有關數(shù)項級數(shù)性質特征

1、牡丹江師范學院學士學位論文 有關數(shù)項級數(shù)性質特征的討論 I牡丹江師范學院學士學位論文有關數(shù)項級數(shù)性質特征的討論 摘要：判斷級數(shù)的斂散性和級數(shù)求和是數(shù)項級數(shù)性質特征中的兩大核心問題，本文將在已有結論的基礎之上總結出判斷級數(shù)斂散性的方法，如達朗貝爾判別法、柯西判別法、萊布尼茨判別法等，并且通過不同的典型例題對每一種方法及它們之間的關系進行全面的解析，采用由特殊到一般、由淺入深的分析順序，更加便于讀者理解。級數(shù)求和則是在已知級數(shù)收斂的情況下進行的，這里不僅闡釋了求和的方法，而且也揭示出級數(shù)重排后“和”的內在性質，最后，本文將這兩大內容應用到了求極限、求積分等領域，真正的把數(shù)學中的某些分支聯(lián)系到一起，

2、使讀者既能掌握判斷級數(shù)斂散性和級數(shù)求和的方法，又體會到數(shù)學的和諧之美！關鍵詞：斂散性；判別法；求和；應用About the discussion of properties and characteristic of several seriesAbstract:To judgment the characteristics of convergence and divergent and series summation is two core issues in several series property and characteristic.On the basis of the e

3、xisting conclusion,this article summarize the judgment method,such as DAlembert discriminance,Cauchy discriminance,Leibniz discriminance etc.And we will do a comprehensive analysis for each method and the relationship between them through different examples.It is more comvenient for reader to unders

4、tand by the analytic order which from specific to general,from superficiality to profoundness.Series summation would be conducted in the series convergence cases.We not only illustrate the method of summation,but also reveal the instrinsic property of sum that series is arranged by the means of a ne

5、w method.Finally,the two contents are applied in the calculate limit and calculate integral field.We will authentically integrate with some mathematical branches.It can make reader grasp method of judgment the characteristics of convergence and divergent and series summation as well as feel a beauty

6、 of harmony. Keywords: convergence and divergent; discriminance; sum; application. I牡丹江師范學院學士學位論文目錄摘要I關鍵詞I英文摘要II英文關鍵詞II1引言12數(shù)項級數(shù)的斂散性22.1比較原則22.2積分判別法、比式判別法和根式判別法42.3比式判別法和根式判別法之間的聯(lián)系82.4拉貝判別法和高斯判別法102.5萊布尼茨判別法、阿貝爾判別法和狄利克雷判別法132.6柯西收斂準則173數(shù)項級數(shù)的求和203.1定義求和203.2冪級數(shù)求和233.3級數(shù)重排264級數(shù)的應用274.1求極限274.2探究數(shù)列的斂散

7、性294.3廣義積分的斂散性314.4計算定積分32結論34附錄35參考文獻38致謝391引言數(shù)學這一學科就如同一個工具箱，而這一學科里面的每一個分支就好比是工具箱中的某一個工具，如果我們了解了這個工具的使用方法和用途，便會解決生活中的一些問題。本文所討論的數(shù)項級數(shù)的性質與特征恰恰就是研究和處理相關問題的工具之一，在研究的過程中，采用由易到難、深入淺出、層層遞進的方式，把數(shù)項級數(shù)斂散性判別法、求和問題以及它們的應用有機地結合起來。在這里，我們不再是數(shù)項級數(shù)斂散性判別法和級數(shù)求和方法簡單堆砌的老生常談，而是對每一種方法都展開深入的探討，進而尋求這些方法之間的聯(lián)系，即相同點與不同點，對于不同類型的

8、級數(shù)該應用什么樣的解決方法，另外，在弄清楚以上問題的基礎之上，我們又將應用它來解決極限、積分方面的問題。2數(shù)項級數(shù)的斂散性2.1比較原則定理：設和是兩個正項級數(shù)，如果存在某正數(shù)N，對一切n>N都有， 則（i） 若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；（ii） 若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散.推論：設 ， （1）， （2）是兩個正項級數(shù)，若，則（i） 當時，級數(shù)（1）、（2）同時收斂或同時發(fā)散；（ii） 當且級數(shù)（2）收斂時，級數(shù)（1）也收斂；（iii） 當且級數(shù)（2）發(fā)散時，級數(shù)（1）也發(fā)散.例1 應用比較原則判別下列級數(shù)的斂散性：（1）（2）（3）（4）解：（1）對任意的自然數(shù)n，都有， ，有收斂，由比較

