導數(shù)及其應(yīng)用復習小結(jié)

1、導數(shù)及其應(yīng)用復習小結(jié)導數(shù)及其應(yīng)用復習小結(jié)本章知識結(jié)構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu) 微積分微積分 導數(shù)導數(shù)定積分定積分導數(shù)概念導數(shù)概念導數(shù)運算導數(shù)運算導數(shù)應(yīng)用導數(shù)應(yīng)用 函數(shù)的瞬時變化率函數(shù)的瞬時變化率 運動的瞬時速度運動的瞬時速度 曲線的切線斜率曲線的切線斜率 基本初等函數(shù)求導基本初等函數(shù)求導 導數(shù)的四則運算法則導數(shù)的四則運算法則簡單復合函數(shù)的導數(shù)簡單復合函數(shù)的導數(shù) 函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)單調(diào)性研究 函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值、最值 曲線的切線曲線的切線 變速運動的速度變速運動的速度面積面積 功功 積分定義的含義積分定義的含義微積分基本定理的含義微積分基本定理的含義微積分基本定理的應(yīng)用微積分基本定理的應(yīng)用路程路程定

2、積分定積分概念概念微積分基微積分基 本定理本定理 最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率fx121)()f xxx2f(x函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域為的定義域為D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)從從x x1 1到到x x2 2平均變化率為平均變化率為: :函數(shù)的瞬時變化率函數(shù)的瞬時變化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y( )lim( )f xfxx0 x 121)()limf xxx2f(x21xx( )limf xx0 x 導數(shù)導數(shù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式1.2.(

3、)3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxl

4、na1 1若f(x)=lnx，則f(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=x x返回返回導數(shù)的運算法則導數(shù)的運算法則: :法則法則1:1:兩個函數(shù)的和兩個函數(shù)的和( (差差) )的導數(shù)的導數(shù), ,等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和和( (差差),),即即: :( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:2:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù), ,等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)函數(shù), ,加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) , ,即即: :( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x

5、 g x法則法則3:3:兩個函數(shù)的積的導數(shù)兩個函數(shù)的積的導數(shù), ,等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)函數(shù), ,減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù) , ,再除以第二個函再除以第二個函數(shù)的平方數(shù)的平方. .即即: :2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x返回返回 當點當點Q Q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P P即即x0 x0時時, ,割線割線PQPQ如果有一如果有一個極限位置個極限位置PT.PT.則我們把直線則我們把直線PTPT稱為曲線在點稱為曲線在點P P處的處

6、的切線切線. . 設(shè)切線的傾斜角為設(shè)切線的傾斜角為,那那么當么當x0 x0時時, ,割線割線PQPQ的的斜率斜率, ,稱為曲線在點稱為曲線在點P P處的處的切線的斜率切線的斜率. .即即: :00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線PQoxyy=f(x)割割線線切切線線T返回返回1) 1) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x) x) 在這個區(qū)間（在這個區(qū)間（a,b)a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；內(nèi)單調(diào)遞增；2) 2) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0f (x)0如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,則則 為常數(shù)為常數(shù).0)

7、( xf)(xf返回返回2)2)如果如果a a是是f(x)=0f(x)=0的一個根，并且在的一個根，并且在a a 的左側(cè)附近的左側(cè)附近f(x)0f(x)0f(x)0，那么是，那么是f(a)f(a)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的一個極小值的一個極小值. . 函數(shù)的極值函數(shù)的極值1)1)如果如果b b是是f(x)=0f(x)=0的一個根，并且在的一個根，并且在b b左側(cè)附近左側(cè)附近f(x)0f(x)0，在在b b右側(cè)附近右側(cè)附近f(x)0f(x)0，那么，那么f(b)f(b)是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)的一個極大的一個極大值值注：導數(shù)等于零的點不一定是極值點注：導數(shù)等于零的點不一定是極值點2)2)在在

