矩陣論第一章線性空間

1、1第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR邱啟榮邱啟榮華北電力大學數(shù)理系華北電力大學數(shù)理系QQIR2第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR3第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR4第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR第一章第一章 線性空間線性空間 線性空間是線性代數(shù)的中心內容，它是線性空間是線性代數(shù)的中心內容，它是幾何空間的抽象和推廣幾何空間的抽象和推廣 在線性代數(shù)中，定義了在線性代數(shù)中，定義了n維向量的加法和維向量的加法和數(shù)量乘法運算，討論了向量空間中的向量關數(shù)量乘法運算，討論了向量空間中的向量關于線性運算的線性相關性，完滿地闡明了線于

2、線性運算的線性相關性，完滿地闡明了線性方程組的解的理論性方程組的解的理論5第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR現(xiàn)在把現(xiàn)在把n n維向量抽象成集合中的元素，撇開維向量抽象成集合中的元素，撇開向量及其運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)向量及其運算的具體含義，把集合對加法和數(shù)量乘法的封閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，量乘法的封閉性及運算滿足的規(guī)則抽象出來，就形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將就形成了抽象的線性空間的概念，這種抽象將使我們進一步研究的線性空間的理論可以在相使我們進一步研究的線性空間的理論可以在相當廣泛的領域內得到應用當廣泛的領域內得到應用6第一章線性空間第一章線性空間M

3、ade By QQIR本章內容本章內容1.1 集合與映射集合與映射1. 2 線性空間的定義與性質線性空間的定義與性質1.4 線性空間的子空間線性空間的子空間1.5 內積空間內積空間7第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR1.1集合與映射集合與映射8第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR一、集合一、集合 把一些事物匯集到一起組成的一個整體就叫做集合；把一些事物匯集到一起組成的一個整體就叫做集合；常用大寫字母常用大寫字母A、B、C 等表示集合；等表示集合；當當a是集合是集合A的元素時，就說的元素時，就說a 屬于屬于A，記作：，記作： ； aA 當當a不是集合不是集合A的

4、元素時，就說的元素時，就說a不屬于不屬于A，記作：，記作： aA 1、定義、定義組成集合的這些事物稱為集合的元素組成集合的這些事物稱為集合的元素 用小寫字母用小寫字母a、b、c 等表示集合的元素等表示集合的元素 9第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR集合的表示方法一般有兩種：集合的表示方法一般有兩種：描述法描述法、列舉法列舉法 描述法描述法：給出這個集合的元素所具有的特征性質：給出這個集合的元素所具有的特征性質.列舉法列舉法：把構成集合的全部元素一一列舉出來：把構成集合的全部元素一一列舉出來.例例122( , )4, ,Mx y xyx yR例例2 N ，0,1,2,3,0,

5、2, 4, 6, 2Z 例例3210, 1,1Mx xxR Mx | x具有性質具有性質P Ma1，a2，an10第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR2 2、集合間的關系、集合間的關系 如果如果B中的每一個元素都是中的每一個元素都是A中的元素，則稱中的元素，則稱B是是A的的子集子集，記作，記作 ，（讀作，（讀作B包含于包含于A）BABA當且僅當當且僅當 xBxA 空集：不含任何元素的集合，記為空集：不含任何元素的集合，記為注意：注意： 如果如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱兩集合含有完全相同的元素，則稱 A與與 B相等相等，記作，記作AB .AB當且僅當當且僅當 且且 A

6、BBA約定：空集是任約定：空集是任意集合的子集合意集合的子集合.11第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR3、集合間的運算、集合間的運算 交交： ； ABx xAxB且并并： ABx xAxB或顯然有，顯然有，;ABAAABBbAabaBA,設A，B是兩個數(shù)集，集合稱為A與B的和集和集。12第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIRBbAabaBA,稱為A與B的積積。設A，B是兩個集合，集合13第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR定義定義1.1.1 1.1.1 設設A A，B B是兩個非空集合，是兩個非空集合，A A到到B B的的一個映射一個映射 , ,

7、是指一個對應法則，是指一個對應法則，通過這一法通過這一法則，對于集合則，對于集合A A中的每一個元素中的每一個元素x x，都有集合，都有集合B B中的一個唯一確定的元素中的一個唯一確定的元素y y與之對應。與之對應。用記號用記號 : AB表示，表示，簡記為簡記為 xy( )yx二、映射二、映射14第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIRyxxy叫做元素在下的象象，叫做在下的原象原象。 ( )( )Ax xAA在下的象的集合記作 某個集合某個集合A到自身的映射也稱為到自身的映射也稱為A的的一個一個變換變換。15第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR問題：1。映射與大學中

