第3章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和特性

1、制作制作: :羅家祥羅家祥 審校審校: :胥布工胥布工第三章第三章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及特性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及特性華南理工大學(xué)華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工第三章第三章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及特性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及特性3.1 引言引言3.2 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù) 3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 3.4 反饋控制系統(tǒng)的特性反饋控制系統(tǒng)的特性 3.5 復(fù)雜反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性復(fù)雜反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性 3.6 利用利用MATLAB分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)

2、定性及特性3.7 小結(jié)小結(jié)制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.1引言引言控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)及其傳遞函數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性反饋控制系反饋控制系統(tǒng)的特性統(tǒng)的特性復(fù)雜反饋控制復(fù)雜反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性構(gòu)及其特性利用利用MATLABMATLAB分分析系統(tǒng)的穩(wěn)定析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及特性性及特性反饋控制反饋控制系統(tǒng)系統(tǒng)本章知識(shí)體系本章知識(shí)體系制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.1引言引言一般來(lái)講，根據(jù)應(yīng)用的需求或者對(duì)象本身的特性，被一般來(lái)講，根據(jù)應(yīng)用的需求或者對(duì)象本身的特性，被控對(duì)象既可以是穩(wěn)定的也可以是不穩(wěn)定的

3、?？貙?duì)象既可以是穩(wěn)定的也可以是不穩(wěn)定的。反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)和常用傳遞函數(shù)。反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)和常用傳遞函數(shù)。如何系統(tǒng)穩(wěn)定性定義？如何系統(tǒng)穩(wěn)定性定義？什么樣的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的系統(tǒng)？什么樣的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的系統(tǒng)？反饋控制系統(tǒng)的特性如何？有什么優(yōu)勢(shì)？反饋控制系統(tǒng)的特性如何？有什么優(yōu)勢(shì)？制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.2 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù) 典型的反饋控制系統(tǒng)典型的反饋控制系統(tǒng)如右圖所示。如右圖所示。反反饋饋通通道道傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)前前向向通通道道傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)輸輸出出斷斷開(kāi)開(kāi)后后, ,將將反反饋饋通通道道H H( (s s) )

4、的的 1)-(3 )()()()()()(sHsGsGsRsBsGpcL 為：為：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)定義系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)定義3.2.1 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.2 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)2)-(3)()()()()(sGsGsRsYsGpcF 的傳遞函數(shù)：的傳遞函數(shù)：反饋控制系統(tǒng)前向通道反饋控制系統(tǒng)前向通道數(shù)就是數(shù)就是開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函)()(G1)(sGssHFL 時(shí)時(shí)時(shí)：稱為單位反饋，此時(shí)：稱為單位反饋，此 開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的控制器與反饋控制系統(tǒng)的控制器都串聯(lián)在控制開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的控

5、制器與反饋控制系統(tǒng)的控制器都串聯(lián)在控制系統(tǒng)的前向通道中，其區(qū)別在于：系統(tǒng)的前向通道中，其區(qū)別在于：1）開(kāi)環(huán)控制基于對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行補(bǔ)償?shù)脑韥?lái)實(shí)現(xiàn)控制）開(kāi)環(huán)控制基于對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行補(bǔ)償?shù)脑韥?lái)實(shí)現(xiàn)控制 ，以，以Gc(s)Gp(s)=1為理想要求。為理想要求。2）反饋控制的原理是基于偏差來(lái)產(chǎn)生控制作用。反饋控制系統(tǒng)的）反饋控制的原理是基于偏差來(lái)產(chǎn)生控制作用。反饋控制系統(tǒng)的控制器也稱為串聯(lián)校正裝置，其輸入為偏差信號(hào)?？刂破饕卜Q為串聯(lián)校正裝置，其輸入為偏差信號(hào)。3）若控制器的輸入是系統(tǒng)的偏差信號(hào)，則為串聯(lián)校正裝置，若直若控制器的輸入是系統(tǒng)的偏差信號(hào)，則為串聯(lián)校正裝置，若直接為參考輸入信號(hào)，則為開(kāi)環(huán)控制器

