matlab-多目標(biāo)規(guī)劃模型

1、1多目標(biāo)規(guī)劃模型多目標(biāo)規(guī)劃模型 在現(xiàn)實(shí)生活中在現(xiàn)實(shí)生活中,決策的目標(biāo)往往有多個(gè)決策的目標(biāo)往往有多個(gè),例如例如,對企業(yè)產(chǎn)品的生產(chǎn)管對企業(yè)產(chǎn)品的生產(chǎn)管理理,既希望達(dá)到高利潤既希望達(dá)到高利潤,又希望優(yōu)質(zhì)和低消耗又希望優(yōu)質(zhì)和低消耗,還希望減少對環(huán)境的污還希望減少對環(huán)境的污染等染等.這就是一個(gè)多目標(biāo)決策的問題這就是一個(gè)多目標(biāo)決策的問題.又如選購一個(gè)好的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)又如選購一個(gè)好的計(jì)算機(jī)系統(tǒng),似乎只有一個(gè)目標(biāo)似乎只有一個(gè)目標(biāo),但由于要從多方面去反映但由于要從多方面去反映,要用多個(gè)不同的準(zhǔn)則要用多個(gè)不同的準(zhǔn)則來衡量來衡量,比如比如,性能要好性能要好,維護(hù)要容易維護(hù)要容易,費(fèi)用要省費(fèi)用要省.這些準(zhǔn)則自然構(gòu)成了多

2、這些準(zhǔn)則自然構(gòu)成了多個(gè)目標(biāo)個(gè)目標(biāo),故也是一個(gè)多目標(biāo)決策問題故也是一個(gè)多目標(biāo)決策問題.矛盾性、不可公度性。矛盾性、不可公度性。一般來說一般來說,多目標(biāo)決策問題有兩類多目標(biāo)決策問題有兩類.一類是多目標(biāo)規(guī)劃問題一類是多目標(biāo)規(guī)劃問題,其對其對象是在管理決策過程中求解使多個(gè)目標(biāo)象是在管理決策過程中求解使多個(gè)目標(biāo)都達(dá)到都達(dá)到滿意結(jié)果的最優(yōu)方案滿意結(jié)果的最優(yōu)方案.另一類是多目標(biāo)優(yōu)選問題另一類是多目標(biāo)優(yōu)選問題,其對象是在管理決策過程中根據(jù)多個(gè)目標(biāo)其對象是在管理決策過程中根據(jù)多個(gè)目標(biāo)或多個(gè)準(zhǔn)則衡量和得出各種備選方案的或多個(gè)準(zhǔn)則衡量和得出各種備選方案的優(yōu)先等級與排序優(yōu)先等級與排序. 多目標(biāo)決策由于考慮的目標(biāo)多多目

3、標(biāo)決策由于考慮的目標(biāo)多,有些目標(biāo)之間又有些目標(biāo)之間又彼此有矛盾彼此有矛盾,這就使多目標(biāo)問題成為一個(gè)復(fù)雜而困難這就使多目標(biāo)問題成為一個(gè)復(fù)雜而困難的問題的問題.但由于客觀實(shí)際的需要但由于客觀實(shí)際的需要,多目標(biāo)決策問題越來多目標(biāo)決策問題越來越受到重視越受到重視,因而出現(xiàn)了許多解決此決策問題的方法因而出現(xiàn)了許多解決此決策問題的方法.一般來說一般來說,其基本途徑是其基本途徑是,把求解多目標(biāo)問題把求解多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求轉(zhuǎn)化為求解單目標(biāo)問題解單目標(biāo)問題.其主要步驟是其主要步驟是,先轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題先轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題,然后利用單目標(biāo)模型的方法然后利用單目標(biāo)模型的方法,求出單目標(biāo)模型的最優(yōu)求出單目標(biāo)模型的最優(yōu)解

4、解,以此作為多目標(biāo)問題的解以此作為多目標(biāo)問題的解. 化多目標(biāo)問題為單目標(biāo)問題的方法大致可分為兩化多目標(biāo)問題為單目標(biāo)問題的方法大致可分為兩類類,一類是轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)問題一類是轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)問題,另一類是轉(zhuǎn)化為多另一類是轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問題個(gè)單目標(biāo)問題,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化. 下面下面,我們介紹幾種主要的轉(zhuǎn)化方法我們介紹幾種主要的轉(zhuǎn)化方法:主要目標(biāo)法、主要目標(biāo)法、線性加權(quán)和法、字典序法、步驟法。線性加權(quán)和法、字典序法、步驟法。f1f21234567810.1多目標(biāo)決策問題的特征多目標(biāo)決策問題的特征 在解決單目標(biāo)問題時(shí)，我們的任務(wù)是選擇一個(gè)或一組變在解決單目標(biāo)問題時(shí)，我們的任務(wù)是選擇一個(gè)