8、的函數(shù)有什么區(qū)別聯(lián)系？: ABxy( )yf x映射 函數(shù)2。對應于函數(shù)，象集是什么？16第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR關于兩個集合間的映射有以下幾點需要注意：關于兩個集合間的映射有以下幾點需要注意：1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的可以是相同的集合，也可以是不同的集合；集合；2）對于）對于A中的每一個元素中的每一個元素x，B中必有一個中必有一個唯一唯一確定確定的元素與之對應；的元素與之對應；3）一般說來，）一般說來，B中的元素不一定都是中的元素不一定都是A中元素中元素的象；的象；4）A中不同元素的象可能相同。中不同元素的象可能相同。17第一章線性空間第一章線性空

9、間Made By QQIR18第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR例例7判斷下列映射的性質判斷下列映射的性質1）Ma，b，c、M 1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不單射，既不單射，也不是滿射也不是滿射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，M Z，：(n)|n|1,nZ （是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） 3）Mn nP，M P，（，（P為數(shù)域）為數(shù)域） ：(A)|A|，n nAP （是滿射，但不是單射是滿射，但不是單射） （雙射雙射）19第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR對于有限集來說，兩集合之間存在對于有限集來說，兩集合之間存在1

10、1對對應的充要條應的充要條 件是它們所含元素的個數(shù)相同；件是它們所含元素的個數(shù)相同； 對于有限集對于有限集A及其子集及其子集B，若，若BA（即（即B為為A的真子集），則的真子集），則 A、B之間不可能存在之間不可能存在11對應；但對應；但是對于無限集未必如此是對于無限集未必如此.注：注：20第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR21第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR22第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR23第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR第二節(jié)第二節(jié)線性空間的定義與性質線性空間的定義與性質24第一章線性空間第一章線性空間Ma

11、de By QQIR線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣廣線性空間是為了解決實際問題而引入的，線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作向量空間，進而通過研究向量空實際問題看作向量空間，進而通過研究向量空間來解決實際問題間來解決實際問題一、線性空間的定義一、線性空間的定義25第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR一一.線性空間的定義線性空間的定義 設設V 是一個非空集合是一個非空

12、集合, P 是一個數(shù)域是一個數(shù)域, 在集合在集合V 中中 的的和和，記為，記為 ；在；在P與與V的元素之間還的元素之間還與定義了一種運算，叫做定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法數(shù)量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一個元素中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱與它們對應，稱為為 的的數(shù)量乘積數(shù)量乘積，記為，記為 如果加法和數(shù)量乘如果加法和數(shù)量乘k與.k法還滿足下述規(guī)則，則稱法還滿足下述規(guī)則，則稱V 為數(shù)域為數(shù)域P上的上的線性空間線性空間：定義了一種代數(shù)運算，叫做定義了一種代數(shù)運算，叫做加法加法: : 即即對對,V 在在V 中都存在唯一的一個元素與它們對應，稱為中都存在唯一的一個元素與它們對應，

13、稱為 26第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR, ,; ,VP 設;0, 0)3( 都有都有對任何對任何中存在零元素中存在零元素在在VV;)1( ;)2( 如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那么么 就稱為數(shù)域就稱為數(shù)域 上的向量空間（或線性空間）上的向量空間（或線性空間）VP27第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR;1)5( ;)6( .)8( ;)7( ; 0 ,)4( 使使的的負負元元素素都都有有對對任任何何VV28第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR2 2 向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組向量

14、空間中的向量不一定是有序數(shù)組3 3 判別線性空間的方法：一個集合，對判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質的任一條，則此集合就不能構成滿足八條性質的任一條，則此集合就不能構成線性空間線性空間 說明說明1 1 凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運算，稱為線性運算算，稱為線性運算29第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR（）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運（）一個集合，如果定義的加法和乘數(shù)運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對

15、運算的封閉性算的封閉性例例 實數(shù)域上的全體實數(shù)域上的全體 矩陣，對矩陣的加法矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構成實數(shù)域上的線性空間，記作和數(shù)乘運算構成實數(shù)域上的線性空間，記作 nm nmR ,nmnmnmCBA ,nmnmDA .是是一一個個線線性性空空間間nmR 線性空間的判定方法線性空間的判定方法30第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR., 0101量空間量空間向向數(shù)乘多項式的乘法構成數(shù)乘多項式的乘法構成對于通常的多項式加法對于通常的多項式加法即即記作記作的多項式的全體的多項式的全體次數(shù)不超過次數(shù)不超過RaaaaxaxapxPxPnnnnnn 例2例2通常的多項式加法、數(shù)乘多項

