概率論第三章

1、第第3章章 多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量及其分布及其分布二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布、判斷獨(dú)立性；二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布、判斷獨(dú)立性；Max(X,Y), Min(X,Y)的分布的分布二維隨機(jī)變量的概率計(jì)算（如二維隨機(jī)變量的概率計(jì)算（如(1), (2)P XYP XY3.1 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布3.1.1 多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量 定義定義 若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為=， X1()，X2 () ，Xn ()是定義在是定義在上的上的 n個(gè)隨機(jī)變量，則個(gè)隨機(jī)變量，則稱稱( X1(), X2(),Xn() ) 為為n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量. 簡記作簡記作

2、( X1, X2,Xn).3.1.2 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) 二二維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X, Y)的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y) = PX x, Y y注注: 其中其中 x, y 為任意實(shí)數(shù)；為任意實(shí)數(shù)； Xx, Yy表示事件表示事件 Xx，Yy同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生. . 定義定義 設(shè)設(shè)( X1, X2,Xn)為為n 維隨機(jī)變量，對(duì)于任維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)意實(shí)數(shù)x1, x2 , xn , 稱稱121122(,),nnnF x xxP Xx XxXx 為為 ( X1, X2,Xn) 的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù).xyXxYy二維聯(lián)合分布函數(shù)區(qū)域演示圖二維聯(lián)合分布函數(shù)區(qū)域演示圖:(

3、x,y)二維聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)二維聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(2) (有界性有界性) 0 F(x, y) 1.F(, ) = F(, y) = F(x, ) =0，F(xiàn)(+ , + ) = 1.(3) (右連續(xù)性右連續(xù)性) F(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 和和 y 分別右連續(xù)分別右連續(xù).(4) (非負(fù)性非負(fù)性) 當(dāng)當(dāng)ab, cd 時(shí)，有時(shí)，有P(aXb, cY d) =F(b, d) F(b, c) F(a, d) +F(a, c) 0.即即F(x+0, y)=F(x, y); F(x, y+0)=F(x, y) (1) (單調(diào)性單調(diào)性) F(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 和和 y 分別單調(diào)不減分別單調(diào)不減.

4、當(dāng)當(dāng)x1 x2 時(shí)，時(shí)，F(xiàn)(x1, y) F(x2, y); 當(dāng)當(dāng)y10，有，有則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Yn依概率收斂依概率收斂于于Y .切比雪夫不等式切比雪夫不等式: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差的方差D(X)存在，存在，則對(duì)于任意的則對(duì)于任意的 0, 有有2()|()|D XPXE X 設(shè)在設(shè)在n重伯努利試驗(yàn)中，事件重伯努利試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生發(fā)生的概率為的概率為 p(0p 0，有，有定理定理1（伯努利大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律）( )lim1nn APpn 伯努利大數(shù)定律表明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)伯努利大數(shù)定律表明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n充分大時(shí)，充分大時(shí)，事件事件A發(fā)生的頻率與其概率充分接近發(fā)

5、生的頻率與其概率充分接近.即即 依概率收斂于依概率收斂于 p .( )n An 伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件伯努利大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法概率的方法.定理定理2（切比雪夫大數(shù)定律）切比雪夫大數(shù)定律）1111lim1nniiniiPXE Xnn （ ） 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2, Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立,若若 Xi (i=1,2, )的方差都存在的方差都存在, 且有共同且有共同的上界的上界M, 即即 D(Xi) M，(i=1,2, )則對(duì)任意的則對(duì)任意的 0，有，有 切比雪夫大數(shù)定律表明切比雪夫大數(shù)定律表明: 若若X1,X2, Xn 獨(dú)獨(dú)立，且方差有共同上界，則

