一階微分方程解法

1、110.2 一階微分方程一階微分方程 一階微分方程的一般形式為 一階方程的初值問題的數(shù)學(xué)模型為 00( , , ) 0 xxF x y yyy 根據(jù)方程本身的特點，一階方程又可分為：( , , ) 0F x y y 一階微分方程是最簡單的方程. 求解的方法主要是采用初等解法, 即把微分方程的求解問題化為積分問題.2一一. 變量可分離的方程變量可分離的方程 形如 f(y)dy = g(x)dx 的一階方程方程, 稱為變量已分離的方程.形如 y= f(x)g(y) 的一階方程方程, 稱為變量可分離的方程. 設(shè) g(y) 0, 則方程 可寫成變量已分離的方程 ( )( )dyf x dxg y 若函

2、數(shù)f與g連續(xù)，則兩邊分別對 x 與 y 積分, 得 ( )( )dyf x dxcg y就為變量可分離方程的通解. 其中c為任意常數(shù). 3例例2 2 求方程 y= 2xy 的通解.12dyxdxy 解解 分離變量, 得兩邊積分，得于是原方程的通解為2lnlnyxc 2xyce 例例3 3 求方程cos sincos sinxydyyxdx 的特解.滿足初始條件 解解 分離變量, 得 sinsincoscosyxdydxyx 兩邊積分，得lncoslncoslnyxc 于是原方程的通解為coscosycx 04xy 4又將初始條件 故滿足初始條件的特解為04xy 代入通解中, 得 22c 22c

3、oscosyx 例例4 已知需求價格彈性為 = - -1/Q2, 且當(dāng) Q = 0 時, p = 100 . 試求價格p與需求Q的函數(shù)關(guān)系 p = f(Q).解解 由需求價格彈性的定義, 有 21p dQQ dpQ這是變量可分離的方程,移項化簡，得兩邊積分,得1Q dQdpp 211lnln2Qpc 5即2121Qpc e 又將初始條件Q = 0 時, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函數(shù)為212100Qpe 二二. 可化為變量可分離的方程可化為變量可分離的方程1. 齊次方程的一階方程，稱為齊次微分方程, 簡稱形如( )yyfx 齊次方程.引入新的變換就可將齊次方程化為變量

4、可分離的方程. ,yuyuxx 即6( )duxuf udx 所以1( )dudxf uux 分離變量, 得 若 u- - f(u)0, 兩端積分, 得 1ln( )dudxcf uux ( )duf uuxce 于是, 得 將變量還原, 便可得原方程的通解.例例5 5 求方程2dyyydxxx 的通解. dyduxudxdx因為解解 令,yuyuxx 即代入原方程, 得 則得dyduxudxdx2duxudx7分離變量, 得 2dudxxu 兩端積分, 得 ln2dudxcxulnuxc于是yux 將代入上式, 并化簡得方程的通解為2(ln)yxxc 例例6 求方程的通解.(lnln)dyx

5、yyxdx 解解 將方程恒等變形 lndyyydxxx 為 ,yuyuxx 令即則得dyduxudxdx8 lnduxuuudx代入原方程, 得 (ln1)dudxuux 分離變量, 得 兩端積分, 得 ln(ln1)lnlnuxc ln1ucx 即 1cxyxe yux 將代入上式, 并化簡得方程的通解為9三三. 一階線性微分方程一階線性微分方程 形如 y+ p(x)y = q(x)的方程，稱為一階線性微分方程.若 q(x) = 0 , 則稱方程 y+ p(x)y = 0 為一階齊次線性微分方程若 q(x) 0 , 則稱方程 y+ p(x)y = q(x)為一階非齊次線性微分方程.1.一階齊

6、次線性微分方程的通解 方程 y+ p(x)y = 0 是變量可分離的方程, 其通解為 ( )p x dxyce 其中c為任意常數(shù). 102.一階非齊次線性微分方程的通解的解, 但其中的 c 為 x 的待定函數(shù). 將 y與y代入方程 y+ p(x)y = q(x), 并整理, 得一階非齊次線性微分方程 y+ p(x)y = q(x)是齊次方程的一般情況. 我們可以設(shè)想非齊次線性微分方程有形如( )( )p x dxyc x e ( )( )( )( )( )p x dxp x dxycx ec x ep x因 ( )( )( )p x dxcxq x e 兩端積分, 得( )( )( )p x

7、dxc xq x edxc 11于是, 一階非齊次線性微分方程的通解為 ( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc 注注1 1 此公式是求非齊次線性微分方程的通解公式. 它是由齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解相加而成的. 這也是線性微分方程解的一個性質(zhì)解的一個性質(zhì). 注注2 2 把齊次線性方程通解中的任意常數(shù) c 變易為待定函數(shù)c(x), 使其滿足非齊次線性方程而求出的 c(x), 從而得到非齊次線性方程通解的方法稱為 “常數(shù)變易常數(shù)變易法法”. 是求解線性微分方程的一種常用的重要方法.12例例7 7 求方程3(1)2(1)xdyxyexdx 解解 將方程改寫為

8、 的通解. 22(1)1xdyyexdxx 先求齊方程的通解 201dyydxx 分離變量, 得 21dydxyx 兩端積分并整理, 得齊方程的通解 2(1)yc x用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解 2( )(1)yc xx令2( )(1)( )2(1)ycxxc xx兩端求導(dǎo), 得 13( )xc xec故原方程的通解為 y = (ex + c) (x+1)2 將 y與y代入方程, 并整理, 得( )xcxe 兩端積分, 得 例例8 8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及滿足初始條件 y|x=1 = / 2 的特解. 解解 將方程改寫為 2cotsindxxy

9、ydy 所以由非齊次線性方程的通解公式, 得( )( )( )p y dyp y dyxeq y edyc 2cotcot sinydyydyeyedyc 14 2lnsinlnsin sinyyey edyc 21sin sinsinyydycy sin cosyyc將初始條件 x = 1, y = /2 代入上式, 得 c = 1故滿足初始條件的特解為 x = siny(1- -cosy)153.貝努里方程 (n0,1)的方程稱為貝努里方程. ( )( )ndyp x yq x ydx 這種方程，雖然不是線性的，但是采用變量變換的方法，就可將其化為一階線性方程. 事實上, 在方程的兩端同除

10、以 , 得 ny 形如 1( )( )nndyyp x yq xdx利用微分的性質(zhì) , 方程也可寫成 111( )( )1nndyp x yq xndx 1nzy 令 , 將方程化為線性方程16(1) ( )( )dzn p x zq xdx 求出此方程的通解，并將變量代回 ，便可得到貝努里方程的通解. 1 nzy例例9 9 求方程 y= xy + x3y2 的通解. 解解 將方程改寫為 32dyxyx ydx 12,dzzyyzdx 令即 3,dzxzxdx 代入方程得所以由非齊次線性方程的通解公式, 得173xdxxdxzex edx 22322xxex edxc 2222xcex22222(2)xxeexc 1,zy 將代入上式得原方程的通解為22212xycex 18* *例例1010 設(shè)可微函數(shù) f(x) 滿足 322( )( )1( )xf xdxf xx fxx 解解 為了求 f(x) 在等式兩端同時求導(dǎo), 得 32( )( )( )f xfxx fxx 求 f(x).這是關(guān)于未知函數(shù) f(x)的一階方程，且 f(2)=1 令 y = f(x) ，得 3dxxyxdyy 23,nzx 這是的貝努里方程令代入上式得22dzzydyy 所