二次函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)

1、點(diǎn)動(dòng)問題點(diǎn)動(dòng)問題平樂鎮(zhèn)一中平樂鎮(zhèn)一中 陳晚珍陳晚珍 1 1、如圖、如圖, ,在在ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)P P從從B B出發(fā)沿出發(fā)沿BCBC移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)C C，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P在移動(dòng)過程中，在移動(dòng)過程中，APDAPD的面積（的面積（ ）A.A.變大變大 B.B.變小變小 C.C.不變不變 D.D.無(wú)法確定無(wú)法確定C C2 2、如圖、如圖, ,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,ABC,ABC9090,DCAB,BC,DCAB,BC4,DC4,DC3,AB3,AB8.8.動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P P從從B B點(diǎn)出發(fā)點(diǎn)出發(fā), ,由由BCDABCDA沿邊運(yùn)動(dòng)，沿邊運(yùn)動(dòng)，則則ABPABP的最大面積為

2、（）的最大面積為（） A.10 B.12 C.14A.10 B.12 C.14 D.16D.16D 運(yùn)動(dòng)變化題是隨著幾何圖形的某一元素或兩元素的運(yùn)動(dòng)變化題是隨著幾何圖形的某一元素或兩元素的運(yùn)動(dòng)變化，導(dǎo)致問題的結(jié)論改變或者保持不變的數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)變化，導(dǎo)致問題的結(jié)論改變或者保持不變的數(shù)學(xué)問題，它揭示了問題，它揭示了“運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)”與與“靜止靜止”、“一般一般”與與“特殊特殊”的內(nèi)在聯(lián)系。的內(nèi)在聯(lián)系。圖形運(yùn)動(dòng)問題是近幾年中考命圖形運(yùn)動(dòng)問題是近幾年中考命題的熱點(diǎn)，在中考中具備選拔功能。題的熱點(diǎn)，在中考中具備選拔功能。 解這類問題的關(guān)鍵解這類問題的關(guān)鍵是分清幾何元素運(yùn)動(dòng)的方向和是分清幾何元素運(yùn)動(dòng)的方向和路徑，注

3、意在運(yùn)動(dòng)過程中路徑，注意在運(yùn)動(dòng)過程中哪些是哪些是變量變量，哪些是，哪些是不變量不變量，并且正確分析變量與其它量之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立它并且正確分析變量與其它量之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立它們之間的們之間的關(guān)系關(guān)系，有時(shí)還要根據(jù)幾何元素所處的不同位，有時(shí)還要根據(jù)幾何元素所處的不同位置加以置加以分類討論分類討論，這類試題還往往要綜合運(yùn)用，這類試題還往往要綜合運(yùn)用勾股定勾股定理理、相似三角形相似三角形、方程方程、函數(shù)函數(shù)等知識(shí)來解決。等知識(shí)來解決。 0246024602460246A 1. 如圖，在邊長(zhǎng)為如圖，在邊長(zhǎng)為4cm的正方形的正方形ABCD中，現(xiàn)有一中，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，以出發(fā)，以2

4、cm/秒的速度，沿正方形的秒的速度，沿正方形的邊經(jīng)邊經(jīng)A-B-C-D到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)D。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。設(shè)秒。設(shè)APD的面積為的面積為S。以下能大致反映。以下能大致反映S與與t的函數(shù)圖象的（的函數(shù)圖象的（ ）類型一、單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題類型一、單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題ABCDABCDP0t2ABCDP2t4PABCD4t6S=4tS=8S= 4t+24“化動(dòng)為靜化動(dòng)為靜”法：法：動(dòng)動(dòng)靜靜尋找尋找臨界點(diǎn)臨界點(diǎn) 分類（確定時(shí)間取值范圍）分類（確定時(shí)間取值范圍）用含用含時(shí)間的代數(shù)式時(shí)間的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度例例2 2、在矩形、在矩形ABCDABCD中，中，AB=8cmAB=8cm，BC

5、=4cmBC=4cm。動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)M M從點(diǎn)從點(diǎn)A A出出發(fā)沿發(fā)沿ABAB方向以每秒方向以每秒1cm1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N N從點(diǎn)從點(diǎn)A A出出發(fā)，沿折線發(fā)，沿折線ADDCCBADDCCB以每秒以每秒2cm2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B B時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。（1 1）設(shè)）設(shè)AMNAMN的面積為的面積為S S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為為t t，請(qǐng)寫出，請(qǐng)寫出S S與與t t的函數(shù)關(guān)系式。的函數(shù)關(guān)系式。（2 2）在（）在（1 1）的條件下，求）的條件下，求S S的最大的最大面積。面積。（3 3）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)N N在在DCDC邊上運(yùn)動(dòng)，問邊上運(yùn)動(dòng)，問t

