第一部分 核心考點(diǎn)三 第12課時(shí) 推理與證明

1、第 12 課時(shí) 推理與證明1(2012 年江西)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10() A28B76C123D199解析：等式右面的數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列 1,3,4,7,11，數(shù)列的前兩項(xiàng)相加等于后面的項(xiàng)，即 anan1an2，所以可推出a10123.故選 C.C2(2011 年廣東)設(shè) S 是整數(shù)集 Z 的非空子集，如果a，bS，有 abS，則稱 S 關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的若 T，V 是 Z的兩個(gè)不相交的非空子集，TVZ.且a，b，cT，有 abc)T，x，y，zV，有 xyzV.則下列結(jié)論恒成立的是(AT，V 中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的BT，V

2、 中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的CT，V 中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的DT，V 中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的解析：由于 TVZ，故整數(shù) 1 一定在 T，V 兩個(gè)集合中的一個(gè)中，不妨設(shè) 1T，則a，bT，由于a，b,1T，則ab1T，即 abT，從而 T 對乘法封閉；另一方面，當(dāng) T非負(fù)整數(shù)，V負(fù)整數(shù)時(shí)，T 關(guān)于乘法封閉，V 關(guān)于乘法不封閉，故 D 不對；當(dāng) T奇數(shù)，V偶數(shù)時(shí)，T，V 顯然關(guān)于乘法都是封閉的，故 B，C 不對故選 A.答案：A解析：觀察知：四個(gè)等式等號右邊的分母為 x2,3x4,7x8,15x16，即(21)x2，(41)x4，(81)x8，(161)x16，所以歸納出fn(x)f

3、fn1(x)的分母為(2n1)x2n，故當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)ffn1(x)4(2010 年四川)設(shè) S 為復(fù)數(shù)集 C 的非空子集若對任意 x，yS，都有 xy，xy，xyS，則稱 S 為封閉集下列命題：集合 Sabi|a，b 為整數(shù)，i 為虛數(shù)單位為封閉集；若 S 為封閉集，則一定有 0S；封閉集一定是無限集；若 S 為封閉集，則滿足 STC 的任意集合 T 也是封閉集其中真命題是_(寫出所有真命題的序號)解析：直接驗(yàn)證可知正確；當(dāng) S 為封閉集時(shí)，因?yàn)?xyS，取 xy，得 0S，正確；對于集合 S0，顯然滿足所有條件，但 S 是有限集，錯誤；取 S0，T0,1，滿足 STC，但由于

4、 011T，故 T 不是封閉集，錯誤答案：推理與證明是新課標(biāo)增加的內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜測和創(chuàng)新的能力， 自2007 年新課改第一次高考以來，推理與證明一直是高考關(guān)注的對象，主要以三種方式出現(xiàn)：1以填空題形式考查合情推理(歸納與類比)2以選擇題形式考查信息給予題3與數(shù)列等大題相結(jié)合，考查推理證明能力，難度不大，但相當(dāng)有新意，而且?？汲Ｐ拢苓_(dá)到考查能力的目的，應(yīng)該引起我們的重視歸納推理例 1：(2012 年陜西)觀察下列不等式：照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為_【思維點(diǎn)撥】歸納總結(jié)時(shí)，看等號左邊式子的變化規(guī)律，右邊結(jié)果的特點(diǎn)，根據(jù)以上規(guī)律寫出第五個(gè)等式，注意行數(shù)、項(xiàng)數(shù)及其變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵

5、的一個(gè)根是x1，則x1 ，方程a0 x2a1xa20的兩個(gè)根是x1，x2，則x1x2 ，由此類推方程 a0 x3a1x2a2xa30【配對練習(xí)】1(2012 年廣東佛山三模)已知 a00，設(shè)方程a0 xa10的三個(gè)根是 x1，x2，x3，則x1x2x3_.33(123)2,13233343(1234)2，根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為_解析：第 i 個(gè)等式左邊為 1 到 i1 的立方和，右邊為 1 到i1 和的完全平方，所以第四個(gè)等式為 1323334353(12345)2(或152)2(2010 年陜西)觀察下列等式：1323(12)2,13231323334353(12345)2(或152)類

