微積分(劉迎東版)11(集合與函數(shù))

1、1數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué) 而且是一種思維模式; 不僅是一種知識, 而且是一種素養(yǎng); 不僅是一種科學(xué), 而且是一種文化. 不僅是一種工具, 數(shù)學(xué) 23主講主講 鄧小琴鄧小琴聯(lián)系方式聯(lián)系方式:郵箱郵箱 辦公室辦公室 7110, 51682052-110手機(jī)手機(jī)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙. . 培根培根4一、學(xué)科介紹及一、學(xué)科介紹及對數(shù)學(xué)的再認(rèn)識對數(shù)學(xué)的再認(rèn)識1.特點(diǎn)：特點(diǎn)：高度的抽象性；高度的抽象性；廣泛的應(yīng)用性廣泛的應(yīng)用性.2.研究對象：研究對象：變量和函數(shù)變量和函數(shù).3.基本方法：基本方法：極限方法極限方法.5二、話說微積分二、話說微積分 ( (Calculus)

2、 )1. 數(shù)學(xué)的三大分支數(shù)學(xué)的三大分支分析分析 ( (Mathematical Analysis) )代數(shù)代數(shù) ( (Algebra) )幾何幾何 ( (Geometry) )工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分，常微分方程：微積分，常微分方程：連續(xù)變量連續(xù)變量幾何與幾何與代數(shù)：代數(shù)：離散變量離散變量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)變量隨機(jī)變量數(shù)學(xué)建模，數(shù)值計(jì)算，上機(jī)：數(shù)學(xué)建模，數(shù)值計(jì)算，上機(jī)：實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)62. 對對微積分微積分作出巨大貢獻(xiàn)的科學(xué)家作出巨大貢獻(xiàn)的科學(xué)家第一階段第一階段(十七世紀(jì)中葉十七世紀(jì)中葉)牛頓牛頓(Newton英國人英國人, 1642-1727)萊不尼茲萊不尼茲(

3、Leibniz德國人德國人, 1646-1716)阿基米德阿基米德(古西臘數(shù)學(xué)家古西臘數(shù)學(xué)家)最早有微積最早有微積分的基本思想分的基本思想.給出微積分基本定理給出微積分基本定理-有了比較完整的有了比較完整的微積分思想微積分思想. 7第二階段第二階段( (十九世紀(jì)中葉十九世紀(jì)中葉) ) 柯西柯西( (Cauchy,1789-1857),1789-1857) 黎曼黎曼( (Riemann) () (德德) ) 維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯( (Weierstrass) )第三階段第三階段( (二十世紀(jì)初二十世紀(jì)初) ) 格拉斯曼格拉斯曼 ( (Grassman) )嘉當(dāng)嘉當(dāng) ( (E.Cartan )

4、 ) 龐加萊龐加萊 ( ( Poincare, ,法國人法國人) ) 8三、教學(xué)目的三、教學(xué)目的(學(xué)好微積分的重要性學(xué)好微積分的重要性)1. 一般說，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)堅(jiān)實(shí)，今后無論做什么一般說，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)堅(jiān)實(shí)，今后無論做什么工工作成功的機(jī)會都會大；作成功的機(jī)會都會大； 2. 我們生活在變化的世界中。微積分既是描述我們生活在變化的世界中。微積分既是描述變化的科學(xué)語言變化的科學(xué)語言, 也提供了研究變化的方法。微也提供了研究變化的方法。微積分的發(fā)明是人類智慧的偉大成就。近積分的發(fā)明是人類智慧的偉大成就。近350年來年來, 微積分應(yīng)用的范圍不斷擴(kuò)大?，F(xiàn)在除了傳統(tǒng)的微積分應(yīng)用的范圍不斷擴(kuò)大?，F(xiàn)在除了傳統(tǒng)的在物理學(xué)

5、、工程科學(xué)的應(yīng)用中起到關(guān)鍵作用外在物理學(xué)、工程科學(xué)的應(yīng)用中起到關(guān)鍵作用外,特別在化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)特別在化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)和社會科學(xué)中起到了越來越大的作用。和社會科學(xué)中起到了越來越大的作用。 93. 同學(xué)們的同學(xué)們的后繼課程后繼課程中大量運(yùn)用微積分的思想、中大量運(yùn)用微積分的思想、基本概念和具體方法，以及線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)基本概念和具體方法，以及線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)，甚至更深的數(shù)學(xué)和計(jì)算方法，例如，微分方程，甚至更深的數(shù)學(xué)和計(jì)算方法，例如，微分方程 最優(yōu)化最優(yōu)化 變分法和變分法和Fourier分析等等。因此，你不分析等等。因此，你不愿意學(xué)也得學(xué)，否則畢不了業(yè)愿意學(xué)也

