chapter4_3現(xiàn)代數(shù)字信號處理北郵

1、4.3.2 模型參數(shù)和自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系模型參數(shù)和自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系假設(shè)模型的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)分別用下式表示： qiiPiiinwbinxanx01)()()()()(1)(10zAzBzazbzHPiiiqiii AR AR模型的系數(shù)和信號自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系模型的系數(shù)和信號自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系21(0)( 1)()1(1)(0)(1)00( )(1)(0)xxxxxxwxxxxxxpxxxxxxrrrparrrparprpr通過求解Yule-Walker方程求模型參數(shù)： PlwxxAPlxxAxxlrlhmrlhmr121)()() 1()()(m1 m=0 n 估計功率譜的方法 首

2、先根據(jù)信號觀測數(shù)據(jù)估計信號自相關(guān)函數(shù)； 再按照所選擇信號模型，解上面相應(yīng)的方程，求出模型參數(shù)；最后按照下式求出信號的功率譜: 21022j2je1e| )e (|)e (PiiiqiiiwwxxabHP4.3.3 AR模型譜估計的性質(zhì)模型譜估計的性質(zhì)1 1、 AR AR模型的線性預(yù)測模型的線性預(yù)測 piipiezazH11)( AR模型的系統(tǒng)函數(shù)為 PiiizazH111)( 線性一步預(yù)測誤差濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 當api=ai(i=1, 2, 3, ,p)時，He(z)和H(z)互為逆濾波器，He(z)=1/H(z),因此He(z)也稱為白化濾波器。 ( )( )( )( )( )( )( )

3、( )( )( )eex nw nh ne nx nh nw nh nh nw n 利用上述AR模型與線性預(yù)測之間的關(guān)系，可以實現(xiàn)預(yù)測解卷積。 2、 預(yù)測誤差濾波器的最小相位特性預(yù)測誤差濾波器的最小相位特性n AR模型H(z)必須因果穩(wěn)定，即極點均在單位圓內(nèi)， 才能保證信號x(n)是平穩(wěn)隨機信號，于是He(z)應(yīng)為最小相位系統(tǒng)。n 當最佳P階線性預(yù)測系數(shù)與AR模型參數(shù)相同時，由此得到的極點保證在單位圓內(nèi)，AR濾波器穩(wěn)定，預(yù)測誤差濾波器He(z)或者A(z)是最小相位系統(tǒng)。3 3、 AR AR模型隱含自相關(guān)函數(shù)延拓特性模型隱含自相關(guān)函數(shù)延拓特性n AR模型隱含著自相關(guān)函數(shù)外推的特性，使它具有高分

4、辨率的優(yōu)點。 plwxxAplxxAxxlrlhlmrlhmr121)()()()()(m1 m=0 1 ( ) ( )( )()xxpxxAxxlrmrmh l rml0mp mp 4.4 AR譜估計的方法譜估計的方法nAR譜估計方法可歸結(jié)為求解AR模型系數(shù)或線性預(yù)測器系數(shù)的問題。nAR模型參數(shù)估計方法：信號預(yù)測誤差最小原則（或預(yù)測誤差功率最?。┳韵嚓P(guān)法（Levison遞推法）Burg法協(xié)方差法修正協(xié)方差法（前后向線性預(yù)測最小二乘法）最大熵原則最大熵譜估計方法1、 自相關(guān)法自相關(guān)法列文森（列文森（Levinson）遞推）遞推n 估計方法：估計方法：自相關(guān)法的出發(fā)點是選擇AR模型的參數(shù)使預(yù)測誤

5、差功率最?。徊捎肔evison-Durbin遞推方法求解Yule-Walker方程得到AR模型參數(shù)。 21j -22j2je11| )e (|)e (PiiiwwxxaHP 預(yù)測誤差功率為 22111| ( )|( )()ppinnie nx na x niNN假設(shè)信號x(n)的數(shù)據(jù)區(qū)間在0nN-1范圍，有P個預(yù)測系數(shù)，N個數(shù)據(jù)經(jīng)過沖激響應(yīng)為api(i=0,1, 2, , P)的濾波器， 輸出預(yù)測誤差e(n)的長度為N+P， 因此應(yīng)用下式計算: 2110210| )()(|1| )(|1pipiPNnPNninxanxNneN0( )( )( )()pepiie nx nh na x ni預(yù)測

