線性矩陣不等式1

1、 魯棒控制魯棒控制 線性矩陣不等式處理方法Robust control LMI Method主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性矩陣不等式概論線性矩陣不等式概論系統(tǒng)性能分析系統(tǒng)性能分析控制器設(shè)計(jì)控制器設(shè)計(jì)線性矩陣不等式概論線性矩陣不等式概論線性矩陣不等式的一般表示線性矩陣不等式：線性矩陣不等式： 仿射矩陣不等式仿射矩陣不等式仿射函數(shù)即由1階多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)，一般形式為 f (x) = A x + b，這里，A 是一個 mk 矩陣，x 是一個 k 向量,b是一個m向量，實(shí)際上反映了一種從 k 維到 m 維的空間映射關(guān)系。 設(shè)f是一個矢性（值）函數(shù)，若它可以表示為 其中 可以是標(biāo)量，也可以是矩陣，則稱f是仿射函數(shù)

2、。 0110mmF xFx Fx F1(,)TmmxxxR決策向量Tn niiFFR實(shí)對稱矩陣 F x是負(fù)定的1110mmmf xxbx Ax AiA凸（約束）問題kRC 1CCC 20,1,CCC211211CC1C2C定義（凸集）定義（凸集） 一個集合一個集合的的連線仍在集合內(nèi)。連線仍在集合內(nèi)。和和及參數(shù)及參數(shù)有有稱為稱為的凸組合。的凸組合。 稱為凸的，如果集合中任意兩點(diǎn)稱為凸的，如果集合中任意兩點(diǎn)即任意給定兩點(diǎn)即任意給定兩點(diǎn)和和將矩陣不等式的解約束在將矩陣不等式的解約束在矩陣變量定義的空間中矩陣變量定義的空間中關(guān)于凸集定義的理解關(guān)于凸集定義的理解Schur補(bǔ)定理補(bǔ)定理11121222TX

3、XXXX11X0X110XT1221211120XX XX220X1T111222120XX XX引理引理 (Schur Complement) 對于分塊對稱陣對于分塊對稱陣其中其中b)，且，且c)，且，且a)為方陣，則以下三個條件是等價的：為方陣，則以下三個條件是等價的：10TTA PPAPBR B PQ0TTA PPAQPBB PRSchur補(bǔ)應(yīng)用補(bǔ)應(yīng)用 若要證明存在對稱矩陣若要證明存在對稱矩陣P0,Q0,R0, ,使得如下不等使得如下不等式成立式成立 只需證明只需證明如下線性矩陣不等式如下線性矩陣不等式(LMI)成立成立 Schur補(bǔ)補(bǔ)：是將非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化為線：是將非線性矩陣不等式

4、轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的有效工具性矩陣不等式的有效工具標(biāo)準(zhǔn)的線性矩陣不等式問題標(biāo)準(zhǔn)的線性矩陣不等式問題 可行性問題可行性問題(LMIP)求不等式的可行解求不等式的可行解 檢驗(yàn)是否存在檢驗(yàn)是否存在x，使得，使得 成立。成立。 特征值問題特征值問題(EVP)求不等式的優(yōu)化解求不等式的優(yōu)化解 廣義特征值問題廣義特征值問題(GEVP)仿射矩陣函數(shù)的不等式優(yōu)化仿射矩陣函數(shù)的不等式優(yōu)化問題問題Linear Matrix Inequality (LMI)min. . ( )( )0st G xIH xmin. . ( )( )( )0( )0st G xF xF xH x( )0F x 系統(tǒng)性能分析系統(tǒng)性能分

5、析連續(xù)時間系統(tǒng)3.1.1系統(tǒng)增益指標(biāo) 考慮 x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)0( )sup( )wsize zsize w L2范數(shù) 對于平方可積的信號 ，定義 其中 是向量的歐式范數(shù)。這樣定義的 正好是信號 的能量。將所有有限能量的全體記成 即 也稱為信號 的 范數(shù) f12220( )ff tdt( )( ) ( )Tf tft f t2ff2L220:( )Lff tdt 2ff2LL范數(shù) 對幅值有界的信號 ，定義 當(dāng) 是一個標(biāo)量信號時， 等于 的峰值。 將所有幅值有界的信號全體記成 即 也稱為信號 的 范數(shù)。f0sup( )tff tfffL:( )Lff t

6、 ffL四個性能指標(biāo) IE(Impulse-to-Energy)增益： EP(Energy-to-Peak)增益： EE(Energy-to-Energy)增益： PP(Peak-to-Peak)增益：002( )( ) 1supiew twtwz 21supepwz221supeewz1supppwz定理1-IE x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)min s.t. 0 B P0TTTPAA PC CPBIie 若有一最優(yōu)值 ，則定理2-EPmin s.t. 0 CQC Q0TTTAQQABBI若有一最優(yōu)值 ，則ep x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+

7、Dw(t)定理3-EE x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)定理4-PP x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)H2性能T的H2范數(shù)的平方等于系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的總的輸出能量。(IE)系統(tǒng)的H2范數(shù)也可以用系統(tǒng)在白噪聲輸入信號激勵下的穩(wěn)態(tài)輸出方差來解釋。(EP)對于SISO系統(tǒng)2( )ieepT s x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)用線性矩陣不等式刻畫系統(tǒng)的H2范數(shù) x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)H性能 x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)增益 有一個頻率域的解釋：它恰好等

8、于傳遞函數(shù) 的 范數(shù)，即eeH( )T s( )eeT s 用線性矩陣不等式刻畫系統(tǒng)的H范數(shù) 定理：針對系統(tǒng)定理：針對系統(tǒng)(3.1.1)和給定的一個常數(shù)和給定的一個常數(shù) 0,若若存在對稱矩陣存在對稱矩陣P0,使得如下線性矩陣不等式成立使得如下線性矩陣不等式成立0TTTTA PPAPBCB PIDCDI則有則有|T(s)| ,且系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。且系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。 x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)證明：證明：0TTTTA PPAPBCB PIDCDI20TTTTA PPAPBCB PIDCDI對上述不等式分別左乘對上述不等式分別左乘, ,右乘矩陣右乘矩陣diag1/2I,1

9、/2I,-1/2I,得得20TTTTA XXAXBCB XIDCDI記記X=P運(yùn)用運(yùn)用Schur補(bǔ)，可得補(bǔ)，可得 120TTTTTTA XXAC CXBC DID DB XD C若若D=0,則有則有20TTTA XXAXBB XC C嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)陣的嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)陣的H范數(shù)與矩陣不等式的等價關(guān)系范數(shù)與矩陣不等式的等價關(guān)系給出了系統(tǒng)給出了系統(tǒng)H范數(shù)與范數(shù)與LMI之間的關(guān)系之間的關(guān)系使得使得H控制問題可基于控制問題可基于LMI進(jìn)行求解進(jìn)行求解有界實(shí)引理(Bounded real lemma )0in 0mTTTTA PPAPBCB PIDCDIP控制器設(shè)計(jì)控制器設(shè)計(jì)H控制器設(shè)計(jì) x(t)Ax(t)Bw(t)z(t)Cx(t)+ Dw(t)1211112( )( )u tu t x(t)Ax(t)B w(t)