第一章數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)概率統(tǒng)計(jì)隨機(jī)事件及其概率

1、教材：教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)吳贛昌主編中國(guó)人民大學(xué)出版社 2007參考書：參考書：1.1.普通統(tǒng)計(jì)學(xué)北京大學(xué) 謝衷杰 著北京大學(xué)出版社2. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)茆詩(shī)松 等 編著高等教育出版社3. 趣話概率安鴻志 著科學(xué)出版社答疑地點(diǎn)：文清樓305教室答疑時(shí)間：周二和周三第5大節(jié)概率論是研究什么的？ ？ 這這60元賭注該如何分給元賭注該如何分給2人，才人，才算算公平公平初看覺(jué)得應(yīng)按2：1分配，即甲得40元，乙得20元 。正確的分法應(yīng)考慮到如在這基礎(chǔ)上繼續(xù)賭下去，甲、 乙最終獲勝的機(jī)會(huì)如何，至多再賭2局即可分出勝負(fù) 。2局有4種可能結(jié)果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。前3種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情

2、況才是乙取勝，二者之比為3：1，故賭注的公平分配應(yīng)按3：1的比例，即甲得45元，乙15元。 惠更斯、巴斯卡、費(fèi)馬等人，對(duì)這類賭情問(wèn)題進(jìn)行了許多研究?；莞沟囊槐局髟L(zhǎng)期在歐洲作為概率論的教科書，這些研究使原始的概率和有關(guān)概念得到發(fā)展和深化。 伯努利的著作推測(cè)術(shù)（1713）： 伯努利大數(shù)定律。 概率論雖發(fā)端于賭博，但很快在現(xiàn)實(shí)生活中找到多方面的應(yīng)用，首先是在人口、保險(xiǎn)精算等方面。l1662年，格郎特年，格郎特(John Graunt) 世界上第一張生命表世界上第一張生命表l1693年，哈雷年，哈雷(Edmund Halley) 世界上第一張完整的生命表世界上第一張完整的生命表 分析概率論：分析

3、概率論：1812年，年，法法國(guó)國(guó) 大數(shù)學(xué)家拉普拉斯。大數(shù)學(xué)家拉普拉斯。頻率穩(wěn)定性 ，數(shù)據(jù)糾錯(cuò)、生命表。 20世紀(jì)以前統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要成果，是19世紀(jì)后期由英國(guó)遺傳學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓發(fā)起，并經(jīng)現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基人之一K皮爾遜和其他一些英國(guó)學(xué)者所發(fā)展的統(tǒng)計(jì)相關(guān)與回歸理論統(tǒng)計(jì)相關(guān)與回歸理論。20世紀(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)：起主要作用的是幾位大師級(jí)的人物，特別是英國(guó)的費(fèi)歇爾，K皮爾遜，發(fā)展統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)理論的奈曼與E皮爾遜和提出統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)理論的瓦爾德等。我國(guó)已故著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家許寶（19101970）在這項(xiàng)工作中也卓有建樹。 1. 騙人游戲: 4種顏色的球各5個(gè) (王蒙自述:我的人生哲學(xué)) 5500：大獎(jiǎng) 3322：

4、罰 5 元 5410：二等獎(jiǎng) 4321（3331）：罰2元 2. 美國(guó)總統(tǒng)選舉 1936年：羅斯福對(duì)決蘭登 （62% :32%） The Literary Digest:1000萬(wàn)份問(wèn)卷調(diào)查，預(yù)測(cè)：57%（蘭）：43%（羅） 3. 挑戰(zhàn)者號(hào)航天飛機(jī)爆炸: 1986.1.28 火箭推進(jìn)器的密封圈破裂 （35 華氏度） 4. 金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)投資: 金融風(fēng)險(xiǎn)： 如何度量風(fēng)險(xiǎn)？ 投資組合：如何選擇最優(yōu)投資組合？ 5. 紅學(xué)研究： 前80回與后40回有無(wú)顯著差別？ 紅樓夢(mèng)中有無(wú)暗罵雍正皇帝？ 37-41回（5萬(wàn)字）：8.20-8.25 大觀園盛大活動(dòng)：吟詩(shī)，盛宴。 （8.23凌晨，雍正死亡）第一章第一章

5、 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 概率的定義概率的定義 古典概率，幾何概率，條件概率古典概率，幾何概率，條件概率 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性第一節(jié)第一節(jié): :隨機(jī)事件隨機(jī)事件一. 隨機(jī)試驗(yàn) 必然現(xiàn)象: 在一定的條件下必然發(fā)生或不發(fā)生 隨機(jī)現(xiàn)象:在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生 隨機(jī)試驗(yàn): 1. 可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； 2. 可能結(jié)果不止一個(gè),但預(yù)先能確定所有的 可能結(jié)果; 3. 一次試驗(yàn)之前無(wú)法確定具體是哪種結(jié)果 出現(xiàn)。 E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3: 觀察新生嬰兒的性別;E4: 擲一

6、顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E6: 在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命;E7: 任選一人，記錄他的身高和體重 。隨機(jī)實(shí)驗(yàn)(E)舉例隨機(jī)事件二、樣本空間二、樣本空間 1. 樣本空間：實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的 集合稱為樣本空間，記為 =e； 2. 樣本點(diǎn): 試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元 素稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為e. 3. 基本事件: 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為 一個(gè)基本事件,也記為 e. 4. 隨機(jī)事件: 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié) 果, 用 A, B, C,. 表示. 任何事件都是樣本空間的一個(gè)子集任何事件都是樣本空間的一個(gè)子集. 稱事件事件A發(fā)生發(fā)生