16、式的乘法兩種運通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律算滿足線性運算規(guī)律)()(0101bxbxbaxaxannnn )()()(0011baxbaxbannn xPn )(01axaxann )()()(01axaxann xPn .對運算封閉對運算封閉xPn31第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR.0, , 0101間間空空和和乘乘數(shù)數(shù)運運算算不不構構成成向向量量對對于于通通常常的的多多項項式式加加法法且且次次多多項項式式的的全全體體 aRaaaaxaxapxQnnnnnn例例3 3p0000 xxnxQn .對運算不封閉對運算不封閉xQn32第一章線性空

17、間第一章線性空間Made By QQIR( ),( )0,nnR Ay yAx xCN Ax AxxC例例1.2.3 給定給定,nmCA記記按按 中的加法和數(shù)乘運算，中的加法和數(shù)乘運算， 都都是上的線性空間。是上的線性空間。 nC)(),(ANAR33第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR定理定理1.2.1 1.2.1 零元素是唯一的零元素是唯一的負元素是唯一的負元素是唯一的證明證明假設假設 是線性空間是線性空間V中的兩個零元中的兩個零元素，素，210 ,0.0,021 由于由于,0 ,021V 所以所以.000 ,000121212 則對任何則對任何 ，V 有有.0000002

18、12211 二、線性空間的性質二、線性空間的性質34第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR假設假設 有兩個負元素有兩個負元素 與與 ， 那么那么. 0, 0 則有則有0 0. 向量向量 的負元素記為的負元素記為 . 35第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR2. 00;1;00. 證明證明 ,101010 . 00 , 0011111 .1 10 0 . 0 36第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR3如果如果 ，則則 或或 . 0 0 0 證明證明假設假設,0 那么那么 011 . 0 .11 又又. 0 同理可證：若同理可證：若 則有則有0 . 0

19、 37第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR線性空間的元素統(tǒng)稱為線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量向量”，但它可以是，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等. .線性空間線性空間 是一個集合是一個集合對所定義的加法及數(shù)乘運算封閉對所定義的加法及數(shù)乘運算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運算所定義的加法及數(shù)乘符合線性運算線性空間是二維、三維幾何空間及線性空間是二維、三維幾何空間及 維向量維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性. .n四、小結38第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR39

20、第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR如何把線性空間的全體元素表示出來？如何把線性空間的全體元素表示出來？線性空線性空間中是否有類似于幾何空間間中是否有類似于幾何空間的坐標系問題？的坐標系問題？線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西東西數(shù)發(fā)生聯(lián)系數(shù)發(fā)生聯(lián)系,使其能用比較具體的數(shù)學使其能用比較具體的數(shù)學式子來表達？怎樣才能便于運算？式子來表達？怎樣才能便于運算？問題問題基的問題（基的問題（basis）問題問題坐標（坐標（coordinate）問題）問題40第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR 設設V 是數(shù)域是數(shù)域 P 上的一

21、個線性空間上的一個線性空間（1）1212,(1),rrV rk kkP 和式和式 1122rrkkk的一個的一個線性組合線性組合稱為向量組稱為向量組12,r （2） ，若存在，若存在 12,rV 12,rk kkP則稱向量則稱向量 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 線性表出線性表出；12,r 1122rrkkk使使41第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR若向量組若向量組 中每一向量皆可經(jīng)向量組中每一向量皆可經(jīng)向量組 12,s 12,r 線性表出，則稱向量組線性表出，則稱向量組12,s 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 線性表出線性表出； 12,r 若兩向量組可以互相線性表出，則稱這兩個向量組若兩向量組

22、可以互相線性表出，則稱這兩個向量組為為等價的等價的 （3）12,rV ，若存在不全為零的數(shù)，若存在不全為零的數(shù) 12,rk kkP，使得，使得 11220rrkkk則稱向量組為則稱向量組為線性相關線性相關的的；12,r 42第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR（4）如果向量組如果向量組 不是線性相關不是線性相關的，即的，即12,r 11220rrkkk只有在時才成立，只有在時才成立， 120rkkk則稱則稱為為線性無關線性無關的的 12,r （1）單個向量單個向量 線性相關線性相關 0.單個向量單個向量 線性無關線性無關 0向量組向量組線性相關線性相關 12,r 12,r 中有

