第07章 應(yīng)力與應(yīng)變分析(20151版)

1、材料力學(xué)材料力學(xué)第七章第七章 應(yīng)力與應(yīng)變分析應(yīng)力與應(yīng)變分析7.1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析7.3 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力7.4 任意點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換任意點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)變分量的坐標(biāo)變換* *7.5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析7.6 廣義胡克定律廣義胡克定律7.7 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變比能第七章第七章 應(yīng)力與應(yīng)變分析應(yīng)力與應(yīng)變分析7.1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、概述一、概述二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)三、應(yīng)力狀態(tài)的表示方法三、應(yīng)力狀態(tài)的表示方法四、應(yīng)力狀態(tài)的分類四、應(yīng)力狀態(tài)

2、的分類五、應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例五、應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)前面討論了：前面討論了： 桿件在四種基本變形情況下桿件在四種基本變形情況下橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力 并根據(jù)并根據(jù)橫截面上的最大應(yīng)力橫截面上的最大應(yīng)力建立了強(qiáng)度條件建立了強(qiáng)度條件例如：例如：一、概述一、概述7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1. .軸向拉伸軸向拉伸( (壓縮壓縮) )|maxNmax AF2. .剪切剪切0 4. .彎曲彎曲|maxmax zWM0 |pmaxmax WT|*maxmaxQmax bISFzz3. .扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)QQ AF0 7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 鑄鐵在拉伸

3、時(shí)鑄鐵在拉伸時(shí) 低碳鋼在扭轉(zhuǎn)時(shí)低碳鋼在扭轉(zhuǎn)時(shí) 按照上述強(qiáng)度條件，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)認(rèn)為：按照上述強(qiáng)度條件，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)認(rèn)為：實(shí)際上，有實(shí)際上，有一些桿件是沿橫截面破壞的一些桿件是沿橫截面破壞的例如：例如：桿件是桿件是沿橫截面破壞沿橫截面破壞的的7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 按照上述強(qiáng)度條件，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)認(rèn)為：按照上述強(qiáng)度條件，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)認(rèn)為： 而另而另一些桿件是沿斜截面破壞的一些桿件是沿斜截面破壞的例如：例如： 鑄鐵在壓縮時(shí)鑄鐵在壓縮時(shí) 鑄鐵在扭轉(zhuǎn)時(shí)鑄鐵在扭轉(zhuǎn)時(shí)前面建立的強(qiáng)度條件不能解釋構(gòu)件前面建立的強(qiáng)度條件不能解釋構(gòu)件沿斜截面破壞沿斜截面破壞的原因的原因因此，針對(duì)這些桿件因此，針對(duì)這

4、些桿件需要建立需要建立新的新的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件實(shí)際上，有實(shí)際上，有一些桿件是沿橫截面破壞的一些桿件是沿橫截面破壞的桿件是桿件是沿橫截面破壞沿橫截面破壞的的7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)梁在彎曲變形時(shí)，橫截面上的應(yīng)力為：梁在彎曲變形時(shí)，橫截面上的應(yīng)力為：不同點(diǎn)的應(yīng)力情況是不一樣的不同點(diǎn)的應(yīng)力情況是不一樣的.CABFbISFzzBB*Q zBBBIyM zAAWM 0 C 0 A AFCCQ23 二、二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)上述表明：上述表明：7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)桿在軸向拉伸時(shí)，斜截面上的應(yīng)力為：桿在軸向拉伸時(shí)，斜截面上的應(yīng)力為： 2cos12)( .mm F

5、 2sin2 不同斜截面上的應(yīng)力情況也是不一樣的不同斜截面上的應(yīng)力情況也是不一樣的.FFmm 任意兩個(gè)斜截面上的應(yīng)力有必然的聯(lián)系任意兩個(gè)斜截面上的應(yīng)力有必然的聯(lián)系二、二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)上述表明：上述表明：7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)： 受力桿件內(nèi)的一點(diǎn)在受力桿件內(nèi)的一點(diǎn)在各個(gè)截面各個(gè)截面上的應(yīng)力狀況的集合上的應(yīng)力狀況的集合稱為稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 例如例如：在軸向拉伸：在軸向拉伸( (壓縮壓縮) )時(shí)時(shí) 2cos12)( 2sin2 由于鑄鐵的抗切能力較弱由于鑄鐵的抗切能力較弱 0max 245max 鑄鐵在軸向壓縮時(shí)的破壞實(shí)

