第4章向量空間課件

第四章向量空間4.1向量及其線性組合

4.2向量組的線性相關(guān)性

4.3向量組的秩

4.4矩陣的秩

4.5向量空間

4.6線性方程組解的結(jié)構(gòu)

4.1向量空間引例:幾何中的向量

把有方向的線段叫做向量向量由一個(gè)三元數(shù)組唯一確定。向量的加法(平行四邊形法則)向量的數(shù)乘

建立坐標(biāo)系的目的就是把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算.推廣：我們把三維中的向量推廣到n維，得到n維空間中的向量定義n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組或稱為一個(gè)n維行向量或n維列向量，其中稱為該向量的第i個(gè)分量。行向量和列向量統(tǒng)稱為向量。

分量全為實(shí)數(shù)(復(fù)數(shù))的向量稱為實(shí)(復(fù))向量，n維實(shí)(復(fù))向量的全體記為無(wú)特殊說(shuō)明，以后所指向量都為實(shí)列向量例4.1.1

稱單位矩陣的列向量為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)向量。設(shè)利用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)向量運(yùn)算往往非常方便，見(jiàn)下例例4.1.2設(shè)證明證把按列分塊為則定義若干同維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合叫做向量組例如:m×n

的矩陣A全體列向量是含n

個(gè)m維列向量的向量組,稱為A的列向量組;全體行向量是含m個(gè)n維的行向量組,為A的行向量組.列向量組行向量組向量的線性運(yùn)算

向量是矩陣的特例，規(guī)定向量的相等、加、減、數(shù)乘運(yùn)算按矩陣的相應(yīng)運(yùn)算。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。在Rn中的向量滿足以下8條規(guī)律：其中

都是n維向量，k、l為實(shí)數(shù)。對(duì)于向量組

,表達(dá)式又稱向量

可由向量組

A線性表示.通常寫(xiě)成向量的線性表示為A的一個(gè)線性組合，為其組合系數(shù)。如果

是

的一個(gè)線性組合，即存在

使得例4.1.3有所以，稱是的線性組合，或可以由線性表示。1°零向量可由任一組向量線性表示。中每個(gè)向量都可由向量組本身2°向量組線性表示，注意3°任一n元向量都可由n元單位向量組線性表示，即想一想

n元線性方程組

可以用向量形式表示為a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++++(1)其中對(duì)應(yīng)齊次方程組可用向量形式表示為

,,…，，

線性方程組的向量表示向量可由向量組線性表示存在數(shù)使即有解學(xué)會(huì)這種轉(zhuǎn)換就可以了!注意:符號(hào)混用另外,如果解唯一,則表示方法是唯一的.如果

……(按定義)(轉(zhuǎn)換為方程組)方程組定理4.1.1例4.1.4解設(shè)，且表示方法有無(wú)窮多種。方程組與矩陣B相對(duì)應(yīng)的同解方程組為則當(dāng)c=1時(shí)，當(dāng)c=-2時(shí)，解記不能由A線性表示;能由A唯一表示;能由A有無(wú)窮多種表示,并求所有表示方法.設(shè)向量組A:問(wèn)為何值時(shí),向量只需討論解的情況.具體解方程組過(guò)程略。時(shí),方程組無(wú)解,不能由A表示.時(shí),方程組有唯一解,可由A唯一表示.例4.1.5時(shí),方程組有無(wú)窮多解,可由A無(wú)窮多種表示.通解為所有表示方法:其中k為任意實(shí)數(shù).即定義如果向量組中的每一個(gè)向量都可以被向量組線性表示，即存在常數(shù)則稱向量組可由向量組線性表示。如果兩個(gè)向量組可以相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。記作利用矩陣的分塊乘法(2)又可以寫(xiě)成如下矩陣乘法形式(2)記則矩陣B的列向量組可以由矩陣A的列向量組線性表示就是存在矩陣C使得B=AC。由此我們得到下面的結(jié)論定理4.1.1矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示的充要條件是矩陣方程AX=B有解。矩陣B的行向量組可由矩陣A的行向量組線性表示的充要條件是矩陣方程XA=B有解。定理4.1.2

