材料力學(xué)_-劉鴻文-第四版_第四章_課件_彎曲內(nèi)力

1、彎彎 曲曲 內(nèi)內(nèi) 力力第第 四四 章章 平面彎曲的概念及計(jì)算簡(jiǎn)圖平面彎曲的概念及計(jì)算簡(jiǎn)圖 梁的剪力和彎矩梁的剪力和彎矩 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 彎矩，剪力與分布荷載集度之間的關(guān)系及應(yīng)用彎矩，剪力與分布荷載集度之間的關(guān)系及應(yīng)用 平面曲桿的內(nèi)力圖平面曲桿的內(nèi)力圖目錄目錄一，彎曲的概念一，彎曲的概念4.1 ( 2) 彎曲的概念及受彎桿件的簡(jiǎn)彎曲的概念及受彎桿件的簡(jiǎn)化化 梁梁： 以彎曲變形為主的桿件。以彎曲變形為主的桿件。1，彎曲變形，彎曲變形 外力是作用線(xiàn)垂直于桿軸線(xiàn)的平衡力系外力是作用線(xiàn)垂直于桿軸線(xiàn)的平衡力系（有時(shí)還包括力偶）。（有時(shí)還包括力偶）。受力特

2、征：受力特征：變形特征：梁變形前為直線(xiàn)的軸線(xiàn)變形特征：梁變形前為直線(xiàn)的軸線(xiàn) ，變形后成為曲線(xiàn)。，變形后成為曲線(xiàn)。縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面 ：包含梁橫截面的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸及其梁軸線(xiàn)的平面包含梁橫截面的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸及其梁軸線(xiàn)的平面稱(chēng)為縱向?qū)ΨQ(chēng)面。稱(chēng)為縱向?qū)ΨQ(chēng)面。二，對(duì)稱(chēng)彎曲二，對(duì)稱(chēng)彎曲AB橫截面的對(duì)稱(chēng)軸橫截面的對(duì)稱(chēng)軸梁的軸線(xiàn)梁的軸線(xiàn)縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面AB橫截面的對(duì)稱(chēng)軸橫截面的對(duì)稱(chēng)軸梁的軸線(xiàn)梁的軸線(xiàn)縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面對(duì)稱(chēng)彎曲對(duì)稱(chēng)彎曲 ：作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，彎曲變形后的軸線(xiàn)是一條在該縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的平面曲線(xiàn)。彎曲變形后的軸線(xiàn)是一條在該縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的平面曲

3、線(xiàn)。P1P2RARBAB橫截面的對(duì)稱(chēng)軸橫截面的對(duì)稱(chēng)軸梁的軸線(xiàn)梁的軸線(xiàn)縱向?qū)ΨQ(chēng)面縱向?qū)ΨQ(chēng)面P1P2RARB變形后的軸線(xiàn)與外力變形后的軸線(xiàn)與外力在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi)三，梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖三，梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖RHm（1） 固定端固定端 在梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖中用梁的軸線(xiàn)代表梁在梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖中用梁的軸線(xiàn)代表梁1 。支座的簡(jiǎn)化。支座的簡(jiǎn)化RHR（2）固定鉸支座）固定鉸支座( 3 ) 可動(dòng)鉸支座可動(dòng)鉸支座=2， 工程中常用到的靜定梁工程中常用到的靜定梁懸臂梁懸臂梁外伸梁外伸梁簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁3，幾種超靜定梁，幾種超靜定梁lABCq2lP2l例題例題: 計(jì)算計(jì)算懸臂梁的支反力。懸臂梁的支反力。RAmRPqBAlC0P2qlR

4、yA, 00432, 0PllqlmMRA由平衡方程得由平衡方程得：解解: 求梁的支反力求梁的支反力 RA 和和 mR 。2l解得：解得：8322qlPlmPqlRRARAmRPqBAlC例題例題：計(jì)算圖：計(jì)算圖所示多跨靜定梁的支反力所示多跨靜定梁的支反力1m1m1m0.5m3mP=50KNmKNq20 M=5KN.mAECDKB（1）以）以 為對(duì)象為對(duì)象分析：分析：CM=5KN.mmKNq20 DKBxCyCRB1m1m1m0.5m3mP=50KNmKNq20 M=5KN.mAECDKB1m1m1m0.5m3mP=50KNmKNq20 M=5KN.mAECDKB（2）以）以 為對(duì)象，求出為對(duì)

5、象，求出 全部支反力。全部支反力。yyCC XARAmAP=50KNAECxxcc 0,0 xxc055 . 23205, 0CBym0320,0yRyCBkNRkNyxBCC29,31, 0 解：（解：（1）研究）研究 CB 梁梁CM=5KN.mmKNq20 DKBxCyCRB1m1m3m0, 0 xxxCA05 . 11, 0 yPmmCAA0, 0 yPRyCA（2）研究）研究 AC 梁梁yyCC XARAmAP=50KNAECxxcc 1m0.5mkNRkNyxBCC29310 mKNmKNRxAAA.5 .96810 aPAB一、梁的剪力（一、梁的剪力（ FS ）和彎矩）和彎矩 （