6、當(dāng)立，且方差有共同上界，則當(dāng)n充分大時(shí)，平均值充分大時(shí)，平均值11niiXn 依概率收斂于依概率收斂于 . 1111nniiiiEXE Xnn （ ）定義：設(shè)有隨機(jī)變量序列定義：設(shè)有隨機(jī)變量序列Xn, 若具有下式的若具有下式的性質(zhì)，則稱該隨機(jī)變量序列服從大數(shù)定律性質(zhì)，則稱該隨機(jī)變量序列服從大數(shù)定律.1111lim()1nniiniiPXE Xnn 11lim1niniPXn 設(shè)設(shè)X1,X2, Xn,為獨(dú)立且同分布，若期望為獨(dú)立且同分布，若期望E(Xi)=, (i=1,2,), 則對(duì)任給則對(duì)任給0, 有有即當(dāng)即當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)， X1,X2, Xn的平均值的平均值11niiXn 依概率收斂

7、于期望值依概率收斂于期望值. 定理定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽大數(shù)定律）3.5.2 中心極限定理中心極限定理按分布收斂按分布收斂 lim( )( )nnFxF x 稱稱Fn(x)弱收斂于弱收斂于F(x), 也稱也稱Xn按分布收斂于按分布收斂于X .定義定義: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X, X1, X2, 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x), F1(x), F2(x), , 若在若在 F(x) 的連續(xù)點(diǎn)上的連續(xù)點(diǎn)上 都有都有中心極限定理討論的是按分布收斂問題中心極限定理討論的是按分布收斂問題. .隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化 設(shè)設(shè) D(X)0, 令令()()XE XD XY 稱稱 Y 為為 X 的

8、的標(biāo)準(zhǔn)化量標(biāo)準(zhǔn)化量. 即即 E(Y)=0, D(Y)=1.e2121lim( )2ntixinXnPxdtxn 定理定理1（林德貝格（林德貝格 萊維萊維中心極限定理中心極限定理） 設(shè)設(shè)X1,X2, ,Xn,是是獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，的隨機(jī)變量序列，且且E(Xi )=, , D(Xi)=20，( i=1,2, ), 則對(duì)于任則對(duì)于任意實(shí)數(shù)意實(shí)數(shù) x, 有有設(shè)設(shè) ， 將將Yn標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化 , 即即Zn按分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)按分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài), 或或FZn(x)弱收斂于弱收斂于(x).1nniiYX nnYnZn e221lim( )(1)2txnXnpPxdtxnpp 定理定理2（棣

9、莫弗拉普拉斯（棣莫弗拉普拉斯極限定理極限定理） 設(shè)在設(shè)在n重伯努利試驗(yàn)中，事件重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p(0p1)， n次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)為為X，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù) x，有有 棣莫弗拉普拉斯棣莫弗拉普拉斯極限定理專門針對(duì)極限定理專門針對(duì)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布, 因此稱為因此稱為“二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的正態(tài)近似”. 注注“二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布”的第二種近似形式的第二種近似形式(連續(xù)型近似連續(xù)型近似). 2.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X 和和Y 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 (x ,y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,

10、1) (2,0) (2,1) PX=x,Y=y 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 A求：常數(shù)求：常數(shù)A；概率概率 PX1,Y1；X+Y 的分布列的分布列. .(1);(2)(1,1)cF求求常常數(shù)數(shù)求求. .e3 (,),0 ( , )0,yX Ycxxyf x y 例例設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù)為為其其它它例例4. .設(shè)設(shè)( (X,Y) )的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 (3) P(X,Y)D, 其中其中 D為為 2x+3y6.e(23 ),0,0( , )0,xyAxyf x y 其其它它 試求試求: (1)常數(shù)常數(shù) A ;(2) P X2, Y1;例例6. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X,Y 是相互獨(dú)立的，且是相互獨(dú)立的，且X,Y 的分布的分布 如下如下，求隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列. .X 0 1p 1/2 1/2Y 0 1p 1/3 2/3例例7. 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量(X,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 (1) 問問X與與Y是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？(2) 求求PXY .e(),0,0;( , )0 ,.xyxyf x y 其其它它例例1 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列:求求Z1 = X+Y， ， 的分布的分布.2max(,)ZX Y 3min(,)ZX Y (X,Y) (-1,