第6章蒙特卡洛方法(1)

1、第六章 蒙特卡洛方法蒙特卡羅方法簡介12蒙特卡洛積分6.1 蒙特卡羅方法簡介蒙特卡羅方法的名字來源于摩納哥的一個城市蒙特卡羅，該城市以賭博業(yè)聞名。什么是蒙特卡羅方法？一般來說，涉及到隨機性的模擬方法都可稱之為蒙特卡羅方法。通常也稱為統(tǒng)計模擬方法。自然界中有的過程本身就是隨機的過程，物理現(xiàn)象中如粒子的衰變、粒子在介質中的輸運過程等，城市里的交通，傳染病的傳播。蒙特卡羅方法也可借助概率模型來解決不直接具有隨機性的確定性問題。除了在物理學及相關自然科學中的應用外，蒙特卡羅方法廣泛的應用于社會學、金融等諸多領域。 我們能用它來做什么？應用的領域隨機性的例子交通流模型不具隨機性的一個例子： 巴夫昂投針實

2、驗（1777年）該試驗方案是：在平滑桌面上劃一組相距為 s 的平行線，向此桌面隨意地投擲長度 l= s 的細針，那末從 針與平行線相交的概率就可以得到 的數(shù)值。 實驗者年份投計次數(shù)的實驗值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929一些實驗結果不具隨機性的另一個例子定積分構造一個將積分區(qū)域包圍起來的矩形 a, b0, y0 。然后 隨機的在矩形內撒 N 個點，假設其中有 N0 個點落在積分線的下方，則積分為在區(qū)間 a, b 內隨機的撒 N

3、 個點, 則 f(x) 在該區(qū)間內的積分可寫為這就是用蒙特卡羅方法計算定積分的基本思想。定積分的另外一種算法隨機數(shù)的分類生成方法：隨機的物理過程，例如：擲骰子計算機芯片中電子的熱漲落（ 一微秒一個）輻射衰變缺點：速度慢、不可復制、昂貴用途： 例如信息安全領域（密碼）顯然，真隨機數(shù)滿足不了計算物理的模擬的需要。真隨機數(shù) 贗隨機數(shù)贗隨機數(shù)是用確定性的算法生成的隨機數(shù)。贗隨機數(shù)的生成方法線性同余方法一般公式為其中 r1 稱為種子。例子：將其轉化為 0, 1 之間的隨機數(shù)（除以 9 ）得到如下一列數(shù)如果需要得到 A, B 之間的隨機數(shù)，可作如下變換隨機數(shù)序列在 0, M-1 之間，所以周期最多為 M

4、。為了獲得具有更大的周期的隨機數(shù)列，盡可能取大的 M?？紤]到計算機的位數(shù)限制，32 位機器整數(shù)的取值范圍為 -231, 231-1, M 通常取為Matlab中的隨機函數(shù)0個參數(shù)：rand1個參數(shù)：rand(3)，表示生成一個3 3的隨機數(shù)方陣。2個參數(shù)：rand(2, 3)，表示生成一個2 3的隨機數(shù)矩陣rand(method, s)， 參數(shù) method 表明生成隨機數(shù)的算法，可取twister, state, seed 三個值， s 一般取正整數(shù)。 rand 函數(shù)生成 0, 1 之間的隨機實數(shù)randn 函數(shù)生成正態(tài)分布隨機實數(shù)，randi函數(shù)生成隨機整數(shù) 為什么要研究隨機行走？ 隨機行

5、走跟物理學的關系，就像果蠅跟遺傳學的關系。 隨機行走是很多物理問題的簡化模型，例如擴散、聚合物的生長等。從方法論上來說，在隨機行走問題中，會遇到統(tǒng)計力學問題數(shù)值求解固有的許多困難。 懂得對這個問題的數(shù)值處理，對于普遍理解數(shù)值模擬物理學的工作過程大有好處。 隨機行走計算隨機行走的端距作為步數(shù)的函數(shù)行走者走的步數(shù)為 N。行走樣本數(shù)目為 n-of-samples。隨機行走的算法實現(xiàn)for sample = 1:n_of_samplesfor step = 1:N Generate-one-step （產生一步） endAccounulate-results （累計結果）end要求：1. 寫出隨機行走的 matlab 程序。2. 運行程序，畫出端距方和行走步數(shù) N 的函數(shù)關系。人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養(yǎng)邏輯思維能力；通過