9、原則知，收斂. （2）（時），（時），而級數(shù)收斂，級數(shù)收斂. （3）由于，而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù) 發(fā)散.（4），其中，則 ，即，而收斂， 收斂.從例1中，我們可以看到，在應用比較原則的基本定理時，需要對所考察的對象進行適當?shù)姆趴s，或者是像（2）那樣，對其做適當?shù)淖冃魏?，再與已知的收斂級數(shù)或發(fā)散級數(shù)進行比較，但是對于一些稍復雜的題目，適當?shù)姆趴s和變形都不是很容易想到的，所以在實際使用上，比較原則的極限形式有時更為方便些，如例1中的（3）、（4）問便顯示出它的優(yōu)越性。然而，無論是比較原則的哪種形式，我們都需要找來已知的收斂級數(shù)、亦或是發(fā)散級數(shù)作為比較和參考的對象，前提是我們并不知道要判斷的級數(shù)是收斂的

10、，還是發(fā)散的，這就給我們在解決問題時帶來了一定的難度。所以只有憑借做題的經驗去不斷嘗試，才可能方便快捷地得出結論，為此，我們進一步來討論積分判別法、比式判別法以及根式判別法。2.2積分判別法、比式判別法和根式判別法（積分判別法）設為上非負減函數(shù)，那么正項級數(shù)與反常積分同時收斂或同時發(fā)散.（比式判別法）若為正項級數(shù)，且，則（i） 當 時，級數(shù)收斂；（ii） 當或時，級數(shù)發(fā)散. （根式判別法）設為正項級數(shù)，且，則（i） 當時，級數(shù)收斂；（ii） 當時，級數(shù)發(fā)散. 例2 判斷下列級數(shù)的斂散性： （1） （為實數(shù)） （2） （3） （）（4） （） 解：（1）對于級數(shù) （為實數(shù)），當時，此時級數(shù)發(fā)散.

11、當時，考慮函數(shù)，則在上是非負減函數(shù)，而當時，收斂，當時，發(fā)散，由積分判別法知，當時，收斂，當時，發(fā)散. （2）設，對求導得： 當時，在上非負遞減. 當時， 當時收斂，時發(fā)散，綜上所述，在時，原級數(shù)在時收斂，時發(fā)散. 當時， 當時，對任意的，取，有， 從而積分收斂，則原級數(shù)收斂， 當時， 從而積分發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散. （3）已知 有 所以，由達朗貝爾判別法知，當，即時，級數(shù) 收斂，當，即時，級數(shù)發(fā)散， 當，即時，此時，單調遞增，且，即，故對任意自然數(shù)，都有，由比式判別法知發(fā)散.綜上所述，時收斂，時發(fā)散. （4）由 知 ， 于是由判別法知 當時，即時，級數(shù)收斂； 當時，即時，級數(shù)發(fā)散； 當時，即時

12、，因此； 綜上所述，當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù) 發(fā)散.在上述例2中的第（1）小問，運用積分判別法，得到級數(shù)斂散性的結論，并且注意到積分判別法是一充要條件，所以對級數(shù)的討論，可完全如同對廣義積分一樣的討論其斂散性，而得到一致的結論：當時收斂，當時發(fā)散，這個級數(shù)通常被稱為級數(shù)，在后面，我們也會看到，它常被用作比較判別法中的比較級數(shù)。此外，在第（2）小問中，也完全運用了積分判別法去判斷其斂散性，其中的兩個參數(shù)、更是增加了這道題的難度，在討論過程中，我們更要清楚如何判別積分的斂散性，對其有一定的把握性，這樣才能順利地解決級數(shù)的斂散性。對于那些分母中含有對數(shù)的未知參數(shù)冪形式的級數(shù)，通常用積分判別法。第（

