大跨度橋梁的穩(wěn)定理論

1、1 1 概概 述述2 2 第一類彈性及彈塑性穩(wěn)定分析第一類彈性及彈塑性穩(wěn)定分析3 3 拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng)4 4 材料非線性問題材料非線性問題5 5 第二類穩(wěn)定問題和極限承載力全過程分析第二類穩(wěn)定問題和極限承載力全過程分析6 6 小小 結(jié)結(jié)第十二章第十二章 大跨度橋梁的穩(wěn)定理論大跨度橋梁的穩(wěn)定理論本章主要內(nèi)容1. 1. 概述概述1.11.1 穩(wěn)定理論的發(fā)展穩(wěn)定理論的發(fā)展什么是什么是結(jié)構(gòu)失穩(wěn)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)？結(jié)構(gòu)在外力增加到某一量值時(shí)，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開始喪失，稍有擾動(dòng)，結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)在外力增加到某一量值時(shí)，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開始喪失，稍有擾動(dòng)，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，使結(jié)構(gòu)失去正常工作能

2、力的現(xiàn)象變形迅速增大，使結(jié)構(gòu)失去正常工作能力的現(xiàn)象穩(wěn)定問題穩(wěn)定問題的重要性的重要性隨著橋梁跨徑的不斷增大，橋塔高聳化、箱梁薄壁化以及高強(qiáng)材料的應(yīng)用，隨著橋梁跨徑的不斷增大，橋塔高聳化、箱梁薄壁化以及高強(qiáng)材料的應(yīng)用，結(jié)構(gòu)整體和局部的剛度下降，使得穩(wěn)定問題顯得比以往更為重要結(jié)構(gòu)整體和局部的剛度下降，使得穩(wěn)定問題顯得比以往更為重要 橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)形態(tài)橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)形態(tài)橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的整體失穩(wěn)或局部失穩(wěn)橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的整體失穩(wěn)或局部失穩(wěn)局部失穩(wěn)局部失穩(wěn)是指部分子結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)或個(gè)別構(gòu)件的失穩(wěn)，局部失穩(wěn)常常導(dǎo)致整個(gè)是指部分子結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)或個(gè)別構(gòu)件的失穩(wěn)，局部失穩(wěn)常常導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)體系

3、的失穩(wěn)結(jié)構(gòu)體系的失穩(wěn)橋梁失穩(wěn)事故的發(fā)生促進(jìn)了橋梁失穩(wěn)事故的發(fā)生促進(jìn)了橋梁穩(wěn)定理論的發(fā)展橋梁穩(wěn)定理論的發(fā)展17441744年，歐拉年，歐拉(L.Eular(L.Eular) )就提出了就提出了壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定的著名公式的著名公式彭加瑞彭加瑞(A.Poincare,1885)(A.Poincare,1885)明確了穩(wěn)定概念，并推廣到流體力學(xué)明確了穩(wěn)定概念，并推廣到流體力學(xué)的層流穩(wěn)定問題中，即的層流穩(wěn)定問題中，即穩(wěn)定分支點(diǎn)穩(wěn)定分支點(diǎn)的概念的概念恩格塞恩格塞(Engesser(Engesser) )和卡門和卡門(Karman(Karman) )等根據(jù)大量中長(zhǎng)壓桿在壓曲等根據(jù)大量中長(zhǎng)壓桿在壓曲前已超出彈

4、性極限的事實(shí)，分別提出了前已超出彈性極限的事實(shí)，分別提出了切線模量理論切線模量理論和和折算模量折算模量理論理論普蘭特爾和米歇爾幾乎同時(shí)發(fā)表了關(guān)于普蘭特爾和米歇爾幾乎同時(shí)發(fā)表了關(guān)于梁側(cè)傾問題梁側(cè)傾問題的研究成果的研究成果 1.11.1 穩(wěn)定理論的發(fā)展穩(wěn)定理論的發(fā)展( (續(xù)續(xù)) )薄壁輕型結(jié)構(gòu)的使用，提出了穩(wěn)定新課題薄壁輕型結(jié)構(gòu)的使用，提出了穩(wěn)定新課題瓦格納瓦格納(H.Wagner,1929)(H.Wagner,1929)及符拉索夫及符拉索夫(1940)(1940)等建立關(guān)于等建立關(guān)于薄壁桿件的薄壁桿件的彎扭失穩(wěn)理論彎扭失穩(wěn)理論u證明其臨界荷載值大大低于歐拉理論值，且不能用分支點(diǎn)的概念來解釋證明其

5、臨界荷載值大大低于歐拉理論值，且不能用分支點(diǎn)的概念來解釋u引入了極值點(diǎn)失穩(wěn)的觀點(diǎn)以及跳躍現(xiàn)象的穩(wěn)定理論引入了極值點(diǎn)失穩(wěn)的觀點(diǎn)以及跳躍現(xiàn)象的穩(wěn)定理論 穩(wěn)定理論與非線性理論的聯(lián)系密不可分穩(wěn)定理論與非線性理論的聯(lián)系密不可分只有通過對(duì)結(jié)構(gòu)只有通過對(duì)結(jié)構(gòu)幾何非線性關(guān)系幾何非線性關(guān)系以及以及材料非線性本構(gòu)關(guān)系材料非線性本構(gòu)關(guān)系的研究，的研究，才能深入揭示復(fù)雜穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì)才能深入揭示復(fù)雜穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì)1.11.1 穩(wěn)定理論的發(fā)展穩(wěn)定理論的發(fā)展( (續(xù)續(xù)) )研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的兩種形式研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的兩種形式1)1)第一類穩(wěn)定：第一類穩(wěn)定：分支點(diǎn)失穩(wěn)分支點(diǎn)失穩(wěn) 從小范圍內(nèi)觀察，以小位移理論為基礎(chǔ)從小范圍內(nèi)