7、當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素 兩個(gè)特殊事件兩個(gè)特殊事件: 必然事件 、不可能事件. 例例 : 對(duì)于試驗(yàn)E2 ，以下A 、 B、C 即為三個(gè)隨機(jī)事件: A: 至少出一次正面 AHHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B: 三次出現(xiàn)同一面, B=HHH,TTT C: 恰好出現(xiàn)一次正面, C=HTT，THT，TTH 又如，試驗(yàn)E6中, D: 燈泡壽命超過(guò)1000小時(shí), Dx:1000 xT(小時(shí)）。 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 A 本身是樣本空間本身是樣本空間 的一個(gè)子集的一個(gè)子集, 因因此它可以像集合一樣進(jìn)行各種運(yùn)算此它可以像集合一樣進(jìn)行各種運(yùn)算.三三. 事件關(guān)系事件關(guān)系和運(yùn)算

8、和運(yùn)算 1.包含關(guān)系包含關(guān)系: A B, 表示表示A發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生發(fā)生. AB A B且且B A.注注:n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An至少有一個(gè)發(fā)生，記作至少有一個(gè)發(fā)生，記作iniA13.積事件積事件: A BAB, 表示表示 A與與B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生注意注意: n個(gè)事件個(gè)事件A1, A2, An同時(shí)發(fā)生，記作同時(shí)發(fā)生，記作 A1A2An4.差事件差事件: AB, 稱為稱為A與與B的差事件的差事件,表示事件表示事件A發(fā)生而發(fā)生而B不發(fā)生不發(fā)生思考：何時(shí)思考：何時(shí)A-B=A-B= ? ?何時(shí)何時(shí)A-B=AA-B=A？5.互不相容事件互不相容事件 ：AB 6. 對(duì)立對(duì)立事件事件 A

9、 B , 且且AB BABAAAB易見(jiàn)的對(duì)立事件，稱為記作;事件的運(yùn)算規(guī)則事件的運(yùn)算規(guī)則1、交換律：、交換律：ABBA，ABBA2、結(jié)合律、結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、對(duì)偶、對(duì)偶(De Morgan)律律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推廣例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A A、B B、C C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A A、B B、C C的的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：運(yùn)算關(guān)系表示下列事件

10、：:654321“三人均未命中目標(biāo)”“三人均命中目標(biāo)”“最多有一人命中目標(biāo)“恰有兩人命中目標(biāo)”“恰有一人命中目標(biāo)”“至少有一人命中目標(biāo)AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCABC作業(yè)作業(yè): 習(xí)題習(xí)題 1-1 （P11）2, 3, 10, 11第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？擲一顆骰子，出現(xiàn)擲一顆骰子，出現(xiàn)6 6點(diǎn)的概率為多少？點(diǎn)的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？例例 2005年年8月月

11、26日日“超女超女”決賽決賽 李宇春 周筆暢 張靚穎3528308票 3270840票1353906票手機(jī)投票總數(shù)手機(jī)投票總數(shù) 8153054李宇春 得票頻率 43.27%周筆暢 得票頻率 40.12%張靚穎 得票頻率 16.61%得票頻率可被視為獲勝概率得票頻率可被視為獲勝概率例 新生兒性別統(tǒng)計(jì)表出生年出生年份份新生兒新生兒總數(shù)總數(shù)n新生兒分類數(shù)新生兒分類數(shù)頻率頻率(%)男孩數(shù)男孩數(shù)m1女孩數(shù)女孩數(shù)m2男孩男孩女孩女孩197736701883178751.3148.69197842502177207351.2248.78197940552138191752.7347.271980584429

12、55288950.5649.44198163443271307351.5648.44198272313722350951.4748.536年總年總計(jì)計(jì)31394161461524851.4848.52某人向目標(biāo)射擊，某人向目標(biāo)射擊，以以A A表示事件表示事件“命中目標(biāo)命中目標(biāo)”，P P（A A）= =？定義定義: 事件事件A在在n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)nA次，則次，則比值比值nA/n稱為事件稱為事件A在在n次重復(fù)試驗(yàn)中次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻率頻率，記為，記為fn(A). 即即 fn(A) nA/n. 一一. 頻率頻率歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均

13、等。 實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005 頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)(1) 0 fn(A) 1；(2) fn()1； fn( )=0(3) 可加性：若可加性：若AB ，則，則 fn(A B) fn(A) fn(B).實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，增大時(shí)， fn(A) 逐漸逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件作為事件A的概率

14、的概率概率的直觀定義 概率的定義 事件 A 的概率 P(A) 應(yīng)該滿足: 1.非負(fù)性: 0P(A)1; 2.規(guī)范性: P()=1; 3.可加性: A1,A2,An 互不相容, P(A1+A2+An) =P(A1)+P(A2)+P(An) 二二. 概率的公理化定概率的公理化定義義 注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義定義定義: 設(shè)設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間, F 為 的某些子集組成的 . 若對(duì)于 F 中的每一事件A，均賦一實(shí)數(shù)P(A)，P(A)滿足條件： (1) 非負(fù)性:對(duì)于每一事件A ,

15、 P(A) 0； (2) 規(guī)范性: P()1； (3) 可列可加性可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 -代 數(shù)P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+.， 則稱P(A)為事件A的概率概率。稱三元素為概率空間。(,)F P三三. 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)q 0)(Pq )(1)(APAP1)( APq 有限可加性: 設(shè) nAAA,21兩兩互斥niiniiAPAP11)(q 若BA)()()(APBPABP)()(BPAPq 加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有 )()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBA

16、P推廣推廣：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)() 1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般一般：右端共有 項(xiàng).n 上連續(xù)性上連續(xù)性：若：若 F且遞減，且遞減， 則則nA下連續(xù)性下連續(xù)性： 若若 F 且遞增，且遞增， 則則lim()(lim).nnnnP APAnA次可列可加性次可列可加性：若：若 F ,則則P( ) nAnnAFnnAP)(次可列可加性次可列可加性：若：若 F ,則則P( ) 1limnnnnAA1limnnnnAAlim()(lim).nnnnPAPA （1）

17、. 它具有有限可加性；它具有有限可加性； （2）. 它是下連續(xù)的它是下連續(xù)的.定理定理 2：若：若 P 為為 F 上滿足上滿足 的非負(fù)的非負(fù)集合函數(shù)集合函數(shù), 則它具有可列可加性的充要條件為則它具有可列可加性的充要條件為( )1P 定理定理 1：若：若 P 為為 F 上的概率，則它既是下連上的概率，則它既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的。續(xù)的，又是上連續(xù)的。某市有甲某市有甲,乙乙,丙三種報(bào)紙丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有其中有10%的人的人同時(shí)定甲同時(shí)定甲,乙兩種報(bào)紙乙兩種報(bào)紙.沒(méi)有人同時(shí)訂甲丙或乙沒(méi)有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙丙報(bào)紙.求

18、從該市任選一人求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)他至少訂有一種報(bào)紙的概率紙的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解:設(shè)設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲分別表示選到的人訂了甲,乙乙,丙報(bào)丙報(bào)作業(yè)作業(yè): 習(xí)題習(xí)題 1-3 （P39）15, 17, 19, 22若某實(shí)驗(yàn)若某實(shí)驗(yàn)E滿足滿足1.有限性：樣本空間有限性：樣本空間e1, e 2 , , e n ;2.等可能性：等可能性： P(e1)=P(e2)=P(en),則稱則稱E為古典概型為古典概型, 也叫等可能概型。也叫等可能概型。 第三節(jié)第三節(jié) 古典概型與幾何概型古典概型

19、與幾何概型設(shè)事件A中所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為 n(A) ，以 n()記樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)，則有 P(A) = n(A)/n()P(A)具有如下性質(zhì)(1) 0 P(A) 1；(2) P()1； P( )=0(3) AB，則 P( A B ) P(A) P(B)古典概型中的概率古典概型中的概率例例1:1:有三個(gè)子女的家庭有三個(gè)子女的家庭, ,設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等率相等, ,則至少有一個(gè)男孩的概率是多少則至少有一個(gè)男孩的概率是多少? ?解解: :設(shè)設(shè)A-A-至少有一個(gè)男孩至少有一個(gè)男孩, ,以以M M表示某個(gè)孩子是男孩表示某個(gè)孩子是男孩=MMM,MMF,MFM,FMM,MFF

20、,FFM,FMF,FFF=MMM,MMF,MFM,FMM,MFF,FFM,FMF,FFFA=A=MMM,MMF,MFM,FMM,MFF,FFM,FMF ( )7( )( )8n AP An 例例2:設(shè)盒中有設(shè)盒中有3個(gè)白球，個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。個(gè)球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-取到一紅一白25( )nC 1132( )n AC C113225( )3( )( )5C Cn AP AnC答:取到一紅一白的概率為3/5一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是nNknMNkMCCCp例例

21、3 某接待站在某一周曾接待過(guò)某接待站在某一周曾接待過(guò) 12次來(lái)訪次來(lái)訪,已知已知所有這所有這 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問(wèn)是問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的. 假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定規(guī)定,且各來(lái)訪者在一周的任一天且各來(lái)訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712種種12341277777 故一周內(nèi)接待故一周內(nèi)接待 12 次來(lái)訪共有次來(lái)訪共有.212種種121272 p.3000000.0 小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可

22、能發(fā)生的小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的 , 從從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故故12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為例例4 將將 n 只球隨機(jī)的放入只球隨機(jī)的放入 N (N n) 個(gè)盒子中去，個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不設(shè)盒子的容量不限）。限）。,種放法nNNNN解：解： 將將 n 只球放入只球放入 N 個(gè)盒子

23、中去個(gè)盒子中去, 共有共有而每個(gè)盒子中至多放一只球而每個(gè)盒子中至多放一只球, 共有共有(1)(1),nNNNNnP種放法(1)(1).nNnnPNNNnpNN故1nNnPpN至少有兩個(gè)人的生日在同一天至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率：的概率：我們班級(jí)我們班級(jí) n=72 人，至少兩人，至少兩人生日相同的概率為：人生日相同的概率為：7 23 6 57 210 .9 9 9 4 5 2 93 6 5Pp 例例5 將將 15 名新生隨機(jī)地平均分配到名新生隨機(jī)地平均分配到 3 個(gè)班中去，個(gè)班中去，這這15 名新生中有名新生中有 3 名是優(yōu)秀生。問(wèn)：名是優(yōu)秀生。問(wèn)： (1) 每個(gè)班各分配到一每個(gè)班各分配到

24、一 名優(yōu)秀生的概率是多少？名優(yōu)秀生的概率是多少？ (2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？解：解：15名新生平均分配到名新生平均分配到 3 個(gè)班級(jí)中去的分法總數(shù)為：個(gè)班級(jí)中去的分法總數(shù)為：55510515CCC,! 5! 5! 5!15! 512345! 5678910! 51112131415(1) 將將 3 名優(yōu)秀生分配到名優(yōu)秀生分配到 3 個(gè)班級(jí)，使每個(gè)班級(jí)個(gè)班級(jí)，使每個(gè)班級(jí)都有一名優(yōu)秀生的分法共有都有一名優(yōu)秀生的分法共有 3! 種。其余種。其余 12 名新名新生平均分配到生平均分配到 3 個(gè)班級(jí)中的分法共有個(gè)班級(jí)中的分法共有種，) ! 4