6、。接為參考輸入信號(hào)，則為開(kāi)環(huán)控制器。 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.2 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)3.2.2 閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù) 0 0傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)：令令D D( (s s) )給給定定輸輸入入作作用用下下的的閉閉環(huán)環(huán)1 1) ) 3)-(3)(1)()()()()(1)()()()()(sGsGsGsHsGsGsGsGsRsYsTLpcpcpcR 0)()2 sR傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)：令令擾擾動(dòng)動(dòng)輸輸入入作作用用下下的的閉閉環(huán)環(huán)4)-(3)(1)()()()(1)()()()(sGsGsHsGsGsGsDsYsTLppcpD

7、制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.2 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)參考輸入和干擾輸入同時(shí)作用下系統(tǒng)的總輸出：兩種情況參考輸入和干擾輸入同時(shí)作用下系統(tǒng)的總輸出：兩種情況的線性疊加結(jié)果為的線性疊加結(jié)果為 5)-(3)(1)()()()()()()()()()(sGsDsGsRsGsGsDsTsRsTsYLppcDR )(1)()()()(sGsDsGsDsTLpD )(1)()()()()(sGsRsGsGsRsTLpcR 閉環(huán)是實(shí)現(xiàn)了負(fù)反饋還是正反饋由信號(hào)閉環(huán)是實(shí)現(xiàn)了負(fù)反饋還是正反饋由信號(hào)B(s)進(jìn)入相加點(diǎn)的符號(hào)和進(jìn)入相加點(diǎn)的符號(hào)和GL(s)

8、的符號(hào)共同決定。的符號(hào)共同決定。閉環(huán)系統(tǒng)可能是負(fù)反饋系統(tǒng)，也可能為閉環(huán)系統(tǒng)可能是負(fù)反饋系統(tǒng)，也可能為正反饋系統(tǒng)。正反饋系統(tǒng)。 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工）（其其拉拉普普拉拉斯斯變變換換為為：主主反反饋饋信信號(hào)號(hào)給給定定輸輸入入信信號(hào)號(hào)偏偏差差7-36)-(3) )( () )( () )( () )( () )( () )( (sBsRsEtbtrte 3.2 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)3.2.3 偏差傳遞函數(shù)偏差傳遞函數(shù) 8)-(3)(11)()()(11)()()(sGsHsGsGsRsEsTLpcRE 1 1）參考輸入）參考輸入

9、R(sR(s) )作作用下的偏差傳遞函數(shù)用下的偏差傳遞函數(shù) 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工2 2）干擾輸入）干擾輸入D(sD(s) )作作用下的偏差傳遞函數(shù)用下的偏差傳遞函數(shù) 9)-(3)(1)()()()()(1)()()()()(sGsHsGsHsGsGsHsGsDsEsTLppcpDE 10)-(3)(1)()()()()()()()()(sGsDsHsGsRsDsTsRsTsELpDERE 3 3）總偏差）總偏差3.2 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.2 反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞

10、函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)各表達(dá)式的公共分母多項(xiàng)式均為：閉環(huán)傳遞函數(shù)各表達(dá)式的公共分母多項(xiàng)式均為：特征多項(xiàng)式方程：特征多項(xiàng)式方程：11)-(30)(1 sGL)(1)()()(1sGsHsGsGLpc 若考慮多項(xiàng)式有理分式形式若考慮多項(xiàng)式有理分式形式)()()(sDsNKsGLLgL 12)-(30)()()( sNKsDsLgL特征方程可寫為：特征方程可寫為：NL和和DL和均為首一多項(xiàng)式，即最高階系數(shù)為和均為首一多項(xiàng)式，即最高階系數(shù)為1，而，而Kg稱稱為開(kāi)環(huán)增益。為開(kāi)環(huán)增益。制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)

11、能否工作及工作狀態(tài)如何？系統(tǒng)能否工作及工作狀態(tài)如何？1 1、能夠工作：、能夠工作：穩(wěn)定性穩(wěn)定性( (穩(wěn)穩(wěn)) )2 2、反應(yīng)能力：、反應(yīng)能力：動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)特性( (快快) )3 3、工作效果：、工作效果：穩(wěn)態(tài)特性穩(wěn)態(tài)特性( (準(zhǔn)準(zhǔn)) )制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工1.1.系統(tǒng)穩(wěn)定性一般概念可表述系統(tǒng)穩(wěn)定性一般概念可表述 假設(shè)某一有界外部干擾輸入瞬間作用于一個(gè)處于平衡假設(shè)某一有界外部干擾輸入瞬間作用于一個(gè)處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，并且導(dǎo)致其偏離平衡狀態(tài)。若在瞬間干擾消狀態(tài)的系統(tǒng)，并且導(dǎo)致其偏離平衡狀態(tài)。若在瞬間干擾消失后，系統(tǒng)最終能夠回到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是失后，系統(tǒng)最終