6、際上是由鑄鐵在軸向壓縮時(shí)的破壞實(shí)際上是由 max引起的引起的.FF max7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 單元體單元體 邊長(zhǎng)為無窮小的邊長(zhǎng)為無窮小的長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體單元體的特點(diǎn)：?jiǎn)卧w的特點(diǎn)： 1. .邊長(zhǎng)無窮小，相鄰面垂直，相對(duì)面平行；邊長(zhǎng)無窮小，相鄰面垂直，相對(duì)面平行； 2. .各面上的應(yīng)力均勻分布；各面上的應(yīng)力均勻分布； 3. .相平行面上的應(yīng)力相等。相平行面上的應(yīng)力相等。三、三、應(yīng)力狀態(tài)的表示方法應(yīng)力狀態(tài)的表示方法7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)FF 圍繞該點(diǎn)截取一單元體，并標(biāo)出各面上的應(yīng)力。圍繞該點(diǎn)截取一單元體，并標(biāo)出各面上的應(yīng)力。AF 表示方法：表示方法：7. .1

7、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài).CABF AAzAAWM AFCCQ23 bISFzzBB*Q zBBBIyM BBB CC 圍繞該點(diǎn)截取一單元體，并標(biāo)出各面上的應(yīng)力圍繞該點(diǎn)截取一單元體，并標(biāo)出各面上的應(yīng)力表示方法：表示方法：7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 主平面主平面 主應(yīng)力主應(yīng)力.CABF 圍繞該點(diǎn)截取一單元體，并標(biāo)出各面上的應(yīng)力圍繞該點(diǎn)截取一單元體，并標(biāo)出各面上的應(yīng)力表示方法：表示方法： AA BBB CC切應(yīng)力為零的平面切應(yīng)力為零的平面主平面上的正應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以證明：可以證明： 受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)可以找到三個(gè)相互垂直的主平面受力構(gòu)

8、件內(nèi)任一點(diǎn)可以找到三個(gè)相互垂直的主平面即：即：受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)有三個(gè)主應(yīng)力受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)有三個(gè)主應(yīng)力主單元體主單元體規(guī)定：規(guī)定：主應(yīng)力主應(yīng)力按按代數(shù)值代數(shù)值大小排列成大小排列成 321 AA受主應(yīng)力作用的單元體受主應(yīng)力作用的單元體7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 1 3 2單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài) 有有 二個(gè)主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)二個(gè)主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài) 三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)四、四、應(yīng)力狀態(tài)的分類應(yīng)力狀態(tài)的分類7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力

9、狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)空間應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 四、四、應(yīng)力狀態(tài)的分類應(yīng)力狀態(tài)的分類7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1. .單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài).FFA0 ,321 A FA 軸向拉伸桿件內(nèi)的任一點(diǎn)軸向拉伸桿件內(nèi)的任一點(diǎn)五、五、應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 鍋爐或薄壁圓筒鍋爐或薄壁圓筒( (tD) )壓力容器壁上的任一點(diǎn)壓力容器壁上的任一點(diǎn).ptDmmnbnDtpA .ptDnn FpF NNFA 軸向應(yīng)

10、力：軸向應(yīng)力： AF 2N AF 環(huán)向應(yīng)力：環(huán)向應(yīng)力：1 2 0 3 4 tpD 2 tpD 4 2 DtDp 2 btbDp2. .二向二向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)7. .1 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 在滾珠軸承中，滾珠與外圈接觸點(diǎn)在滾珠軸承中，滾珠與外圈接觸點(diǎn) AA外圈外圈滾珠滾珠FA 1 1 3 2 2 33. .三向三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)第七章第七章 應(yīng)力與應(yīng)變分析應(yīng)力與應(yīng)變分析7.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、概述一、概述二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、

11、概述.CABF一、概述一、概述 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)是是工程中工程中常見常見的應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力狀態(tài)，例如：，例如： 1. .平面彎曲的梁平面彎曲的梁 BBB7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)是是工程中工程中常見常見的應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力狀態(tài)，例如：，例如： 2. .受內(nèi)受內(nèi)壓作用的薄壁圓筒壓作用的薄壁圓筒一、概述一、概述 1. .平面彎曲的梁平面彎曲的梁.ptDA A 7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)是是工程中工程中常見常見的應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力狀態(tài)，例如：，例如： 2. .受內(nèi)受內(nèi)壓作用的薄壁圓筒壓作用的薄壁圓筒一、概述一、概述

