第三章 采樣與量化 2

1、第三章 采樣與量化3.1 采樣3.2 量化3.3 重構(gòu)與內(nèi)插3.4 仿真采樣頻率 本課的主要目的是研究利用數(shù)字計算機對通信系統(tǒng)進(jìn)行精確的仿真所需的基本方法。在大多數(shù)的通信應(yīng)用中，是通過要研究的系統(tǒng)來產(chǎn)生和處理信號波形的。當(dāng)然，計算機只能處理所關(guān)心的表示信號波形的采樣點的數(shù)值。另外，采樣點的值是經(jīng)過量化的。因此，在所有的數(shù)字仿真中，采樣和量化都是基本的操作，其中每一個操作都會給仿真結(jié)果帶來誤差。而完全消除這些誤差是不可能的，故往往需要作折中。我們所能做的頂多是使采樣和量化對仿真精度的影響最小化。 3.1 采樣數(shù)字信號是通過對模擬信號進(jìn)行采樣、量化和編碼得到的。模擬信號：是時間和幅度都連續(xù)的信號，

2、記作x（t）。采樣數(shù)據(jù)信號：對模擬信號采樣，采樣結(jié)果是產(chǎn)生幅度連續(xù)而時間離散的信號，數(shù)字信號：通過將時間采樣值編碼到一個有限的數(shù)值集合，可由采樣數(shù)據(jù)信號得到數(shù)字信號。注意：在這些處理的每一步中都會引入誤差。3.1.1低通采樣定理從時間連續(xù)信號X(t)到數(shù)字信號轉(zhuǎn)換第一步就是，對X(t)進(jìn)行等時間間隔采樣，得到采樣值 。參數(shù)Ts是采樣周期，其倒數(shù)就是采樣頻率fs。采樣操作的模型如下圖所示。( )() ssx tx kTx k采樣操作和采樣函數(shù)采樣信號Xs(t)是用信號X(t)乘以周期脈沖p(t)來產(chǎn)生。也即 信號p(t)叫采樣函數(shù)。假設(shè)采樣函數(shù)為窄脈沖，其取值為0或1。當(dāng)p(t)=1時， Xs(

3、t)= X(t)，當(dāng)p(t)=0時Xs(t) =0， p(t)可以是任意的。 由于p(t)是周期信號，可以用傅里葉級數(shù)表 示為式中的傅里葉系數(shù)由下式給出：將式(3.2)帶入式(3.1)中得采樣后的信號為采樣信號的傅里葉變換為交換上式中積分和求和的順序，有由于連續(xù)信號X(t)的傅里葉變換為則由式(3.6)可得采樣信號的傅里葉變換從上式可以看出，對時間連續(xù)信號的采樣導(dǎo)致了信號頻譜在直流點（f=0）和所有采樣點的諧波（f=nfs）處產(chǎn)生重復(fù)。由于假定采樣是瞬時的，p(t)可定義為：這就是所謂的沖擊函數(shù)采樣，其中采樣的值由沖擊函數(shù)的權(quán)來表示，將式(3.9)代入式(3.3)有應(yīng)用 函數(shù)的移位特性，有利用

4、式（3.2）顯示的結(jié)果，p(t)的傅里葉變換可寫成對脈沖函數(shù)采樣，對所有的n，式都成立。因此應(yīng)用式(3.8)，采樣后信號的頻譜變?yōu)檫@個結(jié)果也可從下面的表達(dá)式得到采樣在頻域表示下圖為由式(3.14)產(chǎn)生的帶限信號的采樣xs(f)的情況。重構(gòu)：通過使用低通濾波器在n0附近提取xs(f)的頻譜，可以完成從xs(t)到x(t)信號的重構(gòu)。要求：要完成無差錯的信號恢復(fù)，要求xs(f)在f=fs附近的頻譜與在f=0處的頻譜沒有重疊。換句話說式(313)中的頻譜必須是分離的。定理一如果采樣頻率如果采樣頻率fs大于大于2fh，那么帶限信號就可以，那么帶限信號就可以無差錯地通過其采樣信號恢復(fù)，這里無差錯地通過其

5、采樣信號恢復(fù)，這里fh表示被表示被采樣信號中出現(xiàn)的最高頻率。采樣信號中出現(xiàn)的最高頻率。注：這個定理通常指低通信號的采樣定理，但它對帶通信號同樣適用。 混疊：如果fsW這種典型情況下，用寬帶信號所需的采樣率對窄帶信號進(jìn)行采樣，其結(jié)果將導(dǎo)致仿真的時間過大，效率會很低。理想的是每個信號的采樣就采用適合本信號的采樣率。上采樣和內(nèi)插上采樣上采樣 就是提高采樣頻率。上采樣使得采樣周期降低M倍。因此，根據(jù)對應(yīng)的連續(xù)時間信號x(t)，上采樣過程從原有的采樣值 生成新采樣值 。作為例子，假定通過對重構(gòu)信號xr(t)在t=nTs/M處內(nèi)插來構(gòu)造一組新的采樣，其中重構(gòu)信號xr(t)由式(3-49)給出。進(jìn)行操作后為