6、M ） 的定義與計(jì)算的定義與計(jì)算4. 3 剪力和彎矩剪力和彎矩mmx1，用截面法求橫截面上的內(nèi)力，用截面法求橫截面上的內(nèi)力FS用截面法假想地在用截面法假想地在橫截面橫截面mm處把梁分處把梁分為兩段，先分析梁左段。為兩段，先分析梁左段。xxmAmyCaPABmmx00 FRySA由平衡方程得由平衡方程得可得可得 FS = RAFS 稱(chēng)為稱(chēng)為 RA可得可得 M = RAx由平衡方程由平衡方程 0mC0 xRMAM內(nèi)力偶內(nèi)力偶 M 稱(chēng)為稱(chēng)為 aPABmmxFSxxmAmyCRAMaPABmmxFSxxmAmyCRA梁在彎曲變形時(shí)，梁在彎曲變形時(shí)，橫截面上的內(nèi)力有橫截面上的內(nèi)力有兩個(gè)，即，兩個(gè)，即，結(jié)

7、論結(jié)論剪力剪力 FS彎矩彎矩 MFSMBmmRBP其上剪力的指向和彎矩其上剪力的指向和彎矩的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為的轉(zhuǎn)向則與取右段梁為研究對(duì)象所示相反。研究對(duì)象所示相反。MFSxxmAmyCRA取右段梁為研究對(duì)象。取右段梁為研究對(duì)象。dxmmFSFS+（1）剪力）剪力 FS 的符號(hào)的符號(hào)使使dx 微段有微段有 的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面 m-m 上上的剪力為的剪力為 正正 。2，F(xiàn)S 和和 M 的正負(fù)號(hào)的規(guī)定的正負(fù)號(hào)的規(guī)定或使或使 dx 微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為 正正。使使 dx 微段有微段有 的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，橫截面 m-m 上上的剪

8、力為的剪力為負(fù)負(fù) 。dxmmFSFS-或使或使 dx 微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為為 負(fù)負(fù)。mm+當(dāng)當(dāng) dx 微段的彎曲微段的彎曲下凸下凸（即該段的（即該段的上部受壓，上部受壓，下半部受拉下半部受拉 ）時(shí)時(shí)，橫截面橫截面 m-m 上的彎矩為上的彎矩為 ；（2）彎矩符號(hào)）彎矩符號(hào)（受拉）（受拉）MM_mm（受壓）（受壓）MM當(dāng)當(dāng) dx 微段的彎曲微段的彎曲上上凸凸（ 即該段的即該段的上部受拉，下半部受上部受拉，下半部受壓壓 ）時(shí)時(shí)，橫截面橫截面 m-m 上的彎矩為為上的彎矩為為。使使 dx 微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為 正。正。使使 dx 微

9、段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為 負(fù)。負(fù)。剪力符號(hào)的規(guī)定剪力符號(hào)的規(guī)定彎矩符號(hào)的規(guī)定彎矩符號(hào)的規(guī)定當(dāng)當(dāng) dx 微段的彎曲下凸（即該段的微段的彎曲下凸（即該段的上部受壓上部受壓，下半部受拉下半部受拉 ）時(shí)時(shí)，橫截面橫截面 m-m 上的彎矩為上的彎矩為 ；當(dāng)當(dāng) dx 微段的彎曲上凸（微段的彎曲上凸（ 即該段的即該段的上部受拉上部受拉，下半部受壓下半部受壓 ）時(shí)時(shí)，橫截面橫截面 m-m 上的彎矩為為上的彎矩為為。BdEDP2P1AabclCF例題例題： 為圖示梁為圖示梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。已知的計(jì)算簡(jiǎn)圖。已知 P1、P2，且，且 P2 P1 ，尺寸，尺寸a、b、c 和和 l 亦均為已知

10、。試求梁在亦均為已知。試求梁在 E 、 F 點(diǎn)處橫截面處的點(diǎn)處橫截面處的剪力和彎矩。剪力和彎矩。021bPaPlRB0)()(21blPalPlRA解解:0mBBdEDP2P1AabclCFRBRA0mA解得：解得：lbPaPRlblPalPRBA2121)()(BdEDP2P1AabclCFRBRA記記 E 截面處的剪力截面處的剪力為為 FSE 和彎矩和彎矩 ME 。MEAECRABdEDP2P1AabclCFRBRA假設(shè)假設(shè) FSE 和彎矩和彎矩 ME 均為均為 正值正值。FSE00 SEAFR,yASERF 0, 0cRMmAEE解得解得+cRMAE+BdEDP2P1AabclCFRBR

11、AAECRAMEFSEAECRAa- cP1P2b- ccDRBl- cBE取右段為研究對(duì)象取右段為研究對(duì)象BdEDP2P1AabclCFRBRAMEFSEMEFSE0y021 PPRFBSE0ME0)()()(21McbPcaPclREBAECRAa- cP1P2b- ccDRBl- cBEFSEMEMEFSEPPRFBSE21 )()()(21cbPcaPclRMEB 解得：解得：ASERF +cRMAE+AECRAa- cP1P2b- ccDRBl- cBEFSEMEMEFSE 計(jì)算計(jì)算 F 點(diǎn)橫截面處的剪力點(diǎn)橫截面處的剪力 FSF 和彎矩和彎矩 MF 。BdEDP2P1abclCFRB