行等價(jià)矩陣的行向量組等價(jià)證：設(shè)A與B行等價(jià)矩陣，即，也就是存在可逆矩陣P使得B=PA，從而，由定理4.1.1可知，B的行向量組可由A的行向量組線性表示，A的行向量組可以由B的行向量組線性表示，所以A和B的行向量組等價(jià)。例4.1.7矩陣A用初等表?yè)Q化成最簡(jiǎn)階梯矩陣B如下記A的行向量組為

B的非零行向量組為則向量組與行向量組等價(jià)，即列向量組與列向量組等價(jià)4.2向量組的線性相關(guān)性引例4.2.1看看三維空間中的向量(如圖)三個(gè)向量共面三個(gè)向量無(wú)法相互線性表示，三個(gè)向量異面引例4.2.2考察線性方程組(4.2.1)上面4個(gè)方程有如下關(guān)系：這說(shuō)明方程組中第③和第④個(gè)方程是多余的,可以去掉.

即方程組與下面方程組是同解的。考察原方程組中增廣矩陣的行向量組(4.2.2)知即可以由線性表示。例1如果能否找到一組不全為零的數(shù)定義4.2.1如果存在不全為零的數(shù)使得則稱該向量組線性相關(guān).否則,如果設(shè)只能推出則稱該向量組線性無(wú)關(guān).線性相關(guān)無(wú)關(guān)的判別定理4.2.1下面三個(gè)命題等價(jià)(3)齊次線性方程組有非零解推論4.2.1

下面三個(gè)命題等價(jià)

(1)向量組線性無(wú)關(guān)；

(2)如果有一組數(shù)使得則必有

(3)齊次線性方程組線性相關(guān)無(wú)關(guān)的判別

只有零解例4.2.1判斷向量組的線性相關(guān)性。解設(shè)記把A用初等行變換變?yōu)殡A梯形得知方程只有零解，所以原向量組線性無(wú)關(guān)。注由于A是方陣，也可以由|A|=-6得知方程組只有零解設(shè)n階方陣，由上述定理可知，A是可逆矩陣的充要條件是方程組只有零解由此我們得到下面的定理定理4.2.2設(shè)A是n階方陣，則下面的三個(gè)命題等價(jià)(1)A為可逆矩陣(2)A的列向量組線性無(wú)關(guān)(3)A的行向量組線性無(wú)關(guān)例4.2.2.

若向量組的一個(gè)子集線性相關(guān)，則向量組必線性相關(guān)。若向量組線性無(wú)關(guān)，則該向量組的任何一個(gè)子集必線性無(wú)關(guān)。證不妨設(shè)向量組的一個(gè)子集線性相關(guān)，即存在一組不全為零的數(shù)使得從而所以

線性相關(guān)。部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，則部分無(wú)關(guān)例4.2.3

設(shè)是由n個(gè)m維的向量構(gòu)成的向量組若則該向量組線性相關(guān)。證記矩陣線性方程組從而必然線性相關(guān)。例如矩陣它的列向量組必然線性相關(guān)個(gè)數(shù)大于維數(shù)的向量組必然相關(guān)例4.2.4

設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則向量組也線性無(wú)關(guān)(其中*取任意數(shù))證因?yàn)榫€性無(wú)關(guān),所以方程組只有零解，從而方程組也只有零解，因此線性無(wú)關(guān)。短的無(wú)關(guān),則長(zhǎng)的無(wú)關(guān)；長(zhǎng)的相關(guān),則短的相關(guān).

定理4.2.3(唯一表示定理)設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示，且表示方式唯一。證由于向量組線性相關(guān)，故存在不全零的數(shù)使得必然有否則，若則由于線性無(wú)關(guān)，必有這與不全為零矛盾，因此則所以向量可由向量組線性表示。唯一性假設(shè)向量由向量組的表示有兩種移項(xiàng)由于線性無(wú)關(guān)，所以唯一性得證這一結(jié)論可以等價(jià)的表示為：方程組有唯一解。推論4.2.2設(shè)，且線性無(wú)關(guān)則中的任一向量都可以由向量組唯一表示。4.3向量組的秩

對(duì)于給定的向量組(可以含無(wú)窮多向量),如何把握向量之間的線性關(guān)系?(即哪些向量可由另外一些向量線性表示)，它們的本質(zhì)不變量是什么？引例4.3.1考察線性方程組其增廣矩陣為記其行向量分別為則說(shuō)明方程組中把第③和第④個(gè)方程去掉只保留第①和第②個(gè)方程仍是等價(jià)的.即又容易驗(yàn)證又說(shuō)明把方程組中第②和第④個(gè)方程去掉只保留第①和第③個(gè)方程仍是等價(jià)的.即一般地,我們提出如下非常有意義的問(wèn)題：對(duì)于給定的一個(gè)向量組,找出的一個(gè)子集,滿足下面兩個(gè)條件：（1）中所有向量都可由線性表示；（2）所含向量個(gè)數(shù)盡可能地少.

