第4章線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用

1、第4章 線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用1解：為了用最少的原材料得到10臺鍋爐，需要混合使用14種下料方案。設(shè)14種方案下料時得到的原材料根數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。表4-1 各種下料方式下料方式12345678910111213142 640 mm211100000000001 770 mm010032211100001 650 mm001001021032101 440 mm00010010120123min f=x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x1

2、2x13x14s.t.  2x1x2x3x480 x23x52x62x7x8x9x10350 x3x62x8x93x112x12x13420 x4x7x92x10x122x133x1410 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x140通過管理運籌學(xué)軟件，我們可以求得此問題的解為：x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333最優(yōu)值為300。2解：（1）將上午11時至下午10時分成11個班次，設(shè)xi表示第i班次

3、新上崗的臨時工人數(shù)，建立如下模型。min f=16(x1x 2x3x4x5x6x7x8) s.t x119 x1x219 x1x2x329 x1x2x3x423 x2x3x4x513 x3x4x5x623 x4x5x6x716 x5x6x7x8212 x6x7x8212 x7x817 x817 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x80通過管理運籌學(xué)軟件，我們可以求得此問題的解如下： x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6， 最優(yōu)值為320。在滿足對職工需求的條件下，在11時安排8個臨時工，13時新安排1個臨時工，14時新安排1個臨時工，16時新安

4、排4個臨時工，18時新安排6個臨時工可使臨時工的總成本最小。（2）這時付給臨時工的工資總額為320，一共需要安排20個臨時工的班次。 約束 松弛/剩余變量 對偶價格 - - - 1 0 4 2 0 0 3 2 0 4 9 0 5 0 4 6 5 0 7 0 0 8 0 0 9 0 4 10 0 0 11 0 0根據(jù)剩余變量的數(shù)字分析可知，可以讓11時安排的8個人工做3小時，13時安排的1個人工作3小時，可使得總成本更小。（3）設(shè)xi表示第i班上班4小時臨時工人數(shù)，yj表示第j班上班3小時臨時工人數(shù)。 min f=16(x1x 2x3x4x5x6x7x8)12(y1y2y3y4y5y6y7y8y

5、9) s.t x1y119 x1x2y1y219 x1x2x3y1y2y329 x1x2x3x4y2y3y423 x2x3x4x5y3y4y513 x3x4x5x6y4y5y623 x4x5x6x7y5y6y716 x5x6x7x8y6y7y8212 x6x7x8y7y8y9212 x7x8y8y917 x8y917 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y90用管理運籌學(xué)軟件我們可以求得此問題的解如下：x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，x7=0，x8=6，y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6

6、=0，y7=4，y8=0，y9=0。最優(yōu)值為264。具體安排如下。在11：0012：00安排8個3小時的班，在13：0014：00安排1個3小時的班，在 15：0016：00安排1個3小時的班，在17：0018：00安排4個3小時的班，在18：0019：00安排6個4小時的班?？偝杀咀钚?64元，能比第一問節(jié)省320264=56元。3解：設(shè)xij，xij分別為該工廠第i種產(chǎn)品的第j個月在正常時間和加班時間內(nèi)的生產(chǎn)量；yij為i種產(chǎn)品在第j月的銷售量，wij為第i種產(chǎn)品第j月末的庫存量，根據(jù)題意，可以建立如下模型：s.t. 說明：與第14題相比，該題的目標是利潤最大，而第14題是成本最小，故該

7、題需另設(shè)銷量變量。4. 解：（1）設(shè)生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品的數(shù)量分別為x1，x2，x3，則可建立下面的數(shù)學(xué)模型。max z10 x112x214x3s.t. x11.5x24x32 000 2x11.2x2x31 000 x1200 x2250 x3 100 x1，x2，x30用管理運籌學(xué)軟件我們可以求得此問題的解如下：x1=200，x2=250，x3=100，最優(yōu)值為6 400。即在資源數(shù)量及市場容量允許的條件下，生產(chǎn)A 200件，B 250件，C 100件，可使生產(chǎn)獲利最多。（2）A、B、C的市場容量的對偶價格分別為10元，12元，14元。材料、臺時的對偶價格均為0。說

8、明A的市場容量增加一件就可使總利潤增加10元，B的市場容量增加一件就可使總利潤增加12元，C的市場容量增加一件就可使總利潤增加14元。但增加一千克的材料或增加一個臺時數(shù)都不能使總利潤增加。如果要開拓市場應(yīng)當(dāng)首先開拓C產(chǎn)品的市場，如果要增加資源，則應(yīng)在0價位上增加材料數(shù)量和機器臺時數(shù)。5解：（1）設(shè)白天調(diào)查的有孩子的家庭的戶數(shù)為x1，白天調(diào)查的無孩子的家庭的戶數(shù)為x2，晚上調(diào)查的有孩子的家庭的戶數(shù)為x3，晚上調(diào)查的無孩子的家庭的戶數(shù)為x4，則可建立下面的數(shù)學(xué)模型。min f =25 x120x230x324x4s.t x1x2x3x42 000 x1x2 =x3x4 x1x3

