第3章靜電場及其邊值問題的解法

1、第第3章章 靜電場及其邊值問題解法靜電場及其邊值問題解法The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary Value Problems 主要內(nèi)容主要內(nèi)容靜電場邊值問題、惟一性定理靜電場邊值問題、惟一性定理鏡像法鏡像法分離變量法分離變量法靜電場基本方程與電位方程靜電場基本方程與電位方程靜電場中的介質(zhì)、導體與電容靜電場中的介質(zhì)、導體與電容23.1 3.1 靜電場基本方程與電位方程靜電場基本方程與電位方程Fundamental Equations of Electrostatic-Field and electric poten

2、tial equations 3.1.1 3.1.1 靜電場的基本方程靜電場的基本方程 靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學形式為：這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學形式為：0E（1） vD（2） vE （2.a） 0dlElQdsDs（3） （4） （4.a） QdsEs33.1 3.1 靜電場基本方程與電位方程靜電場基本方程與電位方程3.1.2 3.1.2 電位定義電位定義 E 在靜電場中可通過求解電位函數(shù)在靜電場中可通過求解電位函數(shù)( (Potential) )， 再利用上式可方便地再利用上式可方便地求得電

3、場強度求得電場強度E 。式中負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。式中負號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。1) 1) 電位的引出電位的引出, 0E 根據(jù)矢量恒等式根據(jù)矢量恒等式0) ) 與與 的微分關(guān)系的微分關(guān)系E 在靜電場中，任意一點的電場強度在靜電場中，任意一點的電場強度的方向總是沿著電位減少的最快的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。方向，其大小等于電位的最大變化率。EE43.1 3.1 靜電場基本方程與電位方程靜電場基本方程與電位方程llddE00l)()(0ppppdEppdddzzdyydxx設設P0為參考點為參考點參考點pdEpl)() ) 與與

4、 的積分關(guān)系的積分關(guān)系E53.1 3.1 靜電場基本方程與電位方程靜電場基本方程與電位方程) ) 電位參考點的選擇原則電位參考點的選擇原則 場中任意兩點的電位差與參考點無關(guān)。場中任意兩點的電位差與參考點無關(guān)。 同一個物理問題，只能選取一個參考點。同一個物理問題，只能選取一個參考點。 選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產(chǎn)生的電場：例如：點電荷產(chǎn)生的電場：CRq0400RC0RRq040C 表達式無意義表達式無意義01RR10044RqRqR4qC0 電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點。電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇

5、有限遠處為參考點。 電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點；電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點；rrR63.1 3.1 靜電場基本方程與電位方程靜電場基本方程與電位方程3.1.2 3.1.2 電位方程電位方程1) 1) 泊松方程泊松方程2) 2) 拉普拉斯方程拉普拉斯方程v202vdRrvv41rrR解為解為: :73.2 3.2 靜電場中的介質(zhì)靜電場中的介質(zhì)3.2.1 3.2.1 介質(zhì)的極化介質(zhì)的極化 電介質(zhì)在外電場電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩； 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷；電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷； 極化電

6、荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。無極性分子無極性分子有極性分子有極性分子電介質(zhì)的極化過程電介質(zhì)的極化過程83.2 3.2 靜電場中的介質(zhì)靜電場中的介質(zhì)式中式中 為體積元為體積元 內(nèi)電偶極矩的矢量和，內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負極化電荷指向的方向從負極化電荷指向正極化電荷。正極化電荷。pV用極化強度用極化強度P P表示電介質(zhì)的極化程度，即表示電介質(zhì)的極化程度，即V0VpPlimC/mC/m2 2電偶極矩體密度電偶極矩體密度 實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中EP0e 電介質(zhì)的極化率電介質(zhì)的極化率, ,無量綱量

7、。無量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標（x,y,z）而變化。而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變, ,反之稱為各向異性；反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化；e93.2 3.2 靜電場中的介質(zhì)靜電場中的介質(zhì)3.2.2 3.2.2 介質(zhì)中的高斯定理介質(zhì)中的高斯定理, ,相對介電常數(shù)相對介電常數(shù)0vE 0vvE（真空中）（真空中）（電介質(zhì)中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（定義電位移矢量（ DisplacementDisplacement）P0ED則有則有 D電介質(zhì)中高斯定