6、t為為何值時(shí)，何值時(shí)，AMNAMN是等腰三角形？是等腰三角形？類型二、雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題類型二、雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題例例2 2、在矩形、在矩形ABCDABCD中，中，AB=8cmAB=8cm，BC=4cmBC=4cm。動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)M M從點(diǎn)從點(diǎn)A A出出發(fā)沿發(fā)沿ABAB方向以每秒方向以每秒1cm1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N N從點(diǎn)從點(diǎn)A A出出發(fā)，沿折線發(fā)，沿折線ADDCCBADDCCB以每秒以每秒2cm2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B B時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。（1 1）設(shè)）設(shè)AMNAMN的面積為的面積為S S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為為t t，請(qǐng)寫出，請(qǐng)寫出S S與與t

7、 t的函數(shù)關(guān)系式。的函數(shù)關(guān)系式。0 t2時(shí)時(shí)2 t66 t8（1）設(shè)）設(shè)AMN的面積為的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為為t，請(qǐng)寫出，請(qǐng)寫出S與與t的函數(shù)關(guān)系式。的函數(shù)關(guān)系式。解：分三種情況：解：分三種情況：當(dāng)當(dāng)0 t2時(shí)，時(shí)，AM= t，AN=2 t222121tttANAMSAMN當(dāng)當(dāng)2 t6時(shí)，過點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)N作作NEAB，AM= t，NE=AD=4ttNEAMSAMN242121當(dāng)當(dāng)6 t8時(shí)，時(shí)，AM= t，BN=16-2 t ttttBNAMSAMN8)216(21212（2）在（）在（1）的條件下，當(dāng)）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，為何值時(shí)，S最大？最大？最大值是多少？最大值是多少？例例2

8、、在矩形、在矩形ABCD中，中，AB=8cm，BC=4cm。動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿出發(fā)沿AB方向以每秒方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線出發(fā)，沿折線ADDCCB以每秒以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。（3）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)N在在DC邊上運(yùn)動(dòng)，問邊上運(yùn)動(dòng)，問t為何值時(shí)，為何值時(shí)， AMN是等腰三角形？是等腰三角形？注意分類討論喲！注意分類討論喲！ E E（3 3）當(dāng)點(diǎn)）當(dāng)點(diǎn)N N在在DCDC邊上運(yùn)動(dòng)，問邊上運(yùn)動(dòng)，問t t為何值時(shí)，為何值時(shí)， AMNAMN是等腰三角形？是等腰三角形？解解：過點(diǎn)：過點(diǎn)N作作

9、NEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E。D=90，DN=2 t-432164)42(4222222tttDNADAN3284)42(222222ttttNEMEMN22tAM 當(dāng)當(dāng)AN=MN時(shí)，則有時(shí)，則有 解得解得 3283216422tttt38,021tt 當(dāng)當(dāng)AN=AMAN=AM時(shí)，有時(shí)，有 ，此方程無(wú)解。，此方程無(wú)解。223284ttt 當(dāng)當(dāng)AM=MNAM=MN時(shí)，有時(shí)，有 ，解得，解得t= 4t= 4。22328ttt當(dāng)當(dāng)t= t= 或或4 4秒時(shí)，秒時(shí)， AMNAMN是等腰三角形。是等腰三角形。38請(qǐng)跟大家分享你的收獲.策略是：策略是：“化動(dòng)為靜化動(dòng)為靜”，把動(dòng)態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)，把動(dòng)態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)

10、問題問題, ,抓住變化中的抓住變化中的“不變量不變量”，以不變應(yīng)萬(wàn)變。，以不變應(yīng)萬(wàn)變。 1、明確運(yùn)動(dòng)路徑明確運(yùn)動(dòng)路徑、運(yùn)動(dòng)速度運(yùn)動(dòng)速度、起始點(diǎn)起始點(diǎn)、終點(diǎn)。終點(diǎn)。3、找出一個(gè)基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用含有找出一個(gè)基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用含有運(yùn)動(dòng)時(shí)間的代數(shù)式表示出來運(yùn)動(dòng)時(shí)間的代數(shù)式表示出來。解決圖形運(yùn)動(dòng)問題解決圖形運(yùn)動(dòng)問題解題關(guān)鍵是：解題關(guān)鍵是：2 2、尋找圖形變化的臨界點(diǎn)，分解圖形，從而、尋找圖形變化的臨界點(diǎn)，分解圖形，從而確定自變量的取值范圍，畫出相應(yīng)的圖形。確定自變量的取值范圍，畫出相應(yīng)的圖形。 在平行四邊形在平行四邊形ABCDABCD中，中，A=60A=60，AB=8cmAB=8cm，BC

11、=4cmBC=4cm。動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M M從點(diǎn)從點(diǎn)A A出發(fā)沿出發(fā)沿ABAB方向以每秒方向以每秒1cm1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)N N從點(diǎn)從點(diǎn)A A出發(fā)，沿折線出發(fā)，沿折線ADDCCBADDCCB以每秒以每秒2cm2cm的速度運(yùn)動(dòng)，的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B B時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。（1 1）設(shè)）設(shè)AMNAMN的面積為的面積為S S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t t，請(qǐng)寫出，請(qǐng)寫出S S與與t t的函的函數(shù)關(guān)系式。數(shù)關(guān)系式。（2 2）在（）在（1 1）的條件下，求）的條件下，求S S的最大面積。的最大面積。1 1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

