北京交通大學(xué)概率論期末總復(fù)習(xí)

1、1 1 闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān)闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān) 系及運(yùn)算。系及運(yùn)算。2 2 給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和基本性給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和基本性 質(zhì)。質(zhì)。 3 3 給出了古典概率的定義及其計(jì)算公式。給出了古典概率的定義及其計(jì)算公式。4 4 給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率 公式和貝葉斯公式。公式和貝葉斯公式。5 5 給出了隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念，會(huì)利用事件給出了隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念，會(huì)利用事件 獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。第一章 總復(fù)習(xí)返回主目錄1 1 闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之

2、間的關(guān)闡述了隨機(jī)試驗(yàn)的特征以及隨機(jī)事件之間的關(guān) 系及運(yùn)算。要求：理解系及運(yùn)算。要求：理解第一章 總復(fù)習(xí)返回主目錄10 包含關(guān)系包含關(guān)系 20 和事件和事件 30 積事件積事件 40 差事件差事件50 互不相容互不相容60對立（互逆）事件對立（互逆）事件BA BAABBA BA BASBABA 且且返回主目錄“A發(fā)生必然導(dǎo)致發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生發(fā)生” “A，B中至少有一中至少有一發(fā)生發(fā)生” “A與與B同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生” “A發(fā)生但發(fā)生但B不發(fā)生不發(fā)生 ”“A與與B不能不能同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生” ABBA 或或記記 事件間的關(guān)系與運(yùn)算舉例；事件間的關(guān)系與運(yùn)算舉例；返回主目錄“A，B，C中至少有一中至少有

3、一發(fā)生發(fā)生” ：CBA“A，B，C中至少有兩中至少有兩發(fā)生發(fā)生” ：ACBCAB“A，B，C中最多有一中最多有一發(fā)生發(fā)生” ：CBACBACBACBA ACBCAB BABABABA , De MorganDe Morgan定律定律: :隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律第一章 總復(fù)習(xí)2 2 給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和基本性給出了隨機(jī)事件的頻率及概率的含義和基本性 質(zhì)。要求熟練掌握概率的基本性質(zhì)：質(zhì)。要求熟練掌握概率的基本性質(zhì)：返回主目錄;)(010AP （非負(fù)性）（非負(fù)性）;1)(20 SP（正則性或正規(guī)性）（正則性或正規(guī)性）則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若,3201A

4、A.)()()(2121 APAPAAP（可列可加性）（可列可加性）（1） 概率的（公理化）定義概率的（公理化）定義第一章 總復(fù)習(xí)返回主目錄則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若性性質(zhì)質(zhì),221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn （有限可加性）（有限可加性）)()()()()(3APBPAPBPABPBA 性質(zhì)性質(zhì)（包含可減性）（包含可減性）（非降性）（非降性）;1)(4 AP性性質(zhì)質(zhì);)(1)(5APAP 性性質(zhì)質(zhì)（逆事件的概率公式）。性性質(zhì)質(zhì))()()()(6ABPBPAPBAP （2） 概率的性質(zhì)與推廣概率的性質(zhì)與推廣;0)(1 P性性質(zhì)質(zhì)（加法公式）第一章

5、總復(fù)習(xí)返回主目錄)()()()()()()()() 1ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP （加法公式）)()()()()2ABPBPABPABP 重重 要要 推推 廣廣常用公式常用公式)(1)()(CBAPCBAPCBAP 第一章 總復(fù)習(xí)特點(diǎn)是：特點(diǎn)是： 樣本空間的元素只有有限個(gè)；樣本空間的元素只有有限個(gè)； (有限性有限性) 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。（等可能性）每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。（等可能性） 3 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念等可能概型返回主目錄.)(中中基基本本事事件件總總數(shù)數(shù)包包含含的的基基本本事事