8、律的微分形式電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入代入 ,得得Pv)P(10vEvE)P(0其中其中相對介電常數(shù)；相對介電常數(shù)；介電常數(shù)，單位（介電常數(shù)，單位（F/mF/m）er1EEEEEEDree00000)1 (P 在各向同性介質(zhì)中在各向同性介質(zhì)中 D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負的自由電荷。線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負的自由電荷。a a）高斯定律的微分形式）高斯定律的微分形式103.2 3.2 靜電場中的介質(zhì)靜電場中的介質(zhì)圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D D 線、線、E E 線和線和P P 線的分布。線的分布。 D 線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負的自

9、由電荷；線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負的自由電荷； P P 線由負的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。線由負的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。 E 線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；ED線E線P線D、E與與 P 三者之間的關(guān)系三者之間的關(guān)系113.3 3.3 靜電場中的導體靜電場中的導體靜電場中的導體具有以下特征：靜電場中的導體具有以下特征：導體內(nèi)部各處電場強度為零導體內(nèi)部各處電場強度為零導體內(nèi)部不存在任何凈電荷導體內(nèi)部不存在任何凈電荷, ,電荷都一面電荷的形式分布于電荷都一面電荷的形式分布于導體表面導體表面; ;導體

10、為一等位體導體為一等位體, ,其表面為等位面其表面為等位面; ;導體表面切向電場為零導體表面切向電場為零, ,而只有法向電場分量而只有法向電場分量, ,簡單媒質(zhì)中導簡單媒質(zhì)中導體表面處的電場強度為體表面處的電場強度為: :snEnE 3.3.1 3.3.1 靜電場中的導體靜電場中的導體123.3 3.3 靜電場中的導體靜電場中的導體3.3.2 3.3.2 電容電容定義電容定義電容:UQC 一、孤立導體的電容一、孤立導體的電容RQU04 孤立導體球的電勢孤立導體球的電勢:當當R確定時確定時, const.40 RUQ 例例: 用孤立導體球要得到用孤立導體球要得到1F 的電容，球半徑為大？的電容，

11、球半徑為大？eRR39010)m(1099. 841 單位單位: 1F（法拉）（法拉）=1C/V=pFFmF1263101010 RQ133.3 3.3 靜電場中的導體靜電場中的導體二、兩個導體的電容二、兩個導體的電容lBAl dEl dEUsdEdsEndsQsssslsl dEsdEUQC求電容的兩條途徑求電容的兩條途徑1)先假定兩導體帶等量異號的電量先假定兩導體帶等量異號的電量Q,通過計算電場得出兩導體通過計算電場得出兩導體間的電壓間的電壓U,然后計算出電容然后計算出電容2)先假定兩導體間的電壓先假定兩導體間的電壓U,通過計算電場得出電量通過計算電場得出電量Q,然后計算然后計算出電容出電

12、容電容與電場強度的大小無關(guān),但與電場強度的分布有關(guān).電容值取決與導體的形狀,尺寸以及介電常數(shù)143.3 3.3 靜電場中的導體靜電場中的導體三、幾種典型的電容器及電容三、幾種典型的電容器及電容dS1) 平行板電容器平行板電容器板間場強：板間場強：SQE0SQdEdUU021 電勢差：電勢差：dSUUQC0210 電容：電容：rE02 2) 圓柱形電容器圓柱形電容器2R1R153.3 3.3 靜電場中的導體靜電場中的導體1200ln22d21RRrrURR 120210ln2RRlUUQC 204rQE 21020114d421RRQrrQURR 122102104RRRRUUQC 3) 球形電

13、容器球形電容器1R2R163.4 3.4 靜電場中的邊界條件靜電場中的邊界條件3.4.1 3.4.1 和和 的邊界條件的邊界條件ED021EEnsDDn211 1、兩種介質(zhì)之間的邊界條件、兩種介質(zhì)之間的邊界條件在交界面上不存在在交界面上不存在 時，時，E E、D D滿滿足折射定律。足折射定律。s222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan折射定律173.4 3.4 靜電場中的邊界條件靜電場中的邊界條件2 2、介質(zhì)與導體之間的邊界條件、介質(zhì)與導體之間的邊界條件 表明：（表明：（1 1）導體表面是一等位面，電力線與導體表面垂直，電場僅）導體表面