13、3）、（4）兩小題分別采用達朗貝爾判別法與判別法的極限形式，且最終都歸結于對參變量取值范圍的討論，這兩種方法的選擇也不是偶然的，它們往往是由一般項的表達形式決定的，一般情況下，當一般項中含有、時選用比式判別法，含有次方項時，選用根式判別法。相對例1中的比較原則而言，這兩種方法都無需選取參考級數(shù)，只需根據(jù)自身特點用第項比上第項，或是開次根號后再取極限即可，所以難度略有降低。雖然比式判別法與根式判別法兩者在正項級數(shù)斂散性的判斷中，作用有很多的相似之處，殊不知它們依然存在主次之分，在下一節(jié)中，將通過一道例題來闡述他們的區(qū)別與聯(lián)系。 2.3比式判別法和根式判別法之間的聯(lián)系 （比式判別法的推論）設為正項

14、級數(shù)，則 （i）若，則級數(shù)收斂； （ii）若，則級數(shù)發(fā)散.例3 證明下列各題： （1）設為正項數(shù)列，且，證明 （2）證明級數(shù)收斂，但達朗貝爾判別法對此級數(shù)無效 證明：（1），由初等函數(shù)的連續(xù)性可得： 要證，只需證明即可， 由及附錄的結果即得 ，此即 （2）由于， ，故由根式判別法知，級數(shù)收斂. 又由于 故有 ， ，它既不滿足達朗貝爾判別法收斂的條件，也不滿足發(fā)散的條件，所以達朗貝爾判別法對此級數(shù)無效.所以例3這兩問說明凡是能由比式判別法鑒別斂散性的級數(shù)，它也能由根式判別法來判斷，而反之卻不然，換句話說，即判別法的使用范圍比達朗貝爾判別法更加廣泛，不過在實際應用時，達朗貝爾判別法是更簡便的方法，

15、這是因為它的比式易于求得。比式判別法與根式判別法都是基于把所要判斷的級數(shù)與某一等比級數(shù)相比較而得出結論的，更進一步地講，只有那些級數(shù)的通項收斂于零的速度比某一等比級數(shù)收斂速度快，才能通過這兩種方法鑒別出級數(shù)的斂散性。但如果所給級數(shù)的通項收斂速度較慢，它們就無能為力了，所以若想獲得判別范圍更廣的一類級數(shù)，就必須要尋找通項收斂于零較慢的級數(shù)作為比較標準，此時，以例2中談到的級數(shù)為參考標準，就會得到拉貝判別法。2.4拉貝判別法和高斯判別法 （拉貝判別法）設為正項級數(shù)，且極限存在，則 （i）當時，級數(shù)收斂； （ii）當時，級數(shù)發(fā)散. （高斯判別法）若 ，且，其中有界，則 當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)發(fā)散

16、； 當時，若，級數(shù)收斂，級數(shù)發(fā)散.例4 判別下列級數(shù)的斂散性： （1） （2） 解：（1）由于 所以用比式判別法無法判斷其斂散性，現(xiàn)用拉貝判別法來討論，因為 ，故由拉貝判別法可知原級數(shù)收斂. （2）， 所以比式判別法對其無效，下面考慮拉貝判別法 當時，即時， ， 故由拉貝判別法知 當時，即時，級數(shù)收斂； 當時，即時，級數(shù)發(fā)散； 當時，級數(shù)變?yōu)?由高斯判別法知級數(shù)發(fā)散，綜上所述， 時，級數(shù)收斂，時，級數(shù)發(fā)散.通過例4我們看到，拉貝判別法判別的范圍明顯較比式判別法或根式判別法更為廣泛，但當時，仍是無法判別的，在例4的第（2）小問中，當時，應用的高斯判別法看似十分巧妙，但卻不是普遍適用的，因為我們不

17、能保證每一道題目都能化簡成滿足高斯判別法中的形式，所以任何判別法都不是萬能的，它們只能各自發(fā)揮其作用，解決某一類級數(shù)的收斂問題，而不能解決所有級數(shù)的收斂問題。當然，我們還可以建立比拉貝判別法更加精細有效的判別法，但這個過程卻是無限的。在這里，根據(jù)正項級數(shù)收斂或發(fā)散的各類判別法以及上面的例題，我們可以得到這樣一個結論：若正項級數(shù)收斂，則存在收斂的正項級數(shù)，滿足，若正項級數(shù)發(fā)散，則存在發(fā)散的正項級數(shù)，滿足，這告訴我們，既不存在收斂得最慢的正項級數(shù)，也不存在發(fā)散得最慢的正項級數(shù)。2.5萊布尼茨判別法、阿貝爾判別法和狄利克雷判別法在上述篇幅中，我們著重討論了有關正項級數(shù)的收斂性問題，而正項級數(shù)也是數(shù)項