6、得學(xué)，否則畢不了業(yè)!4. 更重要的是今后工作中能否取得好成績，往往更重要的是今后工作中能否取得好成績，往往取決于你有沒有數(shù)學(xué)地思考和分析問題的能力，取決于你有沒有數(shù)學(xué)地思考和分析問題的能力，特別是用數(shù)學(xué)建模的思想和方法來觀察特別是用數(shù)學(xué)建模的思想和方法來觀察 分析和分析和處理問題的能力，努力學(xué)好微積分你將獲得或體處理問題的能力，努力學(xué)好微積分你將獲得或體會到這種能力的重要性；會到這種能力的重要性；105. 為考研作準(zhǔn)備為考研作準(zhǔn)備.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) (82分分)線性代數(shù)線性代數(shù) (34分分)隨機(jī)數(shù)學(xué)隨機(jī)數(shù)學(xué) (34分分) 考考研研數(shù)數(shù)學(xué)學(xué) 150分分(數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) +外語外語+政治政治+專業(yè)課專業(yè)

7、課)11四、基本內(nèi)容四、基本內(nèi)容1. 內(nèi)容內(nèi)容一元微積分一元微積分多元微積分多元微積分級數(shù)級數(shù)常微分方程常微分方程-本學(xué)期學(xué)習(xí)本學(xué)期學(xué)習(xí) -下學(xué)期學(xué)習(xí)下學(xué)期學(xué)習(xí) 微微積積分分微積分微積分向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù) 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 解析幾何與線性代數(shù)解析幾何與線性代數(shù) 123. 參考書參考書2. 課時(shí)課時(shí)上學(xué)期上學(xué)期166=96下學(xué)期下學(xué)期165=806學(xué)分學(xué)分5學(xué)分學(xué)分4. 本學(xué)期總評本學(xué)期總評成績成績:平均平均 40% (3次月考各占次月考各占10%，作業(yè)，作業(yè)+考勤占考勤占10%) 期末考試期末考試 60%答疑時(shí)間答疑時(shí)間確定后再通知確定后再通知.135

8、. 教材的處理：教材的處理：微積分微積分對開普勒問題對開普勒問題的應(yīng)用部分內(nèi)容，不講的應(yīng)用部分內(nèi)容，不講, 供有興趣的同學(xué)自學(xué)供有興趣的同學(xué)自學(xué).14五、學(xué)習(xí)方法和要求五、學(xué)習(xí)方法和要求 (2)學(xué)習(xí)過程：學(xué)習(xí)過程：理解理解練習(xí)練習(xí)綜合綜合1. 學(xué)會學(xué)習(xí)學(xué)會學(xué)習(xí)(1)聽課過程：聽課過程：預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)聽課聽課復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) (3)看書過程看書過程：先將書讀厚（加進(jìn)自己的理解）；先將書讀厚（加進(jìn)自己的理解）； 再再將書讀?。▽χR概括總結(jié)）將書讀?。▽χR概括總結(jié)）學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí)聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累天才在于積累 .學(xué)而優(yōu)則用學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)學(xué)

9、而優(yōu)則創(chuàng) .152. 要求每人準(zhǔn)備一個(gè)筆記本，兩個(gè)練習(xí)本要求每人準(zhǔn)備一個(gè)筆記本，兩個(gè)練習(xí)本, 練習(xí)本練習(xí)本上寫上上寫上班級班級, 姓名姓名, 學(xué)號學(xué)號, 每周一交作業(yè)每周一交作業(yè), 每班的科代每班的科代表收好后交給助教表收好后交給助教.3. 科代表電話號碼科代表電話號碼. 學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法：Learning mathematics is doing mathematics. 要把腦、手、嘴和耳都調(diào)動起來要把腦、手、嘴和耳都調(diào)動起來。勤思考、多動手，多做題，學(xué)會和老師。勤思考、多動手，多做題，學(xué)會和老師 同學(xué)同學(xué)交流討論交流討論(傾聽、提問、切磋傾聽、提問、切磋).164. 取消學(xué)生考核資格規(guī)定