14、是一等位面，電力線與導體表面垂直，電場僅有法向分量；（有法向分量；（2 2）導體表面上任一點的）導體表面上任一點的 D 就等于該點的自由電荷密就等于該點的自由電荷密度度 。s 當分界面為導體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的銜接條件為：當分界面為導體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的銜接條件為： 022tsnEDttsnnEEDD2112183.4 3.4 靜電場中的邊界條件靜電場中的邊界條件3.4.2 3.4.2 電位的邊界條件電位的邊界條件1 1、兩種介質(zhì)之間的電位邊界條件、兩種介質(zhì)之間的電位邊界條件0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此因此 設點設點1 1與點與點2

15、 2分別位于分界面的兩側(cè)，分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為其間距為d d， , ,則則0d 表明表明: : 在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。nEDnEDnnnn2222211111,snn1122在介質(zhì)分界面上，在介質(zhì)分界面上，0snn2211所以所以193.4 3.4 靜電場中的邊界條件靜電場中的邊界條件3.4.2 3.4.2 電位的邊界條件電位的邊界條件2 2、介質(zhì)與導體之間的電位邊界條件、介質(zhì)與導體之間的電位邊界條件constsn11兩種介質(zhì)之間兩種介質(zhì)之間 介質(zhì)與導體之間介質(zhì)與導體之間 ttEE2101tEnnEE2211snE11constsn1121nn2

16、211203.4 3.4 靜電場中的邊界條件靜電場中的邊界條件例題例題:3.4-1:3.4-1 例題例題:3.4-2:3.4-2 21一、靜電場邊值問題一、靜電場邊值問題已知場域邊界上已知場域邊界上各點電位值各點電位值 sfs1分布型問題分布型問題給定場源分布，求任給定場源分布，求任意點場強或位函數(shù)意點場強或位函數(shù)邊值型問題邊值型問題給定邊界條件，求任給定邊界條件，求任意點位函數(shù)或場強意點位函數(shù)或場強靜態(tài)場問題靜態(tài)場問題第一類第一類邊界條件邊界條件第二類第二類邊界條件邊界條件第三類第三類邊界條件邊界條件一、二類邊界條件一、二類邊界條件的線性組合，即的線性組合，即 sfnsfSs4321,已知場

17、域邊界上各已知場域邊界上各點電位的法向?qū)?shù)點電位的法向?qū)?shù) sfns23.5 3.5 靜電場邊值問題，唯一性定理靜電場邊值問題，唯一性定理Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Electrostatic-Field Boundary-Value Problems, Uniqueness TheoremUniqueness Theorem直接求解直接求解高斯方法求解高斯方法求解間接求解間接求解22分布型分布型問題解問題解法法3.5 3.5 靜電場邊值問題，唯一性定理靜電場邊值問題，唯一性定理直接求解直接求解(2.1-8)(2.1-8)高斯方法求

18、解高斯方法求解(2.1-16)(2.1-16)間接求解間接求解(3.1-9)-(3.1-12)(3.1-9)-(3.1-12)23計算法計算法實驗法實驗法圖解法圖解法邊值型邊值型問題解問題解法法解析法解析法數(shù)值法數(shù)值法有限差分法有限差分法有限元法有限元法邊界元法邊界元法矩量法矩量法鏡像法鏡像法分離變量法分離變量法復變函數(shù)法復變函數(shù)法格林函數(shù)法格林函數(shù)法3.5 3.5 靜電場邊值問題，唯一性定理靜電場邊值問題，唯一性定理24 惟一性定理為靜電場問題的多種解法惟一性定理為靜電場問題的多種解法( (試探解、解試探解、解析解、數(shù)值解等）提供了思路及理論根據(jù)。析解、數(shù)值解等）提供了思路及理論根據(jù)。二、惟

