彈塑性力學(xué)第05章

1、第五章第五章 薄板的小撓度彎曲薄板的小撓度彎曲 板是工程中常用的構(gòu)件，當(dāng)外荷載作用方向平行于板面且沿板厚均勻分布且不發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象時，可以處理為平面應(yīng)力問題；當(dāng)外荷載作用方向垂直于板面時，則屬于彈性力學(xué)的空彈性力學(xué)的空間問題間問題。由于數(shù)學(xué)上處理空間問題的復(fù)雜性，要求得滿足全部基本方程和邊界條件的精確解非常困難，這就需要引入簡化計算的近似假設(shè)。下面將通過引入這樣的近似假設(shè)，建立薄板彎曲問題的基本方程和基本關(guān)系式以及各種支承情況下的邊界條件，并討論幾種常用的薄板彎曲問題。 第五章第五章 薄板的小撓度彎曲薄板的小撓度彎曲 5-1 基本概念與計算假定基本概念與計算假定 5-2 薄板內(nèi)力薄板內(nèi)力 5-3

2、 薄板彎曲的基本方程薄板彎曲的基本方程 5-4 邊界條件邊界條件 5-5 四邊四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解(Navier解解) 5-6 矩形薄板的三角級數(shù)解矩形薄板的三角級數(shù)解(Levy解解) 5-7 圓形薄板的彎曲圓形薄板的彎曲 5-1 基本概念與計算假定基本概念與計算假定 板 、板面、板邊 、板厚 薄膜 薄板：當(dāng)板厚與板面內(nèi)薄板：當(dāng)板厚與板面內(nèi)最小特征尺寸之比在最小特征尺寸之比在1/801/5之間時之間時 厚板 撓度 小撓度問題：撓度與板小撓度問題：撓度與板厚之比小于或等于厚之比小于或等于1/51/5 大撓度問題 基爾霍夫假設(shè)基爾霍夫假設(shè) （1）直法線假設(shè)直法線

3、假設(shè) （2）z引起的變形略去不計引起的變形略去不計 （3）中面內(nèi)各點只有垂直位移中面內(nèi)各點只有垂直位移w基爾霍夫假設(shè)基爾霍夫假設(shè) （1）變形前垂直于薄板中面的直線段（法線）在變形后仍保持為直線，并垂直于變形后的中面，且其長度不變，稱為直法線假設(shè)直法線假設(shè)，它與材料力學(xué)中梁彎曲問題的平面假設(shè)相似。若 將板中面作為xOy坐 標(biāo)面，z軸垂直向下， 則根據(jù)此假設(shè)，有 z=0和xz=yz=0。 基爾霍夫假設(shè)基爾霍夫假設(shè) （2）與x，y ， xy等相比，z很小，在計算變形時可以略去不計。 （3）薄板中面內(nèi)各點只有垂直位移w而無x方向和y方向的位移，即 （u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（

4、x,y） 根據(jù)這個假設(shè)，中面內(nèi)的應(yīng)變分量x，y和xy均等于零，即在中面內(nèi)無應(yīng)變發(fā)生。中面內(nèi)的位移函數(shù)w（x,y）稱為撓度函數(shù)。 在上述假設(shè)基礎(chǔ)上建立起來的彈性薄板的小撓度理論，屬于薄板彎曲的經(jīng)典理論，它在許多工程問題的分析計算中，已得到廣泛的應(yīng)用。 5-2 薄板內(nèi)力薄板內(nèi)力 根據(jù)5-1中的三個基本假設(shè)，利用彈性力學(xué)的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，可以將薄板內(nèi)任一點的位移分量、應(yīng)變分量、應(yīng)力分量和板橫截面上的內(nèi)力，都用撓度w來表示。下面就來建立這些基本關(guān)系式。 一、薄板中的位移分量和應(yīng)變分量的表示式 二、薄板中的應(yīng)力分量表示式 三、薄板橫截面上的內(nèi)力表示式 00vv0vzyxxwzuzywy

