材料力學(xué)(II)第三章

1、材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法第第 3 章章 能量方法能量方法 3-1 外力功與桿件的應(yīng)變能外力功與桿件的應(yīng)變能3-2 卡氏定理卡氏定理 3-3 莫爾定理（單位力法）莫爾定理（單位力法）3-4 余能與余能定理余能與余能定理3-5 用能量法解超靜定系統(tǒng)用能量法解超靜定系統(tǒng)材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法3-1 外力功與桿件的應(yīng)變能外力功與桿件的應(yīng)變能 構(gòu)件在外力作用下將發(fā)生變形，其各點(diǎn)也將產(chǎn)生位移。在構(gòu)件在外力作用下將發(fā)生變形，其各點(diǎn)也將產(chǎn)生位移。在外力作用點(diǎn)處產(chǎn)生的沿外力作用方向的位移，稱為外力作用點(diǎn)處產(chǎn)生的沿外力作用方向的位移，稱為相應(yīng)位移相應(yīng)位移，外力在其相應(yīng)位移上所做的

2、功稱為外力在其相應(yīng)位移上所做的功稱為外力功外力功。桿件因彈性變形而。桿件因彈性變形而貯存的能量稱為貯存的能量稱為應(yīng)變能應(yīng)變能，也稱為，也稱為變形能變形能。WV 根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)外力由零開始緩慢增加時(shí)，構(gòu)件始根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)外力由零開始緩慢增加時(shí)，構(gòu)件始終處于平衡狀態(tài)，動(dòng)能的變化及其他能量的損失可以忽略，此終處于平衡狀態(tài)，動(dòng)能的變化及其他能量的損失可以忽略，此時(shí)時(shí)功能原理功能原理成立：成立：材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法(a) 軸向拉（壓）桿軸向拉（壓）桿22N2221llEAEAlFlFWV2pp2p2ee22221 lGIGIlTGIlMMWV (b) 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)(c) 彎曲

3、彎曲純彎曲純彎曲 EIlMEIlMMWV222122ee xEIxMVld2)(02 橫力彎曲橫力彎曲材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫成可以把應(yīng)變能統(tǒng)一寫成FWV21 式中，式中，F(xiàn) 為廣義力，可以代表一個(gè)力，一個(gè)力偶，為廣義力，可以代表一個(gè)力，一個(gè)力偶，一對(duì)力或一對(duì)力偶等。一對(duì)力或一對(duì)力偶等。 為廣義位移，可以代表一為廣義位移，可以代表一個(gè)線位移，一個(gè)角位移，一對(duì)線位移或一對(duì)角位移個(gè)線位移，一個(gè)角位移，一對(duì)線位移或一對(duì)角位移等。等。材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法iininnFFFFWV 1221121212121), 2 , 1(ni Fi 為廣義力，為

4、廣義力， i 為為Fi 的作用點(diǎn)沿的作用點(diǎn)沿Fi 方向的廣義方向的廣義位移，它是由所有廣義力共同產(chǎn)生的。位移，它是由所有廣義力共同產(chǎn)生的。 有有 n 個(gè)廣義力同時(shí)作用時(shí)個(gè)廣義力同時(shí)作用時(shí)材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）組合變形（用內(nèi)力形式表示的應(yīng)變能）小變形時(shí)不計(jì)小變形時(shí)不計(jì)FS 產(chǎn)生的應(yīng)變能，產(chǎn)生的應(yīng)變能，M(x) 只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角d FN (x) 只產(chǎn)生軸向線位移只產(chǎn)生軸向線位移d T(x) 只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角d 桿的應(yīng)變能為桿的應(yīng)變能為 llllEIxxMGIxxTEAxxFVV2d)(2d)(2d)(d2p22N材料力學(xué)材料力

5、學(xué)(II)能能 量量 法法(a) 由于應(yīng)變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次齊次式，由于應(yīng)變能是外力（內(nèi)力）或位移的二次齊次式，所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生所以產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能，不等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。的應(yīng)變能，不等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。小變形時(shí)，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生小變形時(shí)，產(chǎn)生不同變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。的應(yīng)變能等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和。應(yīng)變能的特點(diǎn)應(yīng)變能的特點(diǎn):(b) 應(yīng)變能的大小與加載順序無(wú)關(guān)（能量守恒）應(yīng)變能的大小與加載順序無(wú)關(guān)（能量守恒）