6、件件數(shù)數(shù)即即：SAAP 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率:二、縮小樣本空間法二、縮小樣本空間法-適用于古典概型適用于古典概型返回主目錄一、公式法一、公式法)0)( AP)()()(APABPABP 設(shè)事件A所含樣本點(diǎn)數(shù)為樣本點(diǎn)數(shù)為 ,事件AB所含樣本樣本點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)數(shù)為 ,則則AABnnABP )(AnABn4 4 給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率給出了條件概率的定義及乘法公式、全概率 公式和貝葉斯公式。要求掌握：公式和貝葉斯公式。要求掌握：（1）條件概率的定義、計(jì)算公式：）條件概率的定義、計(jì)算公式：第一章 總復(fù)習(xí)返回主目錄（2） 乘法公式乘法公式 ABPAPABP 01 12121312121

7、02 nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP )0(121 nAAAP)0)( AP（3 3）全概率公式）全概率公式 11nnnnnBAPBPABPAP（已知原因，求結(jié)果）（已知原因，求結(jié)果）第一章 總復(fù)習(xí)返回主目錄 , 2 , 1,1)()|()()|()()()|(njjBPjBAPnBPnBAPAPnABPAnBP（4 4）BayesBayes（逆概）公式：（逆概）公式：（已知結(jié)果，求原因）已知結(jié)果，求原因）第一章 總復(fù)習(xí)（1） 兩事件獨(dú)立的定義兩事件獨(dú)立的定義 BPAPABP （2）兩事件獨(dú)立性的性質(zhì)：）兩事件獨(dú)立性的性質(zhì)：事件事件A 與與 B 相互獨(dú)立的充分必要條件為：相互獨(dú)立的

8、充分必要條件為： , )0( AP BPABP 返回主目錄5 5 給出了隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念，會(huì)利用事件給出了隨機(jī)事件獨(dú)立性的概念，會(huì)利用事件 獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。01 若隨機(jī)事件若隨機(jī)事件 A 與與 B 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則BABABA與與、與與、與與也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立.02第一章 總復(fù)習(xí)返回主目錄注意注意1：兩事件：兩事件相互獨(dú)立與互不相容的區(qū)別：相互獨(dú)立與互不相容的區(qū)別： “A與與B互不相容互不相容”，指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即即 P（AB）=0。 “A與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立”，指，指A是否發(fā)生不影響是否發(fā)生不影響B(tài)發(fā)生的概率，即發(fā)生的概率，

9、即P（AB）=P（A）P（B）或或)0)()()( APBPABP必然事件必然事件S與任意隨機(jī)事件與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； 不可能事件不可能事件與任意隨機(jī)事件與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立相互獨(dú)立03第一章 總復(fù)習(xí)注意注意2 2：設(shè)事件設(shè)事件 A 與與 B 滿足：滿足： 0 BPAP即：若事件即：若事件 A 與與 B 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 AB；若若 AB =，則則事件事件 A 與與 B 不相互獨(dú)立。不相互獨(dú)立。返回主目錄則互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立則互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立。（3）三個(gè)事件的獨(dú)立性）三個(gè)事件的獨(dú)立性 CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAP

10、ABP第一章 總復(fù)習(xí)2 、三個(gè)事件的獨(dú)立性、三個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)設(shè)A、B、C是三個(gè)隨機(jī)事件，如果是三個(gè)隨機(jī)事件，如果 CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP則稱則稱A、B、C是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件返回主目錄第一章 總復(fù)習(xí)注意注意3 3：在三個(gè)事件獨(dú)立性的定義中，四個(gè)等式是缺一不在三個(gè)事件獨(dú)立性的定義中，四個(gè)等式是缺一不可的即：前三個(gè)等式的成立不能推出第四等可的即：前三個(gè)等式的成立不能推出第四等式的成立；反之，最后一個(gè)等式的成立也推不出式的成立；反之，最后一個(gè)等式的成立也推不出前三個(gè)等式的成立前三個(gè)等式的成立返回主目錄注意注意54 三個(gè)事件相互獨(dú)立的性質(zhì)：

11、三個(gè)事件相互獨(dú)立的性質(zhì)： 若若A，B，C是相互獨(dú)立的三個(gè)事件，則是相互獨(dú)立的三個(gè)事件，則相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與與與與與與與與與,CBACBACBABCACBACBABCACBA 第一章 總復(fù)習(xí)（4 4）n n個(gè)事件的相互獨(dú)立性個(gè)事件的相互獨(dú)立性等式成立：等式成立：個(gè)隨機(jī)事件，如果下列個(gè)隨機(jī)事件，如果下列為為，設(shè)設(shè)nAAAn21 nnmiiiiiikjikjijijiAPAPAPAAAPniiiAPAPAPAAAPnkjiAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPnm2121211)(112121個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)事事件件相相互互獨(dú)獨(dú)立立這這，則則稱稱nnAAA21返回主目錄第一章 總復(fù)習(xí)若若 是相互獨(dú)立

