熱工基礎(chǔ)134～136

1、1.3.4.1理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程推導(dǎo)u原理：牛頓第二定律： 在微元六面體的中心有一點(diǎn) ，該點(diǎn)流體的密度為 ，壓力為 ，微元六面體的邊長(zhǎng)為 對(duì)微元六面體進(jìn)行受力分析。 面上中心點(diǎn) 的壓強(qiáng)為 ； 面上中心點(diǎn) 的壓強(qiáng)為 ； FmaAp,dx dy dzabcdmmpefghnnp 在x軸方向上進(jìn)行受力分析：（1）表面力：()2mp dxFpdydzx()2np dxFpdydzx()()22xmnp dxp dxpFFFpdydzpdydzdxdydzxxx 則 x方向的凈表面力(2) 在x軸方向上的質(zhì)量力為：式中 X為單位質(zhì)量力在x軸方向上的分量。(3) 在 x方向的合外力代數(shù)和應(yīng)為質(zhì)量與分加速

2、度乘積： XdxdydzxdupXdxdydzdxdydzdxdydzxdtxdupXxdt1xdupXxdt1ydupYydt1zdupZzdt同理在y，z軸方向上也有：xxxduFmadxdydzdt得或即和所以有：1xdupXxdt1ydupYydt1zdupZzdt 這就是理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程，即歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。因此，得到：1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz1yyyyyxyzduuuuupYuuuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdztxyz歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程寫成：1duFpdt ijkxyz 寫成矢量表達(dá)式為：式中哈密頓算子：1.3.4.2歐

3、拉運(yùn)動(dòng)微分方程的求解u 歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程建立了作用在理想流體上的力與流體運(yùn)動(dòng)加速度之間的關(guān)系，它是研究理想流體各種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)，對(duì)可壓縮及不可壓縮理想流體的穩(wěn)定流動(dòng)都是適用的。u 一般情況下，作用在流體上的單位質(zhì)量力X、Y、Z是已知的，對(duì)理想不可壓縮流體密度為常數(shù)，三個(gè)微分方程中未知數(shù)有四個(gè)，即ux、uy、uz和p，因此需要加上連續(xù)性方程，方程是可解的。u 對(duì)于可壓縮流體，密度是變量，需要再加上氣體狀態(tài)方程式，方程組理論上也是可以求解的。u 然而，要具體確定方程組的解，還要給出起始條件和邊界條件。1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz00t1yyyyyxyzduuuuupYu

4、uuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdztxyz（導(dǎo)出條件1）（導(dǎo)出條件2）1.3.5.1 理想流體穩(wěn)定流動(dòng)沿流線（微細(xì)流）的積分u條件： 穩(wěn)定流動(dòng)：理想流體：u 將歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程寫成： 因?yàn)橹豢紤]穩(wěn)定流動(dòng)，所以上式中的p，ux，uy，uz都只是坐標(biāo)x，y，z的函數(shù)，而與時(shí)間無(wú)關(guān)。 將上面的三式分別乘以 ，累次相加。首先分析 x方向的動(dòng)能： 由流線方程： ,dx dy dzxxxxxyzduuuudxudxudxudxdtxyzxyzdxdydzdtuuu21()2xxxxxxxxxxduuuudxudxudyudzu dud udtxyz有：同理：設(shè)存在這樣一個(gè)函數(shù)

5、 （力函數(shù)），滿足：那么： 柏努利積分式 21()2yydudyd udt21()2zzdudzd udt2221()()2xyzuuupppXdxYdyZdzdxdydzdxyzU,UUUXYZxyz212udUdpd212uUdp則積分：和 不可壓縮： 只有重力的作用： 由柏努利積分式： C0,;XYZg Ugz 212ugzpC212ugzpC212uUdp得或?qū)τ诹骶€上任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2來(lái)說(shuō)，有：221211221122uugzpgzp式中各項(xiàng)分別為單位質(zhì)量的流體具有的位能，靜壓能及動(dòng)能，( )。J kg（導(dǎo)出條件3）（導(dǎo)出條件4）1.3.5.2 理想流體穩(wěn)定流動(dòng)總流的柏努利方程理想流