6、(c) 應(yīng)變能恒為正值應(yīng)變能恒為正值材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法EAaFEAbaFV22)(2221 EAaFFEAbFV2)(222121 EAF2F1ab例例)()()(e21MVFVFVV F1F2Me材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法解解:（1）計(jì)算梁的應(yīng)變能）計(jì)算梁的應(yīng)變能(x軸從軸從A向左向左)2222 3ee0( )2622lFM lM lMxF lVdxEIEIEIEI e22 3e,F,M62M lF lVVVEIEI 產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能，不等于各力單獨(dú)產(chǎn)生同一種基本變形形式的一組外力在桿內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變能，不等于各力單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)

7、生的應(yīng)變能之和作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)變能之和！例：懸臂梁承受集中力與集中力偶作用，計(jì)算外力所做例：懸臂梁承受集中力與集中力偶作用，計(jì)算外力所做之總功。彎曲剛度為之總功。彎曲剛度為EI。FMeAMeFxxM )(材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法功能原理的適用范圍：功能原理的適用范圍：當(dāng)桿件上只作用一個(gè)集中荷載，當(dāng)桿件上只作用一個(gè)集中荷載，且所求位移就是該荷載作用點(diǎn)處的相應(yīng)位移時(shí)，方可且所求位移就是該荷載作用點(diǎn)處的相應(yīng)位移時(shí)，方可利用功能原理直接求解。利用功能原理直接求解。若桿件上作用多個(gè)荷載，或若桿件上作用多個(gè)荷載，或者雖只有一個(gè)荷載，但是是分布荷載，再或者只有一者雖只有一個(gè)荷載，但是是分布荷載

8、，再或者只有一個(gè)集中荷載，但所求位移并不是該荷載作用點(diǎn)處的相個(gè)集中荷載，但所求位移并不是該荷載作用點(diǎn)處的相應(yīng)位移時(shí)，就不能利用功能原理直接求解。應(yīng)位移時(shí)，就不能利用功能原理直接求解。材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法CBlx2x1FAl例例: 試計(jì)算圖示水平面內(nèi)直角剛架的應(yīng)變能以及自由端的試計(jì)算圖示水平面內(nèi)直角剛架的應(yīng)變能以及自由端的撓度。剛架截面為圓形，直徑為撓度。剛架截面為圓形，直徑為 d，材料彈性模量和剪切模，材料彈性模量和剪切模量分別為量分別為E和和G。解：對(duì)于圖示剛架，彎矩和扭矩解：對(duì)于圖示剛架，彎矩和扭矩方程分別為：方程分別為：AB段：段：11)(FxxM EIlFdxEIF

9、xdxEIxMVll62)(2)(3210211121 材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法BC段：段：FlTFxxM 22)(2Vdd 2222lp22l220p2 32 3pM (x )T lx +2EI2GI(-Fx )(-Fl) lx +2EI2GIF lF l6EI2GIBlx2x1FAl材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法2 32 32 312p2 32 3pF lF lF lV =V +V=+6EI6EI2GIF lF l=+3EI2GI 2 32 3ApF lF l1+=Fw3EI2GI2 V V33Ap2FlFlw =+3EIGIBlx2x1FAl材料力學(xué)材料力學(xué)(I

10、I)能能 量量 法法 圖示梁的材料為非線性彈性體，圖示梁的材料為非線性彈性體，F(xiàn)i 為廣義力，為廣義力， i為廣義位移。各力同時(shí)作用在梁上，并按同一為廣義位移。各力同時(shí)作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值（簡(jiǎn)單加載）。比例由零逐漸增加到最終值（簡(jiǎn)單加載）。. 卡氏第一定理卡氏第一定理3-2 卡氏定理卡氏定理材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 它說(shuō)明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上與某一它說(shuō)明，彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于結(jié)構(gòu)上與某一荷載相應(yīng)的位移之變化率，等于該荷載的值。在推導(dǎo)荷載相應(yīng)的位移之變化率，等于該荷載的值。在推導(dǎo)中并沒(méi)有涉及到梁的具體性質(zhì)，故上式適用于一切受中并沒(méi)有涉及到梁的具