9、700 x2x4450 x1, x2, x3, x40用管理運籌學(xué)軟件我們可以求得此問題的解如下。x1700，x2300，x30，x41 000， 最優(yōu)值為47 500。白天調(diào)查的有孩子的家庭的戶數(shù)為700戶，白天調(diào)查的無孩子的家庭的戶數(shù)為300戶，晚上調(diào)查的有孩子的家庭的戶數(shù)為0，晚上調(diào)查的無孩子的家庭的戶數(shù)為1 000戶，可使總調(diào)查費用最小。（2）白天調(diào)查的有孩子的家庭的費用在2026元之間，總調(diào)查方案不會變化；白天調(diào)查的無孩子的家庭的費用在1925元之間，總調(diào)查方案不會變化；晚上調(diào)查的有孩子的家庭的費用在29到正無窮之間，總調(diào)查方案不會變化；晚上調(diào)查的無孩子

10、的家庭的費用在-2025元之間，總調(diào)查方案不會變化。（3）發(fā)調(diào)查的總戶數(shù)在1 400到正無窮之間，對偶價格不會變化；有孩子家庭的最少調(diào)查數(shù)在0到1 000之間，對偶價格不會變化；無孩子家庭的最少調(diào)查數(shù)在負無窮到1 300之間，對偶價格不會變化。管理運籌學(xué)軟件求解結(jié)果如下：6解：設(shè)空調(diào)機、洗衣機的月供應(yīng)量分別是x,y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，可建立約束條件如下：30x+20y300;5x+10y110;x0 y0 x,y均為整數(shù)。使用管理運籌學(xué)軟件可求得，x=4,y=9,最大利潤值為9600；7. 解：（1）該問題的決策目標是公司總的利潤最大化，總利潤為：

11、0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 決策的限制條件： 8x1+ 4x2+ 6x3500 銑床限制條件4x1+ 3x2 350 車床限制條件3x1 + x3150 磨床限制條件 即總績效測試（目標函數(shù)）為： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3（2）本問題的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型 max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 ST 8x1+ 4x2+ 6x3500 4x1+ 3x2 350 3x1 + x3150 x10、x20、x30最優(yōu)解（50，25，0），最優(yōu)值：30元。（3）若產(chǎn)品最少銷售18件，修改后的的數(shù)學(xué)模型是：max z= 0.5x1+ 0.2x2+

12、0.25x3 ST 8x1+ 4x2+ 6x3500 4x1+ 3x2 350 3x1 + x3150x318 x10、x20、x30代入求解模板得結(jié)果如下：最優(yōu)解（44，10，18），最優(yōu)值：28.5元。8解：設(shè)第i個月簽訂的合同打算租用j個月的面積為xij，則需要建立下面的數(shù)學(xué)模型：min f=2 800x114 500x126 000x137 300x142 800x214 500x226 000x232 800x314 500x322 800x41s.t x11x12x13x1415 x

13、12x13x14x21x22x2310 x13x14x22x23+x31x3220 x14x23x32x4112 xij0，i，j=1，2，3，4用管理運籌學(xué)軟件我們可以求得此問題的解如下。x11=5，x12=0，x13=0，x14=10，x21=0，x22=0，x23=0，x31=8，x32=2，x41=0，最優(yōu)值為118400，即在一月份租用 500平方米一個月，租用1000平方米4個月；在三月份租用800平方米一個月，租用200平方米2個月，可使所付的租借費最小。9. 解：設(shè)xi為每月（月末）買進的種子擔(dān)數(shù)，yi為每月（月初）賣出的種子擔(dān)數(shù)，則線性規(guī)劃模型為；Max Z=3.1

14、y1+3.25y2+2.95y3-2.85x1-3.05x2-2.9x3s.t. （1）賣出量約束： y11000 y21000- y1+ x1 y31000- y1+ x1- y2+ x2（2）庫存量約束：1000- y1+ x15000（7月末庫存）1000- y1+ x1- y2+ x25000（8月末庫存）1000-y1+x1-y2+ x2-y3 +x3=2000（9月末庫存）（3）買入量約束即資金約束x1（20000+3.1 y1）/ 2.85x2（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2）/ 3.05x3（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2-3.05x

15、2+2.95y3）/ 2.9xi0 yi0 (i=1,2,3)10解：設(shè)xij表示第i種類型的雞飼料需要第j種原料的量，可建立下面的數(shù)學(xué)模型。max z=9(x11x12x13)7(x21x22x23)+8(x31x32x33)5.5(x11x21x31)4(x12x22 x32)5(x13x23x33)s.t  x110.5(x11x12x13) x120.2(x11x12x13) x210.3(x21x22x23) x230.3(x21x22x23) x330.5(x31x32x33) x11x21x31+ x12x22x32+ x13x23x3330  x11x12x