18、級數(shù)中最簡單的一種，那么對于一般項級數(shù)的斂散性，又該如何判斷呢？下面我們仍先繼續(xù)討論某些特殊類型的級數(shù)的收斂性問題，然后再過渡到最一般的形式上。 （萊布尼茨判別法）若交錯級數(shù)，其中 ，滿足下述兩個條件： （i）數(shù)列單調遞減； （ii） 則級數(shù)收斂. （阿貝爾判別法） 若為單調有界數(shù)列，且級數(shù)收斂，則級數(shù) 收斂. （狄利克雷判別法）若數(shù)列單調遞減，且，又級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù) 收斂.例5 判斷下列級數(shù)的斂散性： （1） （2） ， （3） ， 解：（1）由題可知此級數(shù)為交錯級數(shù)，所以考慮用萊布尼茨判別法，只要證明數(shù)列 單調遞減且趨于即可， 單調遞減，下證 方法一：根據(jù)基本不等式 顯然有 由

19、迫斂性知 方法二： 又 ，且級數(shù) 發(fā)散，發(fā)散. ， 從而 方法三：由沃利斯公式 可知 ，即得 所以根據(jù)萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂. （2） ， 考察級數(shù)的第個部分和 級數(shù)的部分和數(shù)列當時有界，又知數(shù)列 單調遞減，且，由狄利克雷判別法得對任何收斂. （3）級數(shù)變形為，這時記，由于為交錯級數(shù)，且，所以根據(jù)萊布尼茨判別法知收斂.接下來討論 當時，此時單調， 當時，此時嚴格單調遞增， 當時， 所以此時，仍是單調的，又，即，是有界的. 綜上所述，由阿貝爾判別法可得，對一切，級數(shù)都收斂.第5道例題所給的三個級數(shù)明顯要比前面討論過的正項級數(shù)復雜，但是它們依然具有一定的特點，因此，在解決問題的過程中，我們接連

20、運用了萊布尼茨判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，使得這幾個問題迎刃而解，然而對于那些沒有任何特點的數(shù)項級數(shù)，又該如何判斷其斂散性呢？在下一節(jié)中，將給予解答。2.6柯西收斂準則 （級數(shù)收斂的柯西收斂準則）級數(shù)收斂的充要條件是：任給，總存在正整數(shù)，使得當以及對任意的正整數(shù)，都有 例6 應用收斂準則判斷下列級數(shù)的斂散性： （1） （2） （3） 解：（1）由題知 令， 于是取，對任意的正整數(shù)，當和時，就有 成立，由柯西收斂準則知，級數(shù)發(fā)散.（2）因為 對任給的，取，使得當以及對任意的正整數(shù)，都有 ，由柯西收斂準則知級數(shù)收斂. （3）對于級數(shù) 可以知道 ，所以存在，對任意正整數(shù)，總存在自然數(shù)，使得

21、當及取時，有 由收斂準則知級數(shù)發(fā)散.這里要注意到收斂準則是級數(shù)收斂的充要條件，同時它還闡釋了收斂級數(shù)的本質特征：“充分靠后的任意大的片段可以任意小”，反之，如果無論多么靠后，卻總能找到一個不能任意小的片段，級數(shù)就是發(fā)散的，由此我們可以歸納出級數(shù)發(fā)散的收斂準則：“，對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)與，使得雖然有，但”。運用收斂準則證明（1）、（3）小題中級數(shù)的發(fā)散性，就是要找到無論多么靠后，總存在不能任意小的片段，關鍵性的問題就是確定，即選定這種片段的位置和長度，但在具體的題目中，有的可能易于確定，有的則需要一定的技巧性。其實對于第（3）小題，級數(shù)顯然發(fā)散，但這里仍采用收斂準則來完成證明，目的就是使讀