12、四邊形OABCOABC是矩形，點(diǎn)是矩形，點(diǎn)B B的坐標(biāo)的坐標(biāo)為（為（4 4，3 3）。動(dòng)點(diǎn)）。動(dòng)點(diǎn)M M從點(diǎn)從點(diǎn)O O出發(fā)，沿出發(fā)，沿OCBOCB的路線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)的路線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N N從從點(diǎn)點(diǎn)O O出發(fā)，沿出發(fā)，沿OABOAB的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M M的速度是每秒的速度是每秒3/43/4個(gè)單位長(zhǎng)個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)度，點(diǎn)N N的速度是每秒的速度是每秒1 1個(gè)單位長(zhǎng)度，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)了個(gè)單位長(zhǎng)度，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)了t t秒秒時(shí)時(shí)（1 1）點(diǎn)）點(diǎn)A A的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 , ,點(diǎn)點(diǎn)C C的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 。（2 2）當(dāng)）當(dāng)t= t= 秒或秒或 秒時(shí)，秒時(shí)，MN=MN= 0.4AC0.4AC（

13、3 3）設(shè)）設(shè)OMNOMN的面積為的面積為S S，求，求S S與與t t的的函數(shù)關(guān)系式；函數(shù)關(guān)系式；（4 4）在（）在（3 3）中得到的函數(shù)）中得到的函數(shù)S S有沒有有沒有最大值？若有求出最大值；若沒有，最大值？若有求出最大值；若沒有，要說明理由。要說明理由。2 2、如圖如圖, ,矩形矩形ABCDABCD中中,AB,AB6,BC6,BC4,4,點(diǎn)點(diǎn)F F在在DCDC上上,DF=2,DF=2。動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M M、N N分別從點(diǎn)分別從點(diǎn)D D、B B同時(shí)出發(fā)同時(shí)出發(fā), ,分別沿線段分別沿線段DADA、BABA向向點(diǎn)點(diǎn)A A的方向運(yùn)動(dòng)的方向運(yùn)動(dòng), ,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A A時(shí)時(shí),M,M、

14、N N兩點(diǎn)同時(shí)停兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)動(dòng)點(diǎn)止運(yùn)動(dòng)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M M、N N的速度都是的速度都是1 1個(gè)單位個(gè)單位/ /秒秒,M,M、N N運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為的時(shí)間為x x秒。試問秒。試問x x為何值時(shí)為何值時(shí), , MFNMFN是直角三角形？是直角三角形？【分析】【分析】以靜制動(dòng)以靜制動(dòng)，假設(shè)，假設(shè)M M點(diǎn)，點(diǎn)，N N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，圖所示的位置時(shí)，NFNFMNMN。M MN N2 24 4x6-x4-xE E4-xx6 6 OABCAB，(4 0) (4 3)， ， ，MN，OB，MOAANBCCNNPBCACPMPt如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為

15、矩形，點(diǎn)為矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)沿沿向終點(diǎn)向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿沿向終點(diǎn)向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，作作，交，交于點(diǎn)于點(diǎn) ，連結(jié)，連結(jié)，當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)秒時(shí)秒時(shí)過點(diǎn)過點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了運(yùn)動(dòng)了Pt（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）（用含）（用含 的代數(shù)式表示）的代數(shù)式表示）MPASSt(04)t （2）記）記的面積為的面積為 ，求 與 的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式t S（3）當(dāng)）當(dāng)秒時(shí)秒時(shí)，有最大值，最大值是有最大值，最大值是QySQANAQ（4）若點(diǎn)）若點(diǎn) 在在軸上，當(dāng)軸上，當(dāng) 有最大值且有最大

16、值且為等腰三角形時(shí)，求直線為等腰三角形時(shí)，求直線的解析式的解析式OMxyCNPABEF類型二、雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題：類型二、雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題： 解：（1）344tt ， MPA4MAtMA34t13(4)24MPASStt233(04)82Sttt （2）在中，邊上的高為即 OMxyCNP(4 3)B，(4 0)A ，（3）322， EF (4 3)B，(4 0)A ， S2t NBC(0)Qy，222224AQOAOQyyCOMNxQ222222(3)QNCNCQy2222232ANABBNQAN解：由（3）知，當(dāng)有最大值時(shí)，此時(shí)（4）若點(diǎn)Q在y軸上，當(dāng)s有最大值且QAN為等腰三角形時(shí)，求直線AQ的解析式的中點(diǎn)處，如下圖,設(shè)則，.為等腰三角形，AQAN2222432y若，則，此時(shí)方程無(wú)解A