5、uxzwyxuxzyzxy一、薄板中的位移分量和應(yīng)變分量的表示式（a） 根據(jù)上述第一假設(shè)，由幾何方程知（a）式成立.由式（a）的第三式可知，在板內(nèi)所有的點，位移分量w只是x和y的函數(shù)而與z無關(guān)，故板內(nèi)各點的位移分量w沿厚度方向是相同的。再由式（a）的第五、第六式，有ywxwzzv uyxfyxf,yw-z v,xw-zu21由第三個假設(shè)：（u）z=0=0和（v）z=0=0可知，f1(x,y)=f2(x,y)=0，于是有 yw-z vxw-zu（5-1） 式（5-1）表示，薄板內(nèi)坐標(biāo)為（x,y,z）的任一點，分別在x和y方向的位移沿板厚方向呈線性分布，中面處位移為零，在上、下表面處位移最大。 利

6、用式（a）的第一、第二和第四式，得應(yīng)變分量的表示式 00vv0vzyxxwzuzywyuxzwyxuxzyzxyz222222yxwzywzxwxyyx 由此可見，應(yīng)變分量x,y,xy也是沿板厚呈線性分布，在中面為零，在上、下板面處達(dá)極值。 （5-2） (a)二、薄板中的應(yīng)力分量表示式 根據(jù)上述的第一個和第二個假設(shè)，物理方程簡化為 xyxyxyyxEEE12112y2xyxwEzxwywEzywxwEzxy222222y22222x111這是薄板小撓度彎曲時，主要應(yīng)力x，y和xy與撓度w的關(guān)系式?？梢娝鼈冄匕宓暮穸纫彩浅示€性分布，其在中面上為零，在上、下板面處達(dá)到極值。 （5-3） 次要應(yīng)力分

7、量 按假設(shè)，z，xz和yz應(yīng)為零，實際上，它們只是遠(yuǎn)小于x，y和xy的次要的應(yīng)力分量，對于它們所引起的變形可略去不計，但對于維持平衡，它們不能不計。為了求得它們，現(xiàn)考慮不計體力的平衡微分方程： 0zyx0zyx0zyxzyzxzzyyxyzxyxx如體力分量FZ及下表面上的面力不等于零，對簿板來說，可以歸入板上表面的面力，這樣處理只會影響次要應(yīng)力z，于是板上、下表面的靜力邊界條件為： qhzzhzzhzzhzz222y2x000這里q為薄板單位面積內(nèi)的橫向荷載。 （d）（c） wyhzEwxhzEzz2222y2222x412412whzhzEz22223121-16h（5-4） （5-5）

8、式（5-4）就是切應(yīng)力xz和yz與撓度w的關(guān)系式，它們表明，剪應(yīng)力xz和yz沿板厚方向呈拋物線分布，在中面處達(dá)最大值，這也與梁彎曲時剪應(yīng)力沿梁高方向的變化規(guī)律相同。z沿板厚呈三次拋物線規(guī)律分布（圖5-2）。 將式（5-3）代入方程（c），經(jīng)積分后，利用邊界條件（d）的前三式，不難得到以下結(jié)果:三、薄板橫截面上的內(nèi)力表示式 下面要建立這些合成內(nèi)力與撓度之間的關(guān)系。22hhxxzzMd22hhyyzzMd22hhxyxyzzMd22hhyxyxzzMd陰影微分面單位寬度上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的主矢量分別為xdz，ydz和xy=yxdz。由于x，y，沿板厚按線性規(guī)律分布，以及分布的反對稱特性，所以，它們