22、者對級數(shù)發(fā)散的實質有更深刻的體會和認識。同理，運用收斂準則證明第（2）小題的收斂性時，只需對片段的估計式作適當放大，再令其右端小于，即可解出，從而確定的存在性。因此，我們從例6中可以看到，應用收斂準則有它自身的一個優(yōu)勢，那就是在判斷級數(shù)斂散性的時候，只需根據(jù)自身的片段來估計便可，無需考慮任何其它的東西或借助任何其它的形式，然而在實際應用中，卻很少應用收斂準則去鑒別級數(shù)的斂散性，因為它的復雜程度相對其它判別法是不言而喻的，所以，在判斷級數(shù)斂散性時，一定要掌握從特殊到一般，從局部到整體的原則，具體問題還要具體分析。3數(shù)項級數(shù)的求和在第二章節(jié)中，我們集中討論了如何判斷級數(shù)的斂散性問題，而且我們知道，

23、如果一個級數(shù)發(fā)散的話，它的和為，如果一個級數(shù)收斂的話，它便會收斂于一個確定的數(shù)，這個數(shù)也就是級數(shù)的和，那么，對于一個收斂的數(shù)項級數(shù)，我們又該通過何種方法求解出它的和呢？3.1定義求和 定義1：若數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于 ，則稱數(shù)項級數(shù)收斂，稱為數(shù)項級數(shù)的和，記作 或 ，若是發(fā)散數(shù)列，則稱數(shù)項級數(shù)發(fā)散. 定義2：若級數(shù)各項絕對值所組成的級數(shù) 收斂，則稱原級數(shù)為絕對收斂級數(shù). 定理：絕對收斂級數(shù)一定收斂.例7 求下列級數(shù)的和： （1） （2） （3） （4） 解：（1） ，所以原級數(shù)收斂，且其和為 （2）由題可知 且考慮到通項 有 ，故該級數(shù)收斂，其和為 （3）易知該級數(shù)絕對收斂，從而該級數(shù)收斂

24、，令該和為， 由 （4） +得： 故原級數(shù)收斂，其和為本題的級數(shù)求和是運用級數(shù)收斂的定義這一最基礎的方法實現(xiàn)的，最終所求級數(shù)的和就是對此級數(shù)的部分和取極限所得到的結果，在求和的過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)，它也是判斷級數(shù)斂散性的方法，如果部分和收斂，則級數(shù)收斂，如果部分和發(fā)散，級數(shù)也是發(fā)散的，但是在解決實際問題中，大部分級數(shù)的部分和是難以求得的，所以此類方法并不適宜判斷級數(shù)的斂散性，例7中，分別列舉了拆項求和、裂項相消求和、分組轉化求和、乘公比錯位相加（減）求和的題目，對于這類的級數(shù)求和，我們只需對其稍加變形，轉化成常見的、可以求和或是可以消去的形式，便可算出結果。3.2冪級數(shù)求和 定理1：設冪級數(shù)

25、（1） 在收斂區(qū)間上的和函數(shù)為，若為上任意一點，則 （i）在點可導，且； （ii）在與之間的這個區(qū)間上可積，且.定理2 ：（i）冪級數(shù)（1）的和函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)；（ii）若冪級數(shù)（1）在收斂區(qū)間的左（右）端點上收斂，則其和函數(shù)也在這一端點上右（左）連續(xù).例8 應用冪級數(shù)性質或冪級數(shù)展開式求下列級數(shù)的和： （1） （2） （3） 解：（1）構造冪級數(shù) ， 收斂域為 （2）方法一： ， 求導： 令， 方法二： （ 其中應用了 ）方法三： 其中 ， 時 （3）已知 ， 設 ， 對上式在上積分得 設 ， 從而 此外還可以算出 這三道小題的求和都是非常困難的，應用一般的方法甚至根本無法解決，但是我們知