6、體穩(wěn)定流動(dòng)總流的柏努利方程 任何穩(wěn)定流動(dòng)的總流，都可以看成是無(wú)窮多微小流束的總和。在總流中某一微小流束的不同有效截面上的物理參數(shù)不一定相同。（1）均勻流與緩變流均勻流：如果有效斷面或平均流速沿程不變，且流線為平均勻流：如果有效斷面或平均流速沿程不變，且流線為平行直線這樣的穩(wěn)定流稱為均勻流。行直線這樣的穩(wěn)定流稱為均勻流。非均勻流：如果有效斷面沿程變化，或者有效斷面不變，但各斷面上速度分布改變，這種流動(dòng)稱為非均勻流。緩變流：凡有效斷面上流線間夾角很小，流線曲率半經(jīng)無(wú)緩變流：凡有效斷面上流線間夾角很小，流線曲率半經(jīng)無(wú)限大，即流線趨近于平行線的流動(dòng)稱緩變流。限大，即流線趨近于平行線的流動(dòng)稱緩變流。急變

7、流：不符合緩變流條件的流動(dòng)為急變流。（2）理想流體穩(wěn)定流動(dòng)總流的柏努利方程 現(xiàn)在討論如何把微小流束柏努利方程應(yīng)用于總流的緩變流斷面，從而建立理想流體總流的柏努利方程。 在任一微小流束上某一斷面的流體質(zhì)點(diǎn)具有的單位重量流體機(jī)械能為：22puezg 以以 的重量流量通過(guò)微小流束有效斷面的的重量流量通過(guò)微小流束有效斷面的流體總能量為：流體總能量為：dGudA22pudEedGzudAg22AApuEdEzudAgGQ212AEpuezudAQQg均pzAudAQ312AAeudAu dAQgQ均+pz單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)總流有效斷面流體的總能量為：上式除以通過(guò)總流有效斷面流體重量流量 ，則得給定斷面流體平

8、均單位能量：如果所取斷面符合緩變流條件時(shí)，有效斷面上各點(diǎn) 為一常數(shù)，并由連續(xù)性方程 ，上式變?yōu)椋?312Apezu dAgQ均得： 上式中前兩項(xiàng)為總流在有效斷面上單位重量流體的平均位能和壓力能，第三項(xiàng)為單位重量流體的平均動(dòng)能，單第三項(xiàng)為單位重量流體的平均動(dòng)能，單位為流體柱高。位為流體柱高。 為了方程的方便應(yīng)用，現(xiàn)在用斷面平均流速v代替真實(shí)速度u，并引入動(dòng)能修正系數(shù)并引入動(dòng)能修正系數(shù)。22pveg均z 動(dòng)能修正系數(shù)是由于斷面上速度分布不均勻而引起的，不均勻性 愈大其值愈大。在紊流管道中1.051.10；圓管層流運(yùn)動(dòng)2。實(shí)際工程計(jì)算一般取1。 對(duì)于管道流動(dòng)，取如圖基準(zhǔn)面，列出11和22截面的總流柏

9、努利方程：2211 12221222pvpvzzgg式中：1，2分別為兩截 面處 的動(dòng)能修正系數(shù)；v1，v2分別為兩截面處的平均流速，m/s。 單位重量流體具有的位能，單位重量流體具有的位能，m流體柱；流體柱； 單位重量流體具有的靜壓能，單位重量流體具有的靜壓能，m流體柱；流體柱； 單位重量流體具有的動(dòng)能，單位重量流體具有的動(dòng)能，m流體柱。流體柱。2211221222pvpvgzgz2212112222vvgzpgzp2211221222pvpvzzggzp212vg（1） （2）（3） 對(duì)于式（3）： 柏努利方程式中各項(xiàng)分別表示微細(xì)流中某一截面上單位重量流體所具有的的靜壓能、位能、動(dòng)能。 它

