【高中數(shù)學(xué)文化鑒賞】 斐波那契數(shù)列（解析）

1、【數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】斐波那契數(shù)列一、單選題1意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”.記，則（       ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得.故選：C.2意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草

2、等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用已知斐波那契數(shù)列滿足：，若，則k等于（       ）A12B13C89D144【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由斐波那契數(shù)列的性質(zhì)可得：所以k等于12，故選：A3斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：，當(dāng)時(shí)，.學(xué)習(xí)了斐波那契數(shù)列以后，班長(zhǎng)組織同學(xué)們體育課上做了一個(gè)報(bào)數(shù)游戲：所有同學(xué)按身高從高到低的順序站成一排，第一位同學(xué)報(bào)出的數(shù)為1，第二位同學(xué)報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和.若

3、班上一共有30位同學(xué)，且所報(bào)數(shù)為5的倍數(shù)的同學(xué)需要說(shuō)出斐波那契數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)，則需要說(shuō)性質(zhì)的同學(xué)有幾個(gè)？（       ）A4B5C6D7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出所報(bào)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列即可判斷.【詳解】由題意知所報(bào)數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，均為5的倍數(shù)，故有6個(gè)同學(xué)故選：C4斐波那契數(shù)列又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，也叫“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，先從該數(shù)列前12項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，是質(zhì)數(shù)的概率是（  

4、60;    ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遞推公式寫(xiě)出前12項(xiàng)，找出質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，利用古典概型求概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系可知，前12項(xiàng)分別為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以基本事件數(shù)共有12，其中質(zhì)數(shù)有2，3，5，13，89，共5種，故是質(zhì)數(shù)的概率為故選：A5斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的第項(xiàng)為（ &

5、#160;     ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律可知是以為周期的周期數(shù)列，由此可得.【詳解】由題意知：數(shù)列為：，則數(shù)列為：，即數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故選：A.6斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的： 已知     是該數(shù)列的第100項(xiàng)，則m=（       ）A98B99C100D101【答案】B

6、【解析】【分析】根據(jù)題意推出，利用累加法可得，即可求出m的值.【詳解】由題意得，因?yàn)?，得，累加，得，因?yàn)槭窃摂?shù)列的第100項(xiàng)，即是該數(shù)列的第100項(xiàng)，所以.故選：B.7意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在 1202 年著的計(jì)算之書(shū)中記載了斐波那契數(shù)列，此數(shù)列滿足：，且從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是它的前兩項(xiàng)的和，即，則在該數(shù)列的前 2022 項(xiàng)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（       ）A672B674C1348D2022【答案】C【解析】【分析】先考慮前6項(xiàng)的奇偶性，從而可得各項(xiàng)奇偶性的周期性，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故，故各項(xiàng)奇偶性呈現(xiàn)周期性（奇

7、奇偶），且周期為3，因?yàn)?，故奇?shù)的個(gè)數(shù)為，故選：C.8意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列四個(gè)結(jié)論：；.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（       ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的周期性，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以是?為周期的周期數(shù)列，所以，所以正確；因?yàn)椋?/p>

8、所以錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以正確.故選：B9意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，在實(shí)際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，若，則等于（       ）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用可化簡(jiǎn)得，由此可得.【詳解】由得：，即.故選：A.10意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：，該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)都是，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和人們把由這樣一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為“

9、斐波那契數(shù)列”，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（       ）ABCD【答案】C【解析】【分析】推導(dǎo)出當(dāng)時(shí)，結(jié)合可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)，又因?yàn)?，因此?故選：C.11意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足，.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1，記前n項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則其中不正確結(jié)論的是（   

10、0;   ）ABCD【答案】C【解析】【分析】A選項(xiàng)由前項(xiàng)所占格子組成長(zhǎng)為，寬為的矩形即可判斷；B選項(xiàng)由結(jié)合累加法即可判斷；C選項(xiàng)通過(guò)特殊值檢驗(yàn)即可；D選項(xiàng)表示出，作差即可判斷.【詳解】由題意知：前項(xiàng)所占格子組成長(zhǎng)為，寬為的矩形，其面積為，A正確；，以上各式相加得，化簡(jiǎn)得，即，B正確；，C錯(cuò)誤；易知，D正確.故選：C.12斐波那契數(shù)列又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，記，則下列結(jié)論不正確的是（    

11、;   ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件逐項(xiàng)分析、推理計(jì)算即可判斷作答.【詳解】依題意，的前10項(xiàng)依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A正確；依題意，當(dāng)時(shí)，得，B正確；由給定的遞推公式得：，累加得，于是有，即，C錯(cuò)誤；，累加得，D正確.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問(wèn)題.13斐波那契數(shù)列又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐

12、波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，則數(shù)列滿足： . ，記，則下列結(jié)論不正確的是（       ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的數(shù)列的遞推公式，逐項(xiàng)分析、推理計(jì)算即可判斷作答【詳解】依題意，數(shù)列的前10項(xiàng)依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，所以A正確；當(dāng)時(shí)，所以B正確；由，可得，累加得則，即，所以C錯(cuò)誤；由，所以，所以D正確.故選：C.14數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從第三項(xiàng)