6、誤差功率最小，得到 )()2() 1 ()0()2() 1()2()0() 1 () 1() 1()0(21prrraaarprprprrrprrrxxxxxxppppxxxxxxxxxxxxxxxxxx0pkpkaa 采用Levinson-Durbin遞推法求解Yule-Walker方程： 由k=1開始遞推，遞推到k=p，依次得到a11,21，a21,a22, 22，ap1,ap2,app,2p。 AR模型的各個系數(shù)以及模型輸入白噪聲方差求出后， 信號功率譜用下式計算： 21j -22j2je11| )e (|)e (PiiiwwxxaHP圖 4.5.1 利用列文森遞推法計算功率譜的流程圖

7、輸入： x(n),n0,1,2,3,N1,2計算：)0(1),0(/ ) 1 (21 , 1211 , 1xxxxxxrarra)(mrxxp=22122*, 1, 12111, 111, 2 , 1 , 0)()(ppppkppppkppkppixxipxxppapkaaaaiprapra22ppiipiwxxaP1j2je11)(e結(jié)束p=p+1NYn性能分析：性能分析：該方法需要基于有限的觀測數(shù)據(jù)估計自相關(guān)序列，當數(shù)據(jù)長度較短時，估計誤差會比較大，AR參數(shù)的計算就會引入很大的誤差。從而導致功率譜估計出現(xiàn)譜線分裂與譜峰頻率偏移等現(xiàn)象。2、 伯格（伯格（Burg）遞推法）遞推法 n 估計方法

8、：估計方法：直接由時間序列計算AR模型參數(shù)的方法，求前、后向預(yù)測誤差平均功率最小時的反射系數(shù)kp，進而求AR模型參數(shù)ak和2w。20,ppkwpkak 設(shè)信號x(n)觀測數(shù)據(jù)區(qū)間為：0nN-1，前向、后向預(yù)測誤差功率分別用p,e和p,b表示，預(yù)測誤差平均功率用p為 1122,11|( )|( )|1()2NNfbp epp bpn pn ppp ep benenNpNppkpkbppkpkfpkpnxapnxneknxanxne1*1)()()()()()(其中，前向、后向預(yù)測誤差公式分別為 求預(yù)測誤差平均功率p最小時的反射系數(shù)kp，令 0ppk1*11122112( )(1)(|( )|(1

9、)| )Nfbppn ppNfbppn pen enkenen 基于反射系數(shù)kp，由Levinson-Durbin遞推關(guān)系求AR模型參數(shù)ak和2w，進而求得功率譜Pxx圖 4.5.2 伯格遞推法流程圖 輸入： x(n),n0,1,2,3,N1階數(shù)IP1)(1)()()()(210000pnxNnxnenxneNnbfp = IP結(jié)束1 pp12121*111)()() 1()(2NpnbpfpbpNpnfppnenenenekpwpppk2121pppipppippikaakaa*, 1, 11, 2, 1),() 1()(1, 2, 1),1()()(1*111NppnnekneneNppn

10、neknenefppbpbpbpppfp2,;, 3 , 2 , 1:wippia輸出21j2je1)(epiipiwxxaPNYn性能分析：性能分析：該方法避免了采用有限數(shù)據(jù)估計自相關(guān)函數(shù)的計算，適合短序列參數(shù)估計，克服了L-D遞推中的某些缺點，計算量小。但對正弦信號的譜估計，仍存在某些譜線分裂與頻率偏移現(xiàn)象。3 3、 協(xié)方差法與修正協(xié)方差法協(xié)方差法與修正協(xié)方差法（1 1）. . 協(xié)方差法協(xié)方差法n 估計方法：估計方法：利用使預(yù)測誤差功率最小的方法求模型參數(shù)11212| )()(|1| )(|1NpnNpnpkpkknxanxpNnepN 該公式中使用的觀測數(shù)據(jù)均已得到，不需要在數(shù)據(jù)兩端補充