23、一個向量可經(jīng)其余向量中有一個向量可經(jīng)其余向量 線性表出線性表出43第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR（2）若向量組線性無關，且可被若向量組線性無關，且可被12,r 向量組向量組 線性表出，則線性表出，則 12,s ;rs若若 與與 為兩線性無關的為兩線性無關的12,r 12,s 等價向量組，則等價向量組，則 .rs（3）若向量組線性無關，但向量組若向量組線性無關，但向量組 12,r 12,r 線性相關，則線性相關，則 可被向量組可被向量組 線性表出，且表示法是唯一的線性表出，且表示法是唯一的12,r 44第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR1 1、無限維線性空

24、間、無限維線性空間 若線性空間若線性空間 V 中可以找到任意多個線性無關的向量中可以找到任意多個線性無關的向量,則稱則稱 V 是是無限維線性空間無限維線性空間例例1 1 所有實系數(shù)多項式所成的線性空間所有實系數(shù)多項式所成的線性空間 Rx 是無限是無限維的維的. 1，x，x2，xn1對任意的正整數(shù)對任意的正整數(shù) n，都有，都有 n 個線性無關的向量個線性無關的向量因為，因為，二、線性空間的維數(shù)、基與坐標二、線性空間的維數(shù)、基與坐標45第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR;, )1(21線線性性無無關關n ., , , 21維維數(shù)數(shù)的的稱稱為為線線性性空空間間基基的的一一個個就就稱

25、稱為為線線性性空空間間那那末末VnVn , 2)( 21表表示示線線性性總總可可由由中中任任一一元元素素nV 定義定義1.3.1 在線性空間在線性空間 中，如果存在中，如果存在 個元素個元素nn ,21滿足：滿足：V常記作常記作 dimV n .46第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR.,nVnn記記作作維維線線性性空空間間的的線線性性空空間間稱稱為為維維數(shù)數(shù)為為當一個線性空間當一個線性空間 中存在任意多個線性無關中存在任意多個線性無關的向量時，就稱的向量時，就稱 是無限維的是無限維的VV例例 所有實系數(shù)多項式所成的線性空間所有實系數(shù)多項式所成的線性空間 Rx 是無限是無限維的

26、維的. 1，x，x2，xn對任意的正整數(shù)對任意的正整數(shù) n，都有，都有 n 個線性無關的向量個線性無關的向量因為，因為，47第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR注零空間的維數(shù)定義為注零空間的維數(shù)定義為0.0.48第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIRnnxxx2211nnyyy22110)()()(222111nnnyxyxyx49第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR112212|,nnnnVxxxx xxP 50第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR向量向量 在基下的坐標唯一的在基下的坐標唯一的. . 12,n 但是，在不同基下的坐

27、標一般是不同的但是，在不同基下的坐標一般是不同的 51第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR常見線性空間的自然（標準）基常見線性空間的自然（標準）基12( ,),1,2, nniPa aaaP in為為n維的，維的， 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n就是就是 P Pn n 的一組基稱為的一組基稱為P Pn n的自然基的自然基. . 線性空間線性空間Pxn是是n n +1 +1維的，且維的，且 1，x，x2，xn1，xn為為 Pxn 的一組自然基的一組自然基 52第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR證證:首先，首先，1，x，x2，xn1 ，xn是

28、線性無關的是線性無關的 1，x，x2，xn1 ，xn為為Pxn的一組基，的一組基，從而，從而，Pxn是是n+1維的維的.其次，其次， 1011( ) nnnnnf xaa xaxa xP x可經(jīng)可經(jīng) 1，x，x2，xn線性表出線性表出 ( )f x011(,)nna aaa在基在基1，x，x2，xn下的坐標就是下的坐標就是此時，此時，1011( )nnnnf xaa xaxa x53第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n也為也為Pxn的一組基的一組基證明：證明：1，xa，(xa)2，(xa)n1，(xa)n是線性無關的是線性無關的 又

