




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、1第十章第十章 損失模型損失模型 2第一節(jié)第一節(jié) 風(fēng)險與保險風(fēng)險與保險 l 保險公司在其經(jīng)營過程中,必須認(rèn)識到風(fēng)險與保險的下述基本關(guān)系: (1)保險是將風(fēng)險從被保險人向保險人的轉(zhuǎn)移;(2)保險人也需要對其所承保的超額風(fēng)險尋求保險保障;(3)風(fēng)險集合包含的個體風(fēng)險越多,其相對風(fēng)險越??;(4)不同的被保險人具有不同的風(fēng)險水平;(5)在很多情況下,少數(shù)巨災(zāi)風(fēng)險所造成的損失將占到總損失的很大比重。 3第二節(jié)第二節(jié) 損失模型的基本概念損失模型的基本概念 一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量l隨機(jī)變量是指其取值依賴于隨機(jī)現(xiàn)象的觀察結(jié)果的變量。l在非壽險精算中,最常見的隨機(jī)變量就是損失金額(用X表示)和損失次數(shù)(用N表
2、示)。l離散型隨機(jī)變量:只能取有限個或可列個值的隨機(jī)變量,如保單的索賠次數(shù)N就是一個離散型隨機(jī)變量,因為它只能取有限個值。l連續(xù)型隨機(jī)變量:其取值布滿一個區(qū)間的隨機(jī)變量,如損失額X的取值范圍是區(qū)間(0,)。4二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征二、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望l數(shù)學(xué)期望描述了隨機(jī)變量的平均取值,代表著其取值的平均水平。l隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望通常用E(X)表示。如果X為離散型隨機(jī)變量,其取值為xi的概率為pi(i =1, 2, ),則其數(shù)學(xué)期望為1)(iiipxXE5l如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量,則其數(shù)學(xué)期望為 l密度函數(shù)f (x)與分布函數(shù)F(x) 具有下述關(guān)系:l兩個隨機(jī)變量X和Y
3、的數(shù)學(xué)期望具有下述關(guān)系:(1)E (kX) = k E(X),其中k為常數(shù)(2) (3)若X與Y相互獨(dú)立,則 dxxxfXE)()(xxfxF)()()()()(YEXEYXE)()()(YEXEXYE62、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù) l兩個隨機(jī)變量X和Y的方差具有下述關(guān)系:(1) (2)若X與Y相互獨(dú)立,則 (3) 2)()(XEXEXVar)()(Var2XVarkX )(Var)(Var)(VarYXYX22)()()(XEXEXVar7l標(biāo)準(zhǔn)差是其方差的平方根,即 l變異系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與數(shù)學(xué)期望的比率,即ln個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的變異數(shù)是單個隨機(jī)變量的變異系數(shù)的
4、1/n,即)(XVarX)()(VarXEXcv 11nXnVar xxncvE xxnE xn83、原點(diǎn)矩和中心矩、原點(diǎn)矩和中心矩 4、偏度系數(shù)、偏度系數(shù)l隨機(jī)變量X的偏度系數(shù)被定義為ln個獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的偏度系數(shù)為 )(kkXEkkXEXE)(333333ninnn nnVarX9三、概率母函數(shù)和矩母函數(shù)三、概率母函數(shù)和矩母函數(shù) 隨機(jī)變量X的概率母函數(shù)被定義為:PX (z) = E (zX)(1)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)由其概率母函數(shù)惟一確定。(2)隨機(jī)變量的概率可以通過概率母函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)來確定,即(3)n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率母函數(shù)等于它們各自的概率母函數(shù)的乘積,即( )