10、取消學(xué)生考核資格規(guī)定任課老師有權(quán)對該門課程中任課老師有權(quán)對該門課程中學(xué)習(xí)不認(rèn)真學(xué)習(xí)不認(rèn)真、不辦理、不辦理任何手續(xù)任何手續(xù)不到課堂聽課不到課堂聽課、不按要求不按要求完成實(shí)踐教學(xué)完成實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)的學(xué)生取消該門課程考核資格環(huán)節(jié)的學(xué)生取消該門課程考核資格. 被取消考核被取消考核資格的學(xué)生，該課程成績記為零分，同時(shí)失去對資格的學(xué)生，該課程成績記為零分，同時(shí)失去對該課程任課教師評價(jià)的資格該課程任課教師評價(jià)的資格. 17一、集合一、集合二、函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念三、函數(shù)的一些重要屬性三、函數(shù)的一些重要屬性四、函數(shù)的運(yùn)算四、函數(shù)的運(yùn)算五、初等函數(shù)五、初等函數(shù)第1章 函數(shù)18具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特

11、定性質(zhì)的事物的總體總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素元素.有限集有限集無限集無限集,Ma ,Ma 集合的表示：集合的表示： 列舉法，描述法列舉法，描述法. .一、集合一、集合19,2 , 1 Ae.g.,0232 xxRxB.BA 則則規(guī)定規(guī)定空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.集合間的關(guān)系集合間的關(guān)系:數(shù)集數(shù)集.RQZN Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集N-自然數(shù)集自然數(shù)集.,的的子子集集是是就就說說則則必必若若BABxAx )(BA .,相相等等與與就就稱稱集集合合且且若若BAABBA )(BA .的的真真子子集集是是，則則稱稱

12、但但若若BABABA )(BA 20,是二集合是二集合、設(shè)設(shè)BA.是是全全集集I例如，例如，,10|, xxARI若若.10| xxxACI或或則則集合的運(yùn)算：集合的運(yùn)算：;|BxAxxBA 或或并并集集： ;|BxAxxBA 且且交交集集： ;|BxAxxBA 且且差集：差集：.)(AIACI 集集：補(bǔ)補(bǔ)余余212. 區(qū)間區(qū)間: 是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且bxax 稱為稱為開區(qū)間開區(qū)間, ,),(ba記作記作bxax 稱為稱為閉區(qū)間閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxab22bxax bx

13、ax 稱為稱為半開區(qū)間半開區(qū)間,稱為稱為半開區(qū)間半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離( (線段的長度線段的長度) )稱為稱為區(qū)間的長度區(qū)間的長度.233. 鄰域鄰域:. 0, 且且是是兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).,( aUo記作記作. ),( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) a. 0),( axxaUo,鄰鄰域域的的稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)集集 aaxx ,叫叫做做這這鄰鄰域域的的中中心心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 ).,(aa

14、 ,的的右右鄰鄰域域點(diǎn)點(diǎn)a).,( aa,的的左左鄰鄰域域點(diǎn)點(diǎn)a244. 常量與變量常量與變量: 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量,注意注意常量與變量是相對常量與變量是相對 “過程過程” 而言的而言的.通常用字母通常用字母 a, b, c 等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為變量變量.用字母用字母 x, y, t 等表示等表示變變量量.,BA若若的的充充分分條條件件；稱稱為為則則BA.的的必必要要條條件件稱稱為為AB,BA 若若.,的的充充要要條條件件稱稱為為是是等等價(jià)價(jià)的的與與則則稱稱BABA是是兩兩個(gè)個(gè)命命題題，設(shè)設(shè)BA,25因變量

15、因變量自變量自變量.)(,000處處的的函函數(shù)數(shù)值值為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfDx 函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的定義域定義域)(xfy f 的定義域也可記為的定義域也可記為Df .二、函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念),(DxxfyyY 如果對于每個(gè)數(shù)如果對于每個(gè)數(shù),Dx 1. 定義定義: 設(shè)設(shè)x和和y是兩個(gè)變量是兩個(gè)變量, D是一個(gè)給定的數(shù)集是一個(gè)給定的數(shù)集 變量變量y按照一定法則按照一定法則f 總有總有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱y是是x的的函數(shù)函數(shù)，記作，記作 .)(,fRDf或或或記為或記為稱為函數(shù)的值域