6、觀察，以小位移理論為基礎(chǔ)2)2)第二類穩(wěn)定：第二類穩(wěn)定：極值點(diǎn)失穩(wěn)極值點(diǎn)失穩(wěn) 從大范圍內(nèi)研究從大范圍內(nèi)研究，以，以大位移非線性理論為基礎(chǔ)大位移非線性理論為基礎(chǔ)由于第一類穩(wěn)定問題是特征值問題，求解方便，在許多情由于第一類穩(wěn)定問題是特征值問題，求解方便，在許多情況下兩類問題的臨界值又相差不大，因此況下兩類問題的臨界值又相差不大，因此研究第一類穩(wěn)定研究第一類穩(wěn)定問題仍有著重要的工程意義問題仍有著重要的工程意義1.21.2 兩類穩(wěn)定問題兩類穩(wěn)定問題靜力平衡法靜力平衡法從平衡狀態(tài)來研究壓桿屈曲特征，即研究載荷達(dá)到多大時(shí)，彈從平衡狀態(tài)來研究壓桿屈曲特征，即研究載荷達(dá)到多大時(shí)，彈性系統(tǒng)可以發(fā)生不同的平衡狀態(tài)

7、性系統(tǒng)可以發(fā)生不同的平衡狀態(tài)實(shí)質(zhì)是求解彈性系統(tǒng)的平衡路徑實(shí)質(zhì)是求解彈性系統(tǒng)的平衡路徑( (曲線曲線) )的分支點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的載荷的分支點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的載荷值值( (臨界載荷臨界載荷) )能量法能量法求彈性系統(tǒng)的總勢(shì)能不再是正定時(shí)的載荷值求彈性系統(tǒng)的總勢(shì)能不再是正定時(shí)的載荷值1.3 1.3 穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介振動(dòng)法振動(dòng)法當(dāng)壓桿在給定的壓力下，受到一定的初始擾動(dòng)之后，必將產(chǎn)當(dāng)壓桿在給定的壓力下，受到一定的初始擾動(dòng)之后，必將產(chǎn)生自由振動(dòng)生自由振動(dòng)如果振動(dòng)隨時(shí)間的增加是收斂的，則壓桿是穩(wěn)定的如果振動(dòng)隨時(shí)間的增加是收斂的，則壓桿是穩(wěn)定的缺陷法缺陷法由于缺陷的影響，桿件開始受力時(shí)即產(chǎn)生彎曲

8、變形由于缺陷的影響，桿件開始受力時(shí)即產(chǎn)生彎曲變形在一般條件下缺陷總是很小的，彎曲變形并不顯著在一般條件下缺陷總是很小的，彎曲變形并不顯著當(dāng)荷載接近臨界值時(shí)，變形才迅速增大，由此確定失穩(wěn)條件當(dāng)荷載接近臨界值時(shí)，變形才迅速增大，由此確定失穩(wěn)條件1.3 1.3 穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介對(duì)對(duì)于歐拉壓桿而言，所得到的臨界荷載值是相同的于歐拉壓桿而言，所得到的臨界荷載值是相同的但但它們的結(jié)論并不完全一樣，表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面它們的結(jié)論并不完全一樣，表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面(1)(1)靜力平衡法靜力平衡法當(dāng)當(dāng)P=PP=P1 1、P P2 2.P.Pn n時(shí)壓桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，無法判斷何種情時(shí)壓

9、桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，無法判斷何種情況最可能失穩(wěn)況最可能失穩(wěn)在在P P P P1 1、P P2 2.P.Pn n時(shí)，屈曲的變形形式不能平衡，無法回答直時(shí)，屈曲的變形形式不能平衡，無法回答直線形式的平衡是否穩(wěn)定的問題線形式的平衡是否穩(wěn)定的問題1.3 1.3 穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介( (續(xù)續(xù)) )(2)(2)缺陷法缺陷法當(dāng)當(dāng)P=PP=P1 1、P P2 2.P.Pn n，桿件將發(fā)生無限變形，桿件將發(fā)生無限變形但對(duì)于但對(duì)于P P在在P P1 1、P P2 2.P.Pn n各值之間時(shí)壓桿是否穩(wěn)定的問題也各值之間時(shí)壓桿是否穩(wěn)定的問題也不能解釋不能解釋(3)(3)能量法和振動(dòng)法能量法和

10、振動(dòng)法PPPP1 1之后不論之后不論P(yáng) P值多大，壓桿直線形式的平衡都是不穩(wěn)定的值多大，壓桿直線形式的平衡都是不穩(wěn)定的和事實(shí)完全一致和事實(shí)完全一致 1.3 1.3 穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介( (續(xù)續(xù)) )由于橋梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，不可能單靠上述方法來解決由于橋梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，不可能單靠上述方法來解決其穩(wěn)定問題其穩(wěn)定問題大量使用的是大量使用的是近似求解方法近似求解方法：從微分方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)上的各種近似方法求解從微分方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)上的各種近似方法求解 如逐次漸近法如逐次漸近法基于能量變分原理的近似法基于能量變分原理的近似法 如如RitzRitz法，有限元方法可以看成是法，有

