基于三次樣條插值的數(shù)值積分算法研究

1、目 錄中文摘要II1 研究現(xiàn)有數(shù)值積分算法的基本原理1 1.1 插值型數(shù)值積分算法的基本原理1 1.1.1矩形法1 1.1.2梯形法1 1.1.3 Simpson公式法1 1.1.4 Newton-Cotes法2 1.2 Gauss型數(shù)值積分算法的基本原理22 三次樣條插值函數(shù)逼近的基本原理23 三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造34 基于三次樣條插值的數(shù)值積分算法4 4.1 數(shù)值積分算法公式44.2 代數(shù)精度分析65 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析8結(jié)語11參考文獻(xiàn)12基于三次樣條插值的數(shù)值積分算法研究摘要：現(xiàn)有數(shù)值積分算法主要有Gauss型和插值型兩大類。其中Gauss型數(shù)值積分算法是通過尋求Gauss點(diǎn)來構(gòu)造數(shù)值積

2、分公式，但當(dāng)求積精度要求較高時，尋求Gauss點(diǎn)的復(fù)雜性增大，從而致使相應(yīng)數(shù)值積分公式的構(gòu)造往往顯得比較困難。 插值型數(shù)值積分算法主要是通過插值逼近被積函數(shù)來構(gòu)造數(shù)值積分公式。該類算法主要是基于Lagrange插值的數(shù)值積分算法，其中包括矩形法、梯形法、Simpson公式法、Newton-Cotes法等。對基于Lagrange插值的數(shù)值積分算法而言，當(dāng)插值函數(shù)次數(shù)較低時，精度較高，但函數(shù)的光滑度不好；當(dāng)插值函數(shù)次數(shù)較高時，雖然函數(shù)的光滑度提高了，但會出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，從而致使求積精度降低。由于三次樣條插值逼近既能提高函數(shù)的光滑度，又能提高逼近精度，所以不難預(yù)見，基于三次樣條插值的數(shù)值積分算法

3、能較好解決Lagrange插值型數(shù)值積分算法的上述缺陷，同時，基于三次樣條插值的數(shù)值積分算法在一般參考文獻(xiàn)中鮮有報道，故對其的研究具有較為重要的實(shí)際意義。關(guān)鍵詞：三次樣條插值；數(shù)值積分；算法II1、研究現(xiàn)有數(shù)值積分算法（Gauss型和插值型）的基本原理1.1插值型數(shù)值積分算法的基本原理插值型數(shù)值積分算法主要是通過插值逼近被積函數(shù)來構(gòu)造數(shù)值積分公式。該類算法主要是基于Lagrange插值的數(shù)值積分算法，其中包括矩形法、梯形法、Simpson公式法、Newton-Cotes法等。1.1.1、矩形法 考慮積分 記為積分區(qū)間的長度，所謂矩形法就是用一個長方形的面積來近似這個積分，該長方形底邊長為區(qū)間長

4、，高度為該函數(shù)在區(qū)間中點(diǎn)的值，即。1.1.2、梯形法梯形法跟矩形法類似，即。1.1.3、Simpson公式法積分的數(shù)值計算中最重要的理論基礎(chǔ)是積分的區(qū)間可加性，即 函數(shù)在區(qū)間a,b上的積分，總等于它在區(qū)間a,c與c,b上的積分之和，而且這樣的過程可以針對子空間繼續(xù)下去。 利用函數(shù)的插值作為工具，我們也可以從另一個角度來看數(shù)值積分問題。設(shè)區(qū)間a,b的一個劃分為。在分點(diǎn)上的線性Lagrange插值為。如果記，將上式兩端在上積分可以得到。 這就是梯形方法。不難發(fā)現(xiàn)，一類數(shù)值積分方法的基本思想總可以看成是：首先用一個簡單的函數(shù)代替被積函數(shù)（矩形法是用階梯函數(shù)近似被積函數(shù)，而梯形法是用分段線性Lagra

5、nge插值近似被積分函數(shù)），并用簡單函數(shù)的積分近似所求函數(shù)的積分值。現(xiàn)考慮用分段的二次Lagrange插值近似被積分函數(shù)。仍考慮積分。設(shè)區(qū)間a,b的一個分割為。在分點(diǎn)上的二次Lagrange插值為如果假定是與的中點(diǎn)，記，則經(jīng)過簡單的計算可以得到 。 這就是著名的Simpson公式。如果再進(jìn)一步假設(shè)所有節(jié)點(diǎn)是等距的，記，則可以近似為：。 這便是復(fù)化的Simpson公式。1.1.4、Newton-Cotes法Newton-Cotes法即用更高階的插值來構(gòu)造數(shù)值積分的方法，然而高階插值有不穩(wěn)定性，所以實(shí)用價值有限。1.2、Gauss型數(shù)值積分算法的基本原理矩形法、梯形法、Simpson公式法等，其形

6、式都是，其中，稱為積分節(jié)點(diǎn)，稱為求積系數(shù)（或稱權(quán)），前幾種數(shù)值積分方法的途徑都可以視為：首先選定求積的節(jié)點(diǎn)，然后按某種原則確定權(quán)的大小。如果將和同時作為待定，使得求積公式有盡可能高的代數(shù)精度（節(jié)點(diǎn)數(shù)為，則代數(shù)精度最高為），這樣的數(shù)值積分方法稱為Gauss方法。2、三次樣條插值函數(shù)逼近的基本原理以分段三次Hermite插值為基礎(chǔ)，由(1)函數(shù)表(,)(),(3)三種邊界條件中的某一種推導(dǎo)3次樣條插值函數(shù)。三次樣條插值函數(shù)就是尋求一個三次函數(shù)來近似這個被積函數(shù)，從而計算積分。三次樣條插值逼近既能提高函數(shù)的光滑度，又能提高逼近精度，所以不難預(yù)見。3、三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造 三次樣條插值函數(shù)的定義：在區(qū)間a,b上取n+1個節(jié)點(diǎn)a= a=1/2 1/2; b=2 2 2; c=1/2 1/2; f=-0.414*48/(pi*pi) -0.686*48/(pi*pi) -0.414