第4章平面問題的等數(shù)參單元√有限元

1、第3章 平面問題的等參單元l坐標(biāo)變換與等參元概念坐標(biāo)變換與等參元概念l四邊形（四邊形（4節(jié)點(diǎn)）等參單元節(jié)點(diǎn)）等參單元l八節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元八節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元l等參元的收斂性等參元的收斂性3.1 坐標(biāo)變換與等參元概念坐標(biāo)變換與等參元概念 上一章中， Serendipity矩形單元插值函數(shù)的建立，使插值函數(shù)構(gòu)造規(guī)則化。矩形單元比三角形單元有更高的精度，但它不適應(yīng)不規(guī)則形狀。而任意直線四邊形單元可以適應(yīng)不規(guī)則形狀。但問題是，如果有一邊的邊界方程為 ，代入位移插值函數(shù)cbxy232143214321)()(xxcbxxcbxxxyyxu顯然，在邊界上位移不再是線性分布，因而不能由節(jié)點(diǎn)位移惟一確定，即

2、：即使相鄰兩單元節(jié)點(diǎn)位移相同，也不能保證邊界位移連續(xù)。這就限制了四邊形單元的應(yīng)用范圍。因此，為了實(shí)際應(yīng)用，尋找適當(dāng)方式，將規(guī)則單元轉(zhuǎn)化為曲線單元，是非常必要的。普遍采用的方法是等參變換，即單元幾何形狀和單元內(nèi)的位移函數(shù)采用相同的數(shù)目的結(jié)點(diǎn)參數(shù)和插值函數(shù)進(jìn)行變換。采用等參變換后，關(guān)鍵問題是將整體坐標(biāo)系里的單元剛度、荷載等單元特性變換為局部坐標(biāo)系中計(jì)算。3.1 坐標(biāo)變換與等參元概念坐標(biāo)變換與等參元概念 如圖所示的兩套坐標(biāo)系，一套是 Oxy ，用于實(shí)際單元，稱為子單元；一套是 ，它是標(biāo)準(zhǔn)后化的正方形單元，稱為母單元。從母單元項(xiàng)子單元變換，實(shí)際上就是建立兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，即O),(),( Af

3、yxAfyx下面介紹如何建立兩種單元之間的一一對應(yīng)關(guān)系。事實(shí)上，這是圖形變換的映射方法?；?qū)懗勺罘奖愕姆椒ㄊ菍⒄w坐標(biāo)用插值形式表示，即(2) ),(, ),(11piiiqiiiNvvNuu其中，Ni稱為插值函數(shù)（形函數(shù))。通過這一變換，對母單元上每一點(diǎn)( )可以在實(shí)際單元中找到一對應(yīng)點(diǎn)(x，y)，這樣就在兩個(gè)單元間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。 (1) ),(,),(11iiiiiiyNyxNx,在實(shí)際單元中建立位移函數(shù)的插值形式因?yàn)樽鴺?biāo)變換和位移變換都用同樣個(gè)數(shù)的相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)值做參數(shù)，并且具有完全相同的形函數(shù)作為變換系數(shù)，所以稱這種單元為等參數(shù)單元，簡稱等參元。3.2 四邊形（4節(jié)點(diǎn)）等參單元 用上

4、述方法，將（x,y）平面內(nèi)的任意四邊形單元變換為（ ）平面上以原點(diǎn)為形心，邊長為2的正方形單元，圖1(b)所示。,) 1 , 1(),1 , 1 (),1, 1 (),1, 1(,母單元的節(jié)點(diǎn) ijrs 與實(shí)單元的節(jié)點(diǎn) ijrs 對應(yīng)。在母單元上取局部坐標(biāo)系 ，四個(gè)節(jié)點(diǎn) ijrs 坐標(biāo)分別為用兩組曲線等分實(shí)單元的四個(gè)邊界，在實(shí)單元上繪出一個(gè)非正交網(wǎng)格，通過坐標(biāo)變換，將這個(gè)非正交網(wǎng)格與母單元上的等距正交網(wǎng)格對應(yīng)，母單元上的A點(diǎn)與實(shí)單元上的A點(diǎn)對應(yīng)。1 形函數(shù)與坐標(biāo)變換 在母單元上，取位移函數(shù)為按照上一章求插值函數(shù)的方法，得 (3) 87654321yvu)(3 ijrsiimmlljjiiijr

