第二章圓錐曲線與方程含詳細答案

1、第二章圓錐曲線與方程刷速度一、 選擇題1. 如圖,所在的平面和四邊形ABCD所在的平面互相垂直,且,若,則點P在平面a內的軌跡是(    )A. 圓的一部分B. 橢圓的一部分C. 雙曲線的一部分D. 拋物線的一部分答案詳解B解:根據(jù)題意可得,即,又因P、A、B三點不共線,故點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓的一部分,故選 B.2. 在中，以，為焦點，經(jīng)過的橢圓和雙曲線的離心率分別為，則（  ）。A:  B:  C:  D: 答案詳解A正確率: 28%, 易錯項: C解

2、析:本題主要考查橢圓和雙曲線的幾何性質。3. 設圓錐曲線的兩個焦點分別為，若曲線上存在點滿足，則曲線的離心率等于（  ）。A: 或 B: 或 C: 或 D: 或答案詳解A正確率: 36%, 易錯項: B解析:本題主要考查雙曲線和橢圓的離心率。由題意，可能為雙曲線或橢圓，可令，如果為雙曲線，那么其離心率為，如果為橢圓，那么其離心率為，綜上，曲線的離心率為或。故本題正確答案為A。如圖，不妨設，對于橢圓，所以；對于雙曲線，所以。所以。故本題正確答案為A。4. 已知拋物線 C 的頂點是橢圓 x24+y23=1 的

3、中心 , 焦點與該橢圓的右焦點 F2 重合 , 若拋物線 C 與該橢圓在第一象限的交點為 P, 橢圓的左焦點為 F1, 則|PF1|=( )A. 23  B. 73  C. 53  D. 25. 如圖，直線  與拋物線  交于點  ，與圓  的實線部分交于點  ，  為拋物線的焦點，則三角

4、形  的周長的取值范圍是（ ）A. B.C.D.答案B解析【命題立意】本題考查拋物線的定義與曲線間的位置關系，難度較大. 【解題思路】設點  ，  的橫坐標分別是  ，  ，則依題意有  ，  的周長等于  ；由  解得 與  （舍去），結合題意與圖形可知，  ， ，因此  的周長的取值范圍是  ，故選B6、斜率為1的

5、直線l與橢圓+y2=1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為（ ）A.2 B. C. D.答案詳解此題答案為：C.解：設直線l的方程為y=x+b，將直線l的方程代入橢圓中可得5x2+8bx+4b2-4=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-，x1·x2=.由弦長公式可得|AB|=|x1-x2|=|x1-x2|=×=×（當b=0時，取等號）.故選C.7、過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A,B兩點,它們到直線的距離之和等于5,則這樣的直線(    )A. 有且僅有一條B. 有且僅有兩

6、條C. 有無窮多條D. 不存在答案詳解D解:拋物線的焦點坐標為,準線方程為,設A,B的坐標為,則A,B到直線的距離之和設直線方程為,代入拋物線,則,即,B到直線的距離之和過焦點使得到直線的距離之和等于5的直線不存在8、已知中心在原點的橢圓和雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為、，這兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形。若，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是（  ）。A:  B:  C:  D: 答案詳解B正確率: 55%, 易錯項: C解析:本題主要考查圓錐曲線數(shù)形結合和簡單應用。設橢圓半長

7、軸為，半焦距為，雙曲線半長軸為，半焦距為。由題意可知，解得。又因為是以為底邊的等腰三角形，所以，則，即，所以，可解得（，）。則，令（），則，代入可得，在上單調遞增。當時，所以。9、點是拋物線：（）與雙曲線：（，）的一條漸近線的交點（異于原點），若點到拋物線的準線的距離為，則雙曲線的離心率等于（  ）。A:  B:  C:  D: 答案詳解C正確率: 41%, 易錯項: B解析:本題主要考查拋物線與雙曲線的相關知識。因為點到拋物線的準線的距離為，根據(jù)拋物線的性質可知，代入拋物線方程，得點坐標為。且點在上，所以，即。10、過拋物線的焦點的直線與拋物

8、線交于A、B兩點,且為坐標原點)的面積為,則等于(    )A. 4 B. 2 C. 6 D. 8答案B解:根據(jù)題意,可以知道該拋物線的焦點為,它過直線,代入直線方程,可以知道:求得直線方程變?yōu)?A,B兩點是直線與拋物線的交點,它們的坐標都滿足這兩個方程.方程的解,;代入直線方程,可以知道:,的面積可分為與的面積之和,而與若以OP為公共底,則其高即為A,B兩點的y軸坐標的絕對值,與的面積之和求得,11、如圖3,已知雙曲線上有一點，它關于原點的對稱點為點，為雙曲線的右焦點,且滿足,設且,則該雙曲線離心率的取值范圍為A