10、們的和是一常數(shù)。柏努利方程是機(jī)械能守恒定律在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)。2211 12221222pvpvzzrgrg(1) 物理意義 pr22vg (2)幾何意義u圖示能量分布圖： 為單位重量流體所具有的動(dòng)能，又稱速度壓頭或動(dòng)壓頭，是單位重量流體的動(dòng)能所產(chǎn)生的流體柱的高度。2211221222pvpvzzrgrg其中：z為單位重量流體所具有的位能，又稱幾何壓頭或位壓頭； 為單位重量流體所具有的靜壓能，又稱靜壓頭，是單位重量流體的壓力能產(chǎn)生的流體柱的高度； (3)柏努利方程還說(shuō)明機(jī)械能是可以相互轉(zhuǎn)化的。222122vvgg21pprr 1-1截面2-2截面z2z12211221222pvpvzzrg

11、rg則柏努利方程的應(yīng)用條件：1）單流體，z軸的方向向上為正；2）截面選擇在緩變截面上；3）流體為理想流體；4）流體為穩(wěn)定流動(dòng)；5）流體為不壓縮性流體；6）流體只受到重力作用。 實(shí)際流體都具有粘性，使得流體流動(dòng)時(shí)需要消耗一部分機(jī)械能，以克服由于粘性而產(chǎn)生的切向阻力。因而在各截面上單位重量流體的能量便不能保持一定，所以對(duì)于粘性流體的微細(xì)流：2211221222pvpvzzgg2211221222wpupuhzzgg 式中的 hw是為克服截面11與22之間的阻力，單位重量的流體所消耗的機(jī)械能，稱為壓頭損失。 對(duì)于不可壓縮的粘性流體的微細(xì)流，作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)其柏努利方程式應(yīng)改寫成為：1.3.6.1微細(xì)流

12、對(duì)于粘性流體的總流，作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的柏努利方程式為：212122121222wppzzhgvvg2211221222wpvpvzzhgg1.3.6.2 總流 對(duì)于圓形管道中的穩(wěn)定緩變流： 層流時(shí)層流時(shí) 2； 湍流時(shí)湍流時(shí) 1.051.10； 通常工程上取通常工程上取 =1 為截面的平均流速為截面的平均流速；為動(dòng)能修正系數(shù)，通常由實(shí)驗(yàn)確定。 12,v v12, 式中： 所以：2211221222ewHpvpvzzhggu柏努利方程的三種形式：柏努利方程的三種形式：2212112222epvvgzpHgzph2211221222empvpvgzHgzh以單位重量流體為基準(zhǔn)，單位為以單位重量流體為基準(zhǔn)

13、，單位為m流體柱或流體柱或J/N。以單位質(zhì)量流體為基準(zhǔn)，單位為以單位質(zhì)量流體為基準(zhǔn)，單位為m2/s2或或J/kg。以單位體積流體為基準(zhǔn)，單位以單位體積流體為基準(zhǔn)，單位為為Pa或或J/m3。2211221222ewpvpvzHzhgg例題：如圖所示，有一開口大容器的出水管管徑為d=10 cm ，當(dāng)水龍頭關(guān)閉時(shí)壓力表讀數(shù)為49050 Pa（表壓），水龍頭開啟后壓力表讀數(shù)降至19620 Pa（表壓）。如果水流動(dòng)時(shí)的總能量損失為4905 Pa，而上水位保持不變，試求通過(guò)管路的水流流量。 解：設(shè)p1為表壓強(qiáng)。 在水管關(guān)閉時(shí)，以1-1為基準(zhǔn)面列1-1截面和2-2截面的柏努利方程： p1關(guān) pa pagH 所以 p1關(guān) =gH=49050 Pa 當(dāng)水管開啟時(shí)，以1-1為基準(zhǔn)面列1-1截面和2-2截面的柏努利方程：2112 12aapvgHppph開211