26、道每一個級數(shù)都可以看成是某一冪級數(shù)的特例，所以自然想到采用構造冪級數(shù)的思想方法來處理；特別是第（1）問就要求必須熟知逐項積分、逐項求導、阿貝爾第二定理等有關冪級數(shù)的性質，第（2）、（3）小問主要應用了泰勒級數(shù)的展開式，其中第（2）問還給出了其他的證明方法，這可以更好地對比應用不同方法在解決同一問題時各自的特點，此外，第（3）小問中所求得的結果對下一章節(jié)的應用奠定了基礎。3.3級數(shù)重排例9 已知 . 求由該級數(shù)各項重排所得的下列級數(shù)的和： （1） （2） 解：（1）由 又令 于是有 我們得到 故該級數(shù)的和為 （2）由 有 故該級數(shù)的和為通過例9，一定要注意：我們已經了解到絕對收斂的級數(shù)經過重新排

27、列后依然收斂于原來的值，但是對于條件收斂的級數(shù)來說，重排后所得到的新級數(shù)，即便是收斂，也不一定會收斂于原來的和數(shù)。4級數(shù)的應用4.1求極限 推論：數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件是. 例10 證明下列等式： （1） （2） （3） 其中 解：（1）設 ，考察級數(shù) 的斂散性，由比式判別法可知 ，即 收斂，所以 （2）設 ，則 ，即 收斂，所以 （3）設 則 所以 收斂，即 .對于含有，平方項，或是連乘積的數(shù)列通項，一般不易計算，但這里只需把數(shù)列中的一般項轉化為級數(shù)的一般項，再應用級數(shù)斂散性的判別法來判斷，最后根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件即可求出數(shù)列極限，證明等式的成立。 4.2探究數(shù)列的斂散性以下兩個小問所給出

28、的通項都比較冗長，所以我們把它寫成級數(shù)的部分和序列，進而求出級數(shù)的一般項，再判斷其斂散性。例11 通過轉化為級數(shù)的方法，判斷下列數(shù)列的斂散性： （1） （2） 解：（1）可視序列是級數(shù)的部分和序列，則當時， 由級數(shù)收斂性的定義知，數(shù)列的斂散性等價于級數(shù)的斂散性，且負項級數(shù)與正項級數(shù)具同一斂散性，注意 ，由級數(shù)收斂及比較判別法的極限形式知，級數(shù)收斂，從而數(shù)列收斂. （2）因為 ，注意當時， 將代入在處的展式，得 ， 所以 若視為級數(shù)的部分和序列，則 記上式右端中的 ， 因為收斂，且由，知，由收斂及比較判別法的極限形式知收斂，于是，由收斂級數(shù)的和、差運算性質知收斂，即收斂. 4.3廣義積分的斂散性

29、例12 討論下列廣義積分的斂散性： ， ， 解：把積分區(qū)間分成無限個子區(qū)間的并，得 容易證明 因此 由此可見，積分 級數(shù)收斂 此處再次用到了積分判別法這一充要條件，而這次是把積分轉化為級數(shù)的形式，從而應用級數(shù)的結論來判斷積分的斂散性，使計算變得更加簡單。4.4計算定積分 例13 計算下列積分： （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 以上定積分的計算中，在應用逐項積分時，注意到某些項在特殊點處是發(fā)散的，所以逐項積分的合理性需要證明，此處可參見附錄的例2，此題最終都化為數(shù)項級數(shù)的求和，而在第三章第二節(jié)中對這些和數(shù)已經做了交代，直接應用即可。結論本篇文章集中體現(xiàn)了三大優(yōu)勢，第一，從第一章中，讀者將體會到每種數(shù)項級數(shù)斂散性判別法的深刻內涵，對它們所能解決問題的適用范圍有一個清晰的理解，最終達到這樣一個效果：只要給出數(shù)項級數(shù)的具體形式，便可以最適合、最快捷的方法判斷出級數(shù)的斂散性。第二，從第二章中，我們可以看到，求和用到許多巧妙的方法是讀者應該掌握的核心內容，級數(shù)的求和問題遠比判斷斂散性復雜得多，在這里，我們不提倡無窮無盡機械的做法，而是要根據(jù)其特點，進行靈活的轉化、變形，再應用具體的方法進行計算。第三，某類積分、數(shù)列的極限、數(shù)列的斂散性是不能應用自身所在領域的定理去解決的，有時即使可以，相對來講也會十分復雜，這時，級數(shù)的作用便不可小覷，它可以把數(shù)列和積分的形式全部轉化為