8、閉區(qū)間閉區(qū)間a,ba,b上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象是一條的圖象是一條連續(xù)不斷連續(xù)不斷的曲的曲線線, ,則它則它必有必有最大值和最小值最大值和最小值. .函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3) )f(b)f(b)f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg返回返回 復合函數(shù)的導復合函數(shù)的導數(shù)數(shù): :注注: :y y對對x x的導數(shù)等于的導數(shù)等于y y對對u u的導的導 數(shù)與數(shù)與u u對對x x的導數(shù)的乘積的導數(shù)的乘積. .復合函數(shù)復合函數(shù)y=f(g(

9、x)y=f(g(x)的導數(shù)和函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),y=f(u),u=gu=g( (x x) )的導數(shù)間關(guān)系為的導數(shù)間關(guān)系為: :;xuxuyy ( )( )( ).xfxf ux或或過過p(x0,y0)的切線的切線1) p(x0,y0)為切點為切點切切線線方方程程00y - y = f (x)(x - x )2)p(x0,y0)不為切點不為切點1110110y = f(x )y - y= f (x )x - x 切切點點11P(x ,y )例例1已經(jīng)曲線已經(jīng)曲線C：y=x3x+2和點和點A(1,2)。求在點。求在點A處的切線方程？處的切線方程？解：解：f/(x)=3x21，k= f/(

10、1)=2 所求的切線方程為：所求的切線方程為： y2=2(x1), 即即 y=2x變式變式1：求過點求過點A的切線方程？的切線方程？例例1已經(jīng)曲線已經(jīng)曲線C：y=x3x+2和點和點(1,2)求求在點在點A處的切線方程？處的切線方程？解：變解：變1：設(shè)切點為：設(shè)切點為P（x0，x03x0+2），）， 切線方程為切線方程為y y ( x03x0+2)=(3 x02 21 1)(x xx0)21又又切線過點切線過點A(1,2) 2 2( x03x0+2)=( 3 x02 21 1)(1x0)化簡得化簡得(x0 01)1)2 2(2(2 x0+1)=0，2114當當x0=1時，所求的切線方程為：時，所

11、求的切線方程為：y y2=2(x x1),即即y=2x 解得解得x0=1或或x0=k= f/(x0)= 3 x021，當當x0= 時，所求的切線方程為：時，所求的切線方程為： y2= (x1),即即x+4y9=0變式變式1：求過點求過點A的切線方程？的切線方程？例例1：已經(jīng)曲線：已經(jīng)曲線C：y=x3x+2和點和點(1,2)求求在點在點A處的切線方程？處的切線方程？變式變式2：若曲線上一點若曲線上一點Q處的切線恰好平行于直處的切線恰好平行于直 線線y=11x1，則，則P點坐標為點坐標為 _,切線方程為切線方程為_ (2,8)或或( 2, 4) y=11x14或或y=11x+18 求由連續(xù)曲線求由

12、連續(xù)曲線y f(x)對應(yīng)的對應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi 1, xi，第，第i個小曲邊梯形的面積用個小曲邊梯形的面積用高為高為f(x xi)而寬為而寬為 x的小矩形面積的小矩形面積f(x xi) x近似之。近似之。 (3)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積S為為 取取n個小矩形面積的和作為曲邊梯個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積形面積S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xix1lim( )niniSfxx1( )niiSfxx (1)分割分割:在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-

13、1個點個點,將它等分成將它等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間: 每個小區(qū)間寬度每個小區(qū)間寬度xban 11211,iina xx xxxxb一、定積分的定義一、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfnxx 小矩形面積和S=如果當如果當n時，時，S 的無限接近某個常數(shù)，的無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)為函數(shù)這個常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分，記作上的定積分，記作 ba (x)dx，即f (x)dx f (x i)xi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限得到解決

14、.1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號，叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達式，叫做被積表達式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即Oabxy)(xfy baIdxxf)(iinixf )(lim10 x x 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限 說明：說明： (

15、1) 定積分是一個數(shù)值定積分是一個數(shù)值, 它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，baf(x)dx baf (x)dx -(2)(2)定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當 ab 時，有baf (x)dx0。 當當f(x) 0時，由時，由y f (x)、x a、x b 與與 x 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形位于曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，x yOdxxfSba)(

16、，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲邊梯形面積的負值。上述曲邊梯形面積的負值。 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：積分 b ba af f ( (x x) )d dx x 在在幾幾何何上上表表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 S S三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf badx)x(fk三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)