12、 3. .扭轉(zhuǎn)的軸扭轉(zhuǎn)的軸A BC D M eMeABCD 1. .平面彎曲的梁平面彎曲的梁7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析 xxy yz xy yx y x xy yx二、二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法 xxy x y y xy xy yx yx平面應(yīng)力狀態(tài)通常用平面圖形表示平面應(yīng)力狀態(tài)通常用平面圖形表示7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析規(guī)定：規(guī)定： 正應(yīng)力正應(yīng)力拉為正拉為正 壓為負(fù)壓為負(fù) 切應(yīng)力繞研究體切應(yīng)力繞研究體順時(shí)針轉(zhuǎn)為正順時(shí)針轉(zhuǎn)為正 xxy x y y xy xy yx yx 逆時(shí)針轉(zhuǎn)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)負(fù) 切應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)表示作用面切應(yīng)力的

13、第一個(gè)下標(biāo)表示作用面 第二個(gè)下標(biāo)表示第二個(gè)下標(biāo)表示方向方向二、二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法 x面面與與x軸垂直的面軸垂直的面 y面面與與y軸垂直的面軸垂直的面7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析規(guī)定：規(guī)定： 用用截面法截面法求斜截面求斜截面be上的應(yīng)力上的應(yīng)力 以以 x 軸軸逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 x 軸時(shí)為軸時(shí)為 + + xxy x y y xy xy yx yxabcde xy1. .任一斜截面上的應(yīng)力任一斜截面上的應(yīng)力7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析:0 xF:0 yF x x y xy xy yxabe xydAAxd coscosd)(Ax

14、sincosd)(Axy sinsind)(Ay cossind)(Ayx 0 Ayxd sincosd)(Ax coscosd)(Axy cossind)(Ay sinsind)(Ayx 0 規(guī)定：規(guī)定： 用用截面法截面法求斜截面求斜截面be上的應(yīng)力上的應(yīng)力 以以 x 軸軸逆時(shí)針逆時(shí)針轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 x 軸時(shí)為軸時(shí)為 + +1. .任一斜截面上的應(yīng)力任一斜截面上的應(yīng)力7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析即即斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力為為 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx x x y xy xy yxabe xydA7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀

15、態(tài)分析即即斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力為為 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx x x y xy xy yx xy y yx7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析即即斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力為為 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx yxyx 結(jié)論結(jié)論1 任意相互垂直平面上的正應(yīng)力之和為常量任意相互垂直平面上的正應(yīng)力之和為常量90 xy 2sin2cos22xyyxyx x x y xy yx xy y xy yx7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法02 yx( (1) )正應(yīng)力發(fā)生

16、極值的方向正應(yīng)力發(fā)生極值的方向 002cos2sin22dd0 xyyxx令令 22tan 0yxxy 得到得到 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 2. .極值正應(yīng)力與主平面極值正應(yīng)力與主平面0 7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析 22tan 0yxxy ( (2) )主平面的方位主平面的方位00 yx結(jié)論結(jié)論2 主應(yīng)力就是極值正應(yīng)力主應(yīng)力就是極值正應(yīng)力 90 00 ，結(jié)論結(jié)論3 主應(yīng)力主應(yīng)力( (即主平面即主平面) )是是相互垂直的相互垂直的 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx ( (1) )正應(yīng)力發(fā)生極值的方向

17、正應(yīng)力發(fā)生極值的方向2. .極值正極值正應(yīng)力與主平面應(yīng)力與主平面7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析( (3) )極值正應(yīng)力的大小極值正應(yīng)力的大小 22tan 0yxxy xy xy xyxy22 0220222sin)()(xyyxxy 22022cos)()(xyyxyx 22 22minmaxxyyxyx 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 2. .極值正應(yīng)力與主平面極值正應(yīng)力與主平面7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析( (4) )極值正應(yīng)力與主平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系極值正應(yīng)力與主平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系 22tan 0yxxy max作用在作用在 xy

18、向主平面法線方向投影向主平面法線方向投影為拉伸為拉伸的那個(gè)主平面上的那個(gè)主平面上 xxy x y y xy xy yx yx 0 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 2. .極值正應(yīng)力與主平面極值正應(yīng)力與主平面 max max min min 22 22minmaxxyyxyx ( (3) )極值正應(yīng)力的大小極值正應(yīng)力的大小7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析( (1) )切應(yīng)力發(fā)生極值的方向切應(yīng)力發(fā)生極值的方向 22tan 0yxxy 02sin22cosdd111 xyyxyx)(令令得到得到 22tan 1xyyx 2cos2sin2 2sin2

