(qū)間上，在某個區(qū)間上， ，f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）；但由（遞減）；但由f（x）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅）在這個區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而僅僅得到僅得到 是不夠的。還有可能導數(shù)等于是不夠的。還有可能導數(shù)等