11、限元方法可以看成是RitzRitz法的特殊形式法的特殊形式1.3 1.3 穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介穩(wěn)定問題的求解方法簡(jiǎn)介( (續(xù)續(xù)) )在發(fā)生第一類失穩(wěn)前，結(jié)構(gòu)在發(fā)生第一類失穩(wěn)前，結(jié)構(gòu)在在初始構(gòu)形線性平衡，大位移初始構(gòu)形線性平衡，大位移矩陣矩陣0 0KKL L為零為零不論不論T.LT.L還是還是U.LU.L列式，表達(dá)形式是統(tǒng)一的列式，表達(dá)形式是統(tǒng)一的 ()KKuR 在結(jié)構(gòu)處在臨界狀態(tài)下，即使在結(jié)構(gòu)處在臨界狀態(tài)下，即使R0R0，uu也有非零解也有非零解按線性代數(shù)理論，必有：按線性代數(shù)理論，必有：KK0(12-4)(12-4) (12-3)(12-3) 2.2.第一類彈性及彈塑性穩(wěn)定分析第一類彈性及

12、彈塑性穩(wěn)定分析2.12.1第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析2.12.1第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析( (續(xù)續(xù)) )發(fā)生第一類失穩(wěn)前滿足線性假設(shè)，應(yīng)力與外荷載發(fā)生第一類失穩(wěn)前滿足線性假設(shè)，應(yīng)力與外荷載以及以及幾何剛度為線性關(guān)系幾何剛度為線性關(guān)系若某種參考荷載若某種參考荷載 對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)幾何剛度陣為對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)幾何剛度陣為 式式(12(124)4)可寫成可寫成 KK KK0穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為求方程的穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為求方程的最小特征值問題最小特征值問題 P K(12-6)(12-6) (12-5)(12-5) 2.12.1第一類穩(wěn)定問題的線彈

13、性有限元分析第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析( (續(xù)續(xù)) )KK可以分成一期恒載的初內(nèi)力剛度陣可以分成一期恒載的初內(nèi)力剛度陣 和后期荷載（和后期荷載（二期、活載等）的初內(nèi)力剛度陣二期、活載等）的初內(nèi)力剛度陣 兩部分兩部分計(jì)算一期恒載穩(wěn)定問題，計(jì)算一期恒載穩(wěn)定問題， ， 為為恒載穩(wěn)定安全系數(shù)恒載穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算后期荷載穩(wěn)定問題，則恒載計(jì)算后期荷載穩(wěn)定問題，則恒載 可近似為一常量，式可近似為一常量，式(12(126)6)改寫成：改寫成： KKK120K12KK20K1(12-7)(12-7) 為為后期恒載穩(wěn)定安全系數(shù)，相應(yīng)的特征向量就是失穩(wěn)模態(tài)后期恒載穩(wěn)定安全系數(shù)，相應(yīng)的特征向量就是失穩(wěn)模態(tài) 3.

14、 3. 拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng)本節(jié)以本節(jié)以解析法解析法來闡述拱橋的第一類穩(wěn)定計(jì)算來闡述拱橋的第一類穩(wěn)定計(jì)算可分為以下兩類問題：可分為以下兩類問題：面內(nèi)穩(wěn)定面內(nèi)穩(wěn)定側(cè)向穩(wěn)定側(cè)向穩(wěn)定 3.13.1圓弧拱平面屈曲微分方程圓弧拱平面屈曲微分方程 3.13.1圓弧拱平面屈曲微分方程圓弧拱平面屈曲微分方程( (續(xù)續(xù)) ) 當(dāng)荷載達(dá)到臨界值時(shí)，拱發(fā)生微小的彎曲變形當(dāng)荷載達(dá)到臨界值時(shí)，拱發(fā)生微小的彎曲變形 v v，且在截，且在截面上存在彎矩面上存在彎矩 M M，在這一變形狀態(tài)下可以導(dǎo)出它的屈曲微分方，在這一變形狀態(tài)下可以導(dǎo)出它的屈曲微分方程為：程為： xEIMRvdsvd222

15、(12 (129 9) )或：或： xEIMRvdvd222 (1210)3.23.2等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲臨界荷載等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲臨界荷載 邊界條件邊界條件: : 00,v 得得 c20 20,v 得得 ck120sinc c1 1不能為零，則必須有不能為零，則必須有 sin20k (12 (121515) ) 由此得到由此得到 21 2 3knn,(, , ,.) 由于拱的兩端不能移動(dòng)，圓弧拱軸也假定不發(fā)生伸縮。因此由于拱的兩端不能移動(dòng)，圓弧拱軸也假定不發(fā)生伸縮。因此n=1n=1 相應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài)是沒有意義的。要求最小特征值時(shí)相應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài)是沒有意義的。

16、要求最小特征值時(shí) n=2n=2，拱，拱的屈曲模態(tài)為的屈曲模態(tài)為: : sin)(1cv (12 (121616) )3.23.2等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲臨界荷載等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲臨界荷載( (續(xù)續(xù)) ) 臨臨界界荷荷載載值值為為： qEIRKEIRcrXx322131() ( (1 12 21 17 7) ) 式式中中 K1221 ( (1 12 21 18 8) ) K K1 1稱稱為為拱拱的的臨臨界界荷荷載載系系數(shù)數(shù)( (或或穩(wěn)穩(wěn)定定系系數(shù)數(shù)) )，與與夾夾角角有有關(guān)關(guān)。 式式( (1 12 21 17 7) )也也可可寫寫成成中中心心受受壓壓直直桿桿的的