5、(0), 1,2,!kkPpkk11( )( )( )nnXXXXPzPzPz10l隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)MX(t)是關(guān)于實數(shù)t的函數(shù),即 l如果隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)在原點(diǎn)的某個鄰域有定義,則其矩母函數(shù)具有下述性質(zhì):(1)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)由其矩母函數(shù)惟一確定。(2)如果X的k階原點(diǎn)矩存在,則矩母函數(shù)M(t)可微分s(s k)次,且其k階原點(diǎn)矩可以表示為 (3)n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的矩母函數(shù)等于它們各自的矩母函數(shù)的乘積,即 ( )()tXXMtE e)0()()(kkkMXE)()()(11tMtMtMnnXXXX11l概率母函數(shù)和矩母函數(shù)之間存在下述關(guān)系:( )( )( )(ln )t
6、XXXXMtPePzMz12四、條件期望和條件方差四、條件期望和條件方差l對于二維隨機(jī)變量(X,Y),當(dāng)Y給定時計算X的數(shù)學(xué)期望即得X的條件期望 。l當(dāng)Y給定時計算X的方差即得X的條件方差為l如果允許Y可以隨機(jī)取值而不是給定取值,則E (X|Y)和Var(X|Y)都是隨機(jī)變量。(1)E (X ) = EE (X |Y )(2)Var(X) = EVar(X|Y )+VarE(X|Y ) 22Var(| )(| ) (| )X YE XYE X Y(|)E X Y13第三節(jié)第三節(jié) 損失次數(shù)模型損失次數(shù)模型 一、泊松分布一、泊松分布 ,0,1,2,.!kkepkk()()E NVar N14l泊松
7、分布具有下述性質(zhì):1. 可加性。2. 可分解性。3. 泊松分布的眾數(shù)int(),int表示取整數(shù)。如果參數(shù)為整數(shù),則其眾數(shù)也等于-1,此時泊松分布具有雙眾數(shù)。4. 當(dāng)參數(shù)很小時,泊松分布可以近似二項分布。5. 如果保險事故發(fā)生的時間間隔服從指數(shù)分布,則在一個固定的時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的保險事故次數(shù)服從泊松分布。6. 當(dāng)參數(shù)較大時,泊松分布可以用正態(tài)分布近似。 15二、負(fù)二項分布二、負(fù)二項分布 ()1,0,1,2,.( ) (1) 11rkkkrpkrk ()E Nr()(1)Var Nr16l負(fù)二項分布具有下述性質(zhì):1. 方差大于均值。2. 負(fù)二項分布是一種混合泊松分布。3. 負(fù)二項分布 的眾數(shù),i
8、nt表示取整數(shù) int1r17三、二項分布三、二項分布 ,k0,1,2,m,其中m為整 數(shù),0 q 1 (1)km kkmpqqk()E Nmq()(1)Var Nmqq18l二項分布具有下述性質(zhì):1. 二項分布的方差小于其均值。2. 假設(shè)每個風(fēng)險發(fā)生損失的概率均為q,則二項分布可以描述m個獨(dú)立同分布的風(fēng)險所組成的風(fēng)險集合的損失次數(shù)。3. 如果用二項分布描述損失次數(shù),則意味著損失次數(shù)存在一個最大值。4. 二項分布的眾數(shù)intq(m+1),int表示取整數(shù)。如果q(m+1)為整數(shù),則其眾數(shù)也等于q(m+1)1。19四、幾何分布四、幾何分布 幾何分布具有下述性質(zhì):1. 幾何分布是負(fù)二項分布當(dāng)r =
9、 1時的特例。2. 幾何分布具有指數(shù)形式的衰減概率函數(shù),因此具有無記憶性。3. 幾何分布的眾數(shù)恒為零。 1, 0,1,2(1)kkkpk()E N()(1)Var N20第四節(jié)第四節(jié) 損失金額模型損失金額模型 一、指數(shù)分布一、指數(shù)分布 指數(shù)分布具有下述性質(zhì):1. 如果在單位時間內(nèi)損失次數(shù)服從參數(shù)為q的泊松分布,則相鄰損失之間的時間間隔服從參數(shù)為q的指數(shù)分布。2. 指數(shù)分布具有無記憶性。( )1exp()F xx ()1/E X2()1/Var X21二、對數(shù)正態(tài)分布二、對數(shù)正態(tài)分布( )( )F xz 21( )exp(/2)( )/()2f xzzxxln( )xz2()exp(0.5)E
10、X22()exp(22)exp(2)Var X其中 , 0,x 0 22l對數(shù)正態(tài)分布具有下述性質(zhì):1. 正態(tài)分布經(jīng)指數(shù)變換后即為對數(shù)正態(tài)分布;對數(shù)正態(tài)分布經(jīng)對數(shù)變換后即為正態(tài)分布。2. 設(shè)r,t為正實數(shù),X是參數(shù)為(,)的對數(shù)正態(tài)分布,則Y rX t 仍是對數(shù)正態(tài)分布,參數(shù)為(t + ln(r),t2)。3. 對數(shù)正態(tài)分布總是右偏的。4. 對數(shù)正態(tài)分布的均值和方差是其參數(shù)(,)的增函數(shù)。5. 對給定的參數(shù),當(dāng) 趨于零時,對數(shù)正態(tài)分布的均值趨于exp(),方差趨于零。23三、伽瑪分布三、伽瑪分布1( )( )xxf xe()/E X 2()/Var X 24l伽瑪分布具有下述性質(zhì):1. 當(dāng)固定