5、或一組變量量X，使目標(biāo)函數(shù)使目標(biāo)函數(shù)f(X)取得最大（或最?。?。對于任意兩方案取得最大（或最?。?。對于任意兩方案所對應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標(biāo)值，就可以判斷誰優(yōu)所對應(yīng)的解，只要比較它們相應(yīng)的目標(biāo)值，就可以判斷誰優(yōu)誰劣。但在多目標(biāo)情況下，問題卻不那么單純了。例如，有誰劣。但在多目標(biāo)情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個(gè)目標(biāo)兩個(gè)目標(biāo)f1(X)，f2(X),希望它們都越大越好。下圖列出在這兩希望它們都越大越好。下圖列出在這兩個(gè)目標(biāo)下共有個(gè)目標(biāo)下共有8個(gè)解的方案。其中方案個(gè)解的方案。其中方案1，2，3，4稱為劣解，稱為劣解，因?yàn)樗鼈冊趦蓚€(gè)目標(biāo)值上都比方案因?yàn)樗鼈冊趦蓚€(gè)目標(biāo)值上都比方案5差，是可以

6、淘汰的解。而差，是可以淘汰的解。而方案方案5，6，7，8是非劣解（或稱為有效解，滿意解），因?yàn)槭欠橇咏猓ɑ蚍Q為有效解，滿意解），因?yàn)檫@些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個(gè)與其余任何一這些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個(gè)與其余任何一個(gè)相比，總有一個(gè)指標(biāo)更優(yōu)越，而另一個(gè)指標(biāo)卻更差。個(gè)相比，總有一個(gè)指標(biāo)更優(yōu)越，而另一個(gè)指標(biāo)卻更差。一、解的特點(diǎn)一、解的特點(diǎn)二、模型結(jié)構(gòu)二、模型結(jié)構(gòu) 多目標(biāo)決策問題包含有三大要素：目標(biāo)、方案和決策者。多目標(biāo)決策問題包含有三大要素：目標(biāo)、方案和決策者。在多目標(biāo)決策問題中，目標(biāo)有多層次的含義。從最高層次在多目標(biāo)決策問題中，目標(biāo)有多層次的含義。從最高層次來看，目標(biāo)代表了問

7、題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定最滿意的來看，目標(biāo)代表了問題要達(dá)到的總目標(biāo)。如確定最滿意的投資項(xiàng)目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標(biāo)可投資項(xiàng)目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標(biāo)可看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)具體的目標(biāo)，如投資項(xiàng)看成是體現(xiàn)總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)具體的目標(biāo)，如投資項(xiàng)目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險(xiǎn)要?。荒繕?biāo)也可看成衡量目的盈利要大、成本要低、風(fēng)險(xiǎn)要?。荒繕?biāo)也可看成衡量總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)準(zhǔn)則，如食品的味道要好，質(zhì)量要總目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的各個(gè)準(zhǔn)則，如食品的味道要好，質(zhì)量要好，花費(fèi)要少。好，花費(fèi)要少。 多目標(biāo)決策問題中的方案即為決策變量，也稱為多目多目標(biāo)決策問題中的方案即為決策變量，也稱為

8、多目標(biāo)問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標(biāo)決標(biāo)問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標(biāo)決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題策中，有些問題的方案是有限的，有些問題 的方案是無限的方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。1、多目標(biāo)規(guī)劃問題的模型結(jié)構(gòu)0)(0)(. .)(),.,(),()(21XhXgtsXfXfXfXoptFjiTp),.,(21nxxxX 為決策變量如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F(X*)F(X)有效解：若不存在X，使得F(X*) F(X)弱有效解：若不存在X，使得F(X

9、*)F(X)2、多目標(biāo)優(yōu)選問題的模型結(jié)構(gòu) 可用效用函數(shù)來表示。設(shè)方案的效用是目標(biāo)屬性的函數(shù)：),.,()(21pfffUxU并設(shè))(jiijxfa 且各個(gè)方案的效用函數(shù)分別為),.,()(21pjjjjaaaUxU則多目標(biāo)優(yōu)選模型的結(jié)構(gòu)可表示如下：0)(0)(. .)(),.,(),()(21XhXgtsXUXUXUXordUjiTp10.2 多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解1、主要目標(biāo)法、主要目標(biāo)法 在有些多目標(biāo)決策問題中，各種目標(biāo)的重要性程度往往不一樣。其中一個(gè)重要性程度最高和最為關(guān)鍵的目標(biāo)，稱之為主要目標(biāo)法。其余的目標(biāo)則稱為非主要目標(biāo)。0)(0)(. .)(),.,(),()(2

10、1XhXgtsXfXfXfXoptFjiTp例如，在上述多目標(biāo)問題中，假定f1(X)為主要目標(biāo)，其余p-1個(gè)為非主要目標(biāo)。這時(shí)，希望主要目標(biāo)達(dá)到極大值，并要求其余的目標(biāo)滿足一定的條件，即1,.,2 , 1,)(,.,2 , 1, 0)(,.,2 , 1, 0)(. .)(max1pkXfmjXhniXgtsXfkkji例題例題1 某工廠在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品某工廠在一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，各產(chǎn)品都要消耗都要消耗A，B，C三種不同的資源。每件產(chǎn)品對資源的單位三種不同的資源。每件產(chǎn)品對資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產(chǎn)品的單位價(jià)格、單位利潤和消耗、各種資源的限量以及各