9、在板的全厚度上的主矢量為零。構(gòu)成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表示它們在單位寬度內(nèi)的力偶矩yxwDMMxwywDMywxwDMyxxyyx222222222123112EhD稱為板的抗彎剛度，其意義和梁的抗彎剛度相似。 （5-7）（5-6）圖5-4橫向剪力 切應(yīng)力分量只可能合成橫向剪力，在每單位寬度上分別為 2222hhyzsyhhxzsxzFzFddwyDFwxDFsysx22（5-8） 顯然，這里的Mx，My分別表示垂直于x軸和y軸的板的橫截面單位寬度上的彎矩，Mxy，Myz分別表示這兩個截面單位寬度上的扭矩，而 和 為這兩個橫截面單位寬度上的橫剪力，它們統(tǒng)稱為板的內(nèi)板的內(nèi)力力。彎矩和扭

10、矩的量綱為力，橫向剪力的量綱為力長度-1。按彈性力學(xué)關(guān)于應(yīng)力分量指向的規(guī)定，彎矩Mx，My以使板橫截面上z0的一側(cè)產(chǎn)生正號的正應(yīng)力x，y時為正；扭矩Mxy，Myz使板橫截面z0的一側(cè)產(chǎn)生正號的剪應(yīng)力 時為正；橫剪力 ， 使板截面產(chǎn)生正號的剪應(yīng)力 時為正，如圖5-4。 由式（5-3）、式（5-4）與式（5-6）、式（5-8）比較后可以看出，應(yīng)力分量又可通過相應(yīng)的內(nèi)力表示為 與材料力學(xué)中梁的彎曲應(yīng)力和橫向切應(yīng)力公式相似。 2232233334646121212zhhFzhhFzhMzhMzhMsyyzsxxzxyyxxyyyxx5-3 薄板彎曲的微分方程薄板彎曲的微分方程 通過板內(nèi)任一單元體的平衡

11、，可進(jìn)而建立撓度w所滿足和微分方 程。薄板彎 曲的小撓度 問題，是以 撓度w作為 基本未知函 數(shù)求解的， 屬位移解法位移解法。 建立繞度w所需要滿足的基本方程 先考察板中邊長為dx和dy而高為h的矩形微分單元體的平衡，為了便于表示，將內(nèi)力標(biāo)在單元體中面的四條邊上，其中，彎矩及扭矩按右手法則用矩矢表示，橫剪力用力矢表示，如圖5-5所示。上面作用有橫向分布荷載q。 對于圖5-5所示的空間一般力系，六個平衡條件中有三個方程Fx=0，F(xiàn)y=0，Mz=0已經(jīng)滿足。現(xiàn)要從其余三個方程導(dǎo)得內(nèi)力所必須滿足的平衡微分方程。由Fz=0，有0qdxdydxFdxdyyFFdyFdydxxFFysysyssxsxsx

12、化簡后約去dxdy，得0qyFxFyssx對過板單元中心而與y軸及x軸平行的直線取力矩的平衡方程，化簡以后，略去微量，得到y(tǒng)MxMFyMxMFyxyysyxxsx（5-10）（5-11）式（5-10）和式（5-11）即為內(nèi)力表示的平衡微分方程，將式（5-11）代入式（5-10），又可得到用彎矩、扭矩及荷載表示的平衡微分方程：0qyMyxM2xM2y2xy22x2Dqw22將式（5-6）代入式（5-12），則得出薄板彎曲的基本方程：（5-12）（5-13） 此方程稱為薄板的彈性曲面微分方程或撓曲微分方程。這樣，問題就歸結(jié)為在給定的板邊界條件下求解方程式（5-13），求得撓度w后，可按式（5-3）

13、、式（5-4）、式（5-5）求得應(yīng)力分量，由式（5-6）、式（5-8）求得薄板的內(nèi)力。5-4 邊界條件邊界條件 有了以撓度表示的內(nèi)力表達(dá)式（5-6）和式（5-8），接下來以矩形薄板為例，討論板邊幾種常見的邊界條件 如果已知作用在板邊外力的靜力效應(yīng)，即已知這些外力所產(chǎn)生的彎矩、扭矩和橫向剪力，則嚴(yán)格地說，板的三個內(nèi)力，即彎矩、扭矩和橫向剪力的邊界值，應(yīng)一一對應(yīng)地與這些外加的彎矩、扭矩和橫向剪力相等?？梢?，在每個邊界上有三個邊界條件在每個邊界上有三個邊界條件。但薄板彎曲的基本方程（5-13）是四階的橢圓型偏微分方程，根據(jù)偏微分方程理論，在每邊上，只需要兩在每邊上，只需要兩個邊界條件個邊界條件。 對