12、RARBFdBMFFSF0, 00, 0 dRMmRFyBFFBSFRFBSF dRMBF -+BdEDP2P1abclCFRBRA解得：解得：RBFdBMFFSF（1）橫截面上的）橫截面上的 在數(shù)值上在數(shù)值上 此橫截面的此橫截面的 左側(cè)左側(cè) 或或 右側(cè)右側(cè) 梁段上梁段上 外力的代數(shù)和外力的代數(shù)和 。向上的外力引起正值的剪力向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起負(fù)值的剪力向下的外力引起負(fù)值的剪力向下的外力引起正值的剪力向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起負(fù)值的剪力向上的外力引起負(fù)值的剪力左側(cè)左側(cè) 梁段：梁段：右側(cè)右側(cè) 梁段：梁段： （2）橫截面上的）橫截面上的 在數(shù)值上在數(shù)值上 此橫截面的此

13、橫截面的 左側(cè)左側(cè) 或或 右右側(cè)梁段上的側(cè)梁段上的 外力對(duì)該截面形心的力矩之代數(shù)和外力對(duì)該截面形心的力矩之代數(shù)和 。 不論在截面的不論在截面的 左側(cè)左側(cè) 或或 右側(cè)右側(cè) 向上的外力均將引起向上的外力均將引起 正值正值 的彎矩，而向下的彎矩，而向下 的外力則引起的外力則引起 負(fù)值負(fù)值 的彎矩。的彎矩。順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩左側(cè)梁段：左側(cè)梁段：右側(cè)梁段：右側(cè)梁段： 例

14、題例題 ： 軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示，已知軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖所示，已知 P1 = P2 = P = 60kN ， a = 230mm ，b = 100 mm 和和c = 1000 mm 。求。求 C 、D 點(diǎn)處點(diǎn)處橫截面上的剪力和彎矩橫截面上的剪力和彎矩APP2CDBbacPP1kNPRRBA60RARB 解：解：APP2CDBbacPP1kNPFSC601 （1）計(jì)算）計(jì)算 C 橫截面上的剪力橫截面上的剪力 FSC 和彎矩和彎矩 MC 。KN.m.bPMC061RARB看看C截面左側(cè)梁段截面左側(cè)梁段APP2CDBbacPP1（2）計(jì)算）計(jì)算 D 橫截面上的剪力橫截面上的剪力 FSD 和彎矩和彎矩

15、MD 。060601 PRFASDmKNPacPacRMAD.8 .13)(1看看D截面截面左側(cè)梁段左側(cè)梁段APP2CDBbacPP1RARB060602 PRFBSD看看D截面截面右側(cè)梁段右側(cè)梁段APP2CDBbacPP1RARBRARB解：解：KNRA4 KNRB4 求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩1m2.5m10KN.mABC12CKNRFFASCS41 左KN.mRMMAC411 左12看看1 截面左側(cè)梁段截面左側(cè)梁段1 截面截面mC右右C左左1m2.5m10KN.mABC12RARBKNRFFBSCS442 )(右KN.m.RMMBC65141522

16、)()(右看看2 截面右側(cè)梁段截面右側(cè)梁段2 截面截面C12mC右右C左左1m2.5m10KN.mABC12RARBKNRFFASCS42 右KN.mRMMAC61012 右看看2 截面左側(cè)梁段截面左側(cè)梁段2 截面截面C12mC右右C左左1m2.5m10KN.mABC12RARB例題例題：求指定截面上的內(nèi)力：求指定截面上的內(nèi)力 FSA左左 ， FSA右右， FSD左左 ，F(xiàn)SD右右 ， MD左左， MD右右 ， FSB左左 ， FSB右右 。解：解： RA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KN RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBKNqFSA62 左看左側(cè)看左側(cè)計(jì)算

17、計(jì)算 FSA左左RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBRA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KN看右側(cè)看右側(cè)KNqRRFBASA64 左KNqRFASA582. 右看左側(cè)看左側(cè)計(jì)算計(jì)算 FSA右右RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBRA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KN看右側(cè)看右側(cè)KNqRFBSA584. 右FFSASA右左 RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBRA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KNFA左左= - 6KNFA右右= 8.5KNKNRFBSD53. 左看右側(cè)看右側(cè)計(jì)算計(jì)算 FSD左左RARB

18、mKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBRA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KN看左側(cè)看左側(cè)KNqRFASD536. 左看右側(cè)看右側(cè)計(jì)算計(jì)算 FSD右右KNRFBSD53. 右RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBRA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KN看左側(cè)看左側(cè)KNqRFASD536. 右KNFSD53. 左FFFSDSDSD右左 RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBRA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KNKNFSD53. 右mKNmRMBD.42左mKNqRMAD.4364左看右側(cè)看右側(cè)看左側(cè)看左側(cè)計(jì)算計(jì)算 MD