12、的事件，則是相互獨(dú)立的事件，則nAAA,21)()()(1)(1)(212121nnnAPAPAPAAAPAAAP 相互獨(dú)立事件至少發(fā)生其一的概率的計(jì)算相互獨(dú)立事件至少發(fā)生其一的概率的計(jì)算 npniiAP 111返回主目錄第一章 總復(fù)習(xí) pnAPAPAP 21特別地，如果特別地，如果則有則有 2 2 給出了離散型隨機(jī)變量及其分布率的定義、性給出了離散型隨機(jī)變量及其分布率的定義、性 質(zhì)，要求質(zhì)，要求: : (1) (1) 會(huì)求離散型隨機(jī)變量的分布率；及其分布函數(shù)；會(huì)求離散型隨機(jī)變量的分布率；及其分布函數(shù)； （2 2）已知分布率，會(huì)求分布函數(shù)以及事件的概率；）已知分布率，會(huì)求分布函數(shù)以及事件的概率

13、； （3 3）已知分布函數(shù)，會(huì)求分布率；）已知分布函數(shù)，會(huì)求分布率； （4 4）會(huì)確定分布率中的常數(shù)；）會(huì)確定分布率中的常數(shù)； （5 5）掌握常用的離散型隨機(jī)變量分布：兩點(diǎn)分布、）掌握常用的離散型隨機(jī)變量分布：兩點(diǎn)分布、 二項(xiàng)分布、泊松分布及其概率背景。二項(xiàng)分布、泊松分布及其概率背景。第二章 小 結(jié)返回主目錄1 1 引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，要求會(huì)用隨機(jī)變量表引進(jìn)了隨機(jī)變量的概念，要求會(huì)用隨機(jī)變量表 示隨機(jī)事件。示隨機(jī)事件。11 nnp （2 2）已知概率密度，會(huì)求事件的概率；）已知概率密度，會(huì)求事件的概率； （3 3）會(huì)確定概率密度中的常數(shù)；）會(huì)確定概率密度中的常數(shù)； （4 4）掌握常用的連續(xù)型

14、隨機(jī)變量分布：均勻）掌握常用的連續(xù)型隨機(jī)變量分布：均勻 分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布。第二章 小 結(jié)返回主目錄 3 3 給出了連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度的定義、性質(zhì)，給出了連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度的定義、性質(zhì)， 要求：要求： （1 1）掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系及其運(yùn)算；）掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系及其運(yùn)算； xdttfxF,)()().()(xfxF GdxxfGXP. 1)( dxxf第二章 小 結(jié)返回主目錄4 4 會(huì)求隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布。會(huì)求隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布。 ，的的分分布布，并并且且已已知知已已知知隨隨機(jī)機(jī)變變量量XgYX 的的密密度度函函

15、數(shù)數(shù)我我們們要要求求的的是是yfXgYY 解解 題題 思思 路路 yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的的分分布布函函數(shù)數(shù)先先求求 yFyfXgYXgYYY 的密度函數(shù)的密度函數(shù)關(guān)系求關(guān)系求之間的之間的的分布函數(shù)與密度函數(shù)的分布函數(shù)與密度函數(shù)利用利用 定理定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度具有概率密度, )( xxfX).0)(0)()( xgxgxg或或恒恒有有處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且有有又又設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)則則 Y =g(X ) 是是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 Y，其概率密度其概率密度為為 ., 0,|,)(|)()(其它其它 yyhyhfyfXY其中其中 h(