14、此，基爾霍夫作了如下巧妙的處理：他將邊界上的扭矩變換為靜力等效的橫向剪力，再將它與原來的橫向剪力合并成總的分布剪力。這樣，就將每邊上的三個邊界條件歸并成兩個邊界條件。 下面，具體考慮扭矩的等效變換情況。 設(shè)AB為平行于x軸的板邊，其上作用有連續(xù)分布的扭矩Myx（x,y）。若在寬度為dx的mm段上的扭矩為Myxdx，則在寬度為dx的np段上的扭矩為 dx，如圖5-6(a）所示。微段mm上的扭矩Myxdx可以用兩個分別作用于m點和n點的橫向剪力Myx代替，一個向下，另一個向上。對于作用在微段np上的扭矩 也可采取同樣的變dxxMMyxyxdxxMMyxyx換，于是得到圖5-6（b）所示的受力情況。

15、注意，在兩個微段的交界點n處，向上的橫向剪力Myx和向下的橫向剪力 將合成一個向下的橫向剪力 。這個力又可用分布在以n點為中心、長度為dx微段上的分布剪力 來代替，這個分布剪力的方向向下。對板的整個邊界都如此處理，該邊界上的分布扭矩就變換為等效的分布剪力 。將它與原來的橫向剪力 相加，得到AB邊上的總的分布剪力：dxxMMyxyxdxxMyxxMyxxMyxsyFxMFFyxysys（5-14） 的符號規(guī)定與 相同。必須注意，在板邊的兩端A和B還有兩個未被抵消的集中力（Myx）A和（Myx）B，如圖5-6（b）所示。 若對平行于y軸的板邊CB采用同樣的做法，則可將作用于CB上的連續(xù)分布扭矩Mx

16、y變換為等效的分布剪力 （見圖5-6（b），該邊上總的分布剪力為syFsyFyxyMyMFFxyxssx（5-15） 的符號規(guī)定與 相同。在邊界兩端C和B也有兩個集中力（Mxy）c和（Mxy）B。 sxFsxF（b）圖5-6 當(dāng)對矩形薄板的每條邊界上的扭矩都進(jìn)行上述變換后，在兩邊相交的角點，例如AB和CB邊的交點B，將合成一個集中力FRB，即 FRB=（Myx）B+（Mxy）B2（Mxy）B（5-16）這個集中力的指向，應(yīng)由扭矩（Mxy）B的符號來判斷。同理，可以得到O，A，C三個角點上的集中力。圖5-7表示當(dāng)四個角點上的扭矩都為正時的指向。圖5-7yxwDMMxwywDMywxwDMyxxy

17、yx22222222212222hhyzsyhhxzsxzFzFddxMFFyxysysFRB=2（Mxy）B )22333sxyxwxwDF)22333yxwywDFsyyxwDFRB212yMFFxyxssx（5-6）（5-14）（5-15）（5-16）（5-19）（5-18）（5-17）（5-8）將式（5-6）的第三式和式（5-8）代入式（5-14）式（5-16），則Vx，Vy和RB都可用撓度w來表示，即)22333sxyxwxwDF（5-17）)22333yxwywDFsyyxwDFRB212（5-18）（5-19） 板的邊界一般有簡支邊、固定邊和自由邊三種情況。圖5-8所示的OC邊為