19、左左RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBRA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KNmKNmqRMAD.7364 右mKNRMBD.72 右看右側(cè)看右側(cè)看左側(cè)看左側(cè)計(jì)算計(jì)算 MD右右RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBMD左左 MD右右RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADBmKNMD.7 右mKNMD.4 左看左側(cè)看左側(cè)KNqRFASB536. 左RARBmKNq3 m=3KN.m2m2m4mCADB計(jì)算計(jì)算 FSB左左看右側(cè)看右側(cè)KNRFBSB53. 左看右側(cè)看右側(cè)計(jì)算計(jì)算 FSB右右0 FSB右RARBmKNq3 m=3KN.m2

20、m2m4mCADB06 RqRFBASB右看左側(cè)看左側(cè)注注 意意一，在集中力作用截面的左，右兩側(cè)剪力值不等，即剪力值一，在集中力作用截面的左，右兩側(cè)剪力值不等，即剪力值發(fā)生突變，其突變值等于集中力的數(shù)值。該截面左，右兩側(cè)發(fā)生突變，其突變值等于集中力的數(shù)值。該截面左，右兩側(cè)的彎矩值不變。的彎矩值不變。二，在力偶作用截面的左，右兩側(cè)彎矩值不等，即彎矩值二，在力偶作用截面的左，右兩側(cè)彎矩值不等，即彎矩值發(fā)生突變，其突變值等于力偶矩的數(shù)值。該截面左，右兩發(fā)生突變，其突變值等于力偶矩的數(shù)值。該截面左，右兩側(cè)的剪力值不變。側(cè)的剪力值不變。FS = FS(x )M = M（x）即：即：4.4 剪力方程和彎矩

21、方程剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖一，剪力方程和彎矩方程一，剪力方程和彎矩方程用函數(shù)表達(dá)式表示沿梁軸線(xiàn)各橫截面上剪力和彎矩的變化用函數(shù)表達(dá)式表示沿梁軸線(xiàn)各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律規(guī)律，分別稱(chēng)作剪力方程和彎矩方程分別稱(chēng)作剪力方程和彎矩方程 。二，剪力圖和彎矩圖二，剪力圖和彎矩圖剪力圖，剪力圖，彎矩圖都是彎矩圖都是正值畫(huà)在正值畫(huà)在 x 軸軸上側(cè)上側(cè)，負(fù)值畫(huà)在，負(fù)值畫(huà)在 x 軸軸下側(cè)下側(cè)繪剪力圖和彎矩圖的最基本方法是，首先分別寫(xiě)出梁的繪剪力圖和彎矩圖的最基本方法是，首先分別寫(xiě)出梁的 剪力方程剪力方程 和和 彎矩方程彎矩方程 ，然后根據(jù)它們作圖。，然后根據(jù)它們作圖。取梁的左端點(diǎn)為

22、坐標(biāo)原點(diǎn)，橫坐標(biāo)取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫坐標(biāo) x x 表示截面的位置表示截面的位置APBl例題：例題：圖圖 示的懸臂梁在自由端受集中荷載示的懸臂梁在自由端受集中荷載 P 作用，試作此梁的作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖。APBlx解解：將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端，將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端， 寫(xiě)出寫(xiě)出梁的梁的剪力方程剪力方程 和和 彎矩方程彎矩方程 ：)0()()0()(lxPxxMlxPxFS 0 FSA左PFSA 右FSxPPlxMAPBlx)0()()0()(lxPxxMlxPxFS 2qlRRBA解解：求得兩個(gè)支反力求得兩個(gè)支反力例題例題： 圖圖示的簡(jiǎn)支梁示的簡(jiǎn)支梁 ，在全梁上

23、受集度為，在全梁上受集度為 q 的均布荷載的均布荷載作用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖。作用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖。ABlqRBRAABlqRBRA)0(222)()0(2)(2lxqxqlxxqxxRxMlxqxqlqxRxFAAS 取距左端為取距左端為 x 的任意橫截面。寫(xiě)出的任意橫截面。寫(xiě)出 剪力方程剪力方程 和和 彎矩方程彎矩方程。xABlqRBRAx)()(lxqxqlxFS 02剪力圖為一傾斜直線(xiàn)。剪力圖為一傾斜直線(xiàn)。x = 0 處處 ，2qlFFSAS 右x = l 處處 ，2qlFFSBS 左ABlqRBRA)()(lxqxqlxFS 022qlFFSAS 右2qlFFSB

24、S 左-+2ql2qlABlqRBRAx)0(222)(2lxqxqlxxqxxRxMA彎矩圖為一條二次拋物線(xiàn)。由彎矩圖為一條二次拋物線(xiàn)。由0,0Mxx = l , M = 0ABlqRBRAx)0(222)(2lxqxqlxxqxxRxMA 02)( qxqldxxdM令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)2lx 彎矩的極值彎矩的極值822maxqlMMlx )()(lxqxqlxFS 02ABlqRBRAx)()(lxqxqlxxqxxRxMA 0222282gl+ABlqRBRAx82gl+-+2ql2ql梁跨中截面上的彎矩值為最大梁跨中截面上的彎矩值為最大82qlM max但此截面上但此截面上 ，F(xiàn)S =