16、135x21x22x2318x31x32x3310 xij0，i，j=1，2，3用管理運籌學(xué)軟件我們可以求得此問題的解如下。x11=2.5，x12=1，x13=1.5，x21=4.5，x22=10.5，x23=0，x31=0，x32=5，x33=5，最優(yōu)值為93.11. 解：設(shè)X為第i個月生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，Y為第i個月生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，Z，W分別為第i個月末產(chǎn)品、庫存數(shù)，S，S分別為用于第（i+1）個月庫存的自有及租借的倉庫容積（立方米），則可以建立如下模型。 min z = s.t X110 000=Z1 X2+Z110 000=Z2 X3+Z210 00

17、0=Z3 X4+Z310 000=Z4 X5+Z430 000=Z5 X6+Z530 000=Z6 X7+Z630 000=Z7 X8+Z730 000=Z8 X9+Z830 000=Z9 X10+Z9100 000=Z10 X11+Z10100 000=Z11 X12+Z11100 000=Z12 Y150 000=W1 Y2+W150 000=W2 Y3+W215 000=W3 Y4+W315 000=W4 Y5+W415 000=W5 Y6+W515

18、 000=W6 Y7+W615 000=W7 Y8+W715 000=W8 Y9+W815 000=W9 Y10+W950 000=W10 Y11+W1050 000=W11 Y12+W1150 000=W12 S1i15 000 1i12 Xi+Yi120 000 1i12 0.2Zi+0.4Wi 1i12 X0,Z用管理運籌學(xué)軟件我們可以求得此問題的解如下。最優(yōu)值為4 910 500。X1=10 000, X2=10 000, X3=10 000, X

19、4=10 000, X5=30 000, X6=30 000, X7=30 000,X8=45 000, X9=105 000, X10=70 000, X11=70 000, X12=70 000;Y1=50 000, Y2=50 000, Y3=15 000, Y4=15 000, Y5=15 000Y6=15 000, Y7=15 000, Y8=15 000, Y9=15 000, Y10=50 0

20、00, Y11=50 000, Y12=50 000;Z8=15 000, Z9=90 000, Z10=60 000, Z11=30 000;S18=3 000, S19=15 000, S110=12 000, S111=6 000, S29=3 000;其余變量都等于0。12.解：為了以最低的成本生產(chǎn)足以滿足市場需求的兩種汽油，將這個問題寫成線性規(guī)劃問題進行求解，令，x1=生產(chǎn)標準汽油所需的X100原油的桶數(shù)x2=生產(chǎn)經(jīng)濟汽油所需的X100原油的桶數(shù)x3=生產(chǎn)標準汽油所需的X220原油的桶數(shù)x4=生產(chǎn)經(jīng)濟汽油

21、所需的X220原油的桶數(shù)則，min Z=30 x1+30 x2+34.8 x3+34.8 x4s.t. x1+ x325000x2+ x4320000.35 x1+ 0.6x30.45（x1+ x3）0.55 x2+ 0.25x40.5（x2+ x4）通過管理運籌學(xué)軟件，可得x1=15000，x2=26666.67，x3=10000，x4=5333.33總成本為1783600美元。13解：（1）設(shè)第i個車間生產(chǎn)第j種型號產(chǎn)品的數(shù)量為xij, 可以建立如下數(shù)學(xué)模型。max z=25(x11+x21 +11s.t 4 x j=1,2,3,4用管理運籌學(xué)軟件我們可以求得此問題的解如下。 *最優(yōu)解如下

22、* 目標函數(shù)最優(yōu)值為：279 400 變量 最優(yōu)解 相差值 - - - x11 0 11 x21 0 26.4 x31 1 400 0 x41 0 16.5 x51 0 5.28 x12 0 15.4 x32 800 0 x42 0 11 x52 0 10.56 x13 1 000 0 x23 5 000 0 x43 0 8.8 x53 2 000 0 x14 2 400 0 x24 0 2.2 x44 6 000 0即x31=1400，x32=800，x13=1000，x23=5000，x53=2000，x14=2400，

23、 x44=6000，其余均為0，得到最優(yōu)值為279 400。(2) 對四種產(chǎn)品利潤和5個車間的可用生產(chǎn)時間做靈敏度分析; 約束 松弛/剩余變量 對偶價格 - - - 1 0 25 2 500 0 3 0 20 4 0 3.8 5 7 700 0 6 0 2.2 7 0 4.4 8 6 000 0 9 0 5.5 10 0 2.64 目標函數(shù)系數(shù)范圍 : 變量 下限 當(dāng)前值 上限 - - - - x11 無下限 25 36 x21 無下限 25 51.4 x31 19.72 25 無上限 x41 無下限 25 41.5 x51 無下限 25 30.28 x12 無下

24、限 20 35.4 x32 9.44 20 無上限 x42 無下限 20 31 x52 無下限 20 30.56 x13 13.2  17 19.2 x23 14.8  17 無上限 x43 無下限 17 25.8 x53 3.8  17 無上限 x14 9.167  11 14.167 x24 無下限 11 13.2 x44 6.6  11 無上限 常數(shù)項數(shù)范圍： 約束 下限 當(dāng)前值 上限 - -   -  - 1 0 1 400  2 900 2 無下限 300 800 3 300 800 2 800 4 7 000 8 000 10 000 5 無下限 700 8 400 6 6 000  18