11、零點， 因此比較自相關(guān)法去掉了加窗處理的不合理假設(shè)。0pkpkaa)0 ,()0 , 2()0 , 1 (),()2 ,() 1 ,(), 2()2 , 2() 1 , 2(), 1 ()2 , 1 () 1 , 1 (21pcccaaappcpcpcpcccpcccxxxxxxppppxxxxxxxxxxxxxxxxxx式中 1*)()(1),(NpnxxknxjnxpNkjc即通過求解下列方程組求apk n 性能分析：性能分析：適用于非平穩(wěn)信號；一些實驗結(jié)果說明它的分辨率優(yōu)于自相關(guān)法，另外對于純正弦信號數(shù)據(jù)，可以有效地估計正弦信號的頻率。 （2 2）. . 修正協(xié)方差法（前后向線性預(yù)測最小

12、二乘法）：修正協(xié)方差法（前后向線性預(yù)測最小二乘法）：n 估計方法：估計方法：修正協(xié)方差法使用前向和后向預(yù)測誤差平均值最小的方法， 估計AR模型的參數(shù)，進而估計信號的功率譜。0ppkpkaa)(5 . 0pbpep 前向和后向預(yù)測誤差功率pe、pb分別用下式表示： 2101*211)()(1)()(1pNnpkpkpbNpnpkpkpeknxanxpNknxanxpN 預(yù)測誤差平均功率最小pllnxknxanxlnxknxanxpNapkpkpNnNpnpkpkplp, 3 , 2 , 10)()()()()()(11*101*1經(jīng)過簡化，得到 1*10*11*10*)()()()()()()(

13、)(NpnpNnpkNpnpNnpklnxnxlnxnxlnxknxlnxknxa令 1*10*)()()()()(21),(NpnpNnxxknxjnxknxjnxpNkjc將上式寫成矩陣形式求apk ： )0 ,()0 , 2()0 , 1 (),()2 ,() 1 ,(), 2()2 , 2() 1 , 2(), 1 ()2 , 1 () 1 , 1 (21pcccaaappcpcpcpcccpcccxxxxxxppppxxxxxxxxxxxxxxxxxxn 性能分析：性能分析：該方法去掉了Burg法所用的Levinson的約束條件，估計得到的譜在譜線分裂和頻率偏移時較Burg法有較大改

14、善；該方法也適用于非平穩(wěn)信號。 幾種方法的比較：n自相關(guān)法可以用Levinson遞推算法，運算量小，但分辨率受窗長度的限制；n協(xié)方差法，去除了自相關(guān)法加窗處理的不合理假設(shè)，分辨率高，運算量較大；n修正協(xié)方差法，分辨率高，在譜線分裂和偏移上較Burg法有較大改善，運算量大；nBurg算法，可用改進的Levinson遞推算法，分辨率高，但對正弦信號存在譜線分裂和偏移現(xiàn)象。 例例4.5.1 已知信號的四個觀察數(shù)據(jù)為x(n)=x(0), x(1), x(2), x(3)=2, 4, 1, 3， 分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計AR（1）模型參數(shù)。 解解（1） 自相關(guān)法： 5 . 009)3()41 (4)

15、24(20) 1()(21)()(21) 1()()(| )(|4111111111114011401111402aaaaanxneaneneanxanxnenennn (2) 協(xié)方差法: 714. 00)3()41 (4)24(20) 1()(32)()(32) 1()()(| )(|31| )(|111111111311131111131212aaaanxneaneneanxanxnenenepNnnnNpn圖 4.5.3 AR模型階次太小時的平滑作用50.0030.0010.0010.0030.000.000.100.200.300.400.50真實AR(4)的PSDAR(2)的PSD模型PSD/dB/4 4、 關(guān)于關(guān)于ARAR模型階次的選擇模型階次的選擇n 如果是純P階AR信號，應(yīng)選擇模型階次k P。 如果選擇模型階次kP時，將產(chǎn)生對譜的平滑作用，降低譜的分辨率。如果選擇kP，且假定觀測的數(shù)據(jù)沒有誤差（沒有干擾）