幾何不等式測試題

1、幾何不等式測試題1在ABC中，M為BC邊的中點，B=2C，C的平分線交AM于D。證明：MDC45°。2設NS是圓O的直徑，弦ABNS于M，P為弧上異與N的任一點，PS交AB于R，PM的延長線交圓O于Q，求證：RSMQ。3在ABC中，設A，B，C的平分線交外接圓于P、Q、R。證明：AP+BQ+CRBC+CA+AB。4過ABC內一點O引三邊的平行線，DEBC,FGCA,HIAB,點D、E、F、G、I都在ABC的邊上，表示六邊形DGHEFI的面積，表示ABC的面積。求證：。5求證：ABC的內心I到各頂點的距離之和不小于重心G到各邊距離之和的2倍。6凸四邊形ABCD具有性質：（1）AB=AD

2、+BC，（2）在其內部有點P，P點到CD的距離為h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求證：。7設H為銳角ABC的垂心，A1，B1，C1，分別為AH，BH，CH與ABC外接圓的交點。求證：。其中等號當且僅當ABC為正三角形時成立。8一凸四邊形內接于半徑為1的圓。證明：四邊形周長與其對角線之和的差值u,滿足0<u<2。9.已知過銳角ABC頂點A、B、C的垂線分別交對邊于D、E、F，AB>AC，直線EF交BC于P，過點D且平行于EF的直線分別交AC、AB于Q、R。N是BC上的一點，且NQP+NRP180°，求證：BN>CN。參考答案【同步達綱練習】1設B的平分線

3、交AC于E，易證EMBC作EFAB于F，則有EF=EM，AEEF=EM，從而EMAEAM,即90°-AMBEAM。又2MDC=2（MAC+ACD）=2MAC+ACM=MAC+AMB，90°AMD+MAC=2MDC，MDC45°。2連結NQ交AB于C，連結SC、SQ。易知C、Q、S、M四點共圓，且CS是該圓的直徑，于是CS>MQ。再證RtSMCRtSMR，從而CS=RS，故有RS>MQ.3設的內心為I，由IA+IB>AB,IB+IC>BC,即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）AB+BC+CA （1）連AR，AIR=IAR，IR=AR，又

4、AR=BR，同理 （2）由（1）、（2）即得AP+BQ+CR>AB+BC+CA。4如圖8。設三邊長分別為a、b、c，IF=x，EH=y，DG=z，則依題意有，（易知OE=CF）同理，所以，由柯西不等式，從而 于是5設G到各邊距離為由（r為內切圓半徑），得又（艾爾多斯莫德爾不等式）。故即AI+BI+CI2(r1+r2+r3)6分別以A、B、P為圓心，AD、BC、h為半徑作圓，三圓兩兩外切，EF為A、B外公切線，P與EF相切時h最大，此時設AD=r,BC=R,P半徑為m，則化簡得，即由知命題成立。7由外接圓心O向BC作垂線OD于D，則AH=2·OD，DOC=A，故HA=2OD=2R

5、cosA。同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是的垂直平分線，得同理。于是原不等式等價于而2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 故8如圖，引進有關邊長、對角線、角的記號，則a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得a+b+c+d>e+f,即u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四邊形至少有一角，不妨設，則且，同樣可設，由圓的半徑為1及正弦定理得.于是u<2等價于證明：下面證明更強的結論：由于故結論成立。9取BC中點M，只需證MRP+MQP=180°，即R、M、Q、P四點共圓。如圖，連結ED，易知PEC=DEC，DEB=FEB，有連結ME。EMC=180°-2ACB，EDP=180°-ACB-CED。MED=ACB-CED=EPCMDEMEP，從而ME2=MD·MP=MC2又RQFP，BRD=BFE=DCQ B、R、C、Q四點共圓。RD·DQ=BD·CD=（BM+MD）（CM-MD）=MC2-MD2=MD·