17、歐歐拉拉公公式式的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形式式 20 x22222X2crcrsEI)1 (REIRqN ( (1 12 21 19 9) )3.23.2等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲臨界荷載等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲臨界荷載( (續(xù)續(xù)) )3.3 3.3 圓拱的面外穩(wěn)定圓拱的面外穩(wěn)定平面拱軸側(cè)傾后是一條空間曲線，其位移與幾何關(guān)系用曲線坐標(biāo)來描述。平面拱軸側(cè)傾后是一條空間曲線，其位移與幾何關(guān)系用曲線坐標(biāo)來描述。 圖圖 12 12.4.4 側(cè)傾變形后的拱側(cè)傾變形后的拱 拱側(cè)傾變形后拱側(cè)傾變形后( (圖圖 12.412.4) )，任意截面，任意截面 s s 在垂直于拱平面在垂直于拱平面

18、x x 軸，指向拱軸法向的軸，指向拱軸法向的y y 軸和同拱軸切線重合的軸和同拱軸切線重合的 z z 軸三個(gè)方向分別發(fā)生了線位移軸三個(gè)方向分別發(fā)生了線位移 u u、v v、w,w,并繞這三個(gè)軸并繞這三個(gè)軸發(fā)生了轉(zhuǎn)角位移、。截面主軸發(fā)生了轉(zhuǎn)角位移、。截面主軸 x x、y y、z z 也隨著拱的側(cè)傾產(chǎn)生了變位。研也隨著拱的側(cè)傾產(chǎn)生了變位。研究相距究相距 dsds 截面的變形，可得拱繞截面的變形，可得拱繞 y y、z z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的曲率關(guān)系：軸轉(zhuǎn)動(dòng)的曲率關(guān)系：3.3 3.3 圓拱的面外穩(wěn)定圓拱的面外穩(wěn)定( (續(xù)續(xù)) ) dSduR1dSddSudRz22y (12 (122121) ) 下面用能量法研

19、究?jī)啥斯探Y(jié)拱軸線長(zhǎng)度為下面用能量法研究?jī)啥斯探Y(jié)拱軸線長(zhǎng)度為 L L 的園拱的側(cè)向穩(wěn)定問題。的園拱的側(cè)向穩(wěn)定問題。 圓拱側(cè)傾時(shí)，拱肋側(cè)向彎曲變形能為：圓拱側(cè)傾時(shí)，拱肋側(cè)向彎曲變形能為： 2/L2/L2yyBds2EIV (12(122222) ) 拱肋扭轉(zhuǎn)變形能為：拱肋扭轉(zhuǎn)變形能為： 2/L2/L2ZTds2GJV (12(122323) ) 拱肋軸力在側(cè)傾時(shí)所作外力功為：拱肋軸力在側(cè)傾時(shí)所作外力功為： 2/L2/L2Dds)dsdu(qRV (12 (122424) )3.3 3.3 圓拱的面外穩(wěn)定圓拱的面外穩(wěn)定( (續(xù)續(xù)) ) 結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)勢(shì)勢(shì)能能為為： DTBVVV ( (1 12 22 25

20、 5) ) 設(shè)設(shè)失失穩(wěn)穩(wěn)模模態(tài)態(tài)為為： )2cos1 ()2cos1 (LSBLSAuaa ( (1 12 22 26 6) )將將式式( (1 12 22 21 1) ) ( (1 12 22 24 4) )、( (1 12 22 26 6) )代代入入式式( (1 12 22 25 5) )，由由 AB00 ( (1 12 22 27 7) ) 易易得得：qEIRcry322222244() ( (1 12 22 28 8) )3.3 3.3 圓拱的面外穩(wěn)定圓拱的面外穩(wěn)定( (續(xù)續(xù)) )3.4 3.4 拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)3.4 3.4 拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)

21、定與非保向力效應(yīng)( (續(xù)續(xù)) )3.4 3.4 拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)( (續(xù)續(xù)) )3.4 3.4 拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)( (續(xù)續(xù)) )3.4 3.4 拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)( (續(xù)續(xù)) )3.4 3.4 拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)( (續(xù)續(xù)) ) 當(dāng)系桿拱發(fā)生側(cè)傾時(shí)，其總勢(shì)能除了前面式當(dāng)系桿拱發(fā)生側(cè)傾時(shí)，其總勢(shì)能除了前面式(12(122222) ) (12(122424) )列出的三項(xiàng)列出的三項(xiàng)外，還增加了考慮非保向力效應(yīng)的虛擬彈簧支承變形能外，還增加了考慮非保向力效應(yīng)的虛擬彈簧支承變形能 V Vk k：

22、 222)(21LLakdsuaxkV (12 (123535) ) 將式將式(12(123535) )增添到式增添到式(12(122 25)5)中，由能量駐值原理可得系桿拱側(cè)傾臨界中，由能量駐值原理可得系桿拱側(cè)傾臨界荷載：荷載： crcrcraqCqq11 (12 (123636) ) 式中：式中： 非保向力效應(yīng)系數(shù)非保向力效應(yīng)系數(shù), ,crq由式由式(12-28)(12-28)給出。給出。 CVVkD (12 (123 37 7) ) 對(duì)圓弧拱，偏安全地取對(duì)圓弧拱，偏安全地取 y(x)=fy(x)=f，則，則 C C 的下限為：的下限為： CRf342() (12 (123838) )3.