9、.B.        C.答案B解析本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質.如圖所示，設為雙曲線的左焦點，,所以，根據(jù)雙曲線的對稱性可知，四邊形AFB是矩形，,且,易求,則，,因為且,所以，化簡求解可得，該雙曲線離心率的取值范圍為12、設雙曲線（，）的右焦點為，右頂點為，過作的垂線與雙曲線交于，兩點，過，分別作，的垂線，兩垂線交于點。若到直線的距離小于，則該雙曲線的漸近線的斜率的取值范圍是（  ）。A: B: C: D: 答案詳解A解析:本題主要考查雙曲線的性質

10、。根據(jù)題意作圖如下所示，根據(jù)已知條件可知，圖中圖形關于軸對稱，點在軸上。寫出各點坐標如下，。方程：，令，得點橫坐標為，方程：，那么到直線的距離為。得，所以。該雙曲線漸近線斜率為，所以其取值范圍為。二、 填空題13下載安裝的頂點,的內切圓圓心在直線上,則頂點C的軌跡方程是 答案詳解解:如圖,與圓的切點分別為E、F、G,則有,所以.根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點,實軸長為6的雙曲線的右支,方程為.因此，本題正確答案是:.14、已知兩定點,若直線上存在點P,使得,則稱該直線為“A型直線”,給出下列直線:(1);(2);(3);(4),其中是“A型直線”的有 答案解:由橢

11、圓的定義可以知道,點P的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,其方程是,對于(1),把代入,并整理得,由,則是“A型直線”;對于(2),把代入,得不成立,不是“A型直線”;對于(3),把代入,并整理得,則不是“A型直線”;對于(4)把代入,并整理得,由,則是“A型直線”.因此，本題正確答案是:(1)(4).15、已知橢圓（）的兩個焦點分別為，設為橢圓上一點，的外角平分線所在的直線為，過，分別作的垂線，垂足分別為，當在橢圓上運動時，所形成的圖形的面積為     。答案詳解解析:本題主要考查圓錐曲線綜合。如圖所示，為的角平分線，因此，又，。所以。隨著點在橢圓上運動，所

12、以，即點、在直徑為的圓內運動，故形成的圖形的面積為。故本題正確答案為。16、平面直角坐標系中，雙曲線：（，）的漸近線與拋物線：（）交于點，。若的垂心為的焦點，則的離心率為_。答案詳解解：由已知可得焦點坐標為，設左交點為A，右交點為B，聯(lián)立漸近線方程與拋物線方程，可得，即點B坐標為，由已知可得漸近線與直線垂直，所以有，解得，所以雙曲線的離心率。三、 解答題17、已知拋物線的焦點為,拋物線的焦點為M.(1)若過點M的直線l與拋物線C有且只有一個交點,求直線l的方程;(2)若直線MF與拋物線C交于A、B兩點,求的面積.解:(1)拋物線的焦點為,拋物線的焦點為M, ,斜率不存在時,滿足題意;斜率存在時

13、,設方程為,代入,可得,時,滿足題意,方程為;時,方程為,綜上,直線l的方程為或或;(2)直線MF的方程為,代入,可得,設,則,的面積.18、已知圓,圓,動圓P與圓M外切并與圓N內切,圓心P的軌跡為曲線C. (I)求C的方程. ()若直線與曲線C交于R,S兩點,問是否在x軸上存在一點T,使得當k變動時總有若存在,請說明理由.答案詳解解:()圓的圓心為,半徑, 圓N的圓心,半徑設圓P的圓心為,半徑為R. 圓P與圓M外切并與圓N內切,  由橢圓的定義可以知道,曲線C是以M,N為左右焦點,長半軸長為2,短半軸為 3的橢圓(左頂點除

14、外), 的方程為 ()假設存在滿足.設,聯(lián)立 y=k(x-1)3x2+4y2-12=0得, 由韋達定理有 x1+x2=8k23+4k2x1x2=4k2-123+4k2 ,其中恒成立, 由(根據(jù)題意TS,TR的斜率存在), 故,即, 由R,S兩點在直線上,故 , 代入得, 即有 將代入即有:, 要使得與k的取值無關,當且僅當“時成立, 綜上所述存在,使得當k變化時,總有19、已知直線與橢圓（）相交于、兩點。（1）若橢圓的離心率為，焦距為，求線段的長；（2）若