19、一性定理二、惟一性定理Uniqueness Theorem 對于任一靜電場，若整個邊界上的邊界條件給定對于任一靜電場，若整個邊界上的邊界條件給定( (可能給可能給出一部分邊界上的位函數(shù)，另一部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)С鲆徊糠诌吔缟系奈缓瘮?shù)，另一部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)數(shù)) )，則空間中的場就惟一地確定了。，則空間中的場就惟一地確定了。證明見證明見P.86P.86 P.87( (反證法反證法) ) 也就是說，也就是說，滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的程的解是惟一的，這就是靜電場惟一性定理。，這就是靜電場惟一性定理。3.5 3.5 靜電場邊值問題，

20、唯一性定理靜電場邊值問題，唯一性定理25用虛設的鏡像電荷來替代實際邊界用虛設的鏡像電荷來替代實際邊界,將原來具有邊界的空間變成同一媒質(zhì)空間同一媒質(zhì)空間，使計算簡化。 3.6 3.6 鏡像法鏡像法Image Method 確定鏡像電荷的個數(shù)、位置與大小確定鏡像電荷的個數(shù)、位置與大小，使鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的場保持原有邊界條件不變保持原有邊界條件不變，根據(jù)唯一性定理，所得的解是唯一的。鏡像法鏡像法: :要點：要點：26一、導體平面附近的點電荷一、導體平面附近的點電荷zxqh),(zyxpzzxqhqh0),(zyxp圖圖3.6-1 3.6-1 導體平面附近的點電荷與其鏡象法等效處理導體平面附近

21、的點電荷與其鏡象法等效處理設一無限大接地導體平面附近有一點電荷設一無限大接地導體平面附近有一點電荷q q，它與導體板的，它與導體板的垂直距離是垂直距離是h，如圖，如圖3.6-1(a)3.6-1(a)所示。所示?，F(xiàn)求（1）導體上方（即導體上方（即z0z0的空間）的電位分布的空間）的電位分布； （2）導體表面的感應電荷。 3.6 3.6 鏡像法鏡像法27(1)(1)設想將導體板抽去，使整個空間充滿同一種媒質(zhì)，在與設想將導體板抽去，使整個空間充滿同一種媒質(zhì)，在與原來點電荷對稱的位置上放置一原來點電荷對稱的位置上放置一 的鏡像點電荷來代替原的鏡像點電荷來代替原導體平板上的感應電荷導體平板上的感應電荷.

22、 .qzxqh),(zyxpzzxqhqh0),(zyxp 3.6 3.6 鏡像法鏡像法q* 這時，在這時，在z0的空間里任一點的空間里任一點p(x,y,z)的電位就等于原點電荷的電位就等于原點電荷q和鏡像和鏡像 所產(chǎn)生電位的總和。所產(chǎn)生電位的總和。28* * 此時要保證此時要保證z=0z=0平面邊界條件不變，即應為零電位。平面邊界條件不變，即應為零電位。RqRq44* * 選無窮遠處為參考點，則在選無窮遠處為參考點，則在z0z0的空間任一點的空間任一點p p的總電位是：的總電位是： zxqh),(zyxp 3.6 3.6 鏡像法鏡像法29222222)(1)(14114hzyxhzyxqRR

23、q于是，注意：僅對上半空間等效注意：僅對上半空間等效。可見，引入鏡像電荷可見，引入鏡像電荷 后保證了邊界條件不變；鏡后保證了邊界條件不變；鏡像點電荷位于像點電荷位于z0的空間，電位仍然滿足原有的方程。由惟一性定理的空間，電位仍然滿足原有的方程。由惟一性定理知結(jié)果正確。知結(jié)果正確。 qq:0RRR040Rqq故對故對z=0z=0平面上任意點有平面上任意點有qq得得 3.6 3.6 鏡像法鏡像法30導體表面的總感應電荷導體表面的總感應電荷 qhqhhdqhddsQSsi0222322020)(223222002hyxqhznzzs可見，可見，鏡像電荷鏡像電荷 代替了導體表面所有感應電代替了導體表面