16、稱為函數(shù)的值域26()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應(yīng)法則對應(yīng)法則f2. 函數(shù)的函數(shù)的兩要素兩要素: 定義域與對應(yīng)法則定義域與對應(yīng)法則.xyDW約定約定: 定義域定義域是自變量所能取的使算式有意義是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的一切實(shí)數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D27例例 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域:)16(log)1(2)1(xyx )12ln(2712arcsin)2(2 xxxxy解解 )1().4 , 2()2 , 1(022 xx.2 , 1()1 ,21(01 x11 x1712 x定義

17、域是定義域是定義域是定義域是012 x0162 x )2(112 x283. 分段函數(shù)：分段函數(shù)： 在定義域的不同部分上要用不同的式在定義域的不同部分上要用不同的式子來表示的函數(shù)，稱為子來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)分段函數(shù). 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy29 10 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)4. 幾個(gè)特殊的分段函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的分段函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn3020 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階

18、梯曲線階梯曲線x 5 . 25 2 2 . 55 9 . 77 5 5 . 2 3 . 1 xxx有有,Rx 31 是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)1xyo30 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)3240 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg33”首字母的倒寫”首字母的倒寫”表示“任意”，是“”表示“任意”，是“”首字母的倒寫”首字母的倒寫”表示“存在”，是“”表示“存在”，是“符號：“符號：“AllExist 上上的的一一個(gè)個(gè)上上界界；在在為為上上有有上

19、上界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)XxfKXxf)(,)(1,)(,)1(11成成立立有有若若KxfXxRKDX ,)(上上有有下下界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf,)(,)2(22成立成立有有若若KxfXxRKDX 1. 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:三、函數(shù)的一些重要屬性三、函數(shù)的一些重要屬性.)(2上上的的一一個(gè)個(gè)下下界界在在為為XxfK34M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x.)()(上既有上界又有下界上既有上界又有下界在在上有界上有界在在XxfXxf.,)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf,)(, 0,)3(成成立立有有若若MxfXxMDX .)

20、,max(21即可證明即可證明取取KKM 35例例.1)(xxf f(x)在在(0, 1)上上無界無界f(x)在在(1, )上上有界有界f(x)在在(0, )上上無界無界36).(1)(2在定義域內(nèi)為在定義域內(nèi)為函數(shù)函數(shù)xxxf A. 有上界無下界有上界無下界B. 有下界無上界有下界無上界C. 有界有界, , 且且21)(21 xf解解21)(xxxf 21|xx |2|xx 21 |)|21(2xx C解題提示解題提示將函數(shù)取絕對值將函數(shù)取絕對值, , 然后用不等式然后用不等式放縮法放縮法.21)(21 xf故故37六個(gè)常見的有界函數(shù)六個(gè)常見的有界函數(shù), 1|sin| x,|arccos|

21、x, 1|cos| x),( x,2|arcsin| x,2|arctan| x,|cotarc| x),( x1 , 1 x382.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ;)(上是單調(diào)增加的上是單調(diào)增加的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)39)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf,2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果

22、對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)403. 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對對于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱設(shè)設(shè),DxD ),()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf.)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf41有有對于對于關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱設(shè)設(shè),DxD ),()(xfxf 奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy .)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf42:,)(證證明明關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱的的定定義義域域設(shè)設(shè)例例Dxf使使得得函函數(shù)數(shù)及及奇奇上上的的偶偶函函數(shù)數(shù)必

23、必存存在在),()(xhxgD).()()(xhxgxf 證證),()(21)(xfxfxg 作作).()(21)(xfxfxh 則則),()()(xfxhxg )()(21)(xfxfxg )()(21)(xfxfxh ),(xg ).(xh )7(12P43(1) 不要把奇偶函數(shù)當(dāng)作兩個(gè)完全相反的不要把奇偶函數(shù)當(dāng)作兩個(gè)完全相反的(2) 奇偶性是對對稱區(qū)間而言的奇偶性是對對稱區(qū)間而言的,否則無從談否則無從談奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):(1) 奇奇(偶偶)函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇(偶偶)函數(shù)函數(shù);(2) 偶數(shù)個(gè)奇偶數(shù)個(gè)奇(偶偶)函數(shù)之積為偶函數(shù)函數(shù)之積為偶函數(shù); 奇數(shù)個(gè)奇