11、產(chǎn)品的單位價(jià)格、單位利潤和所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問每所造成的單位污染如下表。假定產(chǎn)品能全部銷售出去，問每期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都最大，且造成的污染期怎樣安排生產(chǎn)，才能使利潤和產(chǎn)值都最大，且造成的污染最??？最??？解：問題的多目標(biāo)模型如下0,300103200542404923)(max(600400)(max12070)(max21212121213212211xxxxxxxxxxXfxxXfxxXf對于上述模型的三個(gè)目標(biāo)，工廠確定利潤最大為主要目標(biāo)。另兩個(gè)目標(biāo)則通過預(yù)測預(yù)先給定的希望達(dá)到的目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為約束條件。經(jīng)研究，工廠認(rèn)為總產(chǎn)值至少應(yīng)達(dá)到20000個(gè)單位

12、，而污染控制在90個(gè)單位以下，即9023)(20000600400)(213212xxXfxxXf由主要目標(biāo)法化為單目標(biāo)問題0,300103200542404990232000060040012070)(max212121212121211xxxxxxxxxxxxxxXf用單純形法求得其最優(yōu)解為90)(,20750)(,4025)(,25.26, 5 .1232121xfxfxfxx2、線性加權(quán)和目標(biāo)規(guī)劃、線性加權(quán)和目標(biāo)規(guī)劃0)(0)(. .)(),.,(),()(21XhXgtsXfXfXfXoptFjiTp在上述目標(biāo)規(guī)劃中，假定f1(X),f2(X),fp(X)具有相同的量綱,按照一定的規(guī)

13、則分別給fi賦予相同的權(quán)系數(shù)i，作線性加權(quán)和評價(jià)函數(shù)piiiXfXU1)()(則多目標(biāo)問題化為如下的單目標(biāo)問題0)(0)(. .)()(max1XhXgtsXfXUjipiii例如，某公司計(jì)劃購進(jìn)一批新卡車，可供選擇的卡車有如例如，某公司計(jì)劃購進(jìn)一批新卡車，可供選擇的卡車有如下下4種類型：種類型：A1，A2，A3，A4?，F(xiàn)考慮現(xiàn)考慮6個(gè)方案屬性：維個(gè)方案屬性：維修期限修期限f1，每每100升汽油所跑的里數(shù)升汽油所跑的里數(shù)f2，最大載重噸數(shù)最大載重噸數(shù)f3，價(jià)價(jià)格（萬元）格（萬元）f4，可靠性可靠性f5，靈敏性靈敏性f6。這這4種型號的卡車分別種型號的卡車分別關(guān)于目標(biāo)屬性的指標(biāo)值關(guān)于目標(biāo)屬性的指

14、標(biāo)值fij如下表所示。如下表所示。首先對不同度量單位和不同數(shù)量級的指標(biāo)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。首先對不同度量單位和不同數(shù)量級的指標(biāo)值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。先將定性指標(biāo)定量化：先將定性指標(biāo)定量化：可靠性和靈敏性都屬于效益型指標(biāo)，其打分如下按以下公式作無量綱的標(biāo)準(zhǔn)化處理1*)*(99jjjijijffffa其中：ijijijijffffminmax*變換后的指標(biāo)值矩陣為：設(shè)權(quán)系數(shù)向量為W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),則925.57)(max*27.40)(925.57)(6 .40)(34)(36144613361226111XUUUaXUaXUaXUaXUjjjjjjjjjjjj故最

15、優(yōu)方案為選購A3型卡車3、分層序列法：、分層序列法：1.基本步驟：把(VP)中的p個(gè)目標(biāo) 按其重要程度排序。依次求單目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解。2. 過程：無妨設(shè)其次序?yàn)?先求解 得最優(yōu)值 ，記再解 得最優(yōu)值 ，依次進(jìn)行，直到 得最優(yōu)值則 是在分層序列意義下的最優(yōu)解集合。)(,),(1xfxfppfff,21SxtsxfP. .)(min)(11*1fSfxfxS*111)(122. .)(min)(SxtsxfP*2f1*222)(SfxfxS1. .)(min)(pppSxtsxfP*pf1*)(ppppSfxfxS3. 性質(zhì)： ，即在分層序列意義下的最優(yōu)解是有效解。證明：反證。設(shè) ，但 ，則必存在