11、體性質(zhì)，故上式適用于一切受力狀態(tài)的彈性體。力狀態(tài)的彈性體。iiVF 卡氏第一定理卡氏第一定理適用于線彈性體和非線性彈性體適用于線彈性體和非線性彈性體材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法卡氏第二定理卡氏第二定理iiFV 僅適用于線彈性體僅適用于線彈性體 它表明，線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于作用其上它表明，線彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對(duì)于作用其上的某一荷載的變化率，等于與該荷載相應(yīng)的位移。的某一荷載的變化率，等于與該荷載相應(yīng)的位移。它將是研究的重點(diǎn)。它將是研究的重點(diǎn)。材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法彎曲狀態(tài)下，卡氏第二定理可寫作：彎曲狀態(tài)下，卡氏第二定理可寫作：xFxMEIxMliid)()(0

12、如果在欲求廣義位移的點(diǎn)處，沒(méi)有與之相對(duì)應(yīng)如果在欲求廣義位移的點(diǎn)處，沒(méi)有與之相對(duì)應(yīng)的廣義力作用時(shí)，則需在該點(diǎn)處虛設(shè)一個(gè)與所求位的廣義力作用時(shí)，則需在該點(diǎn)處虛設(shè)一個(gè)與所求位移相應(yīng)的作用力移相應(yīng)的作用力Fi，然后列出包括，然后列出包括Fi在內(nèi)的所有外力在內(nèi)的所有外力作用下的彎矩方程，將彎矩方程對(duì)虛設(shè)力作用下的彎矩方程，將彎矩方程對(duì)虛設(shè)力Fi求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)后，再令后，再令Fi為零，一起代入上式計(jì)算。為零，一起代入上式計(jì)算。用該式計(jì)算時(shí)，可減少計(jì)算工作量。用該式計(jì)算時(shí)，可減少計(jì)算工作量。材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法軸向拉伸（壓縮）狀態(tài)下，卡氏第二定理可寫作：軸向拉伸（壓縮）狀態(tài)下，卡氏第二定理

13、可寫作： liixFxFEAxF0NNd)()(扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下，卡氏第二定理可寫作：扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下，卡氏第二定理可寫作：xFxTGIxTliid)()(0p 材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法組合變形（不計(jì)剪力的影響）時(shí)組合變形（不計(jì)剪力的影響）時(shí) lililiixFxFEAxFxFxTGIxTxFxMEIxM0NN0p0d)()(d)()(d)()(材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法解：解： ,MxMxFxxF 301d3 lAFlwFxxxEIEI 例：例： 用卡氏定理求用卡氏定理求A點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度AwFAlxdxEIxMVl 022)( 結(jié)果為正，位移方向與集中力結(jié)果為正，位移方向與集

14、中力的指向相同的指向相同材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 例：用卡氏定理求圖示梁自由端轉(zhuǎn)角，例：用卡氏定理求圖示梁自由端轉(zhuǎn)角， 。FqqlF 221)(qxFxmxM 1)( mxMEIqldxqxFxEIdxmxMEIxMll32)1()21(1)()(302max mm解：在自由端附加一逆時(shí)針?lè)较虻募辛ε?結(jié)果為正，轉(zhuǎn)角方向與集中力偶結(jié)果為正，轉(zhuǎn)角方向與集中力偶的轉(zhuǎn)向相同的轉(zhuǎn)向相同材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 圖圖a所示剛架各桿的彎曲剛度均為所示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪，不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求力和軸力對(duì)位移的影響。試用卡氏第二定理求

15、A截面的鉛垂位移截面的鉛垂位移 Ay。 (a)FABll / 2l / 2FCD(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2例例 題題 3-10材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 由于剛架上由于剛架上 A、C 截面的外力均為截面的外力均為F，求，求A截面截面的鉛垂位移時(shí)，應(yīng)將的鉛垂位移時(shí)，應(yīng)將A處的力處的力F 和和C處的力處的力F區(qū)別開區(qū)別開(圖圖b)，在應(yīng)用卡氏第二定理后，令，在應(yīng)用卡氏第二定理后，令FA=F。FFAAyAFV 即即解解:1. 分析分析(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法AB 段段 M (x)=FA xxFxMA )(

