第三講相對運(yùn)動

1、11-6 1-6 相對運(yùn)動相對運(yùn)動運(yùn)動具有相對性，與參照系選取有關(guān)。運(yùn)動具有相對性，與參照系選取有關(guān)。以站臺為參照系以站臺為參照系以汽車為參照系以汽車為參照系一、相對運(yùn)動的表達(dá)式一、相對運(yùn)動的表達(dá)式在不同參照系中，描述質(zhì)點運(yùn)動的物理量在不同參照系中，描述質(zhì)點運(yùn)動的物理量 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。( , , )r v a 2質(zhì)點質(zhì)點P在在S和和S 系中的位矢關(guān)系：系中的位矢關(guān)系：1. 1. 伽利略坐標(biāo)變換（位矢之間的關(guān)系）伽利略坐標(biāo)變換（位矢之間的關(guān)系）絕對位矢絕對位矢相對位矢相對位矢牽連位矢牽連位矢2. 2. 速度變換關(guān)系速度變換關(guān)系一般設(shè)一般設(shè)S為靜止（相對于地球）參照系。為靜止（相對于地球

2、）參照系。rrRdrdrdRdtdtdt :R :rr r RroozxyzxySSP3當(dāng)當(dāng)S 系相對于系相對于S系勻速運(yùn)動，即系勻速運(yùn)動，即 則則 絕對速度絕對速度= =相對速度相對速度+ +牽連速度牽連速度3. 3.加速度變換關(guān)系加速度變換關(guān)系力學(xué)（伽利略）相對性原理力學(xué)（伽利略）相對性原理 在彼此作勻速直線運(yùn)動的所有慣性參照系中，物在彼此作勻速直線運(yùn)動的所有慣性參照系中，物體的加速度相等，因而各種力學(xué)規(guī)律相同。體的加速度相等，因而各種力學(xué)規(guī)律相同。絕對加速度絕對加速度= =相對加速度相對加速度+ +牽連加速度牽連加速度drdrdRdtdtdtvvv絕絕對對相相對對牽牽連連222222d

3、rd rd Rdtdtdtaaa絕絕對對相相對對牽牽連連0,a牽牽連連aa絕絕對對相相對對 r RroozxyzxySSP4例：例：雨滴以速率雨滴以速率v 落到靜止的車窗玻璃上時，方向豎落到靜止的車窗玻璃上時，方向豎直向下。問當(dāng)車相對于地面以速率直向下。問當(dāng)車相對于地面以速率v0向西行使時，車向西行使時，車上的人觀測到的雨的速度。上的人觀測到的雨的速度。解：解：所求：所求：根據(jù)題意得已知條件根據(jù)題意得已知條件矢量圖矢量圖vvv雨雨地地絕絕對對0vvv車車地地牽牽連連vvv雨雨車車相相對對v雨雨地地vv車車地地0vv雨雨車車vv雨雨車車v雨雨地地v車車地地5vvv絕絕對對相相對對牽牽連連vvv雨

4、雨車車雨雨地地車車地地22220=vvvvv雨雨車車雨雨地地車車地地0arctan(/)=arctan(/ )vvvv車車地地雨雨地地v雨雨地地vv車車地地0vv雨雨車車vv雨雨車車v雨雨地地v車車地地6第一章第一章綜綜 合合 例例 題題7例：例：一作高速直線運(yùn)動的快艇，關(guān)閉發(fā)動機(jī)后其所受一作高速直線運(yùn)動的快艇，關(guān)閉發(fā)動機(jī)后其所受阻力加速度為阻力加速度為 a = -kv2。求此后快艇的速率。求此后快艇的速率v與行駛距與行駛距離離x之間的之間的關(guān)系（關(guān)系（以關(guān)閉發(fā)動機(jī)時為計時起點）。以關(guān)閉發(fā)動機(jī)時為計時起點）。解：解：設(shè)設(shè)解出解出, 由由分離變量積分分離變量積分, 聯(lián)立聯(lián)立00:0,txvv2d

5、vakvdt 020vtvdvkdtv011ktvv001vdxvv ktdt00001xtvdxdtv kt0ln(1)v ktxk01kxetkv011ktvv0kxvv e8另一解法另一解法由于只需求由于只需求 v 與與 x 的關(guān)系，因此可以作如下變換：的關(guān)系，因此可以作如下變換：分離變量并積分分離變量并積分得出得出即即 dvdv dxadtdx dt dvvdx2kv 2 dvvkvdx 00vxvdvkdxv 0lnvkxv 0 kxvv e9例：例：如圖，固定于如圖，固定于o點、擺長為點、擺長為 l 的單擺作自由擺動。的單擺作自由擺動。 設(shè)初始時擺球處于水平位置的設(shè)初始時擺球處于水

6、平位置的A點，求擺動時小球的速點，求擺動時小球的速率率 v 與擺角與擺角 的關(guān)系。的關(guān)系。解解：小球擺動的切向加速度：小球擺動的切向加速度同時：同時：分離變量積分分離變量積分dvdv dsdvvdvavdtds dtdsldcosag cosvdvgld00cosvvdvgld 2sin2vlgs 2invgl00,0tv, sldsldAgaloS10例：例：飛輪繞固定軸飛輪繞固定軸o 轉(zhuǎn)動，其輪沿上任一點的加速度轉(zhuǎn)動，其輪沿上任一點的加速度與輪半徑的交角恒為與輪半徑的交角恒為60 。求飛輪的轉(zhuǎn)動方程和角速。求飛輪的轉(zhuǎn)動方程和角速度度 與轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)角 之間的關(guān)系。設(shè)之間的關(guān)系。設(shè)解：解：根據(jù)定