5、siimmlljjiivNvNvNvNvNvuNuNuNuNuNu),()1)(1 (41),(mljiNiii其中：將(3)式寫成矩陣形式這里， 是單元的節(jié)點(diǎn)位移向量emljieININININNvudTmmlljjiievuvuvuvu(4) ijrsiiijrsiiyNyxNxyxvu,),(,srjiiyxvuiiiie將坐標(biāo)也取為(3)的形式在(3,4)式中， ，以及 是實(shí)單元中的位移和坐標(biāo)2 幾何矩陣 幾何方程為(5) 0000exyyxNxyyxfxyyxyuxvyvxuyNxNii/,/yyNxxNNyyNxxNNiiiiii(6) yNxNJNNiiii為了求出上式的 ，根據(jù)

6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 即：其中(7) ssrrjjiisrjisrjiijrsiiijrsiiijrsiiijrsiiyxyxyxyxNNNNNNNNyNxNyNxNyxyxJ(8) )( )1 ()1 (4111i,j,r,siJNNJyNxNiiiiiiii，從而應(yīng)變可寫為其中應(yīng)變矩陣為)(6 eBxNyNxNyNxNyNxNyNyNyNyNyNxNxNxNxNNxyyxBssrrjjiisrjisrji00000000003 單元剛度矩陣 如前所述，單元剛度矩陣為將x y 坐標(biāo)系中的微面積dA變換到 上后，映射關(guān)系由微分幾何可知（殷家駒，計(jì)算力學(xué)教程，西安交通大學(xué)出版社；俞銘華等，有限元法

7、與面向?qū)ο缶幊蹋茖W(xué)出版社)(10) d eTeABDBhK),( d dd d ddjyixbcjyixabdd dd d d d ddJjixyyxjyixjyixbcabA其中22 ,yxabyyxxJ)(10 dd1111 JBDBhKTe這個(gè)式子中包含雅可比矩陣的逆矩陣，使上式的解析積分相當(dāng)困難，因此，通常用數(shù)值積分法進(jìn)行積分。（見沈永歡：實(shí)用數(shù)學(xué)手冊，科學(xué)出版社；王勖成：有限單元法，清華大學(xué)出版社）變換到母單元上的單元剛度矩陣為單元的等效荷載單元的等效荷載l體積力的等效荷載 考慮單元內(nèi)任一點(diǎn)的體積力為等效節(jié)點(diǎn)荷載 稱為體積力對應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)力 yxppp 1111ddJpNhPTep

8、l集中力的等效節(jié)點(diǎn)荷載設(shè)單元內(nèi)任一點(diǎn)C(x,y)作用一集中力等效節(jié)點(diǎn)荷載為 yxRRR RNPTCeRl面力的等效荷載考慮邊界單元上任一點(diǎn)的面力為面力分布在與平行的邊上時(shí)，等效節(jié)點(diǎn)荷載為面力分布在與平行的邊上時(shí)，等效節(jié)點(diǎn)荷載為 yxqqq 11d|abqNhPTeq 11d|bcqNhPTeq3.3 八節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元 四結(jié)點(diǎn)實(shí)單元的邊界是直線，位移是線性函數(shù)。對于計(jì)算曲線邊界問題，這種單元不能很好地?cái)M合；同時(shí)，對于位移變化劇烈（應(yīng)變大）的部分，單元要劃分很密。下面介紹的八結(jié)點(diǎn)單元，單元邊界是二次拋物線。因而，可以適應(yīng)具有曲線邊界的區(qū)域，是一種經(jīng)常使用的單元。1 位移模式 按照上一章求插值函

9、數(shù)的方法，得到用節(jié)點(diǎn)位移表示的位移場2162152141321211109282726524321vu(3) ),( ),(8181iiiiiivNvuNu，式中的形函數(shù)為(11) 8 , 7 , 6 , 511214 , 3 , 2 , 1 111412222jNiNiiiijiiiii實(shí)際單元中任一點(diǎn)坐標(biāo)可用下式表示8181),(),(iiiiiiyNyxNx，單元剛度矩陣 幾何方程為eexyyxBNxyyxdxyyxyuxvyvxu00000087654321BBBBBBBBNxyyxB其中其中，)8 , 2 , 1(,00ixNyNyNxNBiiiiiyNxNJNNiiiiiiiiNN