16、lFyMA )(1 BC 段段 M (y1)=FA l2. 求求 Ay(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2CD 段段 M (y2)=FA l F y2lFyMA )(2材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法令以上各彎矩方程中的令以上各彎矩方程中的FA=F，由卡氏第二定，由卡氏第二定理得理得d)(dd12/022202/0122 lllAyylyFlFylFxFxEI EIFl24353(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 圖示各桿的直徑均為圖示各桿的直徑均為d，材料的彈性常數(shù)，材料的彈性常數(shù)G=0.4E。試用卡氏第二定理求。試用卡氏

17、第二定理求 A 端的鉛垂位移端的鉛垂位移 Az（不計(jì)剪力對(duì)位移的影響）。（不計(jì)剪力對(duì)位移的影響）。FylCBAlxxyzO例例 題題 3-11材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法解解:1. 分段列彎矩方程及扭矩方程，并分別對(duì)力分段列彎矩方程及扭矩方程，并分別對(duì)力F求求偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)AB段的彎矩方程及其對(duì)段的彎矩方程及其對(duì)F 的偏導(dǎo)數(shù)分別為的偏導(dǎo)數(shù)分別為FxxM )(xFxM )(（0 x l）（0y l）FyyM )(yFyM )(FlyT )(lFyT )( BC段的彎矩和扭矩方程及其對(duì)段的彎矩和扭矩方程及其對(duì)F 的偏導(dǎo)數(shù)分別為的偏導(dǎo)數(shù)分別為例例 題題 3-11材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能

18、 量量 法法 A 端的鉛垂位移為端的鉛垂位移為 lllAzyFlGIyFyxFxEI02p0022d1dd1EIFlEIFlGIFlEIFl8 . 0323233p33 EIFl12233 433368dEFl2. 求求 Az例例 題題 3-11材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法3-3 莫爾定理（單位力法）莫爾定理（單位力法） 回顧求桿或桿系軸線上一點(diǎn)位移的計(jì)算方法回顧求桿或桿系軸線上一點(diǎn)位移的計(jì)算方法 直接計(jì)算法直接計(jì)算法 ( (畫變形圖、積分法等畫變形圖、積分法等) ) 利用功能原理利用功能原理 VW 利用卡氏定理利用卡氏定理iiFV 不適宜解決復(fù)雜問(wèn)題不適宜解決復(fù)雜問(wèn)題只能求解作用

19、有單個(gè)廣義力時(shí)，該廣義力的相應(yīng)位移只能求解作用有單個(gè)廣義力時(shí)，該廣義力的相應(yīng)位移只適用于線彈性體只適用于線彈性體單位力法單位力法：更一般的方法，應(yīng)用更廣泛，更方便。更一般的方法，應(yīng)用更廣泛，更方便。材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 若要確定在荷載作用下桿件上某一截面沿某一指若要確定在荷載作用下桿件上某一截面沿某一指定方向的實(shí)際位移定方向的實(shí)際位移 ，可在該處施加一個(gè)相應(yīng)的單位，可在該處施加一個(gè)相應(yīng)的單位力，并以此作為單位荷載。即以虛設(shè)單位力作為荷載。力，并以此作為單位荷載。即以虛設(shè)單位力作為荷載。由單位力引起的內(nèi)力記為由單位力引起的內(nèi)力記為 。N NMM( (x x) ) , ,F F

20、( (x x) ) , ,T T( (x x) ) lllGIxxTxTEAxxFxFEIxxMxMpNNd)()(d)()(d)()( 對(duì)于組合變形桿件，略去剪力對(duì)變形的影響，對(duì)于組合變形桿件，略去剪力對(duì)變形的影響，莫爾定理（單位力法）莫爾定理（單位力法）的一般表達(dá)式為：的一般表達(dá)式為：由實(shí)際荷載引起的內(nèi)力記為由實(shí)際荷載引起的內(nèi)力記為 。)(),(),(xTxFxMN材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法彎曲變形：彎曲變形： lEIxxMxMd)()( lEAxxFxFd)()(NN lGIxxTxTpd)()(軸向拉伸（壓縮）變形：軸向拉伸（壓縮）變形：扭轉(zhuǎn)變形：扭轉(zhuǎn)變形：材料力學(xué)材料力