16、y) 是是 g(x) 的反函數(shù)的反函數(shù)，即即 ).(),(max),(),(min gggg )()(1yhygx 返回主目錄第二章 小 結(jié)此此時(shí)時(shí)仍仍有有：或或恒恒有有上上恒恒有有在在設(shè)設(shè)以以外外等等于于零零，則則只只須須假假在在有有限限區(qū)區(qū)間間若若),0)(0)(,)( xgxgbabaxf).(),(max),(),(minbgagbgag 這這里里 ., 0,|,)(|)()(其它其它 yyhyhfyfXY 定理（續(xù)）定理（續(xù)）返回主目錄第二章 小 結(jié)補(bǔ)充定理：補(bǔ)充定理：若若g(x)在不相疊的區(qū)間在不相疊的區(qū)間,21II上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)分別為反函數(shù)分別為),(

17、),(21yhyh均為連續(xù)函數(shù)，那么均為連續(xù)函數(shù)，那么Y=g(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 )()()(11yhyhfyfXY )()(22yhyhfX返回主目錄),( y第二章 小 結(jié) 一、一、 要理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及要理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。性質(zhì)。第三章 小 結(jié)返回主目錄1 1 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量( (X,Y)X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù) yYxXPyxF ，2 分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：; 0),( yF; 0),( xF. 1),(; 0),( FF3 已知聯(lián)合分布函數(shù)求邊緣分

18、布函數(shù) ),( xFxFX ),(yFyFY 二維分布函數(shù)的幾何意義二維分布函數(shù)的幾何意義 概率概率點(diǎn)的無窮矩形中的點(diǎn)的無窮矩形中的為右上頂為右上頂，落在以落在以，點(diǎn)點(diǎn)表示平面上的隨機(jī)表示平面上的隨機(jī)，意義是：意義是：二維分布函數(shù)的幾何二維分布函數(shù)的幾何yxYXyxFyo(X, Y )返回主目錄x),(yx 第三章 小 結(jié)第三章 小 結(jié)返回主目錄二、二、 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量 分分布布律律的的（聯(lián)聯(lián)合合），量量會(huì)會(huì)求求二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變YX. 1 ，21 jiyYxXPpjiij1 jiijp，性質(zhì)性質(zhì)2、已知聯(lián)合分布律，會(huì)求邊緣分布律 jijiipxXPp ii

19、jjjpyYPp第三章 小 結(jié)返回主目錄 , 2 , 1, jippyYxXPpjijiij，3、會(huì)判斷離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性；、會(huì)判斷離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性；4、已知離散型隨機(jī)變量、已知離散型隨機(jī)變量X、Y的相互獨(dú)立以及各的相互獨(dú)立以及各自的（邊緣）分布，會(huì)求聯(lián)合分布；自的（邊緣）分布，會(huì)求聯(lián)合分布；三、三、 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量1 、分布函數(shù)分布函數(shù)F(x,y)與密度函數(shù)與密度函數(shù)f(x,y)的關(guān)系：的關(guān)系： yxdudvvufyxF,),(),(2、概率密度、概率密度 具有以下性質(zhì)：具有以下性質(zhì)：;0),(10 yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf).,(),()

20、,(),(320yxfyxyxFyxyxf 連連續(xù)續(xù)，則則有有在在點(diǎn)點(diǎn)若若 40 設(shè)設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn)是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在落在 G 內(nèi)內(nèi) 的概率為：的概率為： GdxdyyxfGYXP.),(),(返回主目錄),(yxf第三章 小 結(jié)第三章 小 結(jié)返回主目錄3、已知聯(lián)合密度函數(shù)，會(huì)求邊緣密度函數(shù)、已知聯(lián)合密度函數(shù)，會(huì)求邊緣密度函數(shù) dyyxfxfX， dxyxfyfY，4、會(huì)判斷連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性、會(huì)判斷連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 yfxfyxfYX ，有有，對對于于幾幾乎乎所所有有的的yx 須須成成立立必必，的的所所有有連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)，特特別別地地，上上式式對

21、對yxyxf返回主目錄5 5、 掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。 DyxDyxAyxf，01 22222121212122212121exp121 yyxxyxf， 222121，NYX第三章 小 結(jié)結(jié) 論 （一）布布是是一一維維正正態(tài)態(tài)分分布布二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布的的邊邊緣緣分分 222 ，NY 211 ，NX則則有有，結(jié) 論 （二）返回主目錄 X，Y獨(dú)立獨(dú)立 =0X，Y不相關(guān)不相關(guān)。 XY第三章 小 結(jié)6 6、 要會(huì)求二維隨機(jī)變量的和及最值分布。要會(huì)求二維隨機(jī)變量的和及最值分布。 ，即若即若222121 NYX一、一、 闡述了數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，