15、向量與向量互相垂直（其中為坐標原點），當橢圓的離心率時，求橢圓長軸長的最大值。答案詳解（1）因為，即，所以，則，所以橢圓的方程為，將代入消去得，設，因此，。所以；      .6分（2）因為向量與向量互相垂直，因此，即，由，消去可得，由，整理得，又，所以，由，可得，所以，整理得，所以，代入上式得，所以，因為，所以，所以，所以，所以，此時滿足，由此得，所以，故長軸長的最大值為。      .14分20、已知橢圓：（）過點，且離心率。（1）求橢圓的方程；（2）設直線：（）交橢圓于

16、，兩點，判斷點與以線段為直徑的圓的位置關系，并說明理由。答案詳解（1）由已知得，解得，所以橢圓的方程為。（2）設點，則，由得，所以，從而所以，又，不共線，所以為銳角，故點在以為直徑的圓外。21、已知點,(其中是曲線上的兩點,A,D兩點在x軸上的射影分別為點B,C,且.()當點B的坐標為時,求直線AD的斜率;()記的面積為,梯形ABCD的面積為,求證:.解:()由,可得,代入,得到,又,則,可得,代入,得到,則;()證法一:設直線AD的方程為,則.由,得,所以,又,又注意到,所以,所以,因為,所以,所以.證法二:設直線AD的方程為.由,得,所以,點O到直線AD的距離為,所以,又,又注意到,所以,

17、所以,因為,所以,所以.22、已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有。當點的橫坐標為時，為正三角形。（）求的方程；（）若直線，且和有且只有一個公共點，（）證明直線過定點，并求出定點坐標；（）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由。答案詳解（1）由題意知，設，則的中點為，因為，由拋物線的定義知，解得或（舍去），由，解得。所以拋物線的方程為。（2）（i）由（1）知，設，。因為，則，由得，故。故直線的斜率，因為直線和直線平行，設直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意，得。設，則，。當時，可得直線的方程為，由，整理可得，直線恒

18、過點，當時，直線的方程為，過點，所以直線過定點。（ii）由（i）知直線過定點，所以，設直線的方程為，因為點在直線上，故，設，直線的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得。所以，可求得，。所以點到直線的距離為，則的面積，當且僅當即時等號成立。所以的面積的最小值為。刷真題考點1 橢圓1、直線經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（  ）。A:  B:  C:  D: 答案詳解B正確率: 54%, 易錯項: C解析:本題主要考查直線與圓錐曲線。如下圖所示，在橢圓中，設點到直線的距離為，在中，根據(jù)等面積

19、公式得：，所以，化簡得：，所以橢圓的離心率。故本題正確答案為B。2、已知為坐標原點，是橢圓（）的左焦點，分別為的左、右頂點，為上一點，且軸，過點的直線與線段交于點，與軸交于點。若直線經(jīng)過的中點，則的離心率為（  ）。A:  B:  C:  D: 答案詳解A正確率: 0%解析:本題主要考查直線與圓錐曲線。如圖，根據(jù)已知可得，所以設直線：，那么點，所以線段的中點坐標為，又點在直線上，且，所以點，故直線的方程為，因為直線經(jīng)過線段的中點，所以對直線：令，有，所以，化簡得，所以。故本題正確答案為A。3、如圖，在平面直角坐標系中，是橢圓（）的右焦

20、點，直線與橢圓交于，兩點，且，則該橢圓的離心率是     。答案詳解解析:本題主要考查圓錐曲線。聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，所以，因為，所以，即，所以有，又因為，聯(lián)立解得。故本題正確答案為?？键c2 雙曲線4、已知是雙曲線：的右焦點，是上一點，且與軸垂直，點的坐標是，則的面積為（  ）。A:  B:  C:  D: 答案詳解D正確率: 60%, 易錯項: C解析:本題主要考查圓錐曲線。由題意雙曲線方程為，如圖所示，因為，所以，即右焦點。因為與軸垂直，所以設。由點在雙曲線上，解得或，則的長為，在中，邊

21、上的高，所以。故本題正確答案為D。5、已知，是雙曲線：（，）的左，右焦點，點在的漸近線上，且與軸垂直，則的離心率為（  ）。A:  B:  C: D: 答案詳解A正確率: 0%解析:本題主要考查圓錐曲線。不妨設點在雙曲線的漸近線上，又軸，得，因為，在中，結合勾股定理得，即，解得，又，故。6、已知雙曲線（a0）的一條漸近線方程為，則a=_答案詳解解析:根據(jù)雙曲線的漸近線，確定幾何量之間的關系，即可得到結論解答：雙曲線（a0）的一條漸近線方程為，a=故答案為：點評：本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質，根據(jù)雙曲線的漸近線，確定幾何量之間的關系是關鍵7