條件（1）就是要求與等價(jià).條件（2）就是要求線性無(wú)關(guān).這是因?yàn)?如果線性相關(guān),則中至少還有一個(gè)向量可由中其余向量線性表示.因此,我們給出下面極大無(wú)關(guān)組和向量組秩的概念.定義4.3.1設(shè)V是一個(gè)向量組,如果中有r個(gè)向量滿足(1)線性無(wú)關(guān)

(2)V中的任一個(gè)向量都可以被線性表示。則稱向量組是向量組V的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，極大線性無(wú)關(guān)組含有向量的個(gè)數(shù)r為向量組V的秩，記做或者只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組,規(guī)定其秩為零.注1.含有非零向量的向量組總存在極大線性無(wú)關(guān)組

2.極大線性無(wú)關(guān)組不唯一,但是同一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)唯一，即向量組的秩唯一。

定理4.3.1

向量組線性無(wú)關(guān)的條件是等價(jià)的向量組

線性相關(guān)的條件是

問(wèn)題：如何求向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組定理4.3.2設(shè)即A與B行等價(jià)，則A的列向量組與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，即方程組

與

同解。證：A與B是行等價(jià)矩陣，即，存在可逆矩陣P使得PA=B，從而(1)(2)設(shè)是(1)的解，即說(shuō)明也是方程(2)的解。反之是(2)的解，即即u也是(1)的解，綜上方程(1)(2)是同解方程思考：此定理的意義何在？例4.3.2求向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并用此表示其他向量。解把向量按列排除矩陣，化成行最簡(jiǎn)形顯然線性無(wú)關(guān)，且這說(shuō)明是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其余向量可由線性表示。根據(jù)定理4.3.2,線性無(wú)關(guān)，并且說(shuō)明是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。并且其結(jié)果用矩陣表示為定理4.3.2(Steinitz定理)設(shè)向量可由向量組

線性表示，如果則

線性相關(guān)證向量由向量組線性表示，即存在矩陣使得因所以方程組有非零解從而即u是方程組的一個(gè)非零解，所以線性相關(guān)。例如：設(shè)不管向量組是否線性相關(guān)，向量組必線性相關(guān)

推論4.3.1等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所含的向量個(gè)數(shù)相同。

推論4.3.2

一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等.

推論4.3.3

設(shè)向量組的秩rankV=r,則中任意向量個(gè)數(shù)大于r的向量組都線性相關(guān).推論4.3.4

設(shè)向量組V的秩rankV=r,則V中任意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是V的極大無(wú)關(guān)組.

推論4.3.5設(shè)向量組可由向量組

線性表示，則

推論4.3.6等價(jià)的向量組有相同的秩。根據(jù)上面的定理及其推論易得到下面極大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義.定義4.3.2（極大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義）

設(shè)是一個(gè)向量組.如果

(1)V中有r個(gè)向量線性無(wú)關(guān)；

(2)V中任意r+1個(gè)向量(如果有的話)都線性相關(guān)則稱向量組是向量組V的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。4.4矩陣的秩矩陣A的行向量組的秩稱為A的行秩，列向量組的秩稱為A的列秩問(wèn)題：A的行秩A的列秩引理4.4.1

初等變化不改變矩陣的行秩與列秩。證首先證明初等行變換不改變矩陣的行秩與列秩，設(shè)則A與B的行向量組等價(jià)，因而他們有相同的行秩。并且他們的列秩有相同的線性關(guān)系，所以他們有相同的列秩。再證明初等列變換不改變矩陣的行秩和列秩。設(shè)從而因此列變換不改變矩陣的列秩和行秩。由于(行最簡(jiǎn)階梯形矩陣)，A與U具有的行秩和列秩。設(shè)記U的列向量為則是U的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并且其個(gè)數(shù)為U的非零行的行數(shù)；U的列秩=U的非零行的行數(shù).