7、義，總加速度與切線正向的夾角根據(jù)定義，總加速度與切線正向的夾角00:0,ttannaa21tan1503rr 23 23ddt 0203tddt 0013t003 1ddtt000013tddtt01ln 133toRva6011兩式消去兩式消去 t 得：得：解法解法2 2：再由再由求求同時同時, ,01ln 133t0013t30e23 dddddtddtd3dd 30e30dedt( ) t12兩邊積分兩邊積分例：例：如圖，一物體以初速度如圖，一物體以初速度v0沿與沿與x軸成軸成 的角度拋出。的角度拋出。求物體求物體的運(yùn)動方程、速度和運(yùn)動軌跡。的運(yùn)動方程、速度和運(yùn)動軌跡。解：解：得得即即0

8、0000 , cossin, rvvivjagj dvadvadtdt00vtvdvadt0vvat0vvat00cos(sin) vvivgt jxoyg0vxy13分量式分量式聯(lián)立兩坐標(biāo)分量式，消去聯(lián)立兩坐標(biāo)分量式，消去t 得軌跡方程：得軌跡方程：拋物線拋物線得運(yùn)動方程得運(yùn)動方程drvdrvdt d t00rtdrvdt0000cos(sin) ttrvdtvivgt j dt200cos(sin)2grv tiv ttj200cos sin2gxv tyv tt2220 tan2cosgxyxv14例：例：長為長為 l 的細(xì)桿的細(xì)桿 AB，A端靠在水平面上，端靠在水平面上，B端靠在豎端靠

9、在豎直墻壁上，現(xiàn)令直墻壁上，現(xiàn)令 A 端以恒定速率端以恒定速率vA= u沿水平方向運(yùn)動沿水平方向運(yùn)動,求任一時刻桿上距求任一時刻桿上距 A 端為端為 b的一點的一點 M 的速度和加速度。的速度和加速度。解：解：如圖，如圖，又因又因()sin ,cosMMxlbybMMMdxdyvijdtdt()cossindlbibjdtsin , AAdxxludtco sAdxdludtdtlbMBAyMyxMxoAvui15加速度加速度cosdludts codudtl()cossinMdvlbibjdt()tanulb ibjl21cosMMdvubdajdtldt 223cosu bjl lbMBA

10、yMyxMxoAvuixoyD16例：例：懸掛的燈籠中部有一小孔。若燈籠以勻角速懸掛的燈籠中部有一小孔。若燈籠以勻角速 旋旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)，求由小孔投射到旁邊墻面上的光點的運(yùn)動速度和加速求由小孔投射到旁邊墻面上的光點的運(yùn)動速度和加速度矢量。度矢量。設(shè)燈籠到墻面的垂直距離為設(shè)燈籠到墻面的垂直距離為D。解：解：設(shè)設(shè)t時刻光點落在時刻光點落在P點，則點，則其位矢與其位矢與y軸的夾角軸的夾角 。t由圖得：由圖得：tanrDjDti2secdrvDtidt222sectandvaDttidtPr17(1)(1) 若要從若要從o點到達(dá)正對岸的點到達(dá)正對岸的a點，則劃行方向如何？點，則劃行方向如何？需要多少時間？需

11、要多少時間？(2)(2) 若要用最短的時間過河，則劃行方向如何？船到達(dá)若要用最短的時間過河，則劃行方向如何？船到達(dá)對岸的位置在何處？對岸的位置在何處？例：例：設(shè)人相對于水的劃船速度大小為設(shè)人相對于水的劃船速度大小為v ，現(xiàn)要橫渡一，現(xiàn)要橫渡一寬為寬為D、水流速度為、水流速度為v0的大河，問：的大河，問：( (設(shè)設(shè) ) ) 01.5km, 0.8m/s, 1.2m/sDvvDaxoy0vDxoy0v18解：解：(1)(1)設(shè)河岸和流水分別為靜止和運(yùn)動參考系，則設(shè)河岸和流水分別為靜止和運(yùn)動參考系，則船的絕對速度船的絕對速度根據(jù)題意，根據(jù)題意，0vvv0sinxyvvvv00.82cos1.23vv

12、48.2vv0vxyvva19所需時間所需時間合成速度合成速度25sin1cos3yvvvvv15001677(s)28minsin1.25 /3yDDtvvDxoy0vvv0vxyvva20(2)(2)：根據(jù)根據(jù)(1)(1)的推導(dǎo)，到達(dá)對岸的時間的推導(dǎo)，到達(dá)對岸的時間當(dāng)當(dāng) =90=90 ，所需時間為最短，即，所需時間為最短，即vv0vxyvyvx0vsinyDDtvvmin15001250(s)21min1.2yDDtvvDxoy0vvva21設(shè)此時船到達(dá)河對岸的設(shè)此時船到達(dá)河對岸的b點，利用幾何關(guān)系：點，利用幾何關(guān)系：或者：或者：00.8tan1.51(km)1.2vabDDv0minxDvabvtvDvv0 0vvv0vbDxoya22例例2 2：斜面斜面A置于光滑水平面上，小物塊置于光滑水平面上，小物塊B沿斜面下滑。沿斜面下滑。設(shè)某時刻設(shè)某時刻B 對對A的速率為的速率為vr，A對平面的速率為對平面的速率為v0，方，方向如圖，求向如圖，求 此時此時B對平面的速度。對平面的速度。解法解法1 1：用向量疊加法用向量疊加法( (設(shè)設(shè) ) )05 3m/s, 2m/s, 30rvv22002cosrrvvvv v22(5 3)225 32cos307(m/s)0vrvAB0rvvvyxArvv0vB23由圖有：由圖有：所以，所以，v與水