23、4 3.4 拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)( (續(xù)續(xù)) )3.4 3.4 拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)( (續(xù)續(xù)) )例例 12121 1 某下承式無風(fēng)某下承式無風(fēng)架鋼筋砼雙肋拱橋，基本參數(shù)如下：架鋼筋砼雙肋拱橋，基本參數(shù)如下： 4274270111. 1/104 . 14798. 0/102 . 3765.51522. 11035. 179.785128.144 .71mJmkNGmImkNERlLLlfmfmly由式由式(12(1254)54)易得：易得： )4(42222223REIqycro=1571=1571. .2 2 k kN/mN/m CRf342

24、()=0.638=0.638 qqcqcrcrocro11=2=2. .767615711571. .2=4332=4336 6. .5 5KN/mKN/m 與有限元數(shù)值解與有限元數(shù)值解 q qcrcr=4276.0KN/m=4276.0KN/m 十分接近。十分接近。材料非線性問題材料非線性問題概概 述述當(dāng)構(gòu)件應(yīng)力超過彈性極限后，材料彈性模量當(dāng)構(gòu)件應(yīng)力超過彈性極限后，材料彈性模量E E成為成為應(yīng)力的函數(shù)，導(dǎo)致基本控制方程的非線性，即材料應(yīng)力的函數(shù)，導(dǎo)致基本控制方程的非線性，即材料非線性問題非線性問題凡是在本構(gòu)關(guān)系中放棄材料線性關(guān)系假定的理論凡是在本構(gòu)關(guān)系中放棄材料線性關(guān)系假定的理論，均屬材料非

25、線性范疇，均屬材料非線性范疇橋梁結(jié)構(gòu)以鋼和砼作為主要建材，因此涉及的材橋梁結(jié)構(gòu)以鋼和砼作為主要建材，因此涉及的材料非線性主要是非線性彈塑性問題和砼徐變問題料非線性主要是非線性彈塑性問題和砼徐變問題彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈服準(zhǔn)則彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈服準(zhǔn)則 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，單軸應(yīng)力下材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系如根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，單軸應(yīng)力下材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系如圖圖12.712.7所示，可歸結(jié)為如下幾點(diǎn)：所示，可歸結(jié)為如下幾點(diǎn)： 1)1)應(yīng)力在達(dá)到比例應(yīng)力在達(dá)到比例極限前，材料為線彈極限前，材料為線彈性；應(yīng)力在比例極限性；應(yīng)力在比例極限和彈性極限之間，材和彈性極限之間，材料為非線性彈性。料為非線性彈性。 圖

26、圖12-7 12-7 單軸應(yīng)力下材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系單軸應(yīng)力下材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系 彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈屈服準(zhǔn)則服準(zhǔn)則( (續(xù)續(xù)) ) 2)2)應(yīng)力超過屈服點(diǎn)，材料應(yīng)變中出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性應(yīng)力超過屈服點(diǎn)，材料應(yīng)變中出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變應(yīng)變: : pe應(yīng)力和應(yīng)變間為非線性關(guān)系：應(yīng)力和應(yīng)變間為非線性關(guān)系： ( ) 3)3)應(yīng)力在某一應(yīng)力下卸載，則應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽恐畱?yīng)力在某一應(yīng)力下卸載，則應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽恐g存在線性關(guān)系，即：間存在線性關(guān)系，即： dEd為了判斷是加載還是卸載，用如下加載準(zhǔn)則：為了判斷是加載還是卸載，用如下加載準(zhǔn)則： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)為加載，滿足時(shí)為加載，滿足

27、 (12-40)(12-40) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)為卸載，滿足時(shí)為卸載，滿足 (12-41) (12-41) (12-39)(12-39) (12-40)(12-40) (12-41)(12-41) 0d0d彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈屈服準(zhǔn)則服準(zhǔn)則( (續(xù)續(xù)) ) 4)4)在卸載后某應(yīng)力在卸載后某應(yīng)力 下重新加載，則：下重新加載，則： 時(shí)，時(shí)， 0 0為卸載前材料曾經(jīng)受到過的最大應(yīng)力值，稱后屈服應(yīng)為卸載前材料曾經(jīng)受到過的最大應(yīng)力值，稱后屈服應(yīng)力，若：力，若： 0=0= s s 材料稱為理想塑性的；材料稱為理想塑性的； 0 0 s s 稱材料為硬化的。稱材料為硬化的。 0dEd 5)5

28、)從卸載轉(zhuǎn)入反向力加載，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系繼續(xù)依式從卸載轉(zhuǎn)入反向力加載，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系繼續(xù)依式(12-41)(12-41)或或(12-42)(12-42)，一直到反向屈服。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，一直到反向屈服。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，判斷材料是否屈服，可以用應(yīng)力的某種函數(shù)表示：下，判斷材料是否屈服，可以用應(yīng)力的某種函數(shù)表示： (12-42)(12-42) 彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈屈服準(zhǔn)則服準(zhǔn)則( (續(xù)續(xù)) ) 若以若以 ijij為坐標(biāo)軸建立一坐標(biāo)空間，則式為坐標(biāo)軸建立一坐標(biāo)空間，則式(12-43)(12-43)的幾的幾何意義為空間超曲面。任一應(yīng)力狀態(tài)在此空間中代表一何意義為空間超曲面。任