19、cos22 xyyxyxxyyxyxx 3. .極值切應(yīng)力極值切應(yīng)力7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析 22tan 0yxxy ( (2) )極值切應(yīng)力的大小極值切應(yīng)力的大小 22tan 1xyyx 4501 2 22minmaxxyyx 2 minmaxminmax 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 3. .極值切應(yīng)力極值切應(yīng)力 22 22minmaxxyyxyx 12tan2tan 10 ( (1) )切應(yīng)力發(fā)生極值的方向切應(yīng)力發(fā)生極值的方向7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析xxyxyyxyxyyxyxmaxmaxminmin0 2c

20、os2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 3. .極值切應(yīng)力極值切應(yīng)力 22tan 0yxxy maxminminmax 22tan 1xyyx 2 22minmaxxyyx 4501 2 minmaxminmax 7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析解：解： 時(shí)的破壞原因。時(shí)的破壞原因。.MeMe試樣內(nèi)任一點(diǎn)處于試樣內(nèi)任一點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)0 yx yxxyxy 純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)peIM 例例1 討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試樣受扭討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試樣受扭取單元體取單元體單元體只受切應(yīng)力作用的應(yīng)力狀態(tài)單元

21、體只受切應(yīng)力作用的應(yīng)力狀態(tài)7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析解：解： 時(shí)的破壞原因。時(shí)的破壞原因。.MeMe試樣內(nèi)任一點(diǎn)處于試樣內(nèi)任一點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)0 yx yxxy22minmax22xyyxyx xy 102 3 純剪切應(yīng)力狀態(tài)為二向應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)為二向應(yīng)力狀態(tài)yxxy 22tan0450 鑄鐵試樣受扭時(shí)的破壞是由拉應(yīng)力所致，且由外向內(nèi)逐漸破壞鑄鐵試樣受扭時(shí)的破壞是由拉應(yīng)力所致，且由外向內(nèi)逐漸破壞45 1 1 3 3peIM 例例1 討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試樣受扭討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試樣受扭取單元體取單元體7. .2 平面

22、應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析由由有有 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 222222xyyxyxyxx 圓的方程圓的方程圓心為圓心為 0 ,2yx 222xyyx 半徑為半徑為的圓的圓應(yīng)力圓應(yīng)力圓莫爾圓莫爾圓應(yīng)力圓上的點(diǎn)與單元體斜截面上的應(yīng)力一一對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上的點(diǎn)與單元體斜截面上的應(yīng)力一一對(duì)應(yīng)1. .原理原理三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析2. .應(yīng)力圓的畫法應(yīng)力圓的畫法( (1) )選取平面直角坐標(biāo)系選取平面直角坐標(biāo)系 ；( (2) )按比例標(biāo)出按比例標(biāo)出D1( ( x, , xy) )和和

23、D2( ( y, , yx) )兩點(diǎn)；兩點(diǎn)；( (3) )用直線連接用直線連接D1和和D2兩點(diǎn)，交兩點(diǎn)，交 軸于軸于C點(diǎn)；點(diǎn)；( (4) )以以C為圓心，以為圓心，以CD1或或CD2為半徑畫圓，即得應(yīng)力圓為半徑畫圓，即得應(yīng)力圓 xxy x y y xy xy yx yx OD x xy1 y yxD2C7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析證明證明：由此畫出的圓為應(yīng)力圓由此畫出的圓為應(yīng)力圓圓心：圓心：半徑半徑：BCOB 2yxy 2yx 0 C 222BDBC 222xyyx OC C R2CD OD x xy1 y yxD2CBA xxy x y y xy xy yx yx7. .2

24、平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析3. .應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系( (1) )利用利用應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力 x y xy yx BD2ACO1D 將半徑將半徑CD1逆時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2 角角E OF CFOC )( 22cos0 CEOC)( 2sin2sin2cos2cos001 CDOC 2sin2cos1ADCAOC 2sin2cos22xyyxyx x EF 07. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析3. .應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系( (1) )利用利用應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)

25、力應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力 將半徑將半徑CD1逆時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2 角角xE E EF )( 22sin0 CE)( 2cos2sin2sin2cos001 CD 2cos2sin1ADCA 2cos2sin2xyyx yx x y xy yx BD2ACO1D EF 07. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析3. .應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系( (1) )利用利用應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力 將半徑將半徑CD1逆時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2 角角yxE 注意注意：?jiǎn)卧w上逆時(shí)針轉(zhuǎn)單元體上逆時(shí)針轉(zhuǎn) 應(yīng)力圓上逆時(shí)針轉(zhuǎn)應(yīng)力圓上逆