24、函數(shù)的積為奇函數(shù)奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積為奇函數(shù).(3) 一奇一偶的乘積為奇函數(shù)一奇一偶的乘積為奇函數(shù).注注概念概念.奇、偶奇、偶.444. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的通常說周期函數(shù)的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期）.,)(Dxf的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)如如果果存存在在一一個(gè)個(gè)不不為為零零的的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 為為周周則則稱稱)(xfDlxDxl )(,有有使使得得對對于于任任一一數(shù)數(shù).)(,的的周周期期稱稱為為期期函函數(shù)數(shù)xfl2l 2l23l 23l45例例上且周期是可約的上且周期是可約的試證定義在試證定義在),(兩周期函數(shù)兩周期函數(shù)即兩周期

25、的比是有理數(shù)即兩周期的比是有理數(shù))(.的和也是周期函數(shù)的和也是周期函數(shù).6tan74tan5)(的周期的周期并求并求xxxf 解解,)()(2121TTxfxf的周期分別為的周期分別為，設(shè)設(shè)),(21互互質(zhì)質(zhì)且且nmNnmnmTT , 021 mTnTT令令)()()(21xfxfxF 則則)()()(21TxfTxfTxF )()(2211mTxfnTxf )()()(21xFxfxf 466tan74tan5)(xxxf 對于對于 441,4tan5)(11 Txxf 661,6tan7)(22 Txxf3221 TT.123)(1 TTxf的周期的周期所以所以471. 反函數(shù)反函數(shù)：,)

26、(,)(的的反反函函數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)這這樣樣就就確確定定了了一一個(gè)個(gè)從從xfyDDf ,)(,),(yxfDxDfy 使使得得有有唯唯一一的的每每個(gè)個(gè))(),(1Dfyyfx 記為記為四、函數(shù)的運(yùn)算四、函數(shù)的運(yùn)算Dxxfy ，設(shè)設(shè))(如果如果不同的不同的x對應(yīng)不同的值對應(yīng)不同的值，則函數(shù)，則函數(shù)f在其定義在其定義域域D和和f(D)之間建立了一個(gè)之間建立了一個(gè)一一對應(yīng)一一對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系.)(),()(1DfyyfxDxxfy ，反函數(shù)反函數(shù)移項(xiàng)移項(xiàng)公式公式48)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反

27、函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱.xy xxffDx )(:1.)(:)(1yyffDfy 且且反函數(shù)性質(zhì)反函數(shù)性質(zhì)49,uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義: :,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因因變變量量y3. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)：)()(xgfxgf 記為記為fgDR 嚴(yán)格復(fù)合條件嚴(yán)格復(fù)合條件50注意注意: (1) 不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的;,arcsinuy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy (2) 復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成復(fù)合構(gòu)成.,2cotxy 例例如如,uy

28、 ,cotvu .2xv 復(fù)合函數(shù)是有序的復(fù)合函數(shù)是有序的.51(3) 反過來反過來,一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)根據(jù)需要也可以一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)根據(jù)需要也可以分解為若干簡單函數(shù)的復(fù)合分解為若干簡單函數(shù)的復(fù)合.,211xey ,ey ,1 u.12xv 復(fù)合函數(shù)的分解復(fù)合函數(shù)的分解(復(fù)合函數(shù)拆成幾個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合函數(shù)拆成幾個(gè)簡單函數(shù)), 由函數(shù)的由函數(shù)的最外層最外層運(yùn)算一層層剝到最運(yùn)算一層層剝到最里邊里邊, 切不可漏層切不可漏層.如如uv剝皮法剝皮法52由以上兩式可推測由以上兩式可推測:21)(nxxxfn 由數(shù)學(xué)歸納法可證明上式成立由數(shù)學(xué)歸納法可證明上式成立.)()(23xffxf )(1)(222xfxf 2