22、要掌握闡述了數(shù)學(xué)期望、方差的概念及背景，要掌握 它們的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)它們的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué) 期望和方差。期望和方差。第四章 小 結(jié)返回主目錄1、數(shù)學(xué)期望：、數(shù)學(xué)期望： 1)(ikkpxXE dxxxfXE)()(2、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)設(shè) Y=g(X), g(x) 是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)， 1)()(kkkpxgYE dxxfxgYE)()()(E(aX+bY)=aEX+bEY 若若x , y獨(dú)立，則獨(dú)立，則 EXY=EXEY性質(zhì)性質(zhì)返回主目錄 若若(X,Y) 是二維隨機(jī)變量，是二維隨機(jī)變量， 是二元連續(xù)函是二元連續(xù)函數(shù)，數(shù)，)

23、,(yxg),(YXgZ ijjipyYxXP , 1,),(jiijjipyxg 1,),()(jiijjipyxgZE 且且 絕對收斂；則絕對收斂；則 (1)若若(X,Y) 的分布律為的分布律為 ，(2). 若若(X,Y)的概率密度為的概率密度為),(yxf dxdyyxfyxg),(),(且且絕對收斂，絕對收斂，則則 dxdyyxfyxgZE),(),()(第四章 小 結(jié)返回主目錄則則為為）的聯(lián)合密度）的聯(lián)合密度，（若二維連續(xù)型隨機(jī)變量若二維連續(xù)型隨機(jī)變量, ),(yxfYXdxdyyxfxdxxxfXEX ),()( dxdyyxxf),( dxdyyxyfYE),(第四章 小 結(jié)第四

24、章 小 結(jié)返回主目錄 3、方差、方差 122)()(iiipEXxEXXEDX， 離散型。離散型。 dxxfEXxDX)()(2 連續(xù)型。連續(xù)型。 22EXEXDX )(2)(22EYYEXXabEDYbDXabYaXD ， a，b 是是常常數(shù)數(shù)。若若 X，Y 獨(dú)獨(dú)立立， 則則 DYbDXabYaXD22)( 。，相相互互獨(dú)獨(dú)立立時(shí)時(shí)、當(dāng)當(dāng)特特別別DYDXYXDYX )(,性質(zhì)性質(zhì)第四章 小 結(jié)返回主目錄三、三、 給出了契比雪夫不等式，要會(huì)用契比雪夫給出了契比雪夫不等式，要會(huì)用契比雪夫不等式作簡單的概率估計(jì)。不等式作簡單的概率估計(jì)。22/| XP22/1| XP二、二、 要熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分

25、布、泊松分布、均勻要熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻 分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。第四章 小 結(jié)返回主目錄1. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布pppXk110EX=p， pqEXEXDX 22)(。 2. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布),(pnBXnpEX npqDX 3泊泊松松分分布布DXEX )( X4.均勻分布均勻分布),(baUX2baEX 12)(2abDX 5正態(tài)分布正態(tài)分布 ),(2 NX2, DXEX6. 指數(shù)分布指數(shù)分布 0001)(xxexfx 2)(,)( XDXE1、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字

26、特征協(xié)方差：協(xié)方差： COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY) 返回主目錄特別特別 COV（X，X）=DX注意注意 1: COV（X，Y）=E(XY)- E(X)E(Y)注意注意 2:D(aX+bY)=),(222YXabCOVDYbDXa 特別特別),(2)(YXCOVDYDXYXD DYDXYXCOVXY.),( 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 若若 XY =0，稱稱 X,Y 不不相相關(guān)關(guān). 四、四、 引進(jìn)了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，要掌握它引進(jìn)了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，要掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算。們的性質(zhì)與計(jì)算。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征定理：定理：若若X，Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則X,Y不相關(guān)。不相關(guān)。返回