16、 使 即至少有一個(gè)j0 ，使 , 由于 ，即 ， 矛盾。得證。4. 進(jìn)一步討論： 上述方法過程中，當(dāng)某個(gè)問題(Pj)的解唯一時(shí)，則問題 的求解無意義，因?yàn)榻舛际俏ㄒ坏摹?實(shí)際求解時(shí)，有較寬容意義下的分層序列法： 取 為預(yù)先給定的寬容值，整個(gè)解法同原方法類似，只是取各約束集合時(shí)，分別取為：pjPP,10, 011ppjSfxfxSjjjj, 3 , 2,)(1*)(min)(0000*xffxfjSxjjj0jSx)()(00 xfyfjj1, 1),()(0jjxfyfjj)()(xFyFSy *paSxpSx *papSS 4、步驟法（、步驟法（STEM法）法） 這是一種交互方法，其求解過程

17、通過分析者與決策者之間的對話逐步進(jìn)行，故稱步驟法。 步驟法的基本思想是，首先需要求出原多目標(biāo)問題的一組理想解(f1*,f2*,fp*)。實(shí)際上，這些解fi*(i=1,2,p)無法同時(shí)達(dá)到，但可以當(dāng)作一組理想的最優(yōu)值。以理想解作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，可以估計(jì)有效解，然后通過對話，不斷修改目標(biāo)值，并把降低要求的目標(biāo)作為新的約束條件加入原來的約束條件中去重新計(jì)算，直到?jīng)Q策者得到滿意的解。 步驟法算法如下：第一步：分別求解以下p個(gè)單目標(biāo)問題的最優(yōu)解0)(0)(. .)(max1XhXgtsxcXfjinjjiji得到最優(yōu)解 ，其相應(yīng)的目標(biāo)值 即為理想值，此最優(yōu)解處別的目標(biāo)所取的值用 表示，即 ，把上述計(jì)算結(jié)果列

18、入下表).,2 , 1(*piXi).,2 , 1(*pifikizpkikXfzikki,.,2 , 1,),(*21*21*11211*121pipppppiiiiipipifzzzXzfzzXzzzfXffffX在表中，確定每一列的最小值并記第i列的最小值為fip(i=1,2,p)第二步：求解0,.,2 , 1,)(*(minSXpiXffiii其中：piiii1這里0*,*0*,*2/1122/112injijpiipiinjijipiiifcffffcfff（1）第三步：將上述模型（1）的解X0與相應(yīng)的目標(biāo)值f1(X0), f2(X0), ,fp(X0) 交給決策者去判斷。決策者把這

19、些目標(biāo)值與理想值進(jìn)行比較后，如果認(rèn)為其中某些目標(biāo)值太壞，另一些目標(biāo)值可以不要那么太好，可以把比較好的目標(biāo)值中的某一個(gè)修改得差一些，以使水平太壞的目標(biāo)得到改善。 當(dāng)決策者減少了第j個(gè)目標(biāo)的值 之后，約束條件S應(yīng)該改為S*jfpijiXfXfkjfXfXfSSiijjj,.,2 , 1,),()(,.,2 , 1,)()(*00在進(jìn)行下一次迭代時(shí)，對應(yīng)于降低了要求的那些目標(biāo)fj(j=1,2,k)的權(quán)系數(shù)i應(yīng)該設(shè)為0。這種迭代繼續(xù)下去，直到?jīng)Q策者滿意為止。例題：例題：某公司考慮生產(chǎn)兩種光電太陽能電池：產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙。這種生產(chǎn)過程會(huì)在空氣中引起放射性污染。因此，公司經(jīng)理有兩個(gè)目標(biāo)：極大化利潤與極小化總

20、的放射性污染。已知在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是3元。而放射性污染的數(shù)量，每單位甲產(chǎn)品是1.5個(gè)單位,每單位乙產(chǎn)品是1個(gè)單位.由于機(jī)器能力(小時(shí))、裝配能力（人時(shí)）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是)(725)(42 . 02 . 0)(825. 05 . 0212121原材料裝配能力機(jī)器能力xxxxxx目標(biāo)有兩個(gè):一是利潤最大,二是污染最小.該問題的多目標(biāo)規(guī)劃模型如下:)(725)(42 . 02 . 0)(825. 05 . 05 . 1)(,3)()(),()(max21212121221121原材料裝配能力機(jī)器能力xxxxxxxxXfxxXfXf

21、XfXFT解:首先,分別求解兩個(gè)單目標(biāo)問題的最優(yōu)解,由它們得到的目標(biāo)函數(shù)值組成理想解.)(725)(42 . 02 . 0)(825. 05 . 03)(max212121211原材料裝配能力機(jī)器能力xxxxxxxxXf)(725)(42 . 02 . 0)(825. 05 . 05 . 1)(max212121212原材料裝配能力機(jī)器能力xxxxxxxxXf46*)13, 7(1*1fX0*)0 , 0(1*2fX由此,構(gòu)造支付表由此計(jì)算兩個(gè)目標(biāo)與理想值偏離的權(quán)重637. 0,363. 0,555. 0,316. 02121解下列線性規(guī)劃問題:0,7254)2 . 02 . 08)25. 0