6、比推理例 2：設(shè)等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)積為 Tn，則 T4，_ ，_ ，_ 成等比數(shù)列解析：對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列bn的前 n 答案：【配對練習(xí)】3 已 知 等 差 數(shù) 列 an 中 ， 有， 則在等 比 數(shù) 列 bn 中 ， 會有類似的結(jié)論_解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，b1b30b2b29b11b20，4記等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)的和為 Sn, 利用倒序求和的方法，得 ；類似地，記等比數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)的積 表示成首項(xiàng) b1，末項(xiàng) bn 與項(xiàng)數(shù) n 的一個(gè)關(guān)系式，即 Tn_.

7、解析：Tnb1b2bn，Tnbnbn1b1，兩式相乘， 為 Tn，且 bn0(nN*)，試類比等差數(shù)列求和的方法，可將 Tn信息給予題例 3：(2012 年廣東茂名二模)在實(shí)數(shù)集 R 中，我們定義的大小關(guān)系“”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”類似地，我們在平面向量集 Da|a(x，y)，xR，yR上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為“ ”定義如下：對于任意兩個(gè)向量 a1(x1，y1)，a2(x2，y2)，a1 a2 當(dāng)且僅當(dāng)“x1x2”或“x1x2 且 y1y2”按上述定義的關(guān)系“ ”，給出如下四個(gè)命題：若 e1(1,0)，e2(0,1)，0(0,0)則 e1 e2 0;若 a1 a2，a2 a3，

8、則 a1 a3；若 a1a2，則對于任意 aD，a1a a2a；對于任意向量 a 0，0(0,0)，若 a1 a2，則 aa1aa2.其中真命題的序號為()A B C D解析：(1)顯然正確(2)設(shè)a1(x1，y1)，a2(x2，y2)，a3(x3，y3)，由a1 a2，得“x1x2”或“x1x2且y1y2”，由a2 a3，得“x2x3”或“x2x3且y2y3”，若x1x2x3，則a1 a3.若“x1x2”且“x2x3且y2y3”，則x1x3，所以a1 a3.若“x1x2 且 y1y2”且“x2x3”，則 x1x3，所以 a1 a3.若“x1 x2 且 y1y2”且“x2 x3 且 y2y3”

9、，則 x1 x3 且y1y3，所以 a1 a3.a1a a3a.綜上所述，若a1 a2，a2 a3，則a1 a3，所以正確(3)設(shè)a1(x1，y1)，a2(x2，y2)，a(x，y)，則a1a(x1x，y1y)，a2a(x2x，y2y)由a1 a2，得“x1x2”或“x1x2且y1y2”若x1x2，則x1xx2x，所以a1a a3a.若x1x2且y1y2，則x1xx2x且y1yy2y，所以yy1yy2，所以 xx1yy1xx2yy2.所以aa10”或“x0且y0”由a1 a2，得“x1x2”或“x1x2且y1y2”若“x0且y0”且“x1x2且y1y2”，則xx1xx20且【配對練習(xí)】5(20

10、11 年安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，如果 x 與 y 都是整數(shù)，就稱點(diǎn)(x，y)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_(寫出所有正確命題的編號)存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)；如果 k 與 b 都是無理數(shù)，則直線 ykxb 不經(jīng)過任何整點(diǎn)；直線 l 經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) l 經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)；直線 ykxb 經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與 b 都是有理數(shù)；存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線 線，若此直線過兩個(gè)整點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，則有y1kx1，y2kx2，兩式相減，得y1y2k(x1x2)，則點(diǎn)(x1x2，y1y2)也在直線 ykx 上，通過這種方法可以得到直線 l 經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，通過上下平移 ykx，得對于ykxb也成立，所以正確；k 與 b 都是有理數(shù)，直線 ykxb 不一定經(jīng)過整點(diǎn)，錯誤；直線 y x 恰過一個(gè)整點(diǎn)，正確答案：合情推理包括歸納推理與類比推理： 歸納推理是由特殊到一般，類比推理是由特殊到特殊證明包括直接證明和間接證明： 直接證明