22、、已知雙曲線：的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點。若，則的離心率為_。答案詳解解析:本題主要考查圓錐曲線。根據(jù)題意可令，所在的漸近線為，則圓的圓心到漸近線的距離，由于，均為圓上的點，所以，又知，所以為等邊三角形，在內，到邊的距離為，所以有，解得，所以，離心率。故本題正確答案為。8、雙曲線 x2a2y2b2=1(a>0,b>0) 的漸近線為正方形 OABC 的邊 OA,OC 所在直線 , 點 B 為該雙曲線的焦點 , 若正方形

23、0;OABC 的邊長為 2, 則 a=()A. 1  B. 2  C. 12  D. 49、在平面直角坐標系中，雙曲線（，）的右支與焦點為的拋物線（）交于，兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為_。答案詳解解析:本題主要考查圓錐曲線。設，因為，兩點在拋物線上，所以。因為，所以，聯(lián)立雙曲線與拋物線方程，得消去可得，所以，所以，所以，故雙曲線的漸近線方程為。故本題正確答案為?？键c3 拋物線10、以拋物線的頂點為圓心的圓交于，兩點，交的準線于，兩點，已知，則的焦點到準線的距離為（  ）

24、。A:  B:  C:  D: 答案詳解B正確率: 59%, 易錯項: C解析:本題主要考查圓錐曲線。如圖所示，設拋物線的開口向右（其他開口同理），設拋物線：（），設圓的方程為，如圖，設點，因為點在拋物線上，所以，點在圓上，所以，因為點在圓上，所以，聯(lián)立解得，所以焦點到準線的距離為。故本題正確答案為B。11、過拋物線：的焦點，且斜率為的直線交于點（在軸的上方），為的準線，點在上，且，則到直線的距離為（  ）。A:  B:  C:  D: 答案詳解C正確率: 61%, 易錯項: B解析:本題主要考查直線與圓

25、錐曲線。根據(jù)拋物線方程，可得其焦點坐標為，其準線為，過焦點，斜率為的直線為：，聯(lián)立，解得，；，因為在軸上方，所以，可得，直線的解析式為：，點到直線的距離。故本題正確答案為C。12、設為坐標原點，是以為焦點的拋物線（）上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率最大值為（  ）。A:  B:  C:  D: 答案詳解C正確率: 48%, 易錯項: B解析:本題主要考查圓錐曲線。如圖，由題可知，設點坐標為，顯然，當時，；時，要求最大值，不妨設。則，當且僅當?shù)忍柍闪?。故本題正確答案為C。13、在直角坐標系中，直線：（）交軸于點，交拋物線：（）于點，關于

26、點的對稱點為，連接并延長交于點。（1）求；（2）除以外，直線與是否有其他公共點？說明理由。答案詳解（1）根據(jù)題意有，當代入拋物線方程中，解得，所以，所以，所以直線方程為，與拋物線聯(lián)立：，得到，解得，所以，所以；     .5分（2）直線的方程為：，即，即，代入得，解得，即直線與只有一個公共點，所以除以外直線與沒有其它公共點。      .12分考點4 直線與圓錐曲線的位置關系14、已知橢圓：（），四點，中恰有三點在橢圓上。（1）求的方程；（2）設直線不經(jīng)過點且與相交于，兩點。若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點。

27、答案詳解（1）由已知得，根據(jù)橢圓的對稱性，必然在橢圓上，代入得，則剩余一點必然為，代入得，所以，。橢圓的方程為。（2）當直線的斜率存在時，設直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，設，由韋達定理得，。則，。又由，得。代入直線方程，及韋達定理的結論，得，化簡，得，因為直線不過點，所以，則，所以的方程為，即直線過定點。當直線的斜率不存在時，設，由斜率之和為，得，得，此時的方程為，但此時與橢圓只有一個交點，不符合題意，故舍去這種情況。故直線必過點。15、設為坐標原點，動點在橢圓：上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足。（1）求點的軌跡方程；（2）設點在直線上，且，證明：過點且垂直于的直線過的左焦點。答案詳解（1）令，故，故可表為，即，代入可得，即，所以點的軌跡方程為。（2）設，則可表為，即，整理得：，即，故