再記U的行向量為則只有零解，線性無(wú)關(guān)；又因?yàn)?，所以是的極大線性無(wú)關(guān)組，即U的行秩=U的非零行的行數(shù).由此得到下面的結(jié)論引理4.4.2最簡(jiǎn)階梯行矩陣的行秩與列秩相等，其值等于其非零行的行數(shù)引理4.4.3任一矩陣的行秩與列秩相等，其值等于其最簡(jiǎn)形矩陣或者階梯形矩陣的非零行的行數(shù)。

定義4.4.1稱矩陣A的行秩(或列秩)為矩陣A的秩，記為rank(A)或者r(A),規(guī)定零矩陣的秩為0定理4.4.1

初等變換不改變矩陣的秩。矩陣的秩等于它對(duì)應(yīng)最簡(jiǎn)階梯形或者階梯形矩陣的非零行的行數(shù)。推論4.4.1設(shè)P,Q都是可逆矩陣，則例4.4.1

設(shè)矩陣且,求t

解：由于必須即顯然矩陣的秩有下面的性質(zhì)定理4.4.2

設(shè)A是n階方陣，則A可逆的充要條件是r(A)=n定義4.4.2

設(shè)A是n階方陣，如果r(A)=n，稱A為滿秩矩陣可逆矩陣=滿秩矩陣(方陣)定理4.4.3證明記則C的列向量被A的列向量線性表示

C的行向量被B的行向量線性表示故

由推論4.3.5，則例4.4.2

設(shè)若,證明

證：永遠(yuǎn)是奇異矩陣有可能是非奇異矩陣?yán)?.4.3證明

證設(shè)為A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組為B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。顯然即又的任一列向量都可被線性表示從而。即由于(1)(2)(2)式可以類似證明推論4.4.1線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩滿足

例4.4.3

設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，向量組可以由向量組線性表示為記矩陣證明：線性無(wú)關(guān)的充要條件是證記則由于則所以，線性無(wú)關(guān)只有零解只有零解矩陣的秩還可以用矩陣的子式來(lái)刻畫(huà).當(dāng)A是階方陣時(shí),我們定理4.4.4矩陣A的秩r(A)=r的充要條件是A的一個(gè)r階子式且所有的r+1階子式(如果存在的話)都等于零。知道如果或A不是方陣，有如下結(jié)論

注

當(dāng)A的所有r+1階子式都等于零時(shí)，由行列式展開(kāi)定理知，A的所有p(p>r+1)階子式都等于零。定義4.4.3(矩陣秩的等價(jià)定義)稱矩陣A的非零子式的最高階數(shù)為矩陣A的秩。例4.4.4求下面矩陣A的秩解A的右上角的n-1階子式如果x不是上面多項(xiàng)式的零點(diǎn)，則否則如果x是上面多項(xiàng)式的零點(diǎn)，則4.5向量空間集合對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為向量空間．定義維向量的全體是一個(gè)向量空間,記作只含零向量的集合是一個(gè)向量空間(稱為零空間)向量空間如果不是零空間必含有無(wú)窮多個(gè)向量證明下列集合是向量空間證所以構(gòu)成了向量空間.例4.5.1證例2證明齊次方程組的解集是一個(gè)向量空間.以后稱為齊次方程組的解空間.例3證明非齊次方程組的解集不是向量空間.證設(shè),而S對(duì)加法運(yùn)算不封閉.或S對(duì)數(shù)乘運(yùn)算不封閉.是向量空間.例4證定義設(shè)是一向量組,稱為由該向量組生成的(或張成的)向量空間.記為特別地,由矩陣A的列向量生成的向量空間稱為A的列空間(或稱像空間或稱值域).記為R(A)例5設(shè)向量組與向量組等價(jià),證明同理證向量空間的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,稱為V

的一個(gè)基(或坐標(biāo)系).基所含向量的個(gè)數(shù)r

又稱為V

的維數(shù).記為dim(V)=r.此時(shí)稱V

是r

維的向量空間.設(shè)有向量空間及，若，就稱是的子空間．設(shè)是由維向量所組成的向量空間，則定義定義如果規(guī)定設(shè)向量空間V

的一個(gè)基為,則對(duì)V

中的任一向量

可唯一地表示為定義數(shù)組或向量稱為向量在基下的坐標(biāo).的一個(gè)基顯然就是向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，其維數(shù)就是該向量組的秩。例如：

