保險(xiǎn)第六章習(xí)題

1、【例6.1】李明今年20歲，如果他能活到60歲，它將能從保險(xiǎn)公司得到1000元的一次性給付。設(shè)年利率為6%，試寫出這筆給付在李明20歲時(shí)的現(xiàn)值。解：李明從20歲活到60歲的概率是，從20歲到60歲死亡的概率為（），如果活到60歲，他可以獲得1000元給付，死亡則沒有給付。因此，他獲得給付的期望值為： 【例6.2】設(shè)n>t，證明并解釋下面兩個(gè)式子：（1）（2）證明：（1）（2）將兩邊同乘以，得： 【例6.3】張華今年30歲，從今年起，只要他存活，可以在每年年初獲得1000元的生存給付，假設(shè)年利率為9%。計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。解：這是一個(gè)每年給付1000元的終身生存年金，每一次給付經(jīng)過折現(xiàn)

2、后在30歲時(shí)的價(jià)值總和合即為這筆年金在30歲時(shí)的精算現(xiàn)值。因此，給付的現(xiàn)值是： 【例6.4】某人今年45歲，花費(fèi)10000元購買了一份年金產(chǎn)品，保單承諾從下一年開始，每年可以領(lǐng)到等額的給付，已知利率i=5%,一句附表中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，試計(jì)算每年可以領(lǐng)取的金額。解：這是一個(gè)期末負(fù)終身年金的例子，題目中已經(jīng)給出了這份年金購買時(shí)的現(xiàn)值，要求計(jì)算年金每次的給付額。設(shè)每次的給付額為p，有 而 故 P=661.03（元）【例6.5】王明在40隨時(shí)購買了一份年金產(chǎn)品，承諾在未來20年內(nèi)，如果他存活，則可以在每年年初領(lǐng)取1000元的給付，一旦死亡，則給付立即停止

3、。20年期滿，保單自動中止，無論20年后是否存活，不再繼續(xù)給付。以附表中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，假設(shè)預(yù)定利率為i=6%，使計(jì)算這筆年金的精算現(xiàn)值。解：其精算現(xiàn)值為： =11882.82（元）【例6.6】某人在30隨時(shí)購買了一份年金，約定的給付為：從51歲起，如果被保險(xiǎn)人生存，每年可以得到5000元的給付，直到被保險(xiǎn)人死亡為止。設(shè)年利率為6%，存活函數(shù)為，試計(jì)算這筆年金在購買時(shí)的精算現(xiàn)值。解：由存活函數(shù)可得生存概率： 又因?yàn)?因而這筆年金的精算現(xiàn)值為： =12358.09（元）【例6.7】對于（30）的從60歲起每年年初6000元的生存年金，預(yù)定利率為6%

4、，以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，求保單的躉繳凈現(xiàn)值。解：有公式（6.13），保單的躉繳凈保費(fèi)為： =10787.38（元）【例6.8】某人在35隨時(shí)購買了一份年金產(chǎn)品，這份年金將從他60歲退休起的25年內(nèi)，每年年初給付5000元生存年金。給定利率為6%，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合），計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。解：其精算現(xiàn)值為： =11683（元）【例6.9】某30歲的人投保養(yǎng)老保險(xiǎn)，保險(xiǎn)契約規(guī)定，如果被保險(xiǎn)人存活的60歲，則確定給付10年年金，若被保險(xiǎn)人在6069歲間死亡，由其指定的受益人繼續(xù)領(lǐng)取，知道領(lǐng)取滿十年為止。如果被

5、保險(xiǎn)人在70歲仍然存活，則從70歲起以生存為條件得到年金。如果年僅每年年初支付一次，一次支付6000元，預(yù)定利率為6%，以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）資料，計(jì)算保單躉繳凈保費(fèi)。解:躉繳凈保費(fèi)為： 【例6.10】如果一個(gè)x歲的人獲得了一份每年1單位元的連續(xù)年金，試用隨機(jī)變量y表示給付變量的現(xiàn)值。（1） 用（x）的余壽隨機(jī)變量T的函數(shù)表示y（2） 利用y是T的函數(shù)這一條件計(jì)算年金的精算現(xiàn)值（3） 死亡給付1單位元終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值的隨機(jī)變量是Z，給付Y也Z之間的關(guān)系。（4） 利用（3）中的關(guān)系，用表示解：（1） （2） （3）因?yàn)?所以 （4） 【例6.11】已知某人

6、的生命具有常數(shù)死亡力，設(shè)利息力，試計(jì)算:(1)(2)超過的概率.解：(1)已知死亡力，則 （2） 【例6.12】在例6.7中，若年金每月支付一次，求躉繳額。解：躉繳凈保費(fèi)為： 【例6.13】某保單提供從60歲起每月500元的生存年金，如果被保險(xiǎn)人在60歲前死亡，則在死亡年末給付10000元。設(shè)預(yù)定利率為6%，如果某人30歲時(shí)購買了這種保單，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，求這一年金的精算現(xiàn)值。解：這一保單包括年金與壽險(xiǎn)兩種保險(xiǎn)形式，其精算現(xiàn)值是兩種保險(xiǎn)精算值之和，其中年金精算現(xiàn)值與例6.12相同。 【例6.14】若某人30歲購買從60歲起支付的生存年金，契

7、約規(guī)定：在被保險(xiǎn)人60-69歲時(shí)，每年的給付額為6000元，70-79歲每年的給付額為7000元，80-89歲每年的給付額為8000元。在預(yù)定利率6%下，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合），計(jì)算保單的躉繳凈保費(fèi)。解：這是一個(gè)變額年金，其躉繳凈保費(fèi)為： 【例6.15】某人在50隨時(shí)購買了一份終身生存年金，給付從51歲開始，每年一次，給付額在第一年為5000元，第二年為5500元，第三年為6000元，即給付額每年增長500元。計(jì)算這筆年金的精算現(xiàn)值。解：我們可以把這個(gè)年金看做是一個(gè)每年支付4500元的等額年金加上一個(gè)以500元開始每年增長500元的等差遞增年金。其精算現(xiàn)

8、值為： 如果已知 則 【例6.16】某人在40歲時(shí)購買了一份10年期變額年金，從41歲起，每年的給付額依次為10000、8000、6000、4000、2000、2000、4000、6000、8000、10000元。假設(shè)預(yù)定利率為6%，根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。解：只是一個(gè)等差遞增年金和一個(gè)遞減年金的組合，前5年是遞減年金，后5年是遞增年金，其精算現(xiàn)值為： 應(yīng)用轉(zhuǎn)換函數(shù)： 則 所以 【例6.17】某人在30歲時(shí)購買了從60歲起領(lǐng)取的生存年金，60歲的領(lǐng)取額為10000元，以后每年的領(lǐng)取額在上年的基礎(chǔ)上增加4%。在利率4%下，以中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）（男女混合）的資料，計(jì)算這一年金的精算現(xiàn)值。解：這一年金在被保險(xiǎn)人60歲時(shí)的精算現(xiàn)值為： 年金在被保險(xiǎn)人30歲時(shí)的現(xiàn)值為： 18某人40歲時(shí)投保了3年期1000元定期壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)金在死亡年末賠付，利率為0.05,求現(xiàn)值。（）19設(shè)，利息強(qiáng)度為常數(shù)，求 與Var(L)。20已知x歲的人購買保額1000元的完全離散型終身壽險(xiǎn)的年保費(fèi)為