25、02maxqlFS 兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對(duì)值為最大絕對(duì)值為最大lPbRA 解：求梁的支反力解：求梁的支反力lPaRB 例題例題 : 圖示的簡(jiǎn)支梁在圖示的簡(jiǎn)支梁在 C 點(diǎn)處受集中荷載點(diǎn)處受集中荷載 P作用。試作此梁的作用。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖。lPABcabRARB因?yàn)橐驗(yàn)?AC 段和段和 CB 段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段寫(xiě)寫(xiě)剪力方程和彎矩方程。剪力方程和彎矩方程。lPABcabRARBlPABcabRARBx)()()()()()(2010axxlPbxMaxlPbxFS 將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左

26、端 AC段：段：lPABcabRARBxx)()()()()()()()(43lxaxllPaxlRxMlxalPaRxFBBS CB段：段：lPABcabRARBxx)()()(10axlPbxFS )()()(3lxalPaxFS Pb/lPa/l+-lPABcabRARBxx)()()(20axxlPbxM )()()()(4lxaxllPaxM +Pab/llPABcabRARBxx+Pab/lPb/lPa/l+-在集中荷載作用處的左，在集中荷載作用處的左，右兩側(cè)截面上右兩側(cè)截面上 剪力值（圖）剪力值（圖）有突變有突變。突變突變 值等于集中值等于集中荷載荷載 P 。彎矩圖形成尖角，彎矩

27、圖形成尖角，該處彎矩值最大該處彎矩值最大 。解：解： 求梁的支反力求梁的支反力lmRA lmRB aRMAC 左maRMAC 右例題例題：圖：圖示的簡(jiǎn)支梁在示的簡(jiǎn)支梁在 C點(diǎn)處受矩為點(diǎn)處受矩為m的集中力偶作用。的集中力偶作用。試作此梁的的剪力圖和彎矩圖試作此梁的的剪力圖和彎矩圖。ABlCabmRARB)()()(10lxlmxFS 將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端。將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端。因?yàn)榱荷蠜](méi)有橫向外力，所以因?yàn)榱荷蠜](méi)有橫向外力，所以全梁只有一個(gè)剪力方程全梁只有一個(gè)剪力方程 ABlCabmRARBAC段段 ：xlmxM )()(ax 0(2)CB段段 ：)()(xllmmxlmxM)(lxa （3

28、）xxAC 段和段和 BC 段的段的彎矩方程不同彎矩方程不同AABlCabmRARB)()()(10lxlmxFS lmFS 繪出梁的剪力圖繪出梁的剪力圖+lmABlCabmRARB x = 0 ， M = 0 x = a ，lmaMC 左AC段段 ：xlmxM)()(ax 0AC，CB 兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線(xiàn)。兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線(xiàn)。)()(xllmxM)(lxa CB段段 ：lmbMC 右 x = a，x = l ， M = 0ABlCabmRARB繪出梁的彎矩圖繪出梁的彎矩圖+ x = 0 ， M = 0 x = a ，lmaMC 左AC段段 ：CB段段 ：lmbMC 右

29、 x = a，x = l ， M = 0 xxABlCabmRARBmb/lma/lxxABlCabmRARB+lm梁梁上上集中力偶集中力偶作用處左、作用處左、右右兩側(cè)橫截面上的兩側(cè)橫截面上的彎矩值彎矩值(圖）圖）發(fā)生突變發(fā)生突變，其突變值，其突變值等于集等于集中力偶矩的數(shù)值。中力偶矩的數(shù)值。此處剪力此處剪力圖沒(méi)有變化。圖沒(méi)有變化。+mb/lma/l（2）以集中力、集中力偶作用處，分布荷載開(kāi)始或結(jié)束處，）以集中力、集中力偶作用處，分布荷載開(kāi)始或結(jié)束處， 及支座截面處為界點(diǎn)將梁分段及支座截面處為界點(diǎn)將梁分段。分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程，然后繪出剪力圖和彎矩圖。程，然后繪出

30、剪力圖和彎矩圖。（1）取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，）取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x 軸向右為正；剪力圖和軸向右為正；剪力圖和彎矩圖都是彎矩圖都是向上為正。向上為正。 （3） 梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上，剪力值（圖）梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上，剪力值（圖）有突變，其突變值等于集中力的數(shù)值。在此處有突變，其突變值等于集中力的數(shù)值。在此處彎矩圖則形成彎矩圖則形成一個(gè)尖角一個(gè)尖角。（4）梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩值（圖）梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩值（圖）也有突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值也有突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值。但在此處但在此處剪力剪力圖沒(méi)有變

31、化。圖沒(méi)有變化。 （5）梁上的最大剪力發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處；）梁上的最大剪力發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處；梁上的最大彎矩發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面，梁上的最大彎矩發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面，或或 的截面處。的截面處。例題例題：已知：已知 q = 3KN/m , m = 3KN.m ，列內(nèi)力方程并畫(huà)內(nèi)力圖。，列內(nèi)力方程并畫(huà)內(nèi)力圖。ACBDqm2m2m4m解：解： RA = 14.5 KN ， RB = 3.5 KNRARB該梁分為該梁分為 CA，AD，DB 三段。三段。ACBDqm2m2m4mRARBxFS(x) = - qx = - 3xxqxxM222321 )( 0 x 2