26、時(shí)針轉(zhuǎn)2 xE xxy x y y xy xy yx yxabcde xy x xy x y xy yx BD2ACO1D EF 07. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析( (2) )利用應(yīng)力圓確定主應(yīng)力與主平面利用應(yīng)力圓確定主應(yīng)力與主平面 x y xy yx max minBD2A1B1A0COD11maxA 1CAOC 1CDOC 2222xyyxyx 1minB CBOC1 1CDOC 2222xyyxyx 3. .應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系( (1) )利用利用應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力 EF7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)

27、分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析( (2) )利用利用應(yīng)力圓確定主應(yīng)力與主平面應(yīng)力圓確定主應(yīng)力與主平面CAAD102tan 2yxxy yxxy 2 xxy x y y xy xy yx yx max max min min 03. .應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系( (1) )利用利用應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力 x y xy yx max minBD2A1B1A0COD1 EF7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析( (2) )利用利用應(yīng)力圓確定主應(yīng)力與主平面應(yīng)力圓確定主應(yīng)力與主平面( (3) )利用利用應(yīng)力圓確定極值應(yīng)力圓確定極值切切應(yīng)

28、力及其作用面應(yīng)力及其作用面1maxG 2minG CD 222xyyx 2minmax 21yxGOC 3. .應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓與單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系( (1) )利用利用應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力圓確定單元體任一斜截面上的應(yīng)力G1G2 x y xy yx max minBD2A1B1A0COD1 EF7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析例例2 試用解析法和圖解法求梁在橫力彎曲時(shí)任一點(diǎn)的試用解析法和圖解法求梁在橫力彎曲時(shí)任一點(diǎn)的解：解： 主應(yīng)力和主平面方位主應(yīng)力和主平面方位1. .取單元體取單元體.CBDAExy2. .求主應(yīng)力和主平面的方位求主應(yīng)力和主平面的方位

29、zxIMy bISFzzxy*Q ( (1) )解析法解析法 minmax 極值應(yīng)力：極值應(yīng)力：223122xyxx 02 2x 02tan 主應(yīng)力：主應(yīng)力：222xyx 主平面：主平面：xxy 2 Dx x xy xy xy xy 0 1 1 3 3( (取取D點(diǎn)點(diǎn)) )7. .2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析( (2) )圖解法圖解法223122xyxx 02 02tan xxy 2 主應(yīng)力：主應(yīng)力：主平面：主平面：畫應(yīng)力圓畫應(yīng)力圓 O D1xyxA1B1C 1 3 0.CBDAExy D2xy例例2 試用解析法和圖解法求梁在橫力彎曲時(shí)任一點(diǎn)的試用解析法和圖解法求梁在橫力彎曲時(shí)任一點(diǎn)的

30、解：解： 主應(yīng)力和主平面方位主應(yīng)力和主平面方位1. .取單元體取單元體2. .求主應(yīng)力和主平面的方位求主應(yīng)力和主平面的方位 Dx x xy xy xy xy 0 1 1 3 3第七章第七章 應(yīng)力與應(yīng)變分析應(yīng)力與應(yīng)變分析7.3 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力一、應(yīng)力圓一、應(yīng)力圓二、最大切應(yīng)力二、最大切應(yīng)力7. .3 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力已知已知 1、 2、 3 與與 3的主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力僅與的主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力僅與 1和和 2有關(guān)有關(guān) 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 與與 1的主平面垂直的斜截面上的應(yīng)

31、力僅與的主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力僅與 2和和 3有關(guān)有關(guān) 與與 2的主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力僅與的主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力僅與 3和和 1有關(guān)有關(guān) A1O 2 1C1 3B1C一、應(yīng)力圓一、應(yīng)力圓7. .3 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力研究表明：研究表明： 任意斜截面任意斜截面abc上的應(yīng)力必位于上的應(yīng)力必位于以以上述三個(gè)應(yīng)力圓上述三個(gè)應(yīng)力圓 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 為為邊界邊界所圍成的區(qū)域內(nèi)所圍成的區(qū)域內(nèi) A1O 2 1C1 3B1Cabc一、應(yīng)力圓一、應(yīng)力圓7. .3 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力研究表明

32、：研究表明： 3A1B1CO 2 1C1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3abc 1 2 3 3 D 任意斜截面任意斜截面abc上的應(yīng)力必位于上的應(yīng)力必位于以以上述三個(gè)應(yīng)力圓上述三個(gè)應(yīng)力圓為為邊界邊界所圍成的區(qū)域內(nèi)所圍成的區(qū)域內(nèi)一、應(yīng)力圓一、應(yīng)力圓7. .3 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力由應(yīng)力圓可知：由應(yīng)力圓可知：B max1max 3min 2 31max 1 3 max45 1 1 2 2 3 345 3A1B1CO 2 1C1D二、最大切應(yīng)力二、最大切應(yīng)力7. .3 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力注意區(qū)別：注意區(qū)別： 2 31max 1