25、! 4! 4(/ !12每個(gè)班各分配到一每個(gè)班各分配到一 名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：)! 4! 4! 4/(!12! 3于是所求的概率為：于是所求的概率為：13! 12 ! 15!3! 12 ! 5!5!5! 25/0.2747 .4!4!4! 5!5!5!15! 4!4!4!91p三名優(yōu)秀生分配三名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)內(nèi)在同一班級(jí)內(nèi).0659. 0916!15! 2! 5!123! 5! 5! 5!15/! 5! 5! 2!1232p其余其余12名新生，一個(gè)班級(jí)分名新生，一個(gè)班級(jí)分2名，名，另外兩班各分另外兩班各分5名名(2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率為：名優(yōu)秀生

26、分配到同一個(gè)班級(jí)的概率為：幾何概率幾何概率 設(shè)樣本空間為有限區(qū)域 , 若樣本點(diǎn)落入 內(nèi)任何區(qū)域 G 中的概率與區(qū)域G 的測(cè)度成正比, 則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率為的測(cè)度的測(cè)度GAP)(例例6 6 兩船欲停靠同一個(gè)碼頭, 設(shè)兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間各不相干，而且到達(dá)碼頭的時(shí)間在一晝夜內(nèi)是等可能的. 如果兩船到達(dá)碼頭后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1 小時(shí)與2 小 時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需 要等待空出碼頭的概率.解解 設(shè)船1 到達(dá)碼頭的時(shí)間為 x ，0 x 24 船2 到達(dá)碼頭的時(shí)間為 y ，0 y 0) 。向平面。向平面任意投一長(zhǎng)為任意投一長(zhǎng)為 l (l0,則 P(AB)P(A)P(B|A). (4

27、.1)式(4.1)就稱為事件A、B的概率乘法公式乘法公式。 式(4.1)還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (4.2) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (4.3)例例3 3 科研成績(jī)的評(píng)價(jià)過(guò)于強(qiáng)調(diào)學(xué)術(shù)論文發(fā)表的數(shù)科研成績(jī)的評(píng)價(jià)過(guò)于強(qiáng)調(diào)學(xué)術(shù)論文發(fā)表的數(shù)量就有可能導(dǎo)致學(xué)術(shù)造假事件的最多。假設(shè)某人量就有可能導(dǎo)致學(xué)術(shù)造假事件的最多。假設(shè)某人第一次學(xué)術(shù)造假?zèng)]有被揭發(fā)的概率為第一次學(xué)術(shù)造假?zèng)]有被揭發(fā)的概率為195/100q 第二次造假?zèng)]有被揭發(fā)的概率為第二次造假?zèng)]有被揭發(fā)的概率為290/95.q 前前

28、j-1次沒(méi)有被揭發(fā)后，第次沒(méi)有被揭發(fā)后，第j次造假?zèng)]有被揭發(fā)次造假?zèng)]有被揭發(fā)的概率的概率(100 5 )/(100 5(1).jqjj計(jì)算他造假計(jì)算他造假n次次還不被揭發(fā)的概率還不被揭發(fā)的概率?nq 121121() (|). (|.)nnP A P AAP AA AA解：解：12(.)nnqP AAA12.nq qq10051.10020nn 95 901005(1)1005.100 951005(2)1005(1)nnnn81012140.60.50.40.3容易計(jì)算出容易計(jì)算出2460.90.80.7nnp1618200.20.10.0二二. 全概率公式全概率公式例4.研究股票價(jià)格變化：

29、影響股票的宏觀經(jīng)濟(jì)因素有利率，CPI(消費(fèi)者價(jià)格指數(shù))等。經(jīng)驗(yàn)分析認(rèn)為：未來(lái)利率下調(diào)的概率為 60%,利率維持不變的概率為40。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，某支股票在利率下調(diào)時(shí)上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下該支股票上漲的概率為40%。試求該支股票將要上漲的概率。解： 設(shè)設(shè)B: 股票上漲，股票上漲，A：利率下調(diào)，則：利率下調(diào)，則利率維持不變。利率維持不變。 :A所以所以()BBBAAABAB( )()()()P BP ABABP ABP AB( ) ( | )( ) ( | )P A P B AP A P B A0.6 0.8 0.4 0.40.64定義定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為

30、樣本空間的一個(gè)劃分，若滿足：.,.,2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiAijiniiA1A2AnB定理定理1、 設(shè)設(shè)A1，, An是是的一個(gè)劃分，的一個(gè)劃分，且且P(Ai)0，(i1，n)，則對(duì)任何事件則對(duì)任何事件B 有有 niiiABPAPBP1)|()()(上式就稱為上式就稱為全概率公式全概率公式。注: 如果 A1,A2,兩兩互斥, 且 則全概率公式仍然成立. niiAB1例例5 （敏感問(wèn)題調(diào)查）在調(diào)查服用興奮劑的（敏感問(wèn)題調(diào)查）在調(diào)查服用興奮劑的運(yùn)動(dòng)員在全體運(yùn)動(dòng)員中所占的比例運(yùn)動(dòng)員在全體運(yùn)動(dòng)員中所占的比例p時(shí)，如時(shí)，如果采用直接的問(wèn)卷方式，被調(diào)查者一般不會(huì)果采用直接的問(wèn)卷