中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是的一組基特別的稱為的自然基。例6.設(shè)向量組求向量空間的一組基，并求dimV解法1把向量按列排成矩陣用初等變換化成階梯形知是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，也是V的一組基，從而dimV=2.解法2把向量按行排成矩陣A，把A用初等行變換化成階梯形，則階梯形矩陣U的非零行向量是與A的行向量組等價(jià)的線性無(wú)關(guān)組，也是V的一個(gè)基知是V的一組基，且定理4.5.1(基的擴(kuò)張定理)設(shè)是的一組線性無(wú)關(guān)組，則存在n-m個(gè)向量使得為的一組基。例7

設(shè)其中分別求在基和基下的坐標(biāo)解解線性方程組得故所以在基的坐標(biāo)為同理得在基下的坐標(biāo)定義4.5.6設(shè)r維向量空間的兩個(gè)基和則可由線性表示則稱矩陣為由基到基的過(guò)渡矩陣顯然，過(guò)渡矩陣一定是可逆矩陣，這是因?yàn)樵O(shè)向量在基下坐標(biāo)為在基下坐標(biāo)為基到基的過(guò)渡矩陣為P，則(坐標(biāo)變換公式)例8.設(shè)其中求由基到的過(guò)渡矩陣。

解把矩陣用初等行變換成最簡(jiǎn)階梯形矩陣即4.6線性方程組的解的結(jié)構(gòu)一、

線性方程組解的存在性定理二、

齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)三、

非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、線性方程組解的存在性定理在前面的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性方程組的求解問(wèn)題，本章將在整理前面知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。(4-1)(矩陣形式)(向量形式)(原始形式)非齊次方程組解的存在性定理定理4.6.1對(duì)于非齊次方程組(4-1)推論4.6.1對(duì)于齊次方程組(1)A的列向量組線性無(wú)關(guān)(2)A的列向量組線性相關(guān)例1

設(shè)n(n≥2)階方陣A是可逆矩陣，證明無(wú)解。例2對(duì)于非齊次方程組(1)證明:如果AX=b有唯一解，則AX=0僅有零解；(2)如果AX=0僅有零解，則AX=b一定有唯一解嗎？二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大無(wú)關(guān)組(又稱為基礎(chǔ)解系)

如何求?齊次方程組(假設(shè)有無(wú)窮多解)(1)解集的特點(diǎn)?性質(zhì)1：若是(4-3)的解，解空間:的所有解向量的集合S，對(duì)加法和數(shù)乘都封閉，所以構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為這個(gè)齊次線性方程組的解空間。性質(zhì)2：注：如果(4-3)只有零解，解空間是零空間。如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。性質(zhì)而在解空間中，基的概念我們?cè)谶@里稱為基礎(chǔ)解系。首先回答問(wèn)題(1)通過(guò)下面的例子,針對(duì)一般的方程組例1回答所提問(wèn)題.第一步:對(duì)系數(shù)矩陣A

初等行變換化行最簡(jiǎn)形B從行最簡(jiǎn)形能得到什么？第二步：寫(xiě)出同解的方程組(保留第一個(gè)未知數(shù)在方程的左邊,其余的都移到右邊.右邊的又叫自由變量)自由變量的個(gè)數(shù)=?第三步:令自由變量為任意實(shí)數(shù)寫(xiě)出通解，再改寫(xiě)成向量形式是解嗎?線性無(wú)關(guān)嗎?任一解都可由表示嗎?是基礎(chǔ)解系嗎?基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)=?第四步:寫(xiě)出基礎(chǔ)解系再來(lái)分析一下基礎(chǔ)解系的由來(lái):第二步的同解方程組為第三步的通解為就是取代入同解方程組(1)中求得然后再拼成的解向量.類似的……這就啟發(fā)我們,由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)正好等于自由變量的個(gè)數(shù)(這里3個(gè)).只要令為三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量.代入同解方程組(1)中求得然后再拼成解向量.必然是線性無(wú)關(guān)的,從而也是基礎(chǔ)解系.由此得到下面的解法二.第一步:同前第二步:同前第三步:令代入(1)求再拼基礎(chǔ)解系:第四步:寫(xiě)出通解設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量。定理4.6.2設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量均可構(gòu)成基礎(chǔ)解系。推論4.6.2解：所以只有零解，基礎(chǔ)解系不存在。例2:求下列齊次方程組例4設(shè)