29、對又對 ( ) nf xP x，按泰勒展開公式有，按泰勒展開公式有 ( )( )( )( )( )()()!nnfaf xf afa xaxan即即, ,f(x)可經(jīng)可經(jīng)1，xa，(xa)2，(xa)n線性表出線性表出. .54第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR1，xa，(xa)2，(xa)n為為Pxn的一組基的一組基 在基在基1，xa，(xa)2，(xa)n下的坐標是下的坐標是 ( )( )( ),( ),!Tnfaf afan55第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR56第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR一般來說，線性空間及其元素是抽象的對

30、象，一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質。但坐標表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐及性質。但坐標表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標標表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。更所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。更進一步，原本抽象的進一步，原本抽象的“加法加法”及及 “數(shù)乘數(shù)乘”經(jīng)經(jīng)過坐標表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)過坐標表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。乘。 57第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR例例1-3-1 證明

31、證明112-12-211-202141340-131-435-10 ，是是 的基，并求的基，并求 在該基下在該基下的坐標。的坐標。R2 35817266458第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR1112212210010000,00001001EEEE下的坐標分別是下的坐標分別是 12(1,1,2, 2) ,(2,4,4, 2) ,TT 34(3,4,6, 3) ,( 1,3,4,4)TT 59第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR123112311443021424640006123400031231021400010000 11241

32、3,214244 60第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR例例1.3.11、求、求 中的多項式組中的多項式組 3( )P t231( )142,f tttt 232( )1 932 ,f tttt 33( )56f ttt 234( )5752f tttt的秩和一個極大線性無關組。的秩和一個極大線性無關組。61第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR解：解：1234( ),( ),( ),( )f tftftft在在 的自然基下的坐標的自然基下的坐標3( )P t分別是分別是 121,4, 2,1,1,9, 3,2TT 345,6,0,1,5,7, 5,2TT 11

33、55496723051212A 11550132613051050363 1155012100000000 1234( ),( ),( ),( )f tftftft的秩是的秩是2，向量組向量組12( ),( )f tft是它的一個極大線性無關組。是它的一個極大線性無關組。62第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR63第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR在在n維線性空間維線性空間V中，任意中，任意n個線性無關的向量都個線性無關的向量都可取作線性空間可取作線性空間V的一組基的一組基V中任一向量在某一組中任一向量在某一組基下的坐標是唯一確定的，但是在不同基下的坐標基下的

34、坐標是唯一確定的，但是在不同基下的坐標一般是不同的因此在處理一些問題是時，如何選一般是不同的因此在處理一些問題是時，如何選擇適當?shù)幕刮覀兯懻摰南蛄康淖鴺吮容^簡單是擇適當?shù)幕刮覀兯懻摰南蛄康淖鴺吮容^簡單是一個實際的問題一個實際的問題問題：同一向量在不同基下的坐標之間有什么關系，問題：同一向量在不同基下的坐標之間有什么關系，即隨著基的改變，向量的坐標是如何變化的？即隨著基的改變，向量的坐標是如何變化的？64第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIRV為數(shù)域為數(shù)域P上的上的 n 維線性空間，維線性空間， 為為12,n V 中的一組向量，中的一組向量， ，若，若 V1122nnxxx

35、則形式地記作則形式地記作1212(,)nnxxx 約定向量矩陣65第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR11112121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa 則形式地記作則形式地記作 V為數(shù)域為數(shù)域 P 上上 n 維線性空間，維線性空間， ；12,n 12,n 為為V中的兩組向量，若中的兩組向量，若1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 66第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR在形式書寫法下有下列運算規(guī)律在形式書寫法下有下列運算規(guī)律 121212,nnnV a aa b bbP 1111222212

36、1212(,)(,)(,)nnnnnnnabababababab 若若 12,n 線性無關，則線性無關，則 111122221212(,)(,)nnnnnnabababababab 67第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR ；為；為V中的兩組向量，中的兩組向量，12,n 12,n 矩陣矩陣 ，則，則 ,n nA BP 1212(,) )(,)()nnA BAB ； 1212(,)(,)nnAB ； 1212(,)(,)nnAA ；1122(,)nnA 若若 12,n 線性無關，則線性無關，則1212(,)(,).nnABAB 12(,)()nAB 68第一章線性空間第一章線性空

37、間Made By QQIR設設V為數(shù)域為數(shù)域P上上n維線性空間，；維線性空間，； 12,n 12,n 為為V中的兩組基，若中的兩組基，若111 12121212122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa 即，即， 69第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR則稱矩陣則稱矩陣 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 為由基為由基 到基到基 的的過渡矩陣過渡矩陣；12,n 12,n 稱稱 或或 為由基為由基 到基到基12,n 12,n 的的基變換公式基變換公式 1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnaaaaaaaaa 70第一章線性