31、方式，被調(diào)查者一般不會(huì)回答真相。為得到實(shí)際的回答真相。為得到實(shí)際的p同時(shí)又不侵犯?jìng)€(gè)同時(shí)又不侵犯?jìng)€(gè)人隱私，調(diào)查人員先請(qǐng)被調(diào)查者在心目中任人隱私，調(diào)查人員先請(qǐng)被調(diào)查者在心目中任意選定一個(gè)整數(shù)（不說(shuō)出）。然后請(qǐng)他在下意選定一個(gè)整數(shù)（不說(shuō)出）。然后請(qǐng)他在下面的問(wèn)卷中選擇面的問(wèn)卷中選擇“是是”或或“否否”。當(dāng)你選擇的最后一位數(shù)是奇數(shù)，請(qǐng)回答：你選擇的是奇數(shù)嗎？當(dāng)你選擇的最后一位數(shù)是偶數(shù)，請(qǐng)回答： 你服用過(guò)興奮劑嗎？ 是 否因?yàn)榛卮鹬辉谝驗(yàn)榛卮鹬辉凇笆鞘恰被蚧颉胺穹瘛敝羞x擇一個(gè)，所以沒(méi)有人中選擇一個(gè)，所以沒(méi)有人( ) 0.5,( ) 0.5,( | ) 1,( | ).P AP AP B AP B Ap知

32、道被調(diào)查者回答的是哪個(gè)問(wèn)題，更不知道他是否服用過(guò)興奮劑。假設(shè)運(yùn)動(dòng)員們隨機(jī)選定數(shù)字，并且能按照要求回答問(wèn)題，當(dāng)回答“是”的概率為1p時(shí)，求.p解：對(duì)于任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)員，用 B 表示他回答“是”，用A表示他選到奇數(shù)，則有1()()(|)()(|)pP BP A P BAP A P BA0 .50 .5.p于是得到121 .pp實(shí)際問(wèn)題中，未知，需要經(jīng)調(diào)查才能得知。1p假定調(diào)查了n個(gè)運(yùn)動(dòng)員，有k個(gè)回答“是”，則有11,21 .kpppn例如調(diào)查了200個(gè)運(yùn)動(dòng)員，其中有115個(gè)回答“是”，則11 1 521211 5 % .2 0 0pp這與直觀理解一致：200人中大約有一半人是由于抽中奇數(shù)而回答“是”

33、，而余下的一半人回答“是”的人才真的“是” 。于是(115100)/10015%.p 例例6 有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∪稳∫磺蚍湃胍掖?，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，?wèn)此球是紅球的概率？一球，問(wèn)此球是紅球的概率？解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球；A2從甲袋放入乙袋的是紅球；B從乙袋中任取一球是紅球；12731433221)()|()()|()(2211APABPAPABPBP甲乙若已知

34、取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答答: :74127)()|()()()|(1111APABPBPBAPBAP三三. 貝葉斯公式貝葉斯公式定理定理 2 設(shè)A1，, An是的一個(gè)劃分，且P(Ai) 0，(i1，n)，則對(duì)任何事件B，有),.,1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj上式稱為貝葉斯公式貝葉斯公式。例例7. 7. 伊索寓言：“狼來(lái)了！”A: 小孩說(shuō)謊B: 小孩可信村民過(guò)去對(duì)小孩的印象: P(B)=0.8。(|)0.1,P A B ( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)P B P A BP B AP B P A BP

35、 B P A B(|)0.5.P A B 假設(shè)：小孩第一次說(shuō)了謊，村民對(duì)這個(gè)小孩的可信程度改變?yōu)椋ㄘ惾~斯公式）：0.8 0.10.4440.8 0.10.2 0.5這表明村民上了一次當(dāng)后，對(duì)小孩的可信度由原來(lái)的0.8調(diào)整為0.444，也就是說(shuō)這時(shí)再次應(yīng)用貝葉斯公式計(jì)算: (|)P B A( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)P B P A BP B AP B P A BP B P A B這是小孩第二次說(shuō)了謊，村民對(duì)這個(gè)小孩的可信程度的改變?yōu)椋?.4440.10.1380.4440.10.5560.5( )0.444,P B ( )0.556.P B ).(,005. 0)(,005.

36、 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA試求試求即即的概率為的概率為設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥進(jìn)行普查進(jìn)行普查現(xiàn)在對(duì)自然人群現(xiàn)在對(duì)自然人群有有則則有癌癥”有癌癥”表示事件“被診斷者患表示事件“被診斷者患以以為陽(yáng)性”為陽(yáng)性”表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)若以若以驗(yàn)具有如下的效果驗(yàn)具有如下的效果某種診斷癌癥的試某種診斷癌癥的試根據(jù)以往的臨床記錄根據(jù)以往的臨床記錄 解解,95. 0)( CAP因因?yàn)闉?995. 0)(,005. 0)( CPCP例例8 8,05. 0)(1)( CAPCAP由由貝葉斯公式得所求概率為貝葉斯公式得所求概率為)()()(

37、)()()()(CPCAPCPCAPCPCAPACP .087. 0 即平均即平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人人患有癌癥患有癌癥.作業(yè)作業(yè): 習(xí)題習(xí)題 1-4 （P51）4, 15, 16, 28,29 第五節(jié)第五節(jié) 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性例例1 1 已知袋中有5只紅球, 3只白球.從袋中有放回地取球兩次，設(shè)第 i 次取得白球?yàn)榍笫录?Ai ( i =1, 2 ) ., )(12AAP, )(12AAP, )(, )(21APAP解解, 8/3)(12AAP, 8/ 3)(12AAP, )(8/3)(21APAP)()()(12212AAPAPAAP