21、學(xué)(II)能能 量量 法法 圖示梁受均布荷載圖示梁受均布荷載q的作用，梁的彎曲剛度為的作用，梁的彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。試用單位力法求梁，不計(jì)剪力對(duì)位移的影響。試用單位力法求梁跨截面的撓度跨截面的撓度wC和和 A。例例 題題 3-17材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 在在C 截面處施加單位力（圖截面處施加單位力（圖 b），由荷載及），由荷載及單位力引起的彎矩方程分別為單位力引起的彎矩方程分別為222)(xqxqlxM (0 x l ) (a)xxM21)( (0 x l / 2) (b)解解:1. 求求wC材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法因?yàn)橐驗(yàn)?均關(guān)于均關(guān)于C

22、截面對(duì)稱，故截面對(duì)稱，故C 截面的截面的撓度為撓度為)()(xMxM、xxxqxqlEIxxMxMEIwllCd21)22(2d)()(22/022/0 EIql38454（和單位力方向一致）（和單位力方向一致）材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法A截面處的轉(zhuǎn)角為截面處的轉(zhuǎn)角為 在在 A 截面處加單位力偶（圖截面處加單位力偶（圖c），單位力偶），單位力偶引起的彎矩方程為引起的彎矩方程為11)( xlxM(0 x l ) (c)2. 求求 AxxlxqxqlEIxxMxMEIllAd)11)(22(1d)()(1020 EIql243 （ ）（和單位力偶的轉(zhuǎn)向相反）（和單位力偶的轉(zhuǎn)向相反）材

23、料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 例：用莫爾定理求圖示梁自由端轉(zhuǎn)角，例：用莫爾定理求圖示梁自由端轉(zhuǎn)角， 。FqqlF 221)(qxFxxM EIqldxqxFxEIdxxMEIxMll32)1()21(1)()(302max 解：在自由端附加一逆時(shí)針?lè)较虻膯挝患辛ε冀猓涸谧杂啥烁郊右荒鏁r(shí)針?lè)较虻膯挝患辛ε冀Y(jié)果為正，轉(zhuǎn)角方向與集中力偶結(jié)果為正，轉(zhuǎn)角方向與集中力偶的轉(zhuǎn)向相同的轉(zhuǎn)向相同11)( xMl材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法3-4 余能與余能定理余能與余能定理 對(duì)于一般的彈性體（比如非對(duì)于一般的彈性體（比如非線性彈性體），應(yīng)變能在數(shù)值上線性彈性體），應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力

24、功，即等于外力功，即V =W ，但必須，但必須注意注意F- 以及以及s s- 的非線性關(guān)系，的非線性關(guān)系，不能再用線彈性體的公式計(jì)算外不能再用線彈性體的公式計(jì)算外力功。力功。1.軸向拉伸（壓縮）應(yīng)變能為軸向拉伸（壓縮）應(yīng)變能為 10dFWV （F- 曲線和曲線和 軸之間的面積）軸之間的面積）材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法因?yàn)橐驗(yàn)镕- ，為非線性關(guān)系，上，為非線性關(guān)系，上 式積分后得不到式積分后得不到1/2的系數(shù)，只能根據(jù)的系數(shù)，只能根據(jù)F=f( ) 的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行積分。的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行積分。 式中，式中，Me為扭轉(zhuǎn)力偶矩，為扭轉(zhuǎn)力偶矩， 為扭轉(zhuǎn)角。為扭轉(zhuǎn)角。注意：注意：2. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)

25、d10e MWV應(yīng)變能應(yīng)變能3. 梁梁 d10e MWV應(yīng)變能應(yīng)變能式中，式中， Me為外力偶矩，為外力偶矩， 為彎曲轉(zhuǎn)角。為彎曲轉(zhuǎn)角。材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法余能余能 圖圖 a為非線性體彈性體為非線性體彈性體的受拉桿，其的受拉桿，其F - 如圖如圖b所示。所示。(1) 余功的定義為余功的定義為FWFd10c 材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法其大小為曲面其大小為曲面OF1a的面積如圖的面積如圖d所示。所示。Wc 和外力功和外力功W 具有相同的量綱，且具有相同的量綱，且Wc 為矩形為矩形OF1aD1 的面積與曲的面積與曲面面OaD1 的面積（的面積（W）之差（圖）之差（圖