12、能夠回到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的，否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 2.2.定義定義3-13-1（穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)定義）（穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)定義） 在零初始條件下，若一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)在有界輸入（參考在零初始條件下，若一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)在有界輸入（參考輸入或干擾輸入）的作用下，其輸出響應(yīng)也有界。輸入或干擾輸入）的作用下，其輸出響應(yīng)也有界。3.3.定義定義3-23-2（數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的有界輸入（數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的有界輸入- -有界輸出穩(wěn)定性定義）有界輸出穩(wěn)定性定義）輸入：輸入：r(t),|r(t)| N (t 0)輸出：輸出：y(t), ), 3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性1

13、3)-(30,)()()()(00 tMdgNdtrgty 3.3.1 穩(wěn)定性的概念和定義穩(wěn)定性的概念和定義制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 14)-(3)()()()()()(21111111 nnnnlllllnllmiigjsjspszsKssNsT 其中，單實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)其中，單實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)n n1 1，共軛極點(diǎn)對(duì)，共軛極點(diǎn)對(duì)(n-n(n-n1 1)/2 )/2 也也有有界界，根根據(jù)據(jù)若若要要求求有有界界，作作用用下下的的輸輸出出響響應(yīng)應(yīng)，若若對(duì)對(duì)于于閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)在在)()()(tytrtr則要求則要求t t時(shí)，時(shí)，|g(|g(

14、 )|)|趨近于趨近于0 0。從。從g(tg(t) )入手分析系統(tǒng)穩(wěn)入手分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件與閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)之間的關(guān)系。定的充分必要條件與閉環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)之間的關(guān)系。0,)()()()(00 tMdgNdtrgty 1 1、穩(wěn)定充要條件的推導(dǎo)、穩(wěn)定充要條件的推導(dǎo)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為：閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為：共軛極共軛極點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)3.3.2 閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 16)-(3)()()(),(ResptpsstepQessNpsT niinist

15、pspsTT(s)esTLtgi111),(ResRes)()(情況情況1：對(duì)：對(duì)T(s)的單實(shí)數(shù)極點(diǎn)的單實(shí)數(shù)極點(diǎn)-p，情況情況2：對(duì)：對(duì)T(s)的的k重極點(diǎn)重極點(diǎn)-p， 15)-(30)()()()( pspsspsss 0)(),()()( pspss 滿滿足足記記0)(),()()( pspssk 滿足滿足記記 17)-(3)()!1(1)()(lim)!1(1)()()(lim)!1(1),(Res1111ptstkkpsstkkkpsepPkessNdsdkessNpsdsdkpsT g(t)的表達(dá)式：的表達(dá)式：為為不不為為零零的的常常數(shù)數(shù))()()(ppNpQ 0)(18)-(30

16、)(, 0)(, 0)(1122 pPdssddssddssdpskkpsps 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況情況3：對(duì)于：對(duì)于T(s)的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，,1 jp jp 2 19)-(3)sin()()(4)cossinsin(cos)()(4sin)()(cos)()()sin)(cos()sin)(cos()()(),(Res21212121212121 tepQpQttepQpQtpQpQjtpQpQetjtpQtjtpQeepQepQepsTtttttjtjtll 20)-(31)()(4)()()()(

17、4)()()()()()(arctan21221212212121 pQpQpQpQjpQpQpQpQpQpQjpQpQ 21)-(30, )sin()(2111111 tteBeAtgnnnnllltlnltplll 綜綜上上得得到到：zjzejzsincos)()(21pQpQ)()(21pQpQj)()(421pQpQ均為實(shí)數(shù)均為實(shí)數(shù)制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 0, )sin()(2111111 tteBeAtgnnnnllltlnltplll 為常數(shù)為常數(shù)），），（)2)(, 2, 1(, 2, 11111nnnnlBn