27、主目錄 注意注意 3： X,Y 不相關(guān)不相關(guān) 0 XY 0),( YXCOVEXEYXYE )(DYDXYXD )(但是，但是，X，Y不相關(guān)，不一定有不相關(guān)，不一定有X，Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。2、協(xié)方差的性質(zhì)、協(xié)方差的性質(zhì)1) COV(X,Y)=COV(Y,X);2) COV(aX，bY)=abCOV(X,Y);3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征說說 明明X與與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間沒有關(guān)系之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間沒有關(guān)系。11)2 abXYpXY ;1)1 XY 3、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì);1,0 XYb 時(shí)

28、時(shí)當(dāng)當(dāng).1,0 XYb 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)牧康牧恐g線性關(guān)系緊密程度之間線性關(guān)系緊密程度與與量量相關(guān)系數(shù)是表征隨機(jī)變相關(guān)系數(shù)是表征隨機(jī)變YX存在著線性關(guān)系；存在著線性關(guān)系；之間以概率之間以概率與與時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)，11YXYX 之間的線性關(guān)系越弱；之間的線性關(guān)系越弱；與與時(shí)，時(shí)，越接近于越接近于當(dāng)當(dāng)，YXYX0 不相關(guān)不相關(guān)之間不存在線性關(guān)系之間不存在線性關(guān)系與與時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)，YXYX0 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征則則 X，Y獨(dú)立獨(dú)立 =0X，Y不相關(guān)不相關(guān)。 XY返回主目錄設(shè)設(shè)(X,Y)服服從從二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布 ),(222121 N3 協(xié)方差五、五、 要掌握二維正態(tài)隨機(jī)變量的不相關(guān)與獨(dú)立的要掌

29、握二維正態(tài)隨機(jī)變量的不相關(guān)與獨(dú)立的等價(jià)性。等價(jià)性。5、n維正態(tài)分布的性質(zhì)維正態(tài)分布的性質(zhì)1) n維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(1nXX 服服從從n維維正正態(tài)態(tài)分分布布nXX,1 的的任任意意線線性性組組合合nnXlXl11服服從從一一維維正正態(tài)態(tài)分分布布。2) 若若),(1nXX 服服從從 n維維正正態(tài)態(tài)分分布布，nYY,1是是), 1(njXj 的的線線性性函函數(shù)數(shù)，則則),(1nYY 也也服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布。3) 若若),(1nXX 服服從從 n 維維正正態(tài)態(tài)分分布布，則則nXX,1相相互互獨(dú)獨(dú)立立nXX,1兩兩兩兩不不相相關(guān)關(guān)。第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征返回主目錄4) 相互獨(dú)立的一維相

30、互獨(dú)立的一維 正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合服從正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合服從正態(tài)分布正態(tài)分布1）掌握大數(shù)定律的定義；）掌握大數(shù)定律的定義；第五章主要內(nèi)容及要求：第五章主要內(nèi)容及要求：, 11lim1 nkknXnP, 01lim1 nkknXnP或或2）了解切比雪夫大數(shù)定律、貝努里大數(shù)定律、辛）了解切比雪夫大數(shù)定律、貝努里大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律；欽大數(shù)定律；3）掌握獨(dú)立同分布的中心極限定理和德莫佛）掌握獨(dú)立同分布的中心極限定理和德莫佛-拉普拉普拉斯定理；并會(huì)用這兩個(gè)定理求概率；拉斯定理；并會(huì)用這兩個(gè)定理求概率；),10(), 2 , 1)(,( pnpnBn 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量).1(),1NnnXn

31、kk近似服從近似服從則則 ).1 , 0(Nnpqnpn近似服從近似服從則則 ), 2 , 1( , 02 kDXEXkk ，序序列列，且且獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè),1nXXbaPn npqnpbnpqnpnpqnpaPn ).()(npqnpanpqnpb nnpPn pnPn pqnnpqnppqnPn pqnpqn . 12 pqn 第六章主要內(nèi)容及要求：第六章主要內(nèi)容及要求：1）掌握樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念及常用的統(tǒng)計(jì)量，會(huì)判）掌握樣本和統(tǒng)計(jì)量的概念及常用的統(tǒng)計(jì)量，會(huì)判斷哪些樣本的函數(shù)是統(tǒng)計(jì)量；斷哪些樣本的函數(shù)是統(tǒng)計(jì)量；:,1的的樣樣本本，則則意意味味著著是是來來自自總總