38、事件 A1 發(fā)生與否對(duì) A2 發(fā)生的概率沒(méi)有影響可視為事件A1與A2相互獨(dú)立)()() 8/ 3 ()(121221AAPAPAAP定義定義設(shè) A , B 為兩事件，若)()()(BPAPABP則稱事件 A 與事件 B 相互獨(dú)立 兩事件相互獨(dú)立的性質(zhì)q 兩事件 A 與 B 相互獨(dú)立是相互對(duì)稱的q 若)()(, 0)(ABPBPAP則若)()(, 0)(BAPAPBP則q 若, 0)(, 0)(BPAP則“事件 A 與 事件 B 相互獨(dú)立”和 “事件 A 與 事件 B 互不相容”不能同時(shí)成立 (自行證明)q 四對(duì)事件BABABABA,;,;,;,任何一對(duì)相互獨(dú)立,則其它三對(duì)也相互獨(dú)立試證其一獨(dú)立

39、獨(dú)立BABA,事實(shí)上)()()()(BAPAPBAAPABP)()()(1)(BPAPBPAP)()()(BPAPAP三事件三事件 A A, , B B, , C C 相互獨(dú)立相互獨(dú)立是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立：注：1) 關(guān)系式(1) (2)不能互相推出 2)僅滿足(1)式時(shí),稱 A, B, C 兩兩獨(dú)立 )()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1)()()()(CPBPAPABCP(2)A, B, C 相互獨(dú)立A, B, C 兩兩獨(dú)立 定義定義事件定義定義12,.,nA AA相互獨(dú)立，()() () ()ijkijkP AA AP A P A P A12

40、12(.)() (). ()nnP A AAP A P AP A()() ()ijijP A AP A P A如果它們滿足 例例2 2 甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 問(wèn)對(duì)甲而言，采用三局兩勝有利，還是采用五局三勝有利？假定各局勝負(fù)相互獨(dú)立。(1/2).p p 解：:iA甲在第 i 局勝。:B甲在三局兩勝中勝。:C甲在五局三勝中勝。則21121323BA AA A AA A A12123234134312124345.CA A AA A A AA A A AA A A AA A A A A21121323223232323422()()()()2(1).()(1)(1) .()()3

41、(1) (21)0.P BP A AP A A AP A A ApppP CpCppCppP CP Bppp例例3 3 春節(jié)放煙花爆竹是延續(xù)了2000余年的 民族傳統(tǒng)，早已成為我國(guó)歷史文化的 的一部分。但是燃放煙花爆竹也常常發(fā)生意外，造成慘劇。假設(shè)每次燃放發(fā)生意外，造成慘劇。假設(shè)每次燃放燃放煙花燃放煙花引發(fā)火警的概率為十萬(wàn)分之一。如果春節(jié)期間北京引發(fā)火警的概率為十萬(wàn)分之一。如果春節(jié)期間北京有有100萬(wàn)人次燃放煙花爆竹，計(jì)算沒(méi)有引發(fā)火警的萬(wàn)人次燃放煙花爆竹，計(jì)算沒(méi)有引發(fā)火警的的概率。的概率。相互獨(dú)立， 解：設(shè)610.n用用表示春節(jié)期間燃放爆竹沒(méi)有引發(fā)火警。1njjBA jA表示第j次燃放沒(méi)有引發(fā)

42、火警。則12,.,nA AA5() 1 10 .jP A 551( )()(1 10 )4.54 10 .nnjjP BP A也就是說(shuō)不引發(fā)火警幾乎是不可能的！于是 1()1()njjPBPAlim()1nPB 不能忽視小概率事件, 小概率事件遲早要發(fā)生11(1()1 (1) ,()nnjjjP AP A 一個(gè)元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性系統(tǒng)由元件組成,常見(jiàn)的元件連接方式：串聯(lián)并聯(lián)1221系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題 例例4 4設(shè) 兩系統(tǒng)都是由 4 個(gè)元件組成,每個(gè)元件正常工作的概率為 p , 每個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性.A1A

43、2B2B1S1:)()()()(212121211BBAAPBBPAAPSP)2 (22242ppppA1A2B2B1S2:212)()(iiiBAPSP)()(12SPSP22)2(pp)2 (22pp222pp應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 腸癌普查腸癌普查設(shè)事件 表示第 i 次檢查為陽(yáng)性,事件B表iA示被查者患腸癌,已知腸鏡檢查效果如下：005. 0)(,95. 0)()(BPBAPBAP且某患者首次檢查反應(yīng)為陽(yáng)性,試判斷該患者是否已患腸癌？若三次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性呢？利用Bayes 公式得087. 005. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0)()()()()()()(1111

44、BAPBPBAPBPBAPBPABP)()()()()()()(21212121BAAPBPBAAPBPBAAPBPAABP)()()()()()()()()(212121BAPBAPBPBAPBAPBPBAPBAPBP6446. 005. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0222兩次檢查反應(yīng)均為陽(yáng)性,還不能斷定患者已患腸癌.33332105. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0)(AAABP9718.0可見(jiàn), 連續(xù)三次檢查反應(yīng)為陽(yáng)性, 則幾乎可以斷定患者患腸癌了. n重重Bernoulli試驗(yàn)中事件試驗(yàn)中事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn) k 次次的概率的概率

