梁的位移分析

1、彎曲變形彎曲變形 靜不定梁靜不定梁8-1 概概 述述一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問題一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問題 在工程實(shí)踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求在工程實(shí)踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。常工作。 搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。就會影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。 橋式起重機(jī)的橫梁變形過大橋式起重機(jī)的橫梁變形過大,則會使小車則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬

2、坡現(xiàn)象。行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。 但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。 例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。P2P2P1.撓曲線撓曲線二、彎曲變形的基本概念二、彎曲變形的基本概念撓曲線撓曲線2.撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角xyxv撓曲線方程：撓曲線方程：v f x ( )轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程： f xfx( )dd tan8-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方

3、程及其積分一、梁的撓曲線近似微分方程式一、梁的撓曲線近似微分方程式Kyy()/123 2yf x( ) 曲線曲線 的曲率為的曲率為1MEIz1123/2 vv()MEIvEIvMz 或 vEIvM M 0 xy v0MMMMM 0 v0 xy梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程:EIvM xEIvxM x ( ):( )或dd22二、用積分法求梁的變形二、用積分法求梁的變形式中積分常數(shù)式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定由邊界條件和連續(xù)條件確定EIvM x ( )EIvM xxC ( ) dEIvM xx xCxD ( ) d d 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI

4、。試求圖示簡。試求圖示簡支梁在均布載荷支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定方程，并確定max和和vmax。xylq解：解：M xqlxqx( ) 222EIvqlxqx 222EIvqlxqxC 4623EIvqlxqxCxD122434由邊界條件：由邊界條件：xvxlv000時，時，得：得：CqlD 3240,xqlxyAB梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：qEIlxxl2464233()vqxEIlxxl242233()最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max ABqlEI324vvqlEIxlmax

5、245384xqlxyAB 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸。試求圖示懸臂梁在集中力臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定程，并確定max和和vmax。xylPAB解：解：M xP lx( )() EIvP xPl EIvPxPlxC 22EIvPxPlxCxD6232由邊界條件：由邊界條件：xvv 000時，,得：得：CD 0 xylPABx梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：PxEIxl22()vPxEIxl263()最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max BPlEI22vvP

6、lEIBmax 33xylPABx 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡。試求圖示簡支梁在集中力支梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定程，并確定max和和 vmax。xyl2PABCl2解：解：ACM xPx段：( ) 2EIvPx 2EIvPxC 42EIvPxCxD123由邊界條件：由邊界條件：xv00時，得：得：D 0由對稱條件：由對稱條件：xlv 20時，得：得：CPl 216xyl2PABCl2xAC段段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：PEIxl16422()vPxEIxl484322()最

7、大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max ABPlEI216vvPlEIxlmax 2348xyl2PABCl2x 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支。試求圖示簡支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和和vmax。yaqABCxaaaDE解：由對稱性，只考慮半跨梁解：由對稱性，只考慮半跨梁ACDMxqaxxa11110()()EIvqaxEIvqaxqxa1122222()yaqABCxaaaDEqaqax1x2Mxqaxqxaaxa22222222()()()由連續(xù)條件：由連續(xù)條件：xxavvvv121212時,E

8、IvqaxC11212由邊界條件：由邊界條件：由對稱條件：由對稱條件：得CCDD1212xv1100時,得 D10 xav2220時,得 Cqa23116 EIvqax11EIvqaxqxa22222()EIvqaxC xD1131 116EIvqaxqxaC22223226()EIvqaxqxaC xD22324222624()梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：1212122223321211312232432261130631126110244442 qaEIaxxaqEIaxxaaaxavqaEIa xxxavqEIaxxaa xaxa()()()()最大轉(zhuǎn)

9、角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max AxqaEI1031116vvqaEIxamax 22421988-3 用疊加法計算梁的變形用疊加法計算梁的變形梁的剛度計算梁的剛度計算一、用疊加法計算梁的變形一、用疊加法計算梁的變形 在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。 當(dāng)梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所當(dāng)梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計算幾引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計算幾個載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可個載荷共同作用下在

10、某截面上引起的變形，則可分別計算各個載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。分別計算各個載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。例：用疊加法求例：用疊加法求vCAB、解：解：vC53844qlEIPlEI348mlEI216AqlEI324PlEI216mlEI3BqlEI324PlEI216mlEI3 例：已知梁的例：已知梁的 為常數(shù)，今欲使梁的撓曲為常數(shù)，今欲使梁的撓曲線在線在 處出現(xiàn)一拐點(diǎn)，則比值處出現(xiàn)一拐點(diǎn)，則比值為多少？為多少？lm2xm1xl/ 3EImm12/解：由梁的撓曲線近似微分方程解：由梁的撓曲線近似微分方程EIvM x ( )知，在梁撓曲線的拐點(diǎn)處有：知，在梁撓曲線的拐點(diǎn)處有：從彎矩圖可