32、)ACBDqm2m2m4mRARB( 0 x 2 )CA:RA = 14.5 KN RB = 3.5 KNxACBDqm2m2m4mRARBRA = 14.5 KN RB = 3.5 KNAD:xqxRxFAS35 .14)( ( 2 x 6 )( 2 x 6 )xxqxxRxMA2223)2(5 .1422)( ）（xxACBDqm2m2m4mRARBRA = 14.5 KN RB = 3.5 KNxDB:5.3)( RxFBS( 6 x 8 )(.)(xxM 853( 6 x 8 )x畫(huà)剪力圖畫(huà)剪力圖8.5+-63.5CA: FS(x)= -qx = -3xAD:xqxRxFAS35 .1

33、4)( DB:5 . 3)( RxFBS( 0 x 2 )( 2 x 6 )( 6 x 8 )xxxACBDqm2m2m4mRARB8.5+-63.5xxxACBDqm2m2m4mx=4.830)()( xFdxxdMS由由得得14.5 - 3x = 0 x = 4.83 為彎矩的極值點(diǎn)為彎矩的極值點(diǎn)RARBAD:xqxRxFAS35 .14)( ( 2x 6 )( 2 x 6 )xxxM2232514 )(.)(8.5+-63.5xxxACBDqm2m2m4mx=4.8304. 683. 423)283. 4(5 .1483. 42)283. 4(22max qRMARARBx=4.83畫(huà)彎

34、矩圖畫(huà)彎矩圖66.044704. 6maxMxqxxM222321 )()(.)(xxM 853( 6 x 8 )( 2 x 0 時(shí)，向右上方傾斜。時(shí)，向右上方傾斜。當(dāng)當(dāng) FS (x) 0 時(shí)，向右下方傾斜。時(shí)，向右下方傾斜。 dxxqxFS)()( dxxFxMS)()(（3）梁上最大彎矩可能發(fā)生在）梁上最大彎矩可能發(fā)生在 FS(x) = 0 的截面上的截面上 或或梁段邊界的梁段邊界的截面上。最大剪力發(fā)生在全梁或梁段的界面。截面上。最大剪力發(fā)生在全梁或梁段的界面。)()(xFdxxdMS )()(xqdxxdFS )()(22xqdxxMd （4）在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中

35、力）在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值。彎矩圖的相應(yīng)處形成尖角。的值。彎矩圖的相應(yīng)處形成尖角。（5）在集中力偶作用處彎矩圖有突變）在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無(wú)變化。力偶的值，但剪力圖無(wú)變化。q0向下的均布荷載向下的均布荷載無(wú)荷載無(wú)荷載集中力集中力FC集中力偶集中力偶MeC向下傾斜的直線(xiàn)向下傾斜的直線(xiàn) 或或上凸的二次拋物線(xiàn)上凸的二次拋物線(xiàn)在在 FS 的截面的截面水平直線(xiàn)水平直線(xiàn)一般斜直線(xiàn)一般斜直線(xiàn)或或在在 C 處有突變處有突變F在在 C 處有尖角處有尖角或或在剪力突變的在剪力突變的截面截面在在 C 處無(wú)變化處無(wú)變化C在在 C

36、處有突變處有突變Me在緊靠在緊靠C的某一側(cè)的某一側(cè)截面截面一段梁上的外力一段梁上的外力情況情況剪力圖的特征剪力圖的特征彎矩圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在截最大彎矩所在截面的可能位置面的可能位置 例題例題 ：一簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)力：一簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)力 F作用如圖作用如圖 所示。已知所示。已知 F= 25.3KN 。試用本節(jié)所述關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖。試用本節(jié)所述關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：求梁的支反力解：求梁的支反力K.RA623 KNRB 27 RARBBACD2001151265FFRARBBACD2001151265FF將梁分為將梁分為 AC，CD，DB 三段。每一段均屬無(wú)外力段三段。每

37、一段均屬無(wú)外力段。RARBBACD2001151265FF剪力圖剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線(xiàn)每段梁的剪力圖均為水平直線(xiàn)FSA右右= RA = 23.6KNFSC右右 = RA - F= -1.7KNFSD右右 = - RB = - 27KNKNFS27 max,最大剪力發(fā)生在最大剪力發(fā)生在 DB 段中的任一段中的任一橫截面上橫截面上FSB右右 = 0AC段段：CD段段：DB段段：23.6271.7+RARBBACD2001151265FF彎矩圖彎矩圖每段梁的彎矩圖均為斜直線(xiàn)。每段梁的彎矩圖均為斜直線(xiàn)。且梁上無(wú)集中力偶。且梁上無(wú)集中力偶。0 MAmKNRMAC 724200mKNRMBD 1

38、131150 MBmKNM 724max最大彎矩發(fā)生在最大彎矩發(fā)生在 C 截面截面4.723.11+例題例題：一簡(jiǎn)支梁：一簡(jiǎn)支梁如圖所示。如圖所示。受均布荷載作用，其集度受均布荷載作用，其集度 q =100KN/m , 試用簡(jiǎn)易法作此梁的剪力圖和彎矩圖。試用簡(jiǎn)易法作此梁的剪力圖和彎矩圖。 解：計(jì)算梁的支反力解：計(jì)算梁的支反力KNRRBA806110050 RARBEqABCD0.21.612RARBEqABCD0.21.612將梁分為將梁分為 AC、CD、DB 三段。三段。RARBEqABCD0.21.612KNRFASC80 KNRFBSD80 DB段段 ：水平直線(xiàn)：水平直線(xiàn)CD段段： 向右