10、JyNxN1 1111ddJBDBhKTe 1111)8 , 2 , 1(,ddiJBDBhKjTieij由于，從而單元剛度矩陣為其中，單元剛度矩陣的子塊為單元性質(zhì) 八節(jié)點(diǎn)正方形母單元對應(yīng)于八節(jié)點(diǎn)曲線四邊形實(shí)單元運(yùn)用兩組坐標(biāo)，母單元的局部坐標(biāo) 與實(shí)際單元的整體坐標(biāo)(x,y), 將實(shí)際單元映射到母單元上。在母單元上選擇位移插值函數(shù)，通過坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)化到實(shí)際單元上去因此，兩個(gè)坐標(biāo)系中的形函數(shù)具有完全相同的形式和相同的性質(zhì)。位移模式能夠保證相鄰單元彼此相容，即同一邊界兩邊的單元，變形后位移是連續(xù)的。當(dāng)時(shí)，兩套坐標(biāo)之間建立一一對應(yīng)關(guān)系，即兩種單元 ( 母單元與實(shí)單元) 之間存在一一對應(yīng)關(guān)系當(dāng)實(shí)單元的四

11、個(gè)頂點(diǎn)的內(nèi)角皆小于180, 且每條邊上的中間節(jié)點(diǎn)與兩個(gè)端點(diǎn)節(jié)點(diǎn)的距離大致相同時(shí)，能夠保證。),(0J0J4 等參單元的形態(tài)等參單元形態(tài)的好壞，對于計(jì)算結(jié)果影響很大。以下四方面影響等參單元形態(tài)的好壞：現(xiàn)在分別敘述：l當(dāng)單元各邊長度相差較大時(shí)，會對計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差。對于曲面邊界，假如其曲率半徑遠(yuǎn)大于單元的邊長，則各向邊長的差別對精度影響不大，但當(dāng)曲面曲率半徑與單元邊長為同階大小時(shí)，邊長相差過大就可能引起很大誤差。l等參單元比之其它單元能更好擬合曲折的棱，但是每一種等參單元所能擬合的曲邊界是有限度的，例如8節(jié)點(diǎn)單元的棱邊是二次曲線，不可能擬合一段具有反向曲率的邊界。圖4中 ABCDE 表示一物

12、體的一部分邊界，如果采用以A，C，E 為節(jié)點(diǎn)的單元，l各邊長度的相對大??；l棱邊的曲折；l棱邊的夾角；l棱邊上節(jié)點(diǎn)的間距。則計(jì)算所得的位移和應(yīng)力實(shí)際上屬于單元ABCDEFG, 這樣就嚴(yán)重歪曲了原物體的邊界，其計(jì)算結(jié)果有很大誤差。但假如單元劃分成圖4(b), 以彎點(diǎn)C為單元的頂點(diǎn)，使每個(gè)單元的棱邊都是只具有單向曲率的曲線，則計(jì)算結(jié)果將大大改善。如果在計(jì)算對象上有折線邊界，則應(yīng)盡量使單元邊上沒有折點(diǎn)，如圖 5(a) 。假如邊界不可避免有折點(diǎn)，則應(yīng)使棱邊上只有凸出的折點(diǎn)圖5(b)，而不應(yīng)有凹入的折點(diǎn)，如圖5(c)。4 等參元的收斂性1 等參變換的條件：雅可比行列式不得為零l如何避免雅可比行列式為零？l單元退化處理（退化為三角單元；從積分點(diǎn)的位置考慮。）dd)d,dsin(dddd)d,dsin(dd d ddJJA即分子上的三項(xiàng)都不能為零。2 等參元的收斂性(1)單元的完備性對于C0連續(xù)性單元，要求插值函數(shù)中包含完全的線性項(xiàng)（即完全一次多項(xiàng)式），這樣的單元可以反映函數(shù)及一次導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的情況。顯然，等參元在自然坐標(biāo)中是滿足這一要求的。經(jīng)等參變換后，坐標(biāo)和位移的插值表達(dá)式為(4) ),(,),(11iiiiiiyNyxNx將線性變化的位移函數(shù)(1) cybxau取結(jié)點(diǎn)值(a) iiicybxau將(a)式代入(3)式，并利用(4)式，可得到