13、開(kāi)始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和.記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（       ）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用迭代法可得，可得，代入即可求解.【詳解】由題意，該數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始，每項(xiàng)等于其前兩相鄰兩項(xiàng)之和，所以，所以，令，可得，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解數(shù)列新定義的含義得出，利用迭代法得出，進(jìn)而得出.15斐波那契數(shù)列滿足，其每一項(xiàng)稱(chēng)為“斐波那契數(shù)”.如圖，在以斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形拼成的長(zhǎng)方形中，利用下列各圖中的面積關(guān)系，推出是斐波那契數(shù)列的第（      

14、 ）項(xiàng).A2020B2021C2022D2023【答案】C【解析】【分析】由斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系可得，應(yīng)用累加法求，即可求目標(biāo)式對(duì)應(yīng)的項(xiàng).【詳解】由，則，又，所以，則，故.故選：C16斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，.從第3項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記此數(shù)列為，則（       ）ABC

15、D【答案】C【解析】【分析】由，則，且，可得，化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】由已知條件可知，則，且，則，上述各式相加得 .故選：.17斐波那契數(shù)列又稱(chēng)“黃金分割數(shù)列”，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，則是數(shù)列的第幾項(xiàng)？（       ）A2020B2021C2022D2023【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合遞推關(guān)系式,采用累加求和可得的值，進(jìn)一步做比值即可【詳解】由題意可得，累加得：，即，,故選：18意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2

16、，3，5，8，該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（     ）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用“斐波那契數(shù)列”的定義及數(shù)列的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)A、B、C、D逐一分析即可得答案【詳解】解： 對(duì)A：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：由“斐波那契數(shù)列”的定義有，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：由“斐波那契數(shù)列”的定義有，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：D19斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”.此

17、數(shù)列在現(xiàn)代物理準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列可以用如下方法定義：，且，若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（       ）A2698B2697C2696D2695【答案】C【解析】【分析】根據(jù), 遞推得到數(shù)列,然后再得到數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列求解.【詳解】因?yàn)?所以數(shù)列為 此數(shù)列各項(xiàng)除以 4 的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列為: 是以 6 為周期的周期數(shù)列,所以. 故選：C.20十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5

18、，8，13，即從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)的和后人為了紀(jì)念他，就把這列數(shù)稱(chēng)為斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)該數(shù)列為“兔子數(shù)列”下面關(guān)于斐波那契數(shù)列的說(shuō)法不正確的是（       ）A是奇數(shù)BCD【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系及數(shù)列求和，相消法的應(yīng)用進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】因?yàn)榈捻?xiàng)具有2奇1偶，3項(xiàng)一周期的周期性，所以是奇數(shù)，所以A正確；因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以C正確；因?yàn)?，所以D正確故選：B.二、填空題21意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的算經(jīng)中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：，這就是著名的斐波

19、那契數(shù)列，該數(shù)列的前項(xiàng)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)【答案】1348【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)數(shù)列中的數(shù)據(jù)歸納發(fā)現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)中前2個(gè)都是奇數(shù)，又，故該數(shù)列前項(xiàng)有個(gè)奇數(shù).故答案為：.22意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是_            

20、0;       【答案】【解析】【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義驗(yàn)證各結(jié)論是否正確【詳解】，正確；，所以，正確；，正確，正確故答案為：23意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他的著作算盤(pán)書(shū)中，從兔子的繁殖問(wèn)題得到一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，這個(gè)數(shù)列稱(chēng)斐波那契數(shù)列，也稱(chēng)兔子數(shù)列斐波那契數(shù)列中的任意一個(gè)數(shù)叫斐波那契數(shù)人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示：           &

21、#160;  大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤(pán)內(nèi)葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著直接的應(yīng)用設(shè)斐波那契數(shù)列為，其中，有以下幾個(gè)命題：；其中正確命題的序號(hào)是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的知識(shí)對(duì)四個(gè)命題進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】斐波那契數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前項(xiàng)的和，所以，正確.，正確.，所以正確.當(dāng)時(shí)，所以錯(cuò)誤.故答案為：24斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence）又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，.已知在斐波那契數(shù)列中，若，則數(shù)列的

22、前2020項(xiàng)和為_(kāi)（用含m的代數(shù)式表示）.【答案】#【解析】【分析】通過(guò)累加得到即可求得前2020項(xiàng)和.【詳解】由，可知，將以上各式相加得，整理得，則.故答案為：.25歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”，現(xiàn)有與斐波那契數(shù)列性質(zhì)類(lèi)似的數(shù)列滿足：，且（），記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則_.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系寫(xiě)出的前面若干項(xiàng)，利

23、用并項(xiàng)求和法求得，從而確定的值.【詳解】，則數(shù)列中的項(xiàng)依次為2，4，6，10，16，26，42，68，又，將上面的式子相加，可得，又，.故答案為：26數(shù)列：1，1，2，3，5，8，稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列是由意大利數(shù)學(xué)家菜昂納多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)從觀察兔子繁殖而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”數(shù)學(xué)上，該數(shù)列可表述為，對(duì)此數(shù)列有很多研究成果，如：該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化的，通項(xiàng)公式等借助數(shù)學(xué)家對(duì)人類(lèi)的此項(xiàng)貢獻(xiàn)，我們不難得到，從而易得值的個(gè)位數(shù)為_(kāi)【答案】4【解析】【分析】先根據(jù)將式子化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化求得答案.【詳解】因?yàn)椋?又該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化，所以的個(gè)位數(shù)字相同，的個(gè)位數(shù)字相同，易知