22、5 . 0)230(637. 0)346(363. 0min212121212121xxxxxxxxxxxx由此求得,064. 7,192.21,064. 7, 02121ffxx分析者把計(jì)算結(jié)果交給決策者,決策者將目標(biāo)值與理想值(21.192,-7.064)與理想值(46,0)比較,如果認(rèn)為f2是滿意的,但利潤太低,并認(rèn)為污染可接受到10個(gè)單位.于是,約束集修改成0,192.213105 . 17254)2 . 02 . 08)25. 05 . 0212121212121xxxxxxxxxxxx進(jìn)行下一輪迭代.首先設(shè)2=0,并計(jì)算得1=1.將模型修改為0,7254)2 . 02 . 08)2

23、5. 05 . 0192.21310)5 . 1346min21212121212121xxxxxxxxxxxxxx由此求得:10,3010, 02121ffxx決策者把這一結(jié)果與前一輪的解及理想值作比較,認(rèn)為兩個(gè)目標(biāo)值都比較滿意,則迭代結(jié)束. 目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃模型 線性規(guī)劃問題都是處理單個(gè)目標(biāo)的情況，但是在現(xiàn)實(shí)世界中有許多問題具有多個(gè)目標(biāo)，這些目標(biāo)的重要性各不相同，往往有不同的量綱，有的目標(biāo)相互依賴，例如決策者既希望實(shí)現(xiàn)利潤最大，又希望實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值最大；有的相互抵觸，如決策者既希望充分利用資源，又不希望超越資源限量。而決策者希望在某些限制條件下，依次實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)。這就是目標(biāo)規(guī)劃所要解決的問題

24、。當(dāng)所有的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性時(shí)，我們稱其為線性目標(biāo)規(guī)劃問題。在這里我們主要討論線性目標(biāo)規(guī)劃問題。一、目標(biāo)規(guī)劃模型的建立一、目標(biāo)規(guī)劃模型的建立 引例引例1： 對于生產(chǎn)計(jì)劃問題： 甲 乙 資源限額 材料 2 3 24 工時(shí) 3 2 26 單位利潤 4 3 現(xiàn)在工廠領(lǐng)導(dǎo)要考慮市場等一系列其他因素，提出如下目標(biāo)：（1）根據(jù)市場信息，甲產(chǎn)品的銷量有下降的趨勢，而乙產(chǎn)品的銷量有上升的趨勢，故考慮乙產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)大于甲產(chǎn)品的產(chǎn)量。（2）盡可能充分利用工時(shí)，不希望加班。（3）應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計(jì)劃利潤30元?，F(xiàn)在的問題是：在原材料不能超計(jì)劃使用的前提下，如何安排生產(chǎn)才能使上述目標(biāo)依次實(shí)現(xiàn)？解：（1）決策

25、變量：仍設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各為x1和x2 偏差變量：對于每一目標(biāo)，我們引進(jìn)正、負(fù)偏差變量。 如對于目標(biāo)1，設(shè)d1-表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量低于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)，d1+表示乙產(chǎn)品的產(chǎn)量高于甲產(chǎn)品產(chǎn)量的數(shù)。稱它們分別為產(chǎn)量比較的負(fù)偏差變量和正偏差變量。則對于目標(biāo)1，可將它表示為等式約束的形式 -x1+x2+ d1- d1+ =0 (目標(biāo)約束) 同樣設(shè)d2-和d2+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于可利用工時(shí)和高于可利用工時(shí)，即加班工時(shí)的偏差變量，則對目標(biāo)2，有 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 對于目標(biāo)3，設(shè)d3-和d3+分別表示安排生產(chǎn)時(shí)，低于計(jì)劃利潤30元和高于計(jì)劃利潤30元的偏差變量，有： 4x1+

26、3x2+ d3-d3+ =30 （2）約束條件：有資源約束和目標(biāo)約束 資源約束：2x1+3x224 目標(biāo)約束：為上述各目標(biāo)中得出的約束 （3）目標(biāo)函數(shù)：三個(gè)目標(biāo)依次為： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2- ，minZ3=d3- 因而該問題的數(shù)學(xué)模型可表述如下： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2-，minZ3=d3- 2x1+3x224 st -x1+x2+ d1- d1+ =0 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 4x1+3x2+ d3-d3+ =30 案例案例2（提級加新問題）（提級加新問題） 某公司的員工工資有四級，根據(jù)公司的業(yè)務(wù)發(fā)展情況，準(zhǔn)備招收部分新員工，并