26、d）,故稱故稱Wc 為余功。為余功。Wc只有幾何圖形上的意義，無(wú)物理概念，即沒(méi)有什只有幾何圖形上的意義，無(wú)物理概念，即沒(méi)有什么力作的功為么力作的功為Wc 。FF1WcaW 1 o(d)材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法VcV F1 F 1 a(e)o(3) 線彈性體線彈性體(圖圖e) V 和和 Vc 數(shù)值相等，但概數(shù)值相等，但概念和計(jì)算方法不同，即念和計(jì)算方法不同，即 V = f ( )，Vc = f (F )。仿照仿照V =W，余能為，余能為FWVFd10cc (2) 余能余能材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 圖示為非線性彈性桿，圖示為非線性彈性桿，F(xiàn)i為廣義力，為廣義力， i

27、為廣義位為廣義位移。各力按簡(jiǎn)單加載方式移。各力按簡(jiǎn)單加載方式作用在梁上。設(shè)加載過(guò)程中各位移和相應(yīng)力的瞬時(shí)作用在梁上。設(shè)加載過(guò)程中各位移和相應(yīng)力的瞬時(shí)值分別為值分別為d di、 fi。梁的余能為梁的余能為),(21cniFFFFfV 表明表明(4) 余能定理余能定理iniFifWVid10cc d d材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法上式稱為上式稱為余能定理余能定理?？捎糜谇蠼夥蔷€性彈性結(jié)構(gòu)與?？捎糜谇蠼夥蔷€性彈性結(jié)構(gòu)與Fi相應(yīng)的位移。相應(yīng)的位移。iiFV c可推導(dǎo)出可推導(dǎo)出材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法卡氏第一定理和余能定理的比較卡氏第一定理和余能定理的比較 余能定理余能定理

28、卡氏第一定理卡氏第一定理iiFWddc iiFFVVddcc iiFWdd iiVVdd iiVF (平衡方程平衡方程)iiFV c(變形的幾何關(guān)系變形的幾何關(guān)系)適用于非線性和線性彈適用于非線性和線性彈性體性體適用于非線性和線性彈適用于非線性和線性彈性體性體材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法 當(dāng)結(jié)構(gòu)為線彈性體時(shí)，由于力當(dāng)結(jié)構(gòu)為線彈性體時(shí)，由于力F和位移和位移D成正比，成正比，Vc在數(shù)值上等于應(yīng)變能在數(shù)值上等于應(yīng)變能V （如圖）。（如圖）。余能定理可改寫成余能定理可改寫成iiFV 即即卡氏第二定理卡氏第二定理，它是余能定理在線彈性情況下的特，它是余能定理在線彈性情況下的特殊情況。僅適用于

29、線彈性體。殊情況。僅適用于線彈性體。VcF1F 1 a(e) OV材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法3-5 用能量法解超靜定系統(tǒng)用能量法解超靜定系統(tǒng) 設(shè)某一設(shè)某一n次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉n個(gè)多余約束，代之個(gè)多余約束，代之以以n個(gè)多余約束反力個(gè)多余約束反力X1、X2Xn，得到內(nèi)力、變形與，得到內(nèi)力、變形與原結(jié)構(gòu)相同的靜定結(jié)構(gòu)體系。對(duì)于該靜定體系，可以原結(jié)構(gòu)相同的靜定結(jié)構(gòu)體系。對(duì)于該靜定體系，可以用荷載及多余約束反力表示其內(nèi)力，進(jìn)而求得用荷載用荷載及多余約束反力表示其內(nèi)力，進(jìn)而求得用荷載和多余約束反力表示的應(yīng)變能。在一般情況下，各多和多余約束反力表示的應(yīng)變能。在一般情況下，各多余約束反力處的相應(yīng)位移等于零，于是有變形協(xié)調(diào)條余約束反力處的相應(yīng)位移等于零，于是有變形協(xié)調(diào)條件：件： ，從而可解出各未知力。，從而可解出各未知力。 0 iiFV 材料力學(xué)材料力學(xué)(II)能能 量量 法法例：一次超靜定梁如圖所示，梁的彎曲剛度為例：一次超靜定梁如圖所示，梁的彎曲剛度為EI。試作其內(nèi)力圖。試作其內(nèi)力圖。解解:(1)用卡氏第二定理求解。用卡氏第二定理求解。將將B支座的約束解除，代之以支座的約束解除，代之以多余未知力多余未知力X1，得到超靜定的，得到超