38、空間第一章線性空間Made By QQIR 引理 設 n ,21是一組線性無關的向量，A是一個n階矩陣，令1212(,)(,)nnA 則 線性無關的充要條件是A可逆。n ,2171第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR1）過渡矩陣都是可逆矩陣；反過來，任一可逆過渡矩陣都是可逆矩陣；反過來，任一可逆矩陣都可看成是兩組基之間的過渡矩陣矩陣都可看成是兩組基之間的過渡矩陣設為設為P P上任一可逆矩陣，上任一可逆矩陣，()ijn nAa 任取任取V的一組基的一組基12,n 1212(,)(,)nnA 于是有，于是有，1,1,2,nijiiajn j j令令72第一章線性空間第一章線性空間M

39、ade By QQIR11212(,)(,)nnA 由由A可逆，有可逆，有1212,nn 與與等等價價. .即，即， 也可由也可由 線性表出線性表出. .12,n 12,n 故故 線性無關，且線性無關，且V中任一向量都可以中任一向量都可以用線性表示，從而也為用線性表示，從而也為V 的一組基的一組基. .12,n 12,n 73第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR證明：若證明：若 為為V的兩組基的兩組基, ,1212,;,nn 且由基且由基 的過渡矩陣為的過渡矩陣為A，1212,nn 到到又由基又由基 也有一個過渡矩陣也有一個過渡矩陣, ,1212,nn 到到即即1212(,)(

40、,)nnA 設為設為B，即，即1212(,)(,)nnB 2）若由基）若由基 過渡矩陣為過渡矩陣為A,1212,nn 到到基基則由基則由基 過渡矩陣為過渡矩陣為A-1.1212,nn 到到基基74第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR都是線性無關的都是線性無關的, ,1212,;,nn .ABBAE即，即，A是可逆矩陣是可逆矩陣, ,且且比較比較 、兩個等式，有、兩個等式，有 1212,nnBA 1212,nnAB 1212(,)(,)nnA 1212(,)(,)nnB 1BA 75第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR3）若由基）若由基 過渡矩陣為過渡矩陣為A,1

41、212,nn 到到基基由基由基 過渡矩陣為過渡矩陣為B，則，則1212,nn 到到基基由基由基 過渡矩陣為過渡矩陣為AB.1212,nn 到到基基1212(,)(,)nnB 1212(,)(,)nnA 事實上事實上, ,若若1212(,)(,) )nnA B 則有，則有，12(,)nAB 76第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR若兩個基滿足關系式若兩個基滿足關系式 Pnn ,2121 ,) , , ( ,),( , 121212121nTnnTnnxxxxxxV下下的的坐坐標標為為在在基基為為下下的的坐坐標標在在基基中中的的元元素素設設定定理理 二、坐標變換公式二、坐標變換公式

42、77第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR則有坐標變換公式則有坐標變換公式,2121 nnxxxPxxx.21121 nnxxxPxxx或或78第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR證明證明 nnxxx2121, ,2121nnxxx Pnn ,2121 .,21212121 nnnnxxxPxxx 79第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR. 2121 nnxxxPxxx即即. ,21121 nnxxxPxxxP所以所以可逆可逆由于矩陣由于矩陣80第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR121212103AA321321,81第一章線性空

43、間第一章線性空間Made By QQIR3127Ax 2031463312717xA 82第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR例例1.3.15、設、設 的兩組基為：的兩組基為： 2 2RI） 12341011111 1,0000101 1AAAAII）123410011111,11111001BBBB 試求：（試求：（1）由基（）由基（I）到基）到基(II)的過渡矩陣的過渡矩陣（2）求在基（）求在基（I）與基）與基(II)下有相同坐標的矩陣。下有相同坐標的矩陣。83第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR 1234111221221,A A A AEEEEC 解：解

44、： 1234111221222,B B B BEEEEC 其中其中121111101101110111,0011111000011101CC因此因此 11234123412,B B B BA A A AC C 所以由基（所以由基（I）到基）到基(II)的過渡矩陣為的過渡矩陣為 1121100100100111101CC C 84第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR0100110100011100CE 1100110100010100 1000010000010000該齊次線性方程組的通解為該齊次線性方程組的通解為 (0,0, ,0)Txk 在基（在基（I）與基）與基(II)下有