39、下方的斜直線(xiàn)向右下方的斜直線(xiàn)AC段段 ：水平直線(xiàn)：水平直線(xiàn) FSA右右 = RA = 80 KNKNRFBSB80 左0 FSB右剪力圖剪力圖80KN80KN+RARBEqABCD0.21.61280KN80KN+最大剪力發(fā)生在最大剪力發(fā)生在 CD 和和 DB 段的任一橫截面上。段的任一橫截面上。KNFS80 max,RARBEqABCD0.21.61280KN80KN+彎矩圖彎矩圖AC段段：向上傾斜的直線(xiàn)：向上傾斜的直線(xiàn)0 MAKN.m.RMAC1620CD段段：向上凸的二次拋物線(xiàn)：向上凸的二次拋物線(xiàn)mKNRMBD.1620 RARBEqABCD0.21.61280KN80KN+mKNqRM

40、AE48) 201 (212其極值點(diǎn)在其極值點(diǎn)在 FS= 0 的中點(diǎn)的中點(diǎn) E處的橫截面上。處的橫截面上。DB段段：向下傾斜的直線(xiàn)：向下傾斜的直線(xiàn) MB = 0RARBEqABCD0.21.6120 MAKN.m.RMAC1620 mKNRMBD 1620mKNqRMAE48) 201 (212 MB = 0+164816全梁的最大彎矩梁跨中全梁的最大彎矩梁跨中 E點(diǎn)的橫截面上。點(diǎn)的橫截面上。mKNM 48max例題：作外伸梁的剪力圖和彎矩圖例題：作外伸梁的剪力圖和彎矩圖2mq=2KN/mMe=10KN.mF=2KN4m2mDABCFBFA解：求支座反力解：求支座反力FA=3KN , FB=7

41、KN梁分為梁分為 AC，CB，BD 三段三段2mq=2KN/mMe=10KN.mF=2KN4m2mDABCFBFAFA=3KN , FB=7KN剪力圖剪力圖BD ：水平直線(xiàn)：水平直線(xiàn)AC：斜直線(xiàn)：斜直線(xiàn)KNFFASA3 右KNqFFASC54 CB：水平直線(xiàn)：水平直線(xiàn)KNFS5 KNFFSDSB2 左右0 FSD右235+_+2mq=2KN/mMe=10KN.mF=2KN4m2mDABCFBFAFA=3KN , FB=7KN235+_+x0 qxFxFAS)(mx51. =1.52mq=2KN/mMe=10KN.mF=2KN4m2mDABCFBFA235+_+x =1.5彎矩圖彎矩圖DC ：斜

42、直線(xiàn)：斜直線(xiàn)AC：二次拋物線(xiàn)：二次拋物線(xiàn)0 MAmKNqFMAC.4244 左CB：斜直線(xiàn)：斜直線(xiàn)mKNFFMBC.642 右mKNFMB.42 0 MDmKNxqxFMA.max25222 62.2544+_+例題例題：作梁的內(nèi)力圖：作梁的內(nèi)力圖解：支座反力為解：支座反力為KNRA7 KNRB5 3m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1KN/mRARB3m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1KN/mRARB將梁分為將梁分為 AC、CD、 DB、BE 四段四段3m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1

43、KN/mRARB剪力圖剪力圖AC：向下斜的直線(xiàn)：向下斜的直線(xiàn)（ ）KNRFASA7 右KNqRFASC34 左3m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1KN/mRARBCD：向下斜的直線(xiàn)：向下斜的直線(xiàn) ( )KNPqRFASC141 右KNRPFBSD32 3m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1KN/mRARBDB：水平直線(xiàn)：水平直線(xiàn) (）FS = P2 -RB=- 3KNEB：水平直線(xiàn)：水平直線(xiàn) (）KNPFSB22 右3m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1KN/mRARBKNFSA7 右KNF

44、SC3 左KNFSC1 右KNFSD3 FS= - 3KNKNFSB2 右-+7KN3KN1KN3KN2KN3m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1KN/mRARB-+7KN3KN1KN3KN2KN= 5mFxFF點(diǎn)剪力為零點(diǎn)剪力為零,令令其距其距 A 點(diǎn)為點(diǎn)為 x01 PqxRxFAS)(x = 5m3m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1KN/mRARB-+7KN3KN1KN3KN2KN= 5mFxF彎矩圖彎矩圖0 MA204242qRMAC16472mRPMBD左AC：( )（CD：( )（ )(max41xPxRMA520

45、. xq223m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1KN/mRARB-+7KN3KN1KN3KN2KN= 5mFxF6472 RPMBD右632 PMBBE： ( )0 MEDB： ( )3m4mABcDE4m4mP1=2KNP2=2KNm=10KN.mq=1KN/mRARBF20.5166620+-0 MA20 MC16 MD左520.max MMF6 MD右6 MB0 ME例題：作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。例題：作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。l / 2ABCqM = ql2/4l / 2RBRA解：解：qlRqlRBA4341 ,l / 2ABCqM = ql2/