11、尺度參數(shù)q 時,改變形狀參數(shù) 的取值會改變伽瑪密度函數(shù)的形狀。2. 當(dāng) 趨于無窮大時,伽瑪分布近似于正態(tài)分布。3. 當(dāng) = 1時,伽瑪分布就是參數(shù)為q的指數(shù)分布。4. 當(dāng)尺度參數(shù)q 相同時,伽瑪分布具有可加性。5. 伽瑪分布乘以正常數(shù)r以后,仍然是伽瑪分布,參數(shù)變?yōu)椋?,q/ r)。 25四、帕累托分布四、帕累托分布( )1F xx 1( )()f xx(),11E X22(),2(1) (2)Var X26l帕累托分布具有下述性質(zhì):1. 帕累托分布總是右偏的,眾數(shù)恒為0。2. 帕累托分布乘以正常數(shù)r以后,仍然是帕累托分布,參數(shù)變?yōu)椋?,r)。3. 如果均值 E(X)保持不變,當(dāng) 時,帕累托分布收
12、斂到參數(shù)為1/ 的指數(shù)分布。27五、威布爾分布五、威布爾分布 ( )1 expF xx 1( )exp()f xxx1/1()(1)E X28l威布爾分布具有下述性質(zhì):1. 當(dāng) =1時,威布爾分布就是參數(shù)為 的指數(shù)分布。2. 威布爾分布乘以正常數(shù)r以后,仍然是威布爾分布,參數(shù)變?yōu)椋?,)。3. 如果 服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布(即參數(shù)為1),則Y 服從威布爾分布。4. 威布爾分布在3.6附近呈現(xiàn)大致對稱的形狀。 /rXY29六、通貨膨脹對損失金額模型的影響六、通貨膨脹對損失金額模型的影響 l 若令 ,則X 與Y 的分布函數(shù)之間存在如下關(guān)系: l 如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量,則X與Y的密度函數(shù)之間有如下關(guān)系:
13、 Yr X()1()1YXyFyFr=+1()()11YXyfyfrr=+30第五節(jié)第五節(jié) 累積損失模型累積損失模型l累積損失的分布模型有兩種不同的表現(xiàn)形式:l個體風(fēng)險模型:l集體風(fēng)險模型: 12nSXXX12NSXXX31l在集體風(fēng)險模型中,累積損失S的均值和方差分別為: l對累積損失的一種最簡單的近似計算是正態(tài)近似:2( )() ()( )()()() ()E SE N E XVar SE N Var XVar NE X( )Pr( )( )SE SxxVar S 32l如果累積損失S服從復(fù)合泊松分布,泊松分布的參數(shù)為,則 其中m與2分別為個體損失金額 X 的均值和二階原點(diǎn)矩,即 2Pr( ), Smxx 當(dāng)時22(), ()mE XE X33l當(dāng)正態(tài)近似并不適用時,還可以對原始損失數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)變換(如NP變換),使其符合正態(tài)分布的形式。經(jīng)過NP變換以后,累積損失S的分布函數(shù)可近似表示為2( )693Pr1( )SE SxxVar S 34l對于集體風(fēng)險模型,當(dāng)損失次數(shù)服從泊松分布時,可以用Panjer迭代計算累積損失的分布
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025年河南省三門峽市單招職業(yè)適應(yīng)性測試題庫完整
- 2025年廣東省肇慶市單招職業(yè)適應(yīng)性測試題庫一套
- 2025年海南職業(yè)技術(shù)學(xué)院單招職業(yè)適應(yīng)性測試題庫含答案
- 電影產(chǎn)業(yè)市場中的品牌建設(shè)與傳播
- 2025年甘肅工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院單招職業(yè)適應(yīng)性測試題庫完美版
- 科技助力提高眼科診療效率
- 科技創(chuàng)新助力醫(yī)療健康文化的傳播與發(fā)展
- 2025年硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院單招職業(yè)技能測試題庫帶答案
- 2025年廣西物流職業(yè)技術(shù)學(xué)院單招職業(yè)傾向性測試題庫及答案一套
- 2025年黑龍江旅游職業(yè)技術(shù)學(xué)院單招職業(yè)適應(yīng)性測試題庫匯編
- Unit5 What day is it today?(教學(xué)設(shè)計)-2023-2024學(xué)年教科版(廣州)英語四年級下冊
- 法院生活費(fèi)申請書
- 2025年益陽醫(yī)學(xué)高等??茖W(xué)校高職單招職業(yè)技能測試近5年??及鎱⒖碱}庫含答案解析
- 醫(yī)用氣體施工方案
- 2024 年陜西公務(wù)員考試行測試題(B 類)
- 【課件】學(xué)校后勤管理工作
- 2025-2030年中國聚丙烯酰胺(PAM)市場發(fā)展?fàn)顩r及未來投資戰(zhàn)略決策報告新版
- 幼兒園師德師風(fēng)培訓(xùn)內(nèi)容
- 課題申報書:產(chǎn)教融合背景下護(hù)理專業(yè)技能人才“崗課賽證”融通路徑研究
- 住宅小區(qū)消防設(shè)施檢查方案
- 《榜樣9》觀后感心得體會四
評論
0/150
提交評論