6、：對sinc(.)進(jìn)行截斷有對sinc(.)進(jìn)行截斷有雖然不完美但是這是一個更實際的內(nèi)插器，增大L就可以降低內(nèi)插的誤差。然而，由于每個內(nèi)插采樣點需要2L+1個樣點，對于大的L，計算負(fù)荷往往是難以接受的。因此，在計算負(fù)荷和精度之間就有一個折中，這種折中在我們的仿真研究中會多次碰到。更實用的內(nèi)插器是線性內(nèi)插器，它比sinc()函數(shù)內(nèi)插所需的計算量要小得多。線性內(nèi)插器的脈沖響應(yīng)定義為：內(nèi)插操作圖如下： 很明顯，上采樣和下采樣郡引入了很多的額外開銷。如果上采樣倍數(shù)M適度，比方說是2或3，通常最好用單采樣頻率開發(fā)仿真系統(tǒng)，從而窄帶信號的過采樣會出現(xiàn)在系統(tǒng)中。然而，如果B和W相差太多，那么通常最有效的方法

7、是對仿真中每個具有不同帶寬的信號采用合適的采樣頻率。上采樣和內(nèi)插操作下采樣（抽值）下采樣下采樣是頻率降低的過程。實現(xiàn)方法：實現(xiàn)方法：這個過程通過用單個采樣代替M個采樣來完成，因此下采樣比上采樣簡單得多。 下采樣器輸出的采樣點是通過在采樣過程中對采樣周期增加M倍來完成的，因而下采樣器輸出的采樣點記作 。由 給出。采樣值由下式得到3.4 仿真采樣頻率開發(fā)仿真時要作的一個基本決定是選擇多大的采樣頻率。對于沒有反饋的線性系統(tǒng)，必須的采樣頻率是由可接受的混疊誤差決定的，而這又有賴于成型脈沖的功率譜密度。因為成形脈沖對選擇合適的采樣頻率很重要。 問題：問題：從采樣的研究得知，要完全消除混疊誤差需要無限的采

8、樣頻率，這在實際中顯然是不可能的。隨著采樣頻率的增加，對每個通過系統(tǒng)的數(shù)據(jù)符號都要處理更多的采樣點，而這會增加執(zhí)行仿真所需時間。在實際中不可能消除混疊現(xiàn)象，一個自然的策略就是選擇合適的采樣頻率，以便在混疊誤差和仿真時間之間達(dá)成折中。 表示數(shù)據(jù)隨機序列。在二進(jìn)制系統(tǒng)中，ak的典型取值是十1和-1，P(t)是脈沖成形函數(shù)，T是符號周期，而是在采樣周期上的均勻隨機變量，參數(shù)A是用于確定傳輸信號功率的比例常量。假定 和 分別表示數(shù)據(jù)序列的均值和自相關(guān)函數(shù)。傳輸通用模型如下其中3.4.1 通用開發(fā)傳輸信號的自相關(guān)函數(shù)為：式中所需采樣頻率由傳輸信號的PSD確定。應(yīng)用維納辛欽定理。有：我們目標(biāo)是選擇合適的采

9、樣頻率，而這個采樣頻率依賴于出現(xiàn)在仿真模型中的波形。其中，G(f)是脈沖成形函數(shù)P(t)的能量譜密度， =G(f), P(f)是p(t)的付里葉變換3.4.2 仿真采樣率 現(xiàn)在回到將采樣頻率和給定脈沖成形相關(guān)的問題上來。這種關(guān)聯(lián)是通過考慮采樣過程的信噪比來完成的，其中的噪聲功率來自于混疊。目標(biāo)是選擇一個采樣頻率，使得混疊誤差相對于所考察的系統(tǒng)性能的降低是可以忽賂的。我們將看到，所需的采樣頻率依賴于出現(xiàn)在仿真模型中的波形。以每個符號六個采樣的速率進(jìn)行采樣的矩形脈沖序列如上圖所示假設(shè)采樣頻率是符號頻率的六倍，數(shù)據(jù)序列的功率譜密度為：以每個符號m個采樣（fs=m/T）對數(shù)據(jù)序列進(jìn)行采樣有即由于混疊的信噪比可以表示為信號功率：噪聲功率：我們利用PSD是頻率的偶函數(shù)這一事實。信號功率可以通過在仿真帶寬 內(nèi)，對 的n=0項作積分確定?；殳B噪聲的功率是落在仿真帶寬內(nèi)的所有頻率平移項(n 0)的功率總和，因此矩形脈沖波形的信號混疊噪聲比 注意到，對每個符號進(jìn)行M10個采樣的情況，(SNR)a的值稍稍小于17dB而且(SNR)a的值隨m的增加而增大。然而，隨著m的增加，它對 (SNR)a的影響減小。同時注意到，對矩形成形脈沖，采樣后信號的PSD以1f2減小。對于三角成形脈沖，采樣信號的PS