18、簡支邊界，OA為固定邊界，AB和BC邊為自由邊界?，F(xiàn)分別建立它們的邊界條件。 （1）簡支邊界 簡支邊上的撓度和彎矩為零，即圖5-8簡支邊簡支邊界界固定邊固定邊界界自由邊自由邊界界自由邊自由邊界界CBA（w）y=0=00022220yyyxwvywDM但由于（w）y=0=0，必然有0 xw, 0 xw0y220y所以，簡支邊的邊界條件可寫為0yw0w0y220y（5-20）（2）固定邊界固定邊界上的撓度和轉(zhuǎn)角為零，故有邊界條件：0 xw0w0 x0 x（5-21）（3）自由邊界自由邊界上的彎矩和總的分布剪力為零。例如，對于圖5-7中的AB邊，應(yīng)有（My）y=b=0，（ ）y=b=0；對于CB邊，

19、應(yīng)有（Mx）x=a=0，（ ）x=a=0。注意到式（5-6）的前兩式和式（5-17）、式（5-18），有syFsxF0yx20y0yx2x0yx2333222223332222bybyaxaxwvywxwvwwvwwvw（5-22）（4）角點條件如上所述，當(dāng)沿板邊的扭矩變換為等效分布剪力后，在板的角點將產(chǎn)生一個集中力。如果角點受到支承，如圖5-8中的O點，這個集中力就是支座對板的角點O的集中反力。在求得了撓度w后，這個集中力可由式（5-19）求得。對于懸空的角點，例如圖5-7中的兩自由邊界的交點B，則應(yīng)有 FRB=2（Mxy）B=0即0yxwyxwbyax2B2如果在B點有支座，而其撓度被阻止

20、發(fā)生，則應(yīng)有 0wwbyaxB（5-23）5-5 四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解 由上述幾節(jié)建立的求解彈性薄板彎曲問題的基本方法可歸屬為位移解法。本節(jié)介紹納維（Navier）的重三角級數(shù)解法。圖5-9 圖5-9所示一四邊簡支矩形薄板，邊長分別為a和b，受任意分布的橫向荷載q(x,y)作用。此問題的邊界條件為0 xw22 當(dāng)x=0和x=a時，w=0，當(dāng)y=0和y=b時，w=0，（a）0yw22（b）撓度函數(shù)取重三角級數(shù)，即設(shè)1m1nmnbynsinaxmsinAw（5-24）其中，m和n為正整數(shù)，Amn為待定系數(shù)。顯然，它已滿足邊界條件式（a）和式（b）。將式（5-

21、24）代入式（5-13），得)y, x(qbynsinaxmsinbnamAD1m1n222mn4（c）為了確定系數(shù)Amn，可以用兩種方法：一種方法是將q（x,y）展成重三角級數(shù)（其中的系數(shù)可由函數(shù)的富氏級數(shù)公式確定），然后代入式（c），比較等式兩邊同類項的系數(shù)，即可求得Amn。另一種方法是把式（c）看成是q（x,y）的展開式，從而求出系數(shù)Amn。這里采用后一種方法。在式（c）兩邊同乘 ,然后分別從0到a和從0到b對x和y進(jìn)行積分，并利用三角函數(shù)的正交性:bynsinaxmsinim2aim0dxaxmsinaxisina0nj2bnj0dybynsinbyjsinb0于是得到22222400

22、sinsin4 bnamabDdxdybynaxmqAabmn（d）代入式（5-24）得 1m1n222224a0b0bynsinaxmsinbnamabDdxdybynsinaxmsinq4w（5-25）由此可進(jìn)一步求內(nèi)力和支座反力。下面舉兩個算例。 例例5-1 邊長分別為a和b的四邊簡支板受均布荷載q0作用，試求板的撓度、彎矩和扭矩。 解 由式（d）算得, 5 , 3 , 1,162222260mnnmbnamDqAmn故1m1n22222605 , 3 , 1n,mbnammnbynsinaxmsinDq16w（e）最大撓度在板的中心2by,2ax，為: 1122222605 , 3 ,