29、31xx 22221121xxxx 例例設(shè)設(shè),1)(2xxxf 求求 次次nxfff)(解解)()(2xffxf )(1)(2xfxf 221xx 222111xxxx 53例例.)3(,212101)(的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 231 ,2130 ,1)3(xxxf 21 ,210 ,1)(xxxf 12,223,1xx1, 3 D故故54例例設(shè)設(shè)0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達(dá)達(dá)式式. 解解設(shè)設(shè)ux 1則則 2111uuuf ,112uu 故故)(2xf求求ux1 ,11)(2xxxf 2222)(11)

30、(xxxf .1124xx 55例例解解,01)( QxQxxD設(shè)設(shè).)().21(),57(的的性性質(zhì)質(zhì)并并討討論論求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1有界函數(shù)有界函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù),周期函數(shù)周期函數(shù)(無最小正周期無最小正周期)不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),56例例解解)32lg(2arcsin16251)(2 xxxxfy求函數(shù)求函數(shù)的定義域的定義域. 03202121016252xxxx 232145xxxx.45, 123 xx且且5710 冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 五、初等函數(shù)五、初

31、等函數(shù)1. 五類基本初等函數(shù)五類基本初等函數(shù)5820 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)),1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 特別特別5930 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 特別特別60正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 定義域?yàn)槎x域?yàn)?,( 值域?yàn)橹涤驗(yàn)?1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 240 三角函數(shù)三角函數(shù)61xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)定義域?yàn)槎x域?yàn)?,( 值域?yàn)橹涤驗(yàn)?1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 25 62正切函數(shù)正切

32、函數(shù)xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xytan xytan xycot 定義域定義域).,( 值域值域 Znnx ,212 定義域定義域).,( 值域值域Znnx , xyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 63三角函數(shù)常用公式三角函數(shù)常用公式;sincoscossin)sin()(1yxyxyx ;sinsincoscos)cos()2(yxyxyx ;1sincos)3(22 xx;cossin22sin)(5xxx . 1cos2sin212cossincos)4(2222 xxxxx64xyarcsin xysinArc 定義域定義域值域值域,1 , 1 .2,2 主值主值反正弦

33、函數(shù)反正弦函數(shù)xyO2 2 11 50 反三角函數(shù)反三角函數(shù) 21arcsin6 1arcsin2 65xyarccos 定義域定義域值域值域,1 , 1 ., 0 主值主值反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)xycosArc xyO 11 3 21arccos )21arccos(32 0arccos2 66xyarctan 主值主值定義域定義域值域值域),(.2,2 反正切函數(shù)反正切函數(shù)xytanArc xyO2 2 反余切函數(shù)反余切函數(shù)xyArccot xyO2 主值主值xycotarc 定義域定義域值域值域),()., 0( 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角

34、函數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).67xarcsin xarccos2 2cotarctan xarcx同理可證同理可證xxarccos2arcsin 只要證只要證sin)cos(arccos x x 22)arccos2( ,arcsin ，又又 xx結(jié)論成立結(jié)論成立,arcsin)arccos2(xx )arccos2(x sin)(arcsin xx 682. 初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù), 稱為

35、稱為初等函數(shù)初等函數(shù).如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函數(shù)都是初等函數(shù). .注注一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù)一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù),不是用不是用一個(gè)式子一個(gè)式子表達(dá)出來的表達(dá)出來的.因?yàn)樗驗(yàn)樗?9,0,0, xxxxy如如 可看作分段函數(shù)可看作分段函數(shù),是否又可看作是初等函數(shù)是否又可看作是初等函數(shù)?答答: 0,0,xxxxy2|xx 故又可看作是初等函數(shù)故又可看作是初等函數(shù).是是! ! 由于由于702shxxeex xych xysh ),(: D奇函數(shù)奇函數(shù).2chxxeex ),(: D偶函數(shù)偶函數(shù).1) 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 21 疊加

36、法疊加法3. 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲正弦雙曲正弦雙曲余弦雙曲余弦xyO71 xxxchshth奇函數(shù)奇函數(shù),),(:D有界函數(shù)有界函數(shù),雙曲正切雙曲正切xxxxeeee xyO72雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;)(chxshyshxchyyxsh ;)(shxshychxchyyxch ;122 xshxch;22shxchxxsh .222xshxchxch 732) 反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D內(nèi)內(nèi)在在),(xyarsh )1ln(arsh2 xxxy yxsh由由可得可得 反雙曲正弦反雙曲正弦yxsh 是是的反函數(shù)的反函數(shù),2yyee 單調(diào)增加單調(diào)