18、lAll 為兩種類型的響應(yīng)；為兩種類型的響應(yīng)；和和)sin(lltltplteBeAll 疊加而成。疊加而成。則有兩類運(yùn)動(dòng)模態(tài)線性則有兩類運(yùn)動(dòng)模態(tài)線性的單位脈沖相應(yīng)函數(shù)的單位脈沖相應(yīng)函數(shù)或者共軛復(fù)模態(tài)；或者共軛復(fù)模態(tài)；被稱為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)被稱為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)和和g(t) s (T)2/ )(,.,2, 1(),.,2 , 1(1111)(1nnnnnlenletjtplll 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 0, )sin()(2111111 tteBeAtgnnnnllltlnltplll g(t)中的兩種響應(yīng)曲線中的兩種響應(yīng)曲線響

19、應(yīng)中的兩種類型：響應(yīng)中的兩種類型：tplleA )1)sin()2lltlteBl 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性g(t)存在上界的充分必要條件：存在上界的充分必要條件： 22)-(3)sin()(021101111 MdttBeAedttgnnnnllltnltpll 0, 0t ltpeel 時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)即，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。即，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件： 平平面面。在在左左半半）（的的根根系系統(tǒng)統(tǒng)的的閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程snnnnl

20、jnlpjsjspsslllnnnnlllllnll)2,.,1(,.,123)-(30)()()(11112111111 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性？如何判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性？直接求解出系統(tǒng)的閉環(huán)特征根直接求解出系統(tǒng)的閉環(huán)特征根根據(jù)勞斯判據(jù)通過(guò)特征方程的系數(shù)判定根的分布根據(jù)勞斯判據(jù)通過(guò)特征方程的系數(shù)判定根的分布勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定關(guān)鍵看特征根的分布，而根是由方程的系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定關(guān)鍵看特征根的分布，而根是由方程的系數(shù)決定的。勞斯判據(jù)是由特征方程的系數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的決定的。勞斯判據(jù)是由特征方程的系數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)

21、定性的一種判據(jù)。穩(wěn)定性的一種判據(jù)。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的一般形式：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的一般形式： 24)-(30)(0111 asasasasnnnn3.3.3 勞斯判據(jù)及其應(yīng)用勞斯判據(jù)及其應(yīng)用制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 0)()()()( )()(2121212121211111111111 nnnnlllllnllnnnnnlllnllnnllnppsppspsapspspsapsas1.1.穩(wěn)定性的必要條件穩(wěn)定性的必要條件 0 la0)(0111 asasasasnnnn0002111 lllllppppp，根根具具有有負(fù)負(fù)

22、的的實(shí)實(shí)部部，則則各因子相乘展開(kāi)所得的多項(xiàng)式的系數(shù)就是這些正數(shù)的乘各因子相乘展開(kāi)所得的多項(xiàng)式的系數(shù)就是這些正數(shù)的乘積組成的，因此也必定為正數(shù)，即方程（積組成的，因此也必定為正數(shù)，即方程（3-25）的所有）的所有系數(shù)均為正，系數(shù)均為正， al0。)25-3(制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性2. 勞斯表勞斯表12121531420321hccbbaaaaaasssssnnnnnnnnnn ,. ,12131121311154115142112113121bbaabbbbaacaaaaaaaaaabaaaaaaaaaabnnnnnnnnnn

23、nnnnnnnnnnnnnn 說(shuō)明：任意正數(shù)乘或除表中某一說(shuō)明：任意正數(shù)乘或除表中某一行不會(huì)影響其下面導(dǎo)出行的符號(hào)行不會(huì)影響其下面導(dǎo)出行的符號(hào)0)(0111 asasasasnnnn制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.3.勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 特征方程特征方程 (s)=0(s)=0具有正實(shí)部根的數(shù)目具有正實(shí)部根的數(shù)目與勞斯表第與勞斯表第1 1列中符號(hào)變化的次數(shù)相同。列中符號(hào)變化的次數(shù)相同。 4.4.利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性各項(xiàng)系數(shù)是否都大于各項(xiàng)系數(shù)是否都大于0 0；列寫勞斯表；列寫勞斯表；若若第一列元素第一