23、 1,116w12mnaxmnmbnammnDqnm（f）圖5-10由此不難利用有關(guān)公式求得彎矩和扭矩。 例例5-2 邊長為a和b的四邊簡支矩形薄板，在板面任意一點A（ ，）受集中力P作用（圖5-10），試求板的撓度。 解 對于集中荷載，可以看成作用在邊長為x=，y=的微面積上的均布荷載 ，其余各處，荷載為零。由式（d）并利用積分中值定理，得:pqbnsinamsinbnamabDP4 bnsinamsinbnamabDP4 dxdybynsinaxmsinPbnamabD4A222224222224222222224mn于是得板的撓度為11222224sinsinsinsin4mnbynax

24、mbnambnamabDPw（g）如P作用于板的中心（x=a/2,y=b/2），則該點的撓度為1m1n222224max, 5 , 3 , 1n,mbnam1abDP4w 本節(jié)介紹的納維解法的優(yōu)點是：適用于多種荷載情況而且求解時比較簡單；但它的缺點是：只適用于四邊簡支的矩形板，且級數(shù)收斂較慢，特別是計算內(nèi)力時，要計算很多項。5-6 矩形薄板的三角級數(shù)解矩形薄板的三角級數(shù)解 對于有兩對邊簡支的矩形板，可以采用萊維（Lvy）解法，它和納維解法相比，適用范圍更廣，收斂性也比較好。圖5-11 仍設(shè)矩形板的邊長分別為a和b，x=0及x=a為簡支邊，y=b/2邊可以為任意支承（圖5-11）。現(xiàn)取撓度為如下

25、單三角級數(shù)： 1mmaxmsinyYw（5-26）其中，Ym（y）是待定函數(shù)，級數(shù)（5-26）已經(jīng)滿足了一對簡支邊的邊界條件，即0 xw,0w0 xw,0wax22ax0 x220 x 因此，只要確定函數(shù)Ym（y），以使彈性曲面微分方程和 兩邊上的邊界條件被滿足即獲解。 為此，將式（5-26）代入方程（5-13），得:2by DyxqaxmyYamdyyYdamdyyYdmmmm,sin21422244 （a）將式（a）右邊的 展開為傅里葉級數(shù)，有Dy,xq 1mmaxmsinyqDy, xq（b）其中 a0mdxaxmsinDy, xqa2yq（c）將式（c）式代入式（b），并與式（a）對比

26、，應(yīng)有 ammmdxaxmyxqaDyYamdyyYdamdyyYd0422244sin,22（d）其中，fm(y)是方程（d）的任一特解，荷載q已知時，可由式（d）右邊積分的結(jié)果來選擇，而系數(shù)Am，Bm，Cm，Dm可由 處的邊界條件確定。 將式（e）代入式（5-26），即得撓度表達(dá)式：式（d）作為常微分方程，其解為 yfaymchaymDaymshCaymshaymBaymchAyymmmmmm（e）2by axmyfaymchaymDaymshCaymshaymBaymchAwmmmmmmsin1（5-27）下面舉兩個算例。例例5-3設(shè)圖5-11所示的矩形薄板是四邊簡支的，受均布荷載q0作

27、用，求撓度。解當(dāng)分布荷載為均布荷載q0時，式（d）右邊的積分為圖5-11, 5 , 3 , 14cos12sin20000mDmqmDmqdxaxmaDqa于是微分方程（d）的特解可以取為 , 5 , 3 , 144550404mDmqaDmqmayfm代入式（5-27），并利用變形的對稱性，Ym(y)應(yīng)是y的偶函數(shù)，于是有CmDm=0，則, 5 , 3 , 155401sin14sinmmmmaxmmDaqaxmaymshaymBaymchAw（a）利用邊界條件：0yw,0w2by222by得出決定Am及Bm的聯(lián)立方程：0)2(045540mmmmmmmmmmmBshBAchDmqBshAc