45、相同坐標的矩陣下有相同坐標的矩陣123431100010AAAkAAkAk85第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR例例1.3.16、 1234( ,)Tx xx x是是P3(t)中的多項式中的多項式f(t)在基在基232312232334( )443,( )7752 ,( )2533 ,( )3855f ttttf ttttf ttttf tttt 下的坐標下的坐標 .1234(,)Ty yyy是是P3(t)中的多項式中的多項式f(t)在基在基1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t下的坐標下的坐標 .11221233443435,2,23,58yxxyx

46、xyxxyxx 86第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR試求：（試求：（1）由基）由基 1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t到基到基1234( ),( ),( ),( )f tf tf tf t的過渡矩陣；的過渡矩陣； （2）求基）求基 1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t3）求多項式）求多項式 23( )1g tttt 在基在基 1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t下的坐標。下的坐標。 87第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR112233443500120000230058yxyxy

47、xyx 由基由基 1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t到基到基1234( ),( ),( ),( )f tf tf tf t的過渡矩陣的過渡矩陣3500120000230058C 88第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR 12341234( ),( ),( ),( )( ),( ),( ),( )f tftftftg tg tg tg tC （2）由）由可得可得 112341234( ),( ),( ),( )( ),( ),( ),( )g tg tg tg tf tftftftC 12500130000830052C 112( )2( )( )g

48、tf tft21tt 212( )5( )3( )g tf tft 31tt 334( )8( )5( )g tftft321tt434( )3( )2( )g tftft32ttt89第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR11223344( )( )( )( )( )g tx g tx g tx g tx g t(3) 設設即即2312(1)(1)x ttx tt 323234(1)()x ttx ttt321ttt 比較兩邊同次冪的系數(shù)得到：比較兩邊同次冪的系數(shù)得到： 2341341241231111xxxxxxxxxxxx 90第一章線性空間第一章線性空間Made By Q

49、QIR解得解得 12341,1,1,1xxxx 在基在基 因此，因此， ( )g t1234( ),( ),( ),( )g tg tg tg t下的下的坐標為坐標為( 1,1, 1,1)Tx 91第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR線性空間的子空間線性空間的子空間一、線性子空間一、線性子空間92第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR線性子空間的判定線性子空間的判定 ()W ，若，若W對于對于V中兩種運算封閉，即中兩種運算封閉，即 ,;WW 有有則則W是是V的一個子空間的一個子空間 證明：要證明證明：要證明W也為數(shù)域也為數(shù)域P上的線性空間，即證上的線性空間，即證

50、W中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則中的向量滿足線性空間定義中的八條規(guī)則 定理定理：設：設V為數(shù)域為數(shù)域P上的線性空間，集合上的線性空間，集合 WV ,WkPkW 有有93第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR ， . . 且對且對 ， W W W 由數(shù)乘運算由數(shù)乘運算封閉，有封閉，有 1()W ，即，即W中元素的負元素就是中元素的負元素就是它在它在V中的負元素，中的負元素，4）成立）成立就是就是V中中的零元，的零元， 3）成立）成立由于由于 WV ，規(guī)則，規(guī)則1）、）、2）、）、5）、）、6）、）、7）、）、8）是顯然成立的下證是顯然成立的下證3）、）、4）成立）成立 由加法

51、封閉，有由加法封閉，有 , ,即即W中的零元中的零元0()W 94第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR,.Wa bP abW 推論推論：V為數(shù)域為數(shù)域P上的線性空間上的線性空間, , (),WV W 則則W是是V的子空間的子空間95第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR96第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR11111212121212222ababABVabab 111211121121222122,aabbAVBVaabb111221220aaaa111221220bbbb1111121221212222()()()()0abababab111

52、2212211122122()0aaaaaaaaa aaaa1aAV 97第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR12det()det()0AA12101001AA 98第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR例例 判斷判斷Pn的下列子集合哪些是子空間：的下列子集合哪些是子空間： 11212(,)0,nniWx xxxxxxP21212(,)1,nniWx xxxxxxP3121(,0),1,2,1niWx xxxP in 若為若為Pn的子空間，求出其維數(shù)與一組基的子空間，求出其維數(shù)與一組基. .99第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR解：解：W1 、W