32、體體若若XXXn同同樣樣的的分分布布。與與總總體體是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的，都都服服從從XXXn,1),(1*nxxf設(shè)總體設(shè)總體X 的概率密度為的概率密度為 f (x) ，則，則 的聯(lián)合的聯(lián)合概率密度為：概率密度為：),(1nXX niixf1)(,11nnxXxXP 設(shè)設(shè) X 的分布率為的分布率為 ，則，則 的聯(lián)合分布率為：的聯(lián)合分布率為：),(1nXX )(xpxXP niixp1)(,11 niiXnX niiXXnS122)(11 niiXnXn12211;11 nikikXnA,2 DXEX2）結(jié)論）結(jié)論：設(shè)為來自總體設(shè)為來自總體X 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，nXX ,1則則.,22

33、2 ESnXDXE, 2 , 1)(11 kXXnBnikik樣本均值樣本均值樣本方差樣本方差樣本樣本k 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩樣本樣本k 階中心矩階中心矩3）掌握三個(gè)分布的定義及性質(zhì)）掌握三個(gè)分布的定義及性質(zhì)分分布布 2)1( 的的樣樣本本，為為來來自自于于正正態(tài)態(tài)總總體體設(shè)設(shè))1 , 0(),(1NXXn獨(dú)立，則有獨(dú)立，則有，且且若若YXnYmX),(),(1220 )(2nmYX )(22212nXXn ),(2220n 若若.2,22nDnE 則則 )(22nP4）掌握正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的定義及其）掌握正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的定義及其分布分布（四個(gè)定理）（四個(gè)定理）；分布分布

34、 t)2( ,),(),1 , 0(2稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量獨(dú)立，則獨(dú)立，則YXnYNX )(ntnYXt 稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則 分布分布 F)3(獨(dú)立，獨(dú)立，若若YXnYnX,),(),(2212 ).,(21nnF21/ nYnXF )(nttP)()(1ntnt ),(21nnFFP),(/112nnF ),(211nnF )1(X221,),(,SXNXXn的樣本，的樣本，是總體是總體設(shè)設(shè) 22)1()2( Sn 獨(dú)獨(dú)立立。與與2)3(SX定理定理1方方差差，則則有有：分分別別是是樣樣本本均均值值與與樣樣本本212)( niiXX);,(2nN );1(2 n )(/)(2212nX

35、nii )1(/ ntnSX ),1 , 0(/NnX 定理定理2)2(112)1()1()()(21212122221121 nntnnnnSnSnYX 定理定理3)1 , 0()()(22212121NnnYX 12122222112121/)(/)(1nnYXnjjnii ）（),(21nnF 22222121/2 SS）（)1, 1(21 nnF定理定理411/)(/)(121222211221 nnYYXXnjjnii 第七章主要內(nèi)容及要求：第七章主要內(nèi)容及要求：1）要會(huì)熟練運(yùn)用矩法和極大似然法求估計(jì)量。）要會(huì)熟練運(yùn)用矩法和極大似然法求估計(jì)量。矩法求估計(jì)量的步驟：矩法求估計(jì)量的步驟：);()1(221EXEX 求求);()2(2211 AA令令).,(),()3(122111nnXXXX 解解上上面面方方程程（組組），得得極大似然法求估計(jì)量的步驟：極大似然法求估計(jì)量的步驟：(一般情況下一般情況下):)()1( L構(gòu)造似然函數(shù)構(gòu)造似然函數(shù));(ln)2( L取取對對數(shù)數(shù)：; 0ln)3( dLd令令.)4( 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量解解似似然然方方程程得得 niixfL1;()()(連連續(xù)續(xù)型型） 說明：若似然方程（組）無解，或似然函數(shù)不可導(dǎo)，說明：若似然方程（組）無解，或似然函數(shù)不可導(dǎo)， 此法失效，改用觀察法此法失效，改用觀察法（如：均勻分布等，此時(shí)密（如：均