29、一應(yīng)力狀態(tài)在此空間中代表一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)此點(diǎn)落在屈服面之內(nèi)時(shí)：個(gè)點(diǎn)，當(dāng)此點(diǎn)落在屈服面之內(nèi)時(shí)： ，材料呈彈，材料呈彈性狀態(tài)；性狀態(tài)； 時(shí)，材料開始進(jìn)入塑性時(shí)，材料開始進(jìn)入塑性。 各向同性材料的屈服條件與坐標(biāo)軸選取無關(guān)，屈服函各向同性材料的屈服條件與坐標(biāo)軸選取無關(guān)，屈服函數(shù)常以主應(yīng)力函數(shù)形式表示：數(shù)常以主應(yīng)力函數(shù)形式表示： Fij() 0F (,)1230Fij() 0Fij() 0(12-43)(12-43) (12-44)(12-44) 彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈屈服準(zhǔn)則服準(zhǔn)則( (續(xù)續(xù)) )常用的屈服條件有常用的屈服條件有： 屈雷斯卡屈雷斯卡(Tresca(Tresca) )屈

30、服條件：假定最大剪應(yīng)力達(dá)屈服條件：假定最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開始屈服，相當(dāng)于材料力學(xué)到某一極限值時(shí)，材料開始屈服，相當(dāng)于材料力學(xué)中的第三強(qiáng)度理論中的第三強(qiáng)度理論 密賽斯密賽斯(Von Mises(Von Mises) )屈服條件：假定偏應(yīng)力張量屈服條件：假定偏應(yīng)力張量的第二不變量達(dá)到某一極限時(shí)，材料開始屈服的第二不變量達(dá)到某一極限時(shí)，材料開始屈服, , 相相當(dāng)于材料力學(xué)中的第四強(qiáng)度理論當(dāng)于材料力學(xué)中的第四強(qiáng)度理論 此外還有此外還有Drucker-PragerDrucker-Prager屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則 Zienkiewicz-PandeZienkiewicz-Pande屈服準(zhǔn)則等屈服

31、準(zhǔn)則等彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式設(shè)屈服函數(shù)用下式表示：設(shè)屈服函數(shù)用下式表示：FKij(,) 0式中：式中： 應(yīng)力狀態(tài)；應(yīng)力狀態(tài)；K K硬化函數(shù)。硬化函數(shù)。 ij 在增量理論中，把材料達(dá)到屈服以后的應(yīng)變?cè)隽吭谠隽坷碚撝?，把材料達(dá)到屈服以后的應(yīng)變?cè)隽糠譃閺椥栽隽亢退苄栽隽績(jī)刹糠?，即：分為彈性增量和塑性增量?jī)刹糠?，即?dddep(12-45)(12-45) (12-46)(12-46) 彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式( (續(xù)續(xù)) ) 其中彈性應(yīng)變?cè)隽坎糠峙c應(yīng)力增量之間仍服從虎其中彈性應(yīng)變?cè)隽坎糠峙c應(yīng)力增量之間仍服從虎克定律，即克定律，即：其中：其中：

32、DDe e 為彈性矩陣。為彈性矩陣。 塑性變形不是唯一確定的，對(duì)應(yīng)于同一應(yīng)力增量塑性變形不是唯一確定的，對(duì)應(yīng)于同一應(yīng)力增量，可以有不同的塑性變形增量。若采用相關(guān)聯(lián)的流，可以有不同的塑性變形增量。若采用相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，塑性變形大小雖然不能斷定，但其流動(dòng)方動(dòng)法則，塑性變形大小雖然不能斷定，但其流動(dòng)方向與屈服面正交。用數(shù)學(xué)公式表示這一假定，即可向與屈服面正交。用數(shù)學(xué)公式表示這一假定，即可得得：dDdeedFp(12-47)(12-47) (12-48)(12-48) 彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式( (續(xù)續(xù)) )將將(12-47)(12-47)、(12-48 )(12-48

33、)式代入式代入(12-46 )(12-46 )式，則可得式，則可得： 對(duì)式對(duì)式(12-45)(12-45)全微分得：全微分得： dDdFe102211 dKKFdFdFdF或或0AdFT其中：其中：1dKKFA(12-49)(12-49) (12-50)(12-50) (12-51)(12-51) (12-52)(12-52) 彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式( (續(xù)續(xù)) )將將 前乘前乘(12-49)(12-49)式，并利用式，并利用(12-51)(12-51)式消去式消去 可得：可得： 由此可得由此可得：用用DDe e 前乘前乘(12-49)(12-49)式，移項(xiàng)后得式

34、，移項(xiàng)后得 FDFAdDFeTeTdFDFADFeTeTFDdDdeeeTDFd(12-53)(12-53) (12-54)(12-54) (12-55)(12-55) 彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式( (續(xù)續(xù)) )將將(12-54)(12-54)式代入式代入(12-55)(12-55)式，即可得式，即可得：其中其中: : 此即為此即為增量理論的彈塑性矩陣通式增量理論的彈塑性矩陣通式。其具體的數(shù)。其具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式將由曲服函數(shù)確定。學(xué)表達(dá)式將由曲服函數(shù)確定。 )(dDdDDdFDFADFFDDdepPeeTeTeeFDFADFFDDDeTeTeeep(12-56)(12-