27、將部分員工的工資提升一級。該公司的員工工資及提級前后的編制表如下，其中提級后編制是計(jì)劃編制，允許有變化，其中1級員工中有8%要退休。公司領(lǐng)導(dǎo)的目標(biāo)如下：（1）提級后在職員工的工資總額不超過550千元；（2）各級員工不要超過定編人數(shù)；（3）為調(diào)動(dòng)積極性，各級員工的升級面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%；（4）總提級面不大于20%，但盡可能多提；（5）4級不足編制人數(shù)可錄用新工人。 問：應(yīng)如何擬定一具滿意的方案，才能接近上述目標(biāo)？ 解：（1）決策變量：設(shè)x1,x2,x3,x4分別表示提升到1，2，3級和新錄用的員工數(shù)。 偏差變量：為各目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量。 （2）約束條件：1） 提級后在職員工的工資總額不超

28、過550千元；8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+d1-d1+=550 2）各級員工不要超過定編人數(shù)1級有： 10-10 8%+x1+d2-d2+=10 2級有： 20-x1+ x2+d3-d3+=22 3級有： 40-x2+ x3+d4-d4+=52 4級有： 30-x3+ x4+d5-d5+=303）各級員工的升級面不少于現(xiàn)有人數(shù)的18%對2級有： x1+d6-d6+=20 18%對3級有： x2+d7-d7+=40 18% 對4級有： x3+d8-d8+=30 18% 4）總提級面人數(shù)不大于20%，但盡可能多提 x1+ x2

29、+ x3+d9-d9+=100 20% （3）目標(biāo)函數(shù)：minZ1=d1+minZ2=d2+d3+ d4+ d5+minZ3=d6-+ d7-+ d8-minZ4=d9+ d9-案例案例3 有三個(gè)產(chǎn)地向四個(gè)銷地供應(yīng)物資。產(chǎn)地有三個(gè)產(chǎn)地向四個(gè)銷地供應(yīng)物資。產(chǎn)地Ai(i=1,2,3)的供應(yīng)量的供應(yīng)量ai、銷地銷地Bj(j=1,2,3,4)的需要量的需要量bj、各產(chǎn)銷地之間各產(chǎn)銷地之間的單位物資運(yùn)費(fèi)的單位物資運(yùn)費(fèi)Cij如表如表2所示。表中，所示。表中，ai和和bj的單位為噸的單位為噸，Cij的單位為元的單位為元/噸。編制調(diào)運(yùn)方案時(shí)要求按照相應(yīng)的優(yōu)噸。編制調(diào)運(yùn)方案時(shí)要求按照相應(yīng)的優(yōu)先級依次考慮下列七個(gè)

30、目標(biāo)：先級依次考慮下列七個(gè)目標(biāo)：P1：B4是重點(diǎn)保證單位，其需要量應(yīng)盡可能全部滿足；是重點(diǎn)保證單位，其需要量應(yīng)盡可能全部滿足；P2：A3向向B1提供的物資不少于提供的物資不少于100噸；噸；P3：每個(gè)銷地得到的物資數(shù)量不少于其需要量的每個(gè)銷地得到的物資數(shù)量不少于其需要量的80%； P4：實(shí)際的總運(yùn)費(fèi)不超過當(dāng)不考慮實(shí)際的總運(yùn)費(fèi)不超過當(dāng)不考慮P1至至P6各目標(biāo)時(shí)的最小各目標(biāo)時(shí)的最小總運(yùn)費(fèi)的總運(yùn)費(fèi)的110%，這里的最小總費(fèi)用利用第三大題中第，這里的最小總費(fèi)用利用第三大題中第2小題小題求出的結(jié)果；求出的結(jié)果；P5：因路況原因，盡量避免安排因路況原因，盡量避免安排A2的物資運(yùn)往的物資運(yùn)往B4；P6：對對

31、B1和和B3的供應(yīng)率要盡可能相同；的供應(yīng)率要盡可能相同；P7：力求使總運(yùn)費(fèi)最省。力求使總運(yùn)費(fèi)最省。試建立該問題的運(yùn)籌學(xué)模型。試建立該問題的運(yùn)籌學(xué)模型。 解：用表上作業(yè)法可求得不考慮解：用表上作業(yè)法可求得不考慮P1至至P6各目標(biāo)時(shí)的最小運(yùn)各目標(biāo)時(shí)的最小運(yùn)費(fèi)調(diào)運(yùn)方案，相應(yīng)的最小運(yùn)費(fèi)為費(fèi)調(diào)運(yùn)方案，相應(yīng)的最小運(yùn)費(fèi)為2950元元（1）決策變量：設(shè)）決策變量：設(shè)Ai運(yùn)往運(yùn)往Bj的物資為的物資為xij噸噸（2）約束條件：）約束條件： 3141998833231331211177243141665533231344322212333121112231113424143433323124232221141312

