第二章對(duì)偶理論與靈敏度分析

1、NBXXXNBXXNBXX01)1(bBX410004201001001NBXXNBXX18/12/102/1204/102448 / 12/ 12/ 124/ 1043xxljlijijiiPBbBPBPBbB)()(0)( |)()(min11111bbBXXXzIsNB1 -B111 -B11 -BN1 -11 -BC-BC-NBC-C01BNB0400421A);3 , 2(C12168b40042132 設(shè)備設(shè)備A 設(shè)備設(shè)備B調(diào)試工序調(diào)試工序利潤(rùn)（元）利潤(rùn)（元）0612521115時(shí)時(shí)24時(shí)時(shí) 5時(shí)時(shí)產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品D如何安排生產(chǎn)，如何安排生產(chǎn)，使獲利最多使獲利最多？廠廠家家設(shè)設(shè) 產(chǎn)

2、量產(chǎn)量 產(chǎn)量產(chǎn)量1x2x 0, 5 2426 155 2max 212121221xxxxxxxs.t.xxz 設(shè)：設(shè)備設(shè)：設(shè)備A A 元時(shí)元時(shí) 設(shè)備設(shè)備B B 元時(shí)元時(shí) 調(diào)試工序調(diào)試工序 元時(shí)元時(shí)1y2y3y收收購(gòu)購(gòu) 付出的代價(jià)最小，付出的代價(jià)最小， 且對(duì)方能接受。且對(duì)方能接受。出讓代價(jià)應(yīng)不低于出讓代價(jià)應(yīng)不低于用同等數(shù)量的資源用同等數(shù)量的資源自己生產(chǎn)的利潤(rùn)。自己生產(chǎn)的利潤(rùn)。 設(shè)備設(shè)備A 設(shè)備設(shè)備B調(diào)試工序調(diào)試工序利潤(rùn)（元）利潤(rùn)（元）0612521115時(shí)時(shí)24時(shí)時(shí) 5時(shí)時(shí)D32152415minyyyw單位產(chǎn)品單位產(chǎn)品出租出租收入不低于收入不低于2 2元元單位產(chǎn)品單位產(chǎn)品出租出租收入不低于收

3、入不低于1 1元元出讓代價(jià)應(yīng)不低于出讓代價(jià)應(yīng)不低于用同等數(shù)量的資源用同等數(shù)量的資源自己生產(chǎn)的利潤(rùn)。自己生產(chǎn)的利潤(rùn)。1252632132yyyyy廠廠家家0, 5 2426 155 2max212121221xxxxxxxs.t.xxz0,y 125 26.32132132yyyyyyyts32152415minyyyw對(duì)對(duì)偶偶問問題題原原問問題題收收購(gòu)購(gòu)廠廠家家一對(duì)對(duì)偶問題一對(duì)對(duì)偶問題0 min bAX 0X . .CXz max YC s.t. YAYb wts),(21ccC 21xxX)(ijaA ),y,y(yY321321bbbb3 3個(gè)約束個(gè)約束2 2個(gè)變量個(gè)變量2 2個(gè)約束個(gè)約束

4、 3 3個(gè)變量個(gè)變量原問題原問題對(duì)偶問題對(duì)偶問題一般規(guī)律 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 1 2限定向量限定向量b 價(jià)值向量?jī)r(jià)值向量C （資源向量）（資源向量） 3一個(gè)約束一個(gè)約束 一個(gè)變量。一個(gè)變量。 4 的的LP約束約束“ ” 的的 LP是是“ ”的約束。的約束。 5變量都是非負(fù)限制。變量都是非負(fù)限制。 min max z maxzmin 其它形式其它形式的對(duì)偶的對(duì)偶? ?0 min bAX 0X . .CXz max YC s.t. YAYb wts原問題原問題對(duì)偶問題對(duì)偶問題情形一：情形一：0Y CA . min0X bAX .maxYtsYbwtsCXz0Y CA .min0X bAX .maxYts

5、bYwtsCXz原問題原問題對(duì)偶問題對(duì)偶問題)(YY化為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱型化為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱型情形二：情形二：證明證明無(wú)約束min0maxYCYAYbwXbAXCXz原問題原問題對(duì)偶問題對(duì)偶問題推導(dǎo)推導(dǎo): : 0 maxXbAXbAXCX z 0 max XbbXAACX z原問題原問題 根據(jù)對(duì)稱形式的對(duì)偶模型根據(jù)對(duì)稱形式的對(duì)偶模型, ,可直接可直接寫出上述問題的對(duì)偶問題寫出上述問題的對(duì)偶問題: :-bb),Y(Yw21min0,0(2121Y YCAA),YY , YYC A)Y(Yb )Y(Yw00min 212121無(wú)約束YCYAYb w min令令 ，得對(duì)偶問題為：，得對(duì)偶問題為：21YYY證畢。證

6、畢。 約束條件的限定向量目標(biāo)函數(shù)的價(jià)值向量自由變量變量變量個(gè)變量約束約束約束個(gè)約束目標(biāo)函數(shù) 00 maxmn z原問題（或?qū)ε紗栴}）原問題（或?qū)ε紗栴}）對(duì)偶問題（或原問題）對(duì)偶問題（或原問題）目標(biāo)函數(shù)的價(jià)值向量約束條件的限定向量約束約束約束個(gè)約束自由變量變量變量個(gè)變量目標(biāo)函數(shù) 00minmn w zmax zmin無(wú)約束,x x,xxxxxxxxxxs.txxxx z432143214321432101023428854235max無(wú)約束21,0428233402521212121yyyyyyyyyys.t.21108minyywXYXYXYXXYXYYX0jjjzc01bBb對(duì)偶問題的可行解

7、對(duì)偶問題的可行解對(duì)偶問題對(duì)偶問題最優(yōu)解判斷最優(yōu)解判斷l(xiāng)iiibBbBbB1110|minlkkkljljjjjazcaazc0|mincjcB xB b-2x1-3x2-4x30 x40 x50 x40 x5-3-4-1-2-21-1-31001cj-zj -2-3-400mmmrmmmrmraaaaaaaaaaaaB21222221111211100rbmmmrmmmrmraaaaaaaaaaaabB212222211112111bB 100rbmrirrrrmrrirrrraaabbababab1100mibabriri, 2 , 1, 0mibbairir, 2 , 1,于是得到時(shí)，;/0iririrabba;/0iririrabba 時(shí)，0|/min0|/maxiririiriririiaabbaab000125. 05 . 025. 02440022bb, ,1625. 0/42b85 . 0/42b22.16125.0/2bb所以2800040125. 05 . 015 . 02025. 001115 . 02244121680125. 05 . 015 . 02025. 00bbb0241b241b05.021b和miijijmiiijjjaccyac110|/min0|/maxrjrjjjrrjrjjjaacaa25. 0