24、所有感應電荷對上半空間的作用。荷對上半空間的作用。qq（2 2）根據(jù)靜電場的邊界條件，求導體表面的感應電荷密度：）根據(jù)靜電場的邊界條件，求導體表面的感應電荷密度： 3.6 3.6 鏡像法鏡像法31二、導體劈間的點電荷二、導體劈間的點電荷),(yxPyxqqqqB2R1R3R4Rao1234C2b，n設有兩塊接地半無限大導體平板相交成角設有兩塊接地半無限大導體平板相交成角 ，且，且 n n為正整數(shù)，為正整數(shù)，交角內(nèi)置一點電荷（或一線電荷）。現(xiàn)采用鏡像法求角內(nèi)的電場分布。交角內(nèi)置一點電荷（或一線電荷）?，F(xiàn)采用鏡像法求角內(nèi)的電場分布。為了不改變原有邊界條件（即導體板處電位為零）和交角為了不改變原有邊

25、界條件（即導體板處電位為零）和交角 內(nèi)的源分內(nèi)的源分布，試求鏡像的位置，以及鏡像的個數(shù)。布，試求鏡像的位置，以及鏡像的個數(shù)。輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像，直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像，直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。 3.6 3.6 鏡像法鏡像法3xBCq213456qqqqq32 3.6 3.6 鏡像法鏡像法。，鏡像電荷的總數(shù)是對12 nNn注意：注意：只有只有n為整數(shù)時，最后鏡像才能和原電荷重合；為整數(shù)時，最后鏡像才能和原電荷重合；導體交角內(nèi)任一點的電場就等于導體交角內(nèi)任一點的電場就等于N N個鏡像電荷與原電荷在個鏡像電荷與原電荷在該點產(chǎn)生場

26、的總和。該點產(chǎn)生場的總和。可見，可見，; 32N，; 1N，; 53N，33 鏡像法小結(jié)鏡像法小結(jié)* * 鏡像法的理論基礎是靜電場惟一性定理；鏡像法的理論基礎是靜電場惟一性定理；* * 鏡像法的實質(zhì)是用虛設的鏡像電荷替代邊界上感應鏡像法的實質(zhì)是用虛設的鏡像電荷替代邊界上感應電荷的分布電荷的分布, ,使計算場域為無限大均勻介質(zhì)；使計算場域為無限大均勻介質(zhì)；* * 鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個數(shù)、位置及大小；鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個數(shù)、位置及大??； * * 應用鏡像法解題時，注意：鏡像電荷只能放在待求應用鏡像法解題時，注意：鏡像電荷只能放在待求 場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域，

27、它只場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域，它只對該區(qū)域等效。對該區(qū)域等效。 3.6 3.6 鏡像法鏡像法34 * * 只有當場域邊界與正交坐標面重合只有當場域邊界與正交坐標面重合( (或平行或平行) )時，才可時，才可確定積分常數(shù)，從而得到邊值問題的特解確定積分常數(shù)，從而得到邊值問題的特解。一、解題的一般步驟：一、解題的一般步驟：(a)(a)根據(jù)邊界形狀選定坐標系，寫出對應的邊值問題（微分方根據(jù)邊界形狀選定坐標系，寫出對應的邊值問題（微分方程和邊界條件）；程和邊界條件）；(b)(b)分離變量，將一個偏微分方程分離成幾個常微分方程分離變量，將一個偏微分方程分離成幾個常微分方程, ,并并得出

28、通解表達式；得出通解表達式；(c)(c)利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的特解。的特解。3.7 分離變量法分離變量法The Method of Separation of Variables * * 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程解法。分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程解法。* * 采用正交坐標系可用分離變量法得出拉普拉斯方程采用正交坐標系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動方程的通解或波動方程的通解; ;35二、直角坐標中的分離變量法二、直角坐標中的分離變量法拉普拉斯方程拉普拉斯方程 0222222zyx)()(),(yYxXzyx設設因此因此02222dyYdXZdxXdYZ02222yx二維問題二維問題：0z3.7 3.7 分離變量法分離變量法0112222dyYdYdxXdX即即36可得可得0122dxXdXx于是有于是有2221xkdxXdX2221ykdyYdY022yxkk式中式中寫為如下形式寫為如下形式0222XkdxXdx0222YkdyYdy以方程以方程0222XkdxXdx為例為例通解的形式是通解的形式是 )(s