32、1129500)(450200)(0324536080160100250400200300ijijijijijijddxcddxxxxxxddxddxcddxxxddxxxddxxxddxddxxxxxxxxxxxxxxx產(chǎn)量約束產(chǎn)量約束B4銷量要滿足銷量要滿足銷量銷量80%的限制的限制供應(yīng)率盡可能相同供應(yīng)率盡可能相同二、目標(biāo)規(guī)劃的解法二、目標(biāo)規(guī)劃的解法 由于目標(biāo)規(guī)劃有多個(gè)目標(biāo)，各個(gè)目標(biāo)又有相對不同的重要性，求解時(shí)是首先滿足重要性權(quán)數(shù)大的目標(biāo)，再滿足重要性權(quán)數(shù)次大的目標(biāo)，所以并不能保證所有的目標(biāo)都能達(dá)到，所求的解也不一定是最優(yōu)解，而只能求出滿意解。 （3）目標(biāo)函數(shù)）目標(biāo)函數(shù)dZddZdZdZd

33、ddZdZdZ97886756454332211minminminminminminmin 求解目標(biāo)規(guī)劃的仍用單純形法，但是與線性規(guī)劃的單純求解目標(biāo)規(guī)劃的仍用單純形法，但是與線性規(guī)劃的單純形法不同的是，此時(shí)檢驗(yàn)數(shù)行不再是一行，而是變化為一形法不同的是，此時(shí)檢驗(yàn)數(shù)行不再是一行，而是變化為一個(gè)檢驗(yàn)數(shù)矩陣。個(gè)檢驗(yàn)數(shù)矩陣。 例例4 用單純形法求解如下線性目標(biāo)規(guī)劃模型 minZ1=d1-，minZ2=d2+d2-，minZ3=d3- 2x1+3x224 加入松馳變量化為標(biāo)準(zhǔn)形 2x1+3x2+ x3=24 st -x1+x2+ d1- d1+ =0 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 4x1+3x2

34、+ d3-d3+ =30 解 （1）取x3，d1-，d2-，d3-為基變量，建立初始單純形表 -1-2-1123-13402630Z1Z2Z3000-100-100-10000010010010010003 1 232-1342402630 x3d1-d2-d3-d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB迭代的步驟完全與線性規(guī)劃的單純形法一樣。（2）滿意解的判定：檢驗(yàn)數(shù)矩陣的每一列從上至下第一個(gè)非零元為負(fù)數(shù)，則解為滿意解。迭代的最優(yōu)表如下： -2-1-1-11-1020Z1Z2Z3100000-106/5-2/5-13/5-10000010-6/52/51-3/57/51/5-11

35、/50100000118/524/5224/5d3+x2d2-x1d3+d2+d1+d3-d2-d1-x3x2x1bXB因而滿意解為：x1=24/5，x2=24/5，d2-=2，d3+=18/5 其中第一、三目標(biāo)已達(dá)到最優(yōu)，第二個(gè)目標(biāo)未達(dá)最優(yōu)。目標(biāo)利潤 Z=4x1+3x2=168/541層次分析法層次分析法一、層次分析法的基本原理一、層次分析法的基本原理 層次分析法，又稱AHP(Analytic Hirrarchy Process)方法，是美國運(yùn)籌學(xué)家薩蒂(T.Saaty)提出的一種多目標(biāo)、多準(zhǔn)則的決策分析方法。該方法被廣泛應(yīng)用于工程、經(jīng)濟(jì)、軍事、政治、外交等領(lǐng)域，解決了諸如系統(tǒng)評價(jià)、資源分配

36、、價(jià)格預(yù)測、項(xiàng)目選擇等許多重要問題，是一種定量分析與定性分析相結(jié)合的有效方法。用層次分析法作決策分析，首先要把問題層次化。根據(jù)問題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互影響以及隸屬關(guān)系按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型。最終把系統(tǒng)分析歸結(jié)為最低層（如決策方案）相對于最高層（總目標(biāo)）的相對重要性權(quán)值的確定或相對優(yōu)劣次序的排序問題，從而為決策方案的選擇提供依據(jù)。 層次分析法大體分為六個(gè)步驟層次分析法大體分為六個(gè)步驟1）明確問題：為了運(yùn)用AHP進(jìn)行系統(tǒng)分析，首先要對問題有明確的認(rèn)識，弄清問題范圍、所包含的因素及其相互關(guān)系、解決問題的目的、是否具有AHP所

37、描述的特征。2）建立層次結(jié)構(gòu)模型：將問題中所包含的因素劃分為不同層次。例如，對于決策問題，通?？梢詣澐譃橄旅鎺讉€(gè)層次：最高層：表示解決問題的目的，稱為目標(biāo)層。中間層：表示采取某種措施或政策實(shí)現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)的涉及的中間環(huán)節(jié)，一般又分為策略層、準(zhǔn)則層等。最低層：表示解決問題的措施或方案，稱為措施層或方案層。如下圖所示。決策目標(biāo)準(zhǔn)則1準(zhǔn)則1準(zhǔn)則m子準(zhǔn)則1子準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則k方案1方案2方案n目標(biāo)層目標(biāo)層準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層子準(zhǔn)則層子準(zhǔn)則層方案層方案層3）構(gòu)造判斷矩陣針對上一層某元素，對每一層次各個(gè)元素的相對重要性進(jìn)行兩兩比較，并給出判斷。這些判斷用數(shù)值表示出來，寫成矩陣形式，即所謂的判斷矩陣。nnnnnnnnkbb