35、56) (12-57)(12-57) 彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式( (續(xù)續(xù)) )例例12.2 12.2 導(dǎo)出等向強(qiáng)化米賽斯材料增量理論的彈塑導(dǎo)出等向強(qiáng)化米賽斯材料增量理論的彈塑性矩陣表達(dá)式。性矩陣表達(dá)式。解：對(duì)解：對(duì)MisesMises屈服準(zhǔn)則、等向硬化材料，其屈服函數(shù)屈服準(zhǔn)則、等向硬化材料，其屈服函數(shù)可寫成：可寫成： 其中其中: :設(shè)硬化法則與塑性功有關(guān)，即作功硬化，則：設(shè)硬化法則與塑性功有關(guān)，即作功硬化，則： 0 K2132322212)()()(213JKdwdpijijp()()彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式( (續(xù)續(xù)) )由由: :FS

36、SSSSSxyzxyyzzxTxyzxyyzzxT32222 DFEvvvvvvvvvvvSSSSSSGSxyzxyyzzx32 1121000100010001220012201222223()()得得: :彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式( (續(xù)續(xù)) )再由再由: :GEv2 1() SSSSSSSxyzxyyzzxT DFFDGSGSGSSTTT3332() FDFGSFGTT33其中其中: : 剪切彈性模量剪切彈性模量； 其中其中: : 應(yīng)力偏量向量。應(yīng)力偏量向量。 而而: :彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式( (續(xù)續(xù)) ) 2222222121

37、2121121121211212111zxzxyzzxxyzxzzxyzxxyzyzxyyzzyzyyzxxyxyzxyyxyxzzyyxyyxxepSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSvvSSvvSSvvSvvSSvvSvvvED9232GAG() 以上結(jié)果代入以上結(jié)果代入(12-83)(12-83)，可得等向強(qiáng)化的米賽斯材，可得等向強(qiáng)化的米賽斯材料的彈塑性矩陣表達(dá)式為：料的彈塑性矩陣表達(dá)式為： 式中式中: :彈塑性問題的有限元法彈塑性問題的有限元法 在彈塑性增量理論中，討論仍限于小變形情況。在彈塑性增量理論中，討論仍限于小變形情況。其應(yīng)變位移幾何運(yùn)動(dòng)方程和平衡方程相同于

38、線性其應(yīng)變位移幾何運(yùn)動(dòng)方程和平衡方程相同于線性問題，不需要作任何變動(dòng)。問題，不需要作任何變動(dòng)。需要改變的只是在塑性需要改變的只是在塑性區(qū)范圍內(nèi)用塑性材料的本構(gòu)關(guān)系矩陣區(qū)范圍內(nèi)用塑性材料的本構(gòu)關(guān)系矩陣DDepep 代替原來代替原來的彈性系數(shù)矩陣的彈性系數(shù)矩陣DDe e 。因此，可直接得到彈塑性分析因此，可直接得到彈塑性分析有限元平衡方程：有限元平衡方程： 式中式中: :RuKttTtvepTTtdvBDBKItcttttFFTFR(12-58)(12-58) (12-59)(12-59) (12-60)(12-60) 彈塑性問題的有限元法彈塑性問題的有限元法( (續(xù)續(xù)) )其中其中, , 和和

39、分別表示與結(jié)構(gòu)面荷載分別表示與結(jié)構(gòu)面荷載t t及體荷載及體荷載f f對(duì)對(duì)應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)力增量；應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)力增量； 為節(jié)點(diǎn)集中外荷載增量為節(jié)點(diǎn)集中外荷載增量； 為初應(yīng)力或初應(yīng)變?cè)隽恳鸬耐夂奢d增量，它為初應(yīng)力或初應(yīng)變?cè)隽恳鸬耐夂奢d增量，它們?cè)趥冊(cè)趖- t- 至至t t時(shí)間的增量為：時(shí)間的增量為：對(duì)于初應(yīng)力問題：對(duì)于初應(yīng)力問題： tTtvFNfdv tTtvTNt ds tITIvFBdv tITeIvFBDdv對(duì)于初應(yīng)變問題對(duì)于初應(yīng)變問題：tFtTtcFtIFt(12-61)(12-61) (12-62)(12-62) (12-63)(12-63) (12-64)(12-64) 第二類穩(wěn)定和極

40、限承載力全過程分析第二類穩(wěn)定和極限承載力全過程分析傳統(tǒng)的傳統(tǒng)的“強(qiáng)度設(shè)計(jì)強(qiáng)度設(shè)計(jì)”以構(gòu)件最大工作應(yīng)力乘以安全系數(shù)等于材以構(gòu)件最大工作應(yīng)力乘以安全系數(shù)等于材料的屈服應(yīng)力為依據(jù)；料的屈服應(yīng)力為依據(jù)；一般情況下，構(gòu)件某截面開始屈服并不能代表結(jié)構(gòu)完全破壞，一般情況下，構(gòu)件某截面開始屈服并不能代表結(jié)構(gòu)完全破壞，結(jié)構(gòu)所能承受的荷載通常較構(gòu)件開始屈服時(shí)的荷載為大；結(jié)構(gòu)所能承受的荷載通常較構(gòu)件開始屈服時(shí)的荷載為大；橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力是指橋梁承受外荷載的最大能力；橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力是指橋梁承受外荷載的最大能力；可以準(zhǔn)確地知道橋梁結(jié)構(gòu)在給定荷載下的安全貯備或超載能力可以準(zhǔn)確地知道橋梁結(jié)構(gòu)在給定荷載下的安全貯備