33、 3 max45 1 1 2 2 3 345 2 minmaxmax 一點(diǎn)的最大切應(yīng)力一點(diǎn)的最大切應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)中的極值切應(yīng)力平面應(yīng)力狀態(tài)中的極值切應(yīng)力 3A1B1CO 2 1C1DB max二、最大切應(yīng)力二、最大切應(yīng)力7. .3 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力5020MPa3040 minmax 1 2 3 2 31max 22402203022030 )()(MPa 2 .422 .52 22 .422 .52)( MPa 2 .47 MPa 2 .52 MPa 50 MPa 2 .42 解：解：5020MPa3040 主應(yīng)力：主應(yīng)力：最大切應(yīng)力：最大切應(yīng)力：( (a)

34、 )對(duì)對(duì)( (b) )：( (b) )( (c) )對(duì)對(duì)( (a) )：例例3 試求圖示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。試求圖示一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。第七章第七章 應(yīng)力與應(yīng)變分析應(yīng)力與應(yīng)變分析7.5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析一、應(yīng)變狀態(tài)的概念一、應(yīng)變狀態(tài)的概念二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法三、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的圖解法三、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的圖解法四、主應(yīng)變四、主應(yīng)變五、極值切應(yīng)變五、極值切應(yīng)變六、由一點(diǎn)的任意三個(gè)方向線應(yīng)變求主應(yīng)變六、由一點(diǎn)的任意三個(gè)方向線應(yīng)變求主應(yīng)變7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析一、平面應(yīng)變的概念一、平面應(yīng)變的概念一

35、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài) 平面應(yīng)變狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài)實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析方法：實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析方法：平面內(nèi)的應(yīng)變狀態(tài)平面內(nèi)的應(yīng)變狀態(tài)( (1) ) 用電阻應(yīng)變計(jì)測(cè)出構(gòu)件表面某點(diǎn)幾個(gè)方向的線應(yīng)變用電阻應(yīng)變計(jì)測(cè)出構(gòu)件表面某點(diǎn)幾個(gè)方向的線應(yīng)變( (2) ) 對(duì)對(duì)該點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)變狀態(tài)分析該點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)變狀態(tài)分析( (3) ) 根據(jù)胡克定律求出該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)根據(jù)胡克定律求出該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)情況情況的的集合集合受力受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)沿沿各個(gè)方向應(yīng)變各個(gè)方向應(yīng)變 構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)變僅發(fā)生在同一構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)變僅發(fā)生在同一( (注意：注意：這里是指這里是指平面應(yīng)力狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的平面應(yīng)變狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的平面應(yīng)變狀態(tài)) )7

36、. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析一、平面應(yīng)變的概念一、平面應(yīng)變的概念規(guī)定：規(guī)定： 正應(yīng)變正應(yīng)變( (線應(yīng)變線應(yīng)變) )：伸長(zhǎng)為正，伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)縮短為負(fù) 切應(yīng)變切應(yīng)變( (角應(yīng)變角應(yīng)變) )：使直角增大為正，使直角增大為正，減小為負(fù)減小為負(fù)7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析分析內(nèi)容：分析內(nèi)容： 已知：已知：O點(diǎn)的點(diǎn)的 x、 y、 xy 求：求：O點(diǎn)的點(diǎn)的 x 、 y 、 x y 2. .圖圖解法解法分析方法：分析方法：規(guī)定：規(guī)定： 逆時(shí)針為正逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。順時(shí)針為負(fù)。 1. .解析法解析法xy dxdyOyx7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析二、平面

37、應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法應(yīng)用疊加原理應(yīng)用疊加原理1. .線應(yīng)變線應(yīng)變 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds cosddxsx )( sindyy sindxxy cossinsincos22xyyx 2sin22cos22xyyxyxx ssxdd) )( ( sinddsinddcosddsxsysxxyyx 7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds

38、 yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 2sin22cos22xyyxyx yxyx y 90 x應(yīng)用疊加原理應(yīng)用疊加原理 2sin22cos22xyyxyxx 7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法2. .切應(yīng)變切應(yīng)變 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 1 2 3321 xsxsysxxyyxdcosddcosddsind )( 2cos122sin2 x

39、yyx x軸的轉(zhuǎn)角軸的轉(zhuǎn)角( (順時(shí)針方向順時(shí)針方向) )應(yīng)用疊加原理應(yīng)用疊加原理7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 1 2 3)( 2cos122sin2 xyyxx y )( 2cos122sin2 xyyxyxyx 2cos2sinxyyxyx )(2. .切應(yīng)變切應(yīng)變 y軸的轉(zhuǎn)角軸的轉(zhuǎn)角( (順時(shí)針方向順時(shí)針方向) )90 x應(yīng)用疊加原理應(yīng)用疊加原理xy軸夾角的增量軸夾角的

40、增量7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法 xxy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 1 2 3)( 2cos122sin2 xyyxx y )( 2cos122sin2 xyyx 2cos2sinxyyxyx )(2. .切應(yīng)變切應(yīng)變 y軸的轉(zhuǎn)角軸的轉(zhuǎn)角( (順時(shí)針方向順時(shí)針方向) )yxyx 90應(yīng)用疊加原理應(yīng)用疊加原理7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法二、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法 x

41、xy dxdyOyxdx xdx cos ds yxy dxdyOyxdy ydy sin ds xyxy dxdyOyx xydx sin ds 1 2 3)( 2cos122sin2 xyyxx y )( 2cos122sin2 xyyx 2cos22sin22xyyxyx 2. .切應(yīng)變切應(yīng)變 y軸的轉(zhuǎn)角軸的轉(zhuǎn)角( (順時(shí)針方向順時(shí)針方向) )yxyx 90應(yīng)用疊加原理應(yīng)用疊加原理7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析即：即： 方向的方向的應(yīng)變應(yīng)變?yōu)闉?截面截面上上的的應(yīng)力應(yīng)力為為 2cos2 2sin2 2 2sin22cos22 xyyxyxxyyxyxx 2cos2sin2

42、2sin2cos22 xyyxyxxyyxyxx 可見：可見： 27. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析三、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的圖解法三、平面應(yīng)變狀態(tài)分析的圖解法xyO11 選取平面直角坐標(biāo)系選取平面直角坐標(biāo)系2 O2 max2 xy2 xD1D2 xy2 yC maxA1B min1 0應(yīng)變圓應(yīng)變圓 xy xy x y7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析四、極值線應(yīng)變四、極值線應(yīng)變( (主應(yīng)變主應(yīng)變) )主應(yīng)變主應(yīng)變這兩個(gè)垂直方向的線應(yīng)變這兩個(gè)垂直方向的線應(yīng)變由應(yīng)變圓可知：由應(yīng)變圓可知：一點(diǎn)某兩個(gè)垂直方向之間的夾角改變?yōu)榱銜r(shí)一點(diǎn)某兩個(gè)垂直方向之間的夾角改變?yōu)榱銜r(shí) 一點(diǎn)的一點(diǎn)的極值

43、線應(yīng)變極值線應(yīng)變即為一點(diǎn)的即為一點(diǎn)的主應(yīng)變主應(yīng)變7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析四、極值線應(yīng)變四、極值線應(yīng)變( (主應(yīng)變主應(yīng)變) ) max max D2COAB22 xy2 xy2 min y x 011ABD1極值線應(yīng)變的大?。簶O值線應(yīng)變的大?。?2minmax222 xyyxyx 222tan0yxxy 極值線應(yīng)變的方向：極值線應(yīng)變的方向：主應(yīng)變的方向是相互垂直的主應(yīng)變的方向是相互垂直的對(duì)于對(duì)于各向同性材料各向同性材料，主應(yīng)變的方向與主應(yīng)力的方向相同，主應(yīng)變的方向與主應(yīng)力的方向相同yxxy 7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析五、五、極值極值切應(yīng)變切應(yīng)變極值切應(yīng)變的大

44、小：極值切應(yīng)變的大?。簶O值切應(yīng)變的方向：極值切應(yīng)變的方向：222minmaxminmax )(minmaxminmax 與主應(yīng)變方向成與主應(yīng)變方向成452222 xyyx 22)()(xyyx max max D2COAB22 xy2 xy2 min y x 011ABD17. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析六、由任意三個(gè)方向線應(yīng)變求主應(yīng)變六、由任意三個(gè)方向線應(yīng)變求主應(yīng)變 方向的應(yīng)變?yōu)榉较虻膽?yīng)變?yōu)榧矗杭矗阂稽c(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可由一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可由 x、 y、 xy( (或或 max、 min、 0) ) 三個(gè)量三個(gè)量描述描述 2cos2 2sin2 2 22sin22cos22xyyxyxx

45、yyxyxx xy dxdyOyx7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析六、由任意三個(gè)方向線應(yīng)變求主應(yīng)變六、由任意三個(gè)方向線應(yīng)變求主應(yīng)變 在實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析中，通常測(cè)出構(gòu)件表面某點(diǎn)沿三個(gè)在實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析中，通常測(cè)出構(gòu)件表面某點(diǎn)沿三個(gè)先確定出先確定出 x、 y、 xy ，再求出該點(diǎn)的主應(yīng)變及其方向，再求出該點(diǎn)的主應(yīng)變及其方向不同方向的線應(yīng)變不同方向的線應(yīng)變xy 3 1 2312112sin22cos221 xyyxyx 222sin22cos222 xyyxyx 332sin22cos223 xyyxyx 7. .5 平面應(yīng)變狀態(tài)分析平面應(yīng)變狀態(tài)分析六、由任意三個(gè)方向線應(yīng)變求主應(yīng)變六、由任意三個(gè)

46、方向線應(yīng)變求主應(yīng)變 在實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析中，通常測(cè)出構(gòu)件表面某點(diǎn)沿三個(gè)在實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析中，通常測(cè)出構(gòu)件表面某點(diǎn)沿三個(gè)例如：例如：直角應(yīng)變花直角應(yīng)變花不同方向的線應(yīng)變不同方向的線應(yīng)變xy45450 x90 y459002 xy( ( 1 = 0 ， 2 = 45 ， 3 = 90 ) ) 2sin22cos22xyyxyx 第七章第七章 應(yīng)力與應(yīng)變分析應(yīng)力與應(yīng)變分析7. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律一、廣義胡克定律一、廣義胡克定律二、二、E、 、G 之間的關(guān)系之間的關(guān)系三、體積應(yīng)變?nèi)Ⅲw積應(yīng)變7. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律一、廣義胡克定律一、廣義胡克定律1. .單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)或或 E

47、E G G E 2. .純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)或或. . 7. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律3. .復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)( (1) )主應(yīng)力情況主應(yīng)力情況 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 11E E12 E13 E21 E22 E23 E31 E32 E33 1 EEE321 EEE3122 EEE2133 111 7. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律3. .復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)( (1) )主應(yīng)力情況主應(yīng)力情況 1 1 2 3 3 2)()()(213313223211111 EEE 1 EEE321 EEE3122 EEE2133 7. .6 廣義胡克定律廣

48、義胡克定律3. .復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)( (1) )主應(yīng)力情況主應(yīng)力情況 1 1 2 3 3 2用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示的用主應(yīng)力和主應(yīng)變表示的廣義胡克定律廣義胡克定律)()()(213313223211111 EEE7. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律3. .復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)( (2) )一般應(yīng)力情況一般應(yīng)力情況 xxy y z xz zx zyz xy yx yz 對(duì)于對(duì)于各向同性材料各向同性材料： 線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān) 切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)廣義胡克定律廣義胡克定律 1)(zyxxE 1)(xzyyE 1)(yxzzE Gxyxy Gyzyz

49、 Gzxzx 7. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律3. .復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)0 zxyzz 平面應(yīng)變狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài)0 zxyzz xxy y z xz zx zyz xy yx yz( (3) )兩種平面狀態(tài)兩種平面狀態(tài)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)7. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律3. .復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)：對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)： xxy x y y xy xy yx yx0 zxyzz GEEExyxyyxzxyyyxx )()()(11xyxyxyyyxxGEE )()(2211或或7. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律二、二、E、 、G 之間的關(guān)系之間的關(guān)

50、系對(duì)于對(duì)于純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)：一方面：一方面：xy Axy xy xy xy0 yx Gxyxy 0012sin22cos22 xyyxyx xyG 21 ( (a) )另一方面：另一方面：xy 102 xy 3)(32111 ExyE 1( (b) )由由( (a) )和和( (b) )： 12 )( EG45 1 1 1 3 37. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律三、三、體積應(yīng)變體積應(yīng)變體積應(yīng)變體積應(yīng)變變形后：變形后： 1xy 2 3zdxdydzxxxddd1 xxd1d1)( yyd1d2)( zzd1d3)( zyxV ddd變形前：變形前：zyxVddd zyxddd111321)()( 單位體積的體積改變單位體積的體積改變V)()(321111 7. .6 廣義胡克定律廣義胡克定律略去高階微量后略去高階微量后VV 1321)( 體積應(yīng)變體積應(yīng)變321 VVV 三、三、體積應(yīng)變體積