11、以看出：從彎矩圖可以看出：mm1212lm2xm1M 0Mm2m1 例：例：兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁梁、如圖示，如圖示，梁的最大撓度是梁的最大撓度是梁的多梁的多少倍？少倍？2llP2PPlEI33 例：例：簡支梁在整個梁上受均布載荷簡支梁在整個梁上受均布載荷q作用，若作用，若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？lqvqlEImax 53844例：例：欲使欲使AD梁梁C點(diǎn)撓度為零，求點(diǎn)撓度為零，求P與與q的關(guān)系。的關(guān)系。解：解：vqaEIC 523844()PaaEI()2162 0Pqa56 例：若圖示梁例：

12、若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶矩，則力偶矩等于多少？等于多少？解：解：BPaEI 22maEI20mPa4例：求圖示梁例：求圖示梁 C、D兩點(diǎn)的撓度兩點(diǎn)的撓度 vC、 vD。解：解：vvqaEIqaEICD 05238452444,()例：求圖示梁例：求圖示梁B、D兩處的撓度兩處的撓度 vB、 vD 。解：解： vqaEIqaaEIqaEIB()()2823143434 vvqaaEIqaEIDB222488334()例：求圖示梁例：求圖示梁C點(diǎn)的撓度點(diǎn)的撓度 vC。解：解： 例：例： 用疊加法求圖示變截面梁用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的截面的撓度撓度 vB 、 vC 。解：解：

13、vPaEIPa aEIB323 22 2()()vvaPaEICBB33 5123PaEIBPaEIPa aEI22 22()342PaEI順時針 323PaEI例：例： 用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。解：解：CBqaEIqaEI3364順時針BqaaEIqaaEI22223216()qaEI312順時針 vaqaEIqaEICB448524 例：例： 用疊加法求圖示梁跨中的撓度用疊加法求圖示梁跨中的撓度vC和和B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角點(diǎn)的轉(zhuǎn)角B（為彈簧系數(shù)）。（為彈簧系數(shù)）。解：彈簧縮短量解：彈簧縮短量BqkqlEIqlEI8224222433qkqaEI873843順時

14、針 vqlkqlEIC1657684 qlk8 例：例： 梁梁AB，橫截面為邊長為，橫截面為邊長為a的正方形，的正方形，彈性模量為彈性模量為E1；桿；桿BC，橫截面為直徑為，橫截面為直徑為d的圓的圓形，彈性模量為形，彈性模量為E2。試求。試求BC桿的伸長及桿的伸長及AB梁梁中點(diǎn)的撓度。中點(diǎn)的撓度。 例：例： 圖示梁處為彈性支座，彈簧剛度圖示梁處為彈性支座，彈簧剛度。求。求C端撓度端撓度vC。kEIa23解：解：(1)梁不變形，僅彈簧變形引起的梁不變形，僅彈簧變形引起的C點(diǎn)撓度為點(diǎn)撓度為 vqakqaEIC14323 vqaEIaqaEIC 2342243()(2)彈簧不變形，僅梁變形引起的彈簧

15、不變形，僅梁變形引起的C點(diǎn)撓度為點(diǎn)撓度為(3)C點(diǎn)總撓度為點(diǎn)總撓度為 vvvqaEICCC12483例：用疊加法求圖示梁例：用疊加法求圖示梁B端的撓度和轉(zhuǎn)角。端的撓度和轉(zhuǎn)角。解：解：二、梁的剛度計算二、梁的剛度計算剛度條件：剛度條件：vvmaxmax v、是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時的要求。于構(gòu)件正常工作時的要求。 例：圖示工字鋼梁，例：圖示工字鋼梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷的許可載荷 P，

16、并校核強(qiáng)度。，并校核強(qiáng)度。解：由剛度條件解：由剛度條件vPlEIvlmax 348500得PEIl485002所以 .P 711kNmaxmaxMWz所以滿足強(qiáng)度條件。PlWz460MPa 711.kN8-4 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。就應(yīng)從上述各種因素入手。一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度EI二、減小跨度或增

17、加支承二、減小跨度或增加支承三、改變加載方式和支座位置三、改變加載方式和支座位置8-5 用變形比較法解靜不定梁用變形比較法解靜不定梁一、靜不定梁的基本概念一、靜不定梁的基本概念 用多余反力代替用多余反力代替多余約束，就得多余約束，就得到一個形式上的到一個形式上的靜定梁，該梁稱靜定梁，該梁稱為原靜不定梁的為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。相當(dāng)系統(tǒng)。二、用變形比較法解靜不定梁二、用變形比較法解靜不定梁例：求圖示靜不定梁的支反力。例：求圖示靜不定梁的支反力。 解：將支座解：將支座B看成看成多余約束，變形協(xié)調(diào)多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：條件為：vB 0即R lEIqlEIB34380RqlB38 另解：將支座另解：將支座A對截面對截面轉(zhuǎn)動的約束看成多余約轉(zhuǎn)動的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：束，變形協(xié)調(diào)條件為：A 0即M lEIqlEIA32403MqlA182 例：為了提高懸臂梁例：為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，的強(qiáng)度和剛度，用短梁用短梁CD加固。設(shè)二梁加固。設(shè)二梁EI相同，試求相同，試