24、列元素出現(xiàn)符號(hào)改變出現(xiàn)符號(hào)改變, , 則系統(tǒng)不穩(wěn)定則系統(tǒng)不穩(wěn)定; ; 第一列元素符號(hào)改變次數(shù)第一列元素符號(hào)改變次數(shù) = = 實(shí)部為正的閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部為正的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù); ;制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工0321)2 ; 0)3(aaaaai穩(wěn)穩(wěn)定定充充要要條條件件：020321021301230/ )(00aaaaaaaaaassss (1) 穩(wěn)定的充要條件：穩(wěn)定的充要條件：a003.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性27)-(30)(01 ass001001ass28)-(30)(01222 asasas000102012aaaasss29)-(30)(012233

25、3 asasasas(2) 穩(wěn)定的充要條件：穩(wěn)定的充要條件：ai0例例3-1 3-1 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性例例3-2：30)-(30553)(23 ssss0550352553110123 ssss第第1 1列中符號(hào)改變了列中符號(hào)改變了2 2次，根據(jù)勞斯判據(jù)該特征方程次，根據(jù)勞斯判據(jù)該特征方程有有2 2個(gè)根在右半個(gè)根在右半s s平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的. . 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性例例3-33-3：考慮單位負(fù)反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的：考慮單

26、位負(fù)反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的K K的范圍的范圍 31)-(3)125. 0)(11 . 0()( sssKsG32)-(30404014)(23 Kssss解：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為解：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為040014)404014(40144010123KKKssss 根據(jù)勞斯判據(jù)得使系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是根據(jù)勞斯判據(jù)得使系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是33)-(304040140 KK140 K因因此此有有：勞斯勞斯表為：表為：制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性5. 勞斯表的特殊情況勞斯表的特殊情況 情況情況1 勞斯表首列中出現(xiàn)零元素，但其所在行其余各元?jiǎng)谒?/p>

27、表首列中出現(xiàn)零元素，但其所在行其余各元素不全為零。素不全為零。處理方法：處理方法：用一個(gè)很小的正數(shù)用一個(gè)很小的正數(shù)代替首列中的零元素來(lái)代替首列中的零元素來(lái)參與勞斯表的計(jì)算，在構(gòu)成勞斯表后，再令參與勞斯表的計(jì)算，在構(gòu)成勞斯表后，再令0 0 進(jìn)行進(jìn)行判定即可。判定即可。 34)-(301422)(2345 ssssss00100)24(10124011421212012345 ssssss1241,24, 02 穩(wěn)定性判定：穩(wěn)定性判定：勞斯表首列有勞斯表首列有2 2次符號(hào)變化，所以有次符號(hào)變化，所以有2 2個(gè)特征根位于個(gè)特征根位于s s平面的右半平面，平面的右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)是不穩(wěn)定的

28、。該特征方程的根為：該特征方程的根為：-1.9571，-0.0686 j1.2736和和-0.0901 j0.5532。 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況情況2 勞斯表首列中出現(xiàn)零元素，且其所在行的其他元?jiǎng)谒贡硎琢兄谐霈F(xiàn)零元素，且其所在行的其他元素均為零。素均為零。（1）特征多項(xiàng)式中存在一對(duì)根形如）特征多項(xiàng)式中存在一對(duì)根形如(s)(s+ )或者或者(s j )(s+j )的因子；的因子；（2）特征多項(xiàng)式中存在兩對(duì)根形如）特征多項(xiàng)式中存在兩對(duì)根形如(s+j )(sj )和和(s+ +j )(s+j )的因子。的因子。處理方法：處理方

29、法：利用全零行的前一行構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式方利用全零行的前一行構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式方程程 ,對(duì)輔助多項(xiàng)式方程求導(dǎo)，得到多項(xiàng)式的系數(shù)對(duì)輔助多項(xiàng)式方程求導(dǎo)，得到多項(xiàng)式的系數(shù)代替原來(lái)的全零行，繼續(xù)完成勞斯表。代替原來(lái)的全零行，繼續(xù)完成勞斯表。 0)( s制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性35)-(3044956)(23456 sssssss00040005180042500104000004510451496101233456 ssssssss36)-(3045)(24 sss輔輔助助方方程程：37)-(30104)(3 ssdssd求導(dǎo)：求導(dǎo)：