28、h（m=1,3,5,）及0)2(0mmmmmmmmmmmBshBAchBshAch（m=2,4,6,）其中， 。分別求解此兩組方程，得abmm2,5,3,122255405540mchDmaqBchDmaqthAmmmmmm和 Am=Bm=0 （m=2,4,6, ）將求得的系數(shù)Am,Bm代入式（a），得撓度的最后表達(dá)式為axmsinby2shby2ch2by2chch2th21m1Daq4wmmm, 5 , 3 , 1mmmmm5540（b）最大撓度發(fā)生在薄板中心，將 代入式（b），即得, 5 , 3 , 1521540max22114mmmmmchthmDaqw0y,2ax例例5-4 一邊長

29、分別為a和b的四邊簡支板，板面無荷載作用（q（x,y）=0），但在 邊界上受均布彎矩M0作用，如圖5-12所示，試求板的撓度。2by 解 因為q（x,y）=0，方 程（d）右邊積分為零，變?yōu)辇R次方程。故式（5-27）中的fm(y)=0，并考慮到變形的對稱性，有CmDm0，于是，式（5-27）變?yōu)閍xmaymshaymBaymchAwmmmsin1（a）因為 的邊界為簡支，且受正向的分布彎矩M0作用，故此邊界處的邊界條件為2/by 02/by222/byy2/byMywDM0w（b）由式（b）的第一式，有Amch m+Bm msh m=0式中abmm（c）由此得Am=-Bm mth m代入式（a

30、），得axmaymchthaymshaymBwmmmmsin1（d）利用邊界條件（b）的第二式，有021sin2MaxmchamBDmmm 等式兩邊同乘 ,然后，對x從0到a積分，注意三角函數(shù)的正交性，得axnsinmmchDmMaB33022 (m=1,3,5,)代回式（d），得撓度表達(dá)式為axmaymshaymaymchthchmDaMwmmmmsin12, 5 , 3 , 133205-7 圓形薄板的彎曲圓形薄板的彎曲一、基本方程與邊界條件一、基本方程與邊界條件 對圓形、扇形、圓環(huán)形等形狀的薄板，采用極坐標(biāo)系（r，）較為方便。在極坐標(biāo)中，板的撓度和橫向荷載都作為極坐標(biāo)r和的函數(shù)，即w=w

31、（r,），q=q（r,）。通過坐標(biāo)變換，可以得到圓形薄板的彈性曲面微分方程以及內(nèi)力和撓度函數(shù)的關(guān)系式。 在第三章中，曾導(dǎo)出了直角坐標(biāo)系下和極坐標(biāo)系下一些微分運算符號之間的變換關(guān)系，利用這些關(guān)系，可以得到下列變換式：wr1cosrwsinywwr1sinrwcosxw（a）222222222222222222222222222222222222cossinsincoscossinsincoscossincoscossin2coscossin2sinsincossin2sincossin2coswrwrrwrrwrrwyxwwrwrrwrrwrrwywwrwrrwrrwrrwxw（b）從式（b）可

32、知，拉普拉斯運算符號為222222r1rr1r（c）應(yīng)用式（c），彈性曲面微分方程（5-13）可變換為Dqwrrwrrwrrrr22222222221111（5-28） 為了導(dǎo)出相應(yīng)的內(nèi)力公式，從薄板中取出一個微小的單元體，如圖5-13所示。我們用Mr，Mr和 分別表示為常量的橫截面上的彎矩、扭矩和橫剪力， sFsF而用M，Mr和 分別表示為常量的橫截面上的彎矩、扭矩和橫剪力?？梢宰C明，Mr= Mr。不難理解，當(dāng)x軸和y軸分別轉(zhuǎn)到此單元體的r和方向，使為零，則Mr，M，Mr，Mr， ， 分別成為Mx，My，Mxy，Myx， ， 。利用變換式（b）和式（c），令=0，即由式（5-6）和式（5-8）得到 sFsFsxFsyFwrDwxDFFwrDwxDFFwrrvDwrrwrvDyxwvDMMMrwvwrrwrDxwvy