41、或超載能力，為其安全施工和營運(yùn)管理提供依據(jù)和保障；，為其安全施工和營運(yùn)管理提供依據(jù)和保障；第二類穩(wěn)定和極限承載力全過程分析第二類穩(wěn)定和極限承載力全過程分析( (續(xù)續(xù)) )全過程分析是用于橋梁結(jié)構(gòu)極限承載力分析的一種計(jì)算方全過程分析是用于橋梁結(jié)構(gòu)極限承載力分析的一種計(jì)算方法，它通過逐級(jí)增加工作荷載集度來考察結(jié)構(gòu)的變形和受力法，它通過逐級(jí)增加工作荷載集度來考察結(jié)構(gòu)的變形和受力特征，一直計(jì)算至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞；特征，一直計(jì)算至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞；橋梁結(jié)構(gòu)在不斷增加的外載作用下，結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生不斷變橋梁結(jié)構(gòu)在不斷增加的外載作用下，結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生不斷變化，當(dāng)外載產(chǎn)生的應(yīng)力使得結(jié)構(gòu)切線剛度陣趨于奇異時(shí)，結(jié)化，當(dāng)外載產(chǎn)生

42、的應(yīng)力使得結(jié)構(gòu)切線剛度陣趨于奇異時(shí)，結(jié)構(gòu)承載能力就到達(dá)了極限，此時(shí)的外荷載即為極限荷載。構(gòu)承載能力就到達(dá)了極限，此時(shí)的外荷載即為極限荷載。非線性方程的求解問題非線性方程的求解問題一般結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)剛度陣在一般結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)剛度陣在p-p- 曲線上升段是正定的，在下曲線上升段是正定的，在下降段為負(fù)定的；降段為負(fù)定的；進(jìn)行進(jìn)行“全過程全過程”分析過程中，當(dāng)荷載接近極限值時(shí)，很小分析過程中，當(dāng)荷載接近極限值時(shí)，很小的荷載增量都會(huì)引起很大的位移，可能還未找到極限荷載的荷載增量都會(huì)引起很大的位移，可能還未找到極限荷載就出現(xiàn)了求解失效現(xiàn)象；就出現(xiàn)了求解失效現(xiàn)象；為了找到真實(shí)的極限荷載，克服下降段的不穩(wěn)定現(xiàn)象，各為

43、了找到真實(shí)的極限荷載，克服下降段的不穩(wěn)定現(xiàn)象，各國學(xué)者提出了許多算法，下面就常用的兩種方法作一介紹國學(xué)者提出了許多算法，下面就常用的兩種方法作一介紹非線性方程的求解問題非線性方程的求解問題( (續(xù)續(xù)) )1)1)逐步搜索法逐步搜索法 對(duì)于只要求出極值荷載，而對(duì)對(duì)于只要求出極值荷載，而對(duì)P-P- 下降段不感趣的情況，下降段不感趣的情況，可采用逐步搜索頂點(diǎn)的算法，其基本思想是：可采用逐步搜索頂點(diǎn)的算法，其基本思想是： 加一荷載增量加一荷載增量 P P，計(jì)算發(fā)散后，退回上級(jí)荷載狀態(tài)并改，計(jì)算發(fā)散后，退回上級(jí)荷載狀態(tài)并改用荷載步長(zhǎng)用荷載步長(zhǎng) P/2P/2； 若計(jì)算收斂，則再加一級(jí)荷載為若計(jì)算收斂，則再

44、加一級(jí)荷載為 P/4P/4； 若加若加 P/4P/4后計(jì)算發(fā)散，則再改用荷載步后計(jì)算發(fā)散，則再改用荷載步 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 P/8P/8 如此搜索，若原步長(zhǎng)如此搜索，若原步長(zhǎng) P P預(yù)計(jì)為預(yù)計(jì)為5%5%的破壞荷載，則的破壞荷載，則 P/4P/4已已接近接近1%1%的極限荷載，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)來說，已可滿足精度要求。的極限荷載，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)來說，已可滿足精度要求。當(dāng)然還可向前再搜索一步到當(dāng)然還可向前再搜索一步到 P/8P/8。2)2)位移控制法位移控制法 如果在分析過程中不是控制荷載增量而是控制位移增量，則P-曲線的下降段部分便不難求得。 對(duì)于一般結(jié)構(gòu)，我們可將剛度矩陣重新排列，使得要控制的位移(例如=u2)排

45、到最后一項(xiàng)，同時(shí)將原剛度矩陣分塊，其有限元方程變?yōu)椋?非線性方程的求解問題非線性方程的求解問題( (續(xù)續(xù)) )KKKKuuPPRR11122122121212式中：式中：PP1 1P P2 2 T T 參考荷載向量；參考荷載向量； 控制荷載的步長(zhǎng)系數(shù)；控制荷載的步長(zhǎng)系數(shù)； RR1 1R R2 2 T T 求解迭代過程中的不平衡力向量求解迭代過程中的不平衡力向量。 (12-88)(12-88) 改寫方程(12-88)為：非線性方程的求解問題非線性方程的求解問題( (續(xù)續(xù)) )(12-89)(12-89) KPKPuRRKKu11121211212222 這樣，求解方程時(shí)可控制指定的值，求出相應(yīng)的位移u1及荷載增量比例因子。由于Kij與位移有關(guān)，求解時(shí)需要迭代，使得R1R2T值趨于零，以滿足精度要求。 需要指出，方程(12-89)中的系數(shù)矩陣 是不對(duì)稱，也不呈帶狀，求解時(shí)需要的存儲(chǔ)單元較多，