30、穩(wěn)定性判定：穩(wěn)定性判定：完成的勞斯表中第完成的勞斯表中第1 1 列元素全部為正，特征方程在列元素全部為正，特征方程在s s平面平面的右半平面沒(méi)有根。的右半平面沒(méi)有根。但是，上述勞斯表是借助輔助多項(xiàng)式方程完成的，這意味著但是，上述勞斯表是借助輔助多項(xiàng)式方程完成的，這意味著存在對(duì)稱于原點(diǎn)的一對(duì)特征根或者兩對(duì)特征根，根據(jù)穩(wěn)定性存在對(duì)稱于原點(diǎn)的一對(duì)特征根或者兩對(duì)特征根，根據(jù)穩(wěn)定性定義，兩類情況均意味著系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。借助計(jì)算機(jī)可求定義，兩類情況均意味著系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。借助計(jì)算機(jī)可求得該特征方程的根為：得該特征方程的根為： j, j2和和 ，系統(tǒng)有系統(tǒng)有2個(gè)個(gè)虛根，臨界穩(wěn)定。虛根，臨界穩(wěn)定。2321j

31、制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.3 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性例例3-6 38)-(30252566)(2345 ssssss00250036402530124000256125610123345 sssssss穩(wěn)定性判定：勞斯表首列有穩(wěn)定性判定：勞斯表首列有2 2次符次符號(hào)變化，所以有號(hào)變化，所以有2 2個(gè)特征根位于個(gè)特征根位于s s平面的右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定平面的右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。的。注意到注意到勞斯表采用輔助多項(xiàng)式方勞斯表采用輔助多項(xiàng)式方程才完成程才完成，說(shuō)明，說(shuō)明存在對(duì)稱于原點(diǎn)存在對(duì)稱于原點(diǎn)的特征根的特征根。事實(shí)上，可求得該特。事實(shí)上，可求得該特

32、征方程的根為：征方程的根為： 1 j2和和1 j2。 制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工6、相對(duì)穩(wěn)定性、相對(duì)穩(wěn)定性定義定義3-3（相對(duì)穩(wěn)定性）（相對(duì)穩(wěn)定性）:設(shè)一個(gè)設(shè)一個(gè)n階閉階閉環(huán)系統(tǒng)的特征根為環(huán)系統(tǒng)的特征根為 pl(l=1,2,.,n)，且，且對(duì)于所有對(duì)于所有l(wèi)=1,2,.,n，特征根的實(shí)部均，特征根的實(shí)部均滿足滿足Re( pl)0使得對(duì)于所有使得對(duì)于所有l(wèi)=1, 2, ., n，有有Re( pl)delta=1,1,6,5,9,4,4; %輸入多項(xiàng)式輸入多項(xiàng)式r=roots(delta); %求求 (s)=0的根的根運(yùn)結(jié)果檢驗(yàn)：運(yùn)結(jié)果檢驗(yàn)：rr=-0.0000 + 2.

33、0000i-0.0000 - 2.0000i-0.5000 + 0.8660i-0.5000 - 0.8660i-0.0000 + 1.0000i-0.0000 - 1.0000i3.6.1 判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、解特征方程法：、解特征方程法：求出特征方程的根。求出特征方程的根。求多項(xiàng)式方程的根可調(diào)用的函數(shù)求多項(xiàng)式方程的根可調(diào)用的函數(shù)roots( ) ；例例3-8：可知，系統(tǒng)處于臨界響可知，系統(tǒng)處于臨界響應(yīng)，故是不穩(wěn)定的。應(yīng)，故是不穩(wěn)定的。制作制作- -羅家祥羅家祥審校審校- -胥布工胥布工3.6 利用利用MATLAB分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及特性pzmap(num

34、,den) 來(lái)繪制系統(tǒng)特征方程的零極點(diǎn)圖；通過(guò)來(lái)繪制系統(tǒng)特征方程的零極點(diǎn)圖；通過(guò)零極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。零極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例例3-9 2724364523)(2345234 ssssssssssT輸入以下輸入以下MATLAB命令命令 num=0 3 2 5 4 6 ; den=1 3 4 2 7 2; pzmap(num, den);title(系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖)系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖Real AxisImaginary Axis-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5計(jì)算結(jié)果可知，特征根中有兩計(jì)算結(jié)果可知，特征根中有兩個(gè)根的實(shí)部為正，所以閉環(huán)系個(gè)根的實(shí)部