46、4l / 2RBRA剪力圖剪力圖全梁的全梁的剪力圖剪力圖為一條斜直線(xiàn)為一條斜直線(xiàn)qlFSA41 右qlFSB43 左ql/43ql/4+-x0 qxRA4lx 4l l / 2ABCqM = ql2/4l / 2RBRA彎矩圖彎矩圖ql/4+-3ql/4x4l AC：拋物線(xiàn)：拋物線(xiàn)0 MA0422 llqlRMAC左32222qlqxxRxMA )(CB：拋物線(xiàn)：拋物線(xiàn)0 MB44222qlllqlRMBC 右ql2/32ql2/4+例題例題： 作梁的內(nèi)力圖作梁的內(nèi)力圖解：支座反力為解：支座反力為KNRA35KNRB25P=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRA將梁分為

47、將梁分為 CA，AB 兩段。兩段。P=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRAP=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRA剪力圖剪力圖CA：（：（）20 PFSC右AB：（：（ ）15 PRFASA右25 RFBSB左0 FSB右201525+-P=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRA201525+-x =2.5設(shè)距設(shè)距 B 端端 x 的截面上的截面上剪力等于零剪力等于零0)( qxRxFBSmx5.2該截面上彎矩有極值該截面上彎矩有極值P=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRA201525+-x =

48、2.525.3122maxqxxRMB彎矩圖彎矩圖CA:（ ）0MC201PMA左左AB:（ ）201mPMA右右0MBP=20KNm=40KN.mq=10KN/mCAB1m4mRBRAx=2.525.3122maxqxxRMBCA:（ ）0MC201PMA左左AB:（ ）201mPMA右右0MB-+202031.252，分布荷載集度，剪力和彎矩之間的積分關(guān)系，分布荷載集度，剪力和彎矩之間的積分關(guān)系)()(xqdxxdFS babaSdxxqxdF)()( baSSdxxqaFbF)()()(若在若在 x =a 和和 x =b 處兩個(gè)橫截面處兩個(gè)橫截面 A，B 間無(wú)集中力則間無(wú)集中力則 baS

49、ASBdxxqFF)(等號(hào)右邊積分的幾何意義是，上述等號(hào)右邊積分的幾何意義是，上述 A， B 兩橫截面間兩橫截面間分布荷載圖的面積分布荷載圖的面積。式中，式中，F(xiàn)SA ，F(xiàn)SB 分別為在分別為在 x = a , x = b 兩處各橫截面兩處各橫截面 A， B 上的剪力。上的剪力。 baSASBdxxqFF)()()(xFdxxdMS 若橫截面若橫截面 A，B 間無(wú)集中力偶作用則得間無(wú)集中力偶作用則得 baSABdxxFMM)(式中，式中，MA，MB 分別為在分別為在 x = a , x = b 處兩個(gè)橫截面處兩個(gè)橫截面 A 及及 B 上的彎矩上的彎矩。等號(hào)右邊積分的幾何意義是，等號(hào)右邊積分的幾

50、何意義是，A，B 兩個(gè)橫截面間兩個(gè)橫截面間剪力圖的面積剪力圖的面積。 baSABdxxFMM)(例題：計(jì)算梁的例題：計(jì)算梁的 C、 E 兩橫截面上的剪力和彎矩。兩橫截面上的剪力和彎矩。 80 RRBAEqABCD0.21.612RARBEqABCD0.21.612RARB baSASBdxxqFF)( caSASCdxxqFF)(右KNRFFASASc800 右在在AC段中段中 q = 0 ，且，且 FSA 右右 = RA解：解：EqABCD0.21.612RARB baSASBdxxqFF)(在在 CE 段中段中mKNq100 ecSCSEdxxqFF)(CEqFSC 0)2 . 01 (1

51、0080 ecSCSEdxxqFF)(EqABCD0.21.612RARB baSABdxxFMM)(在在 AC 段中段中 FSc = 80KN，剪剪力圖為矩形。力圖為矩形。MA =0 caSACdxxFMM)(ACFMMSAC mKN 1620800.80KN80KN+EqABCD0.21.612RARB baSABdxxFMM)(80KN80KN+ ecSCEdxxFMM)(CE.FMSCC21 mKN.48201802116 ）（在在 CE 段中，剪力圖為三角形段中，剪力圖為三角形FSC = 80KN。 ecSCEdxxFMM)(MC = 16KN.m+abcd18KN2KN14KN3m3m6m例題：已知例題：已知 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁 的剪力圖，作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁的剪力圖，作梁的彎矩圖和荷載圖。已知梁上沒(méi)有集中力偶作用。上沒(méi)有集中力偶作用。CABD+abcd18KN2KN14KN3m3m6mCABD解解（1）畫(huà)荷載圖畫(huà)荷載圖在在 B 處有集中力。處有集中力。)()(xqdxxdFS KNFSB18 左KNFSB2 右AB 段：沒(méi)有荷載段：沒(méi)有荷載F = 20KN ( )F=2