53、3是是Pn的子空間，的子空間， W2不是不是Pn的子空間的子空間. .事實上，事實上，W1 是是n元齊次線性方程組元齊次線性方程組的解空間的解空間. . 所以，維所以，維W1 n n1 1，的一個基礎解系，的一個基礎解系120nxxx就是就是W1 的一組基的一組基. .1(1, 1,0,0), 1(1,0,0, 1)n 2(1,0, 1,0,0), ,100第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR而在而在 W2中任取兩個向量，設中任取兩個向量，設, 1212(,),(,)nnxxxyyy 1122()()()nnxyxyxy但但是是1212()()112nnxxxyyy1122(,

54、)nnxy xyxy2,W 則則故故W2不是不是Pn的子空間的子空間. .101第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR故，故，W3為為V的一個子空間，且維的一個子空間，且維W3 n n1 1 ，1213(,0)nkkx kxkxW 1122113(,0)nnxy xyxyW則有則有 其次，其次， 3,WkP 121121(,0),(,0)nnxxxyyy 設設330(0,0,0),WW 首首先先下證下證W3是是Pn的子空間的子空間. .(0,0,1,0,0),1,2,1iiin 就是就是W3的一組基的一組基. .102第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR解解(1)

55、不構成子空間不構成子空間. 因為對因為對1000001WBA ?32為為什什么么空空間間的的下下列列子子集集是是否否構構成成子子 R;,001)1(1 RdcbdcbW., 0000)2(2 RcbacbacbaW例例有有,0000021WBA 103第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR即即 對矩陣加法不封閉，不構成子空間對矩陣加法不封閉，不構成子空間.1W,000000)2(2W 因因.2非空非空即即W對任意對任意2222111000,000WcbaBcbaA 有有, 0111 cba, 0222 cba于是于是 212121000ccbbaaBA104第一章線性空間第一章線

56、性空間Made By QQIR滿足滿足 , 0212121 ccbbaa, 2WBA 即即有有對任意對任意Rk 111000kckbkakA且且, 0111 kckbka,2WkA 即即.322的子空間的子空間是是故故 RW105第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR106第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR107第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR 12121122,VVVV 108第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR稱為稱為V的由的由 生成的子空間生成的子空間，12,r 定義定義：V為數(shù)域為數(shù)域P上的線性空間，上的線性空間， 則

57、子空間則子空間 12,rV ，1122,1,2, rriWkkkkP ir記作記作 12(,)rL 稱稱 為為 的一組的一組 生成元生成元.12,r 12(,)rL 12,mspan 或記作或記作 1212,stSpanSpan 1212,stSpan 109第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR 1212,stspan 1212,tsspan 110第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR111第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR112第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR113第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR 證明

58、：對證明：對nm作數(shù)學歸納法作數(shù)學歸納法當當nm0時，即時，即nm，定理成立定理成立12,m 就是就是V的一組基的一組基.假設當假設當nmk時結論成立時結論成立.下面我們考慮下面我們考慮 nmk1 的情形的情形必定是線性無關的必定是線性無關的121,mm 既然既然 還不是還不是V的一組基，它又是線的一組基，它又是線性無關的，那么在性無關的，那么在V中必定有一個向量不能被中必定有一個向量不能被 線性表出，把它添加進去，則線性表出，把它添加進去，則12,m 1m 12,m 114第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR因因 n( (m1) )( (nm) )1( (k1) )1k，由定

59、理由定理1.4.6 是是m1維的維的121(,)mL 可以擴充為整個空間可以擴充為整個空間V的一組基由歸納原理得證的一組基由歸納原理得證. . 由歸納假設，由歸納假設， 的基的基121(,)mL 121,mm 它擴充為它擴充為P4的一組基，其中的一組基，其中例例 求求 的維數(shù)與一組基，并把的維數(shù)與一組基，并把12345(,)L 1(1, 1,2,4), 5(2,1,5,6) 4(1, 1,2,0), 3(3,0,7,14), 2(0,3,1,2), 115第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR解：對以為列向量的矩陣解：對以為列向量的矩陣A作作12345, 初等行變換初等行變換10

60、 3121 3 01 12 1 72 542 14 06A 1 0 3120 3 3030 1 1010 2 2421 0 3120 1 1010 0 0000 0 0441 0 3 1 20 1 1 0 10 0 0 1 10 0 0 0 0B 由由B知，為知，為 的一個極大的一個極大124, 12345, 故，維故，維 3 3，12345(,)L 就是就是 的一組基的一組基.124, 12345(,)L 無關組無關組. .116第一章線性空間第一章線性空間Made By QQIR10 101 31 0.2 12 142 0 0可可逆逆10 11 31120,42 0 又又(0,0,1,0)