38、bBbbbBbbbBBBA2122221211211121B其中bij表示對于Ak而言，Bi對Bj的相對重要性，通常bij取1,2,9及它們的倒數(shù)，其含義為：它們之間的數(shù)2，4，6，8及各數(shù)的倒數(shù)有相應(yīng)的類似意義。顯然，對判斷矩陣有).,2 , 1,( , 1,1njibbbiijiij因此，對于n階判斷矩陣，我們僅需對n(n-1)/2個(gè)元素給出數(shù)值。4）層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 所謂層次單排序，即把同一層次相應(yīng)元素對于上一層次某元素相對重要性的排序權(quán)值求出來。其方法是計(jì)算判斷矩陣A的滿足等式 的最大特征值 和對應(yīng)的特征向量W，這個(gè)特征向量就是單排序權(quán)值。WAWmaxmax 可以證明，對于n階

39、判斷矩陣，其最大特征根 為單根，且 ， 所對應(yīng)的特征向量均由正數(shù)組成。特別地，當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時(shí)，有 ，這里，所謂完全一致性是指對于判斷矩陣來說，存在maxnmaxmaxnmax),.,2 , 1,(nkjibbbjkikij為檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性，需要計(jì)算一致性指標(biāo)1maxnnCI此外，還需要判斷矩陣的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。對于1至9階矩陣，RI的值如下表。 在這里，對于1,2階判斷矩陣，RI只是形式上的，因?yàn)?，2階判斷矩陣總具有完全一致性，當(dāng)階數(shù)大于2時(shí)，判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比稱謂隨機(jī)一致性比率，記為CR，CR=CI/RI0.10時(shí)，即認(rèn)為判斷

40、矩陣具有滿意的一致性，否則就需要調(diào)整判斷矩陣，使其具有滿意的一致性。5）層次總排序 計(jì)算同一層次所有元素對于最高層相對重要性的排序權(quán)值，稱為層次總排序。這一過程是最高層次到最低層次逐層進(jìn)行的。若上一層次A包含m個(gè)元素A1,A2,Am，其層次總排序權(quán)值分別為a1,a2,am，下一層次B包含n個(gè)元素B1,B2,Bn，它們對于元素Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,b2j,bnj（當(dāng)Bk與Aj無關(guān)系時(shí),bkj=0），此時(shí)，層次總排序權(quán)值為mAAA21maaa21nBB21Bnwww21nmnnmmbbbbbbbbb212222111211nibawmjijji,.,2 , 1,16）層次總排序的一致性

41、檢驗(yàn)。 這一步也是從高到低逐層進(jìn)行的。如果B層次某些元素對于Aj單排序的一致性指標(biāo)為CIj，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RIj，則B層次總排序隨機(jī)一致性比率為mjjjmjjjRIaCIaCR11類似地，當(dāng)CR0.10時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。10.5 層次分析法的計(jì)算問題層次分析法的計(jì)算問題 層次分析法計(jì)算的根本問題是如何計(jì)算判斷矩陣的最大特征根其對應(yīng)的特征向量.一般來說,計(jì)算判斷矩陣最大特征根及其對應(yīng)特征向量,并不需要追求較高的精確定度.這是因?yàn)榕袛嗑仃嚤旧硐喈?dāng)?shù)恼`差范圍.應(yīng)用層次分析法給出的層次中各種元素優(yōu)先排序權(quán)值從本質(zhì)上來說是表達(dá)某種定性

42、的概念.因此,從實(shí)用性來看,往往希望使用較為簡單的近似算法.下面介紹二種稱之為方根法和和積法的近似算法. 1、方根法的步驟如下:(1)計(jì)算判斷矩陣B每一行元素的乘積Mi.nibMnjiji,.,2 , 1,1(2)計(jì)算Mi的n次方根ViniiMV (3)對向量V=(V1,V2,Vn)T規(guī)一化,即njjiiVVW1則W=(W1,W2,Wn)T.即為所求的特征向量(4)計(jì)算判斷矩陣的最大特征根maxniiinWBW1max)(式中(BW)i表示向量BW的第i個(gè)分量.容易證明：當(dāng)正互反矩陣 為一致性矩陣時(shí)，方根法可得到精確的最大特征值與相應(yīng)的特征向量。nnijaA)(證明：設(shè) 為一致性矩陣， 為其最大特征值， 為相應(yīng)的特征向量，且是歸一化的。nnijaA)(maxTnuuuu),.,(21由于jiijuuan ,max令njiusnnjj, 2 , 1,/11suaMinnjjii/11顯然，歸一化后， 于是用公式Tnuuuw),(21niiiwAwn1)(1求得的最大特征值為n例題例題6 某廠準(zhǔn)備購買一臺計(jì)算機(jī),希望功能強(qiáng),價(jià)格低,維護(hù)容易.