45、 記為記為 。)(kPn貝努力試驗(yàn)概型貝努力試驗(yàn)概型 每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無(wú)關(guān)每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無(wú)關(guān) 稱為這稱為這 n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 試驗(yàn)可重復(fù)試驗(yàn)可重復(fù) n 次次AA,10,)(ppAP且且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果： n 重貝努力重貝努力 (Bernoulli)試驗(yàn)概型：試驗(yàn)概型：貝努力 (Jacob Bernoulli )簡(jiǎn)介 貝努力貝努力家族祖孫三代出過(guò)十多位數(shù)學(xué)家，家族祖孫三代出過(guò)十多位數(shù)學(xué)家， 這在世界數(shù)學(xué)史上絕無(wú)僅有。這在世界數(shù)學(xué)史上絕無(wú)僅有。 貝努力貝努力幼年遵從父親意見(jiàn)學(xué)神學(xué)，當(dāng)讀了幼年遵從父親意見(jiàn)學(xué)神學(xué)，當(dāng)讀了

46、 笛卡爾的書后，頓受啟發(fā)，興趣轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)笛卡爾的書后，頓受啟發(fā)，興趣轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)。 1694年，首次給出直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的年，首次給出直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式，同年關(guān)于雙紐線性質(zhì)的論文，曲率半徑公式，同年關(guān)于雙紐線性質(zhì)的論文，使伯努利雙紐線應(yīng)此得名使伯努利雙紐線應(yīng)此得名。此外對(duì)對(duì)數(shù)螺線深有研究, 發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)螺線經(jīng)過(guò)各種變換后, 結(jié)果還是對(duì)數(shù)螺線,在驚嘆此曲線的奇妙之余,遺言把對(duì)數(shù)螺線刻在自己的墓碑上, 并附以頌詞:縱使變化,依然故我nyxqyxpdydx)()(/1695年提出著名的貝努力貝努力方程 1713年出版的巨著年出版的巨著推測(cè)術(shù)推測(cè)術(shù), ,是組合是組合數(shù)學(xué)及概率史的一件大事。書中給

47、出的數(shù)學(xué)及概率史的一件大事。書中給出的貝貝努力努力數(shù)、數(shù)、貝努力貝努力方程、方程、貝努力貝努力分布等，有分布等，有很多應(yīng)用，很多應(yīng)用， 還有還有貝努力貝努力定理，定理， 這是大數(shù)這是大數(shù)定律的最早形式定律的最早形式。：n 重貝努力試驗(yàn)中事件A 發(fā)生了 k 次. 記: P ( A ) = p , 則( )()(1),0,1,kkn knknP kP AC ppkn由于knknkknnppCpp)1 ()1 (10故稱kA.)(為二項(xiàng)概率kAP例5: 從次品率為 p=0.2 的一批產(chǎn)品中,有放 回抽取5次,每次取一件.分別求抽到的5件中恰有3件次品和至多有3件次品的概率. 解: 件次品至多有件次品

48、恰有件次品恰有記3:3:5,.,2 , 1,:BAkkAk則33033235454455,.( )()0.2 0.80.0512;( )1( )1()()10.2 0.80.20.9933.kkAABAP AP ACP BP BP AP AC 作業(yè)作業(yè): 習(xí)題習(xí)題 1-5 （P59）2, 4, 8, 12, 16例例1 （撲克牌問(wèn)題撲克牌問(wèn)題）一副標(biāo)準(zhǔn)的撲克牌由）一副標(biāo)準(zhǔn)的撲克牌由52張張 組成，它有兩種顏色、四種花式和組成，它有兩種顏色、四種花式和13種牌形。種牌形。具體分布如下表。具體分布如下表。綜合例題綜合例題 黑桃黑桃 紅心紅心 黑草花黑草花 紅方塊紅方塊 AKQJ1098765432

49、AKQJ1098765432AKQJ1098765432AKQJ1098765432 假如假如52張牌的大小、厚度和外形完全一樣，張牌的大小、厚度和外形完全一樣，那那么么52張牌中任意一張被抽出的可能性是相同的。張牌中任意一張被抽出的可能性是相同的。5.05226)(AP（1）事件）事件A“抽出一張紅牌抽出一張紅牌”在抽一張牌試驗(yàn)在抽一張牌試驗(yàn)中，共有中，共有52種等可能基本結(jié)果，其中紅牌有種等可能基本結(jié)果，其中紅牌有26張張（13張紅心和張紅心和13張方塊）。故事件張方塊）。故事件A的概率為的概率為（2）事件）事件B“抽出一張不是紅心抽出一張不是紅心”。在這個(gè)抽。在這個(gè)抽牌試驗(yàn)中，亦有牌試驗(yàn)

50、中，亦有52種等可能的基本結(jié)果，但不是種等可能的基本結(jié)果，但不是紅心的牌只有紅心的牌只有39張，故事件張，故事件B的概率為的概率為75. 0435239)(BP（3）事件）事件C“抽出兩張紅心牌抽出兩張紅心牌”。在這個(gè)抽兩。在這個(gè)抽兩張牌的試驗(yàn)中，共有張牌的試驗(yàn)中，共有 種等可能基本結(jié)果。其種等可能基本結(jié)果。其中兩張牌全是紅心必須在中兩張牌全是紅心必須在13張紅心牌中取得才能張紅心牌中取得才能使事件使事件C發(fā)生。故事件發(fā)生。故事件C所包含的基本基本結(jié)果的所包含的基本基本結(jié)果的總數(shù)為總數(shù)為 。故。故2 522 1305882.0171515212132 522 13)(CP（4）事件）事件D“抽

51、出兩張不同顏色的牌抽出兩張不同顏色的牌”。在這個(gè)。在這個(gè)抽兩張牌的試驗(yàn)中，亦有抽兩張牌的試驗(yàn)中，亦有 等可能基本結(jié)果。等可能基本結(jié)果。第第一步一步從從26張紅牌中任取一張，張紅牌中任取一張，第二步第二步從從26張黑牌中張黑牌中任取一張。依據(jù)任取一張。依據(jù)乘法原則乘法原則，要獲得兩張不同顏色的，要獲得兩張不同顏色的牌共有牌共有2626種基本結(jié)果，故種基本結(jié)果，故2 525098.051262522626)(DP可見(jiàn)，事件可見(jiàn)，事件D比事件比事件C發(fā)生的概率要高達(dá)發(fā)生的概率要高達(dá)8.7倍。倍。 三、從三、從13張紅心中任取二張，共有張紅心中任取二張，共有 種可能種可能（5）事件）事件E“抽出兩張同

52、花式的牌抽出兩張同花式的牌”。在這個(gè)抽。在這個(gè)抽兩張牌的試驗(yàn)中，亦有兩張牌的試驗(yàn)中，亦有 等可能基本結(jié)果。要獲得等可能基本結(jié)果。要獲得兩張同花式的牌可以有四種方式得到。兩張同花式的牌可以有四種方式得到。2 52213 四、從四、從13張草花中任取二張，共有張草花中任取二張，共有 種可能種可能213 二、從二、從13張方塊中任取二張，共有張方塊中任取二張，共有 種可能種可能 一、從一、從13張黑桃中任取二張，共有張黑桃中任取二張，共有 種可能種可能213213依據(jù)依據(jù)加法原則加法原則，要獲得兩張同花式的牌共有，要獲得兩張同花式的牌共有 種基本結(jié)果，故種基本結(jié)果，故2134213213213213

53、2353.01742522134)(EP（6）事件）事件F“抽出抽出5張，恰好是同花順張，恰好是同花順”。這在。這在抽抽5張牌的試驗(yàn)中，共有張牌的試驗(yàn)中，共有 種等可能基本結(jié)種等可能基本結(jié)果。要獲得果。要獲得5張同花順的牌可以有四種方式，并張同花順的牌可以有四種方式，并且這四種方式獲得的同花順的基本結(jié)果數(shù)是相且這四種方式獲得的同花順的基本結(jié)果數(shù)是相同的，現(xiàn)以黑桃花式為例。要得到同花順，只同的，現(xiàn)以黑桃花式為例。要得到同花順，只有以下有以下10種基本結(jié)果：種基本結(jié)果： A K Q J 10 K Q J 10 9 Q J 10 9 8 J 10 9 8 7 10 9 8 7 6 9 8 7 6 5

54、 8 7 6 5 4 7 6 5 4 3 6 5 4 3 2 5 4 3 2 A 552依據(jù)依據(jù)加法原則加法原則，要獲得，要獲得5張同花順的牌共有張同花順的牌共有 41040種基本結(jié)果。種基本結(jié)果。00001539.055240)(FP故故（7）事件）事件G“抽出抽出13張同花式的牌張同花式的牌”。在這個(gè)抽。在這個(gè)抽13張牌的試驗(yàn)中，共有張牌的試驗(yàn)中，共有 個(gè)等可能的基本結(jié)果。個(gè)等可能的基本結(jié)果。其中同花式的只有其中同花式的只有4種，即全是黑桃、全是紅心、種，即全是黑桃、全是紅心、全是方塊，全是草花，故全是方塊，全是草花，故12101578.013524)(GP1352 這個(gè)概率非常的小，幾乎

55、不可能發(fā)生。這個(gè)概率非常的小，幾乎不可能發(fā)生。假如在一次撲克游戲中假如在一次撲克游戲中D發(fā)生了，在驚訝之余有發(fā)生了，在驚訝之余有人懷疑在做牌，這種懷疑不是沒(méi)有道理的。人懷疑在做牌，這種懷疑不是沒(méi)有道理的。例例2 甲、乙兩人約定在下午甲、乙兩人約定在下午1 時(shí)到時(shí)到2 時(shí)之間到某時(shí)之間到某站乘公共汽車站乘公共汽車 , 又這段時(shí)間內(nèi)有四班公共汽車，又這段時(shí)間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開(kāi)車時(shí)刻分別為它們的開(kāi)車時(shí)刻分別為 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定如果甲、乙約定 (1) 見(jiàn)車就乘見(jiàn)車就乘; (2) 最多等一輛最多等一輛車車. 求甲、乙同乘一車的概率求甲、乙同乘一車的概率.假定

56、甲、乙兩人到達(dá)車站的時(shí)假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時(shí)刻是互相不牽連的，且每人在刻是互相不牽連的，且每人在 1 時(shí)到時(shí)到 2 時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車站是等可能的站是等可能的.xoy 1 2 見(jiàn)車就乘見(jiàn)車就乘的概率為的概率為正正方方形形面面積積陰陰影影部部分分面面積積 p22)12()41(4 .41 45:1 30:1 15:1 1 2 15:1 30:1 45:1設(shè)設(shè) x, y 分別為分別為甲、乙兩人到甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻達(dá)的時(shí)刻,則有則有, 21 x. 21 y解解 最多等一輛車最多等一輛車,甲、乙甲、乙同乘一車的概率為同乘一車的概率為.8521)161(341 pxoy 1 2

57、45:1 30:1 15:1 1 2 15:1 30:1 45:1例例3 3 設(shè)設(shè)A , B滿足滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何在何 條件下，條件下， P(AB) 取得最大取得最大(小小)值？最大值？最大(小小)值是值是多少？多少？解解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)( BAP最小值在最小值在 時(shí)取得時(shí)取得 6 . 0)()(APABP 最小值最小值 最大值最大值)()(BPBAP最大值在最大值在 時(shí)取得時(shí)取得 q 加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件加法公式：對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有有 )()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP推廣推廣：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP