初一邏輯原理

1、初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽系列講座(16)邏輯原理一、一、知識(shí)要點(diǎn)邏輯原理問(wèn)題,并不需要多少特別專(zhuān)門(mén)的知識(shí),關(guān)鍵在于審題,要認(rèn)真仔細(xì)地分析題意,弄清楚各個(gè)量之間的關(guān)系,深刻理解每句話的含義.二、二、例題精講例1小明、小強(qiáng)、小華三人參加迎春杯賽,他們是來(lái)自金城、沙市、水鄉(xiāng)的選手,并分別獲得一、二、三等獎(jiǎng).現(xiàn)在知道：1. (1)小明不是金城的選手；2. (2)小強(qiáng)不是沙市的選手；3. (3)金城的選手不是一等獎(jiǎng)；4. (4)沙市的選手得二等獎(jiǎng)；5. (5)小強(qiáng)不是三等獎(jiǎng).根據(jù)上述情況,小華是 的選手,他得的是 等獎(jiǎng).(第三屆迎春杯決賽試題)分析：顯然選手所在城市與選手獲獎(jiǎng)情況有聯(lián)系,我們就從這里找突破口,搞清了

2、各個(gè)城市的選手分別獲得哪等獎(jiǎng),問(wèn)題就解決了.解：由(4)知：金城的選手獲一等獎(jiǎng)或三等獎(jiǎng),又由(3)得金城的選手獲三等獎(jiǎng),從而水鄉(xiāng)的選手獲一等獎(jiǎng).由(2)知：小強(qiáng)是金城或水鄉(xiāng)的選手,又由(5)得小強(qiáng)是水鄉(xiāng)的選手,由(1)得小明是沙市的選手,從而小華是金城的選手,他獲三等獎(jiǎng).例2教室里的椅子壞了,第二天上學(xué)時(shí),老師發(fā)現(xiàn)椅子修好了.經(jīng)了解,椅子是A、B、C三人中的一個(gè)人修好的,老師找來(lái)這三人.A說(shuō)：“是B做的.B說(shuō)：“不是我做的.C說(shuō)：“不是我做的.經(jīng)調(diào)查,三人中只有一個(gè)說(shuō)了實(shí)話,椅子是誰(shuí)修的呢分析：由于三人中只有一個(gè)說(shuō)了實(shí)話,所以可以假設(shè)椅子是某人修好的,看結(jié)論是否符合“三人中只有一個(gè)說(shuō)了實(shí)話這一

3、條件.解：(1)假設(shè)椅子是 A修好的,那么A說(shuō)的是假話,B、C說(shuō)的都是實(shí)話.這樣有兩人說(shuō)了實(shí)話與“三人中只有一個(gè)說(shuō)了實(shí)話這一條件相矛盾,所以椅子不是A修好的.(2)假設(shè)椅子是B修好的,那么B說(shuō)的是假話,A、C說(shuō)的都是實(shí)話.這樣有兩人說(shuō)了實(shí)話與“三人中只有一個(gè)說(shuō)了實(shí)話這一條件相矛盾,所以椅子不是A修好的.(3)假設(shè)椅子是C修好的,那么A、C說(shuō)的是假話,B說(shuō)的是實(shí)話,符合“三人中只有一個(gè)說(shuō)了實(shí)話這一條件,所以椅子是C修好的.評(píng)注：此題運(yùn)用先假設(shè),再根據(jù)假設(shè)推出一個(gè)結(jié)論；如果結(jié)論與條件相矛盾,說(shuō)明假設(shè)不成立；如果結(jié)論符合條件,說(shuō)明假設(shè)正確.這種假設(shè)的方法是邏輯推理中經(jīng)常使用.例3趙、錢(qián)、孫、李四人,

4、一個(gè)是教師,一個(gè)是售貨員,一個(gè)是工人,一個(gè)是個(gè)體戶,根據(jù)以下條件,判斷這四人的職業(yè).(1) (1)趙、錢(qián)是鄰居,每天一起騎車(chē)上班；(2) (2)趙年齡比孫大；(3) (3)趙在教李打太極拳；(4) (4)教師每天步行上班；(5) (5)售貨員的鄰居不是個(gè)體戶；(6) (6)個(gè)體戶和工人互不熟悉；(7) (7)個(gè)體戶比售貨員和工人年齡都大.解：由(4)和(1)可知,趙、錢(qián)不是教師.由(2)和(7)知,孫不是個(gè)體戶.由于假設(shè)孫是個(gè)體戶, 那么由(2)和(7)知,趙不是售貨員,不是工人；由 (4)和(1)可知,趙也不是教師；這樣趙也是個(gè) 體戶,與假設(shè)矛盾.于是我們可得出下表：售貨員工人教師個(gè)體戶趙錢(qián)

5、孫李假設(shè)趙是工人,個(gè)體戶是錢(qián)或李,由 (6)可知,趙與錢(qián)或李應(yīng)互不熟悉,這與 (1)、(3)相 矛盾,這樣可知趙不是工人.又假設(shè)趙是個(gè)體戶,由(1)、(3)、(6)可知,孫是工人,錢(qián)是售貨員,但又與 (5)矛盾,所 以趙是售貨員.這樣又可得出下表：售貨員工人教師個(gè)體戶趙錢(qián)孫李根據(jù)(1)、(5)繼續(xù)分析,把上面的表格填滿,可得：錢(qián)不是個(gè)體戶,那么錢(qián)是工人；那么孫 不是工人,孫是教師,最后得李是個(gè)體戶.如下表：售貨員工人教師個(gè)體戶趙錢(qián)孫李V7最后得：趙是售貨員,錢(qián)是工人,孫是教師,李是個(gè)體戶.評(píng)注：分析邏輯推理問(wèn)題,借助表格,能使條件和推出的有用結(jié)論一目了然.在填表時(shí)通常把正確的結(jié)論打,錯(cuò)誤的打“

6、這樣可以保證推理的速度和正確性,而且不易被錯(cuò)誤信息干擾.例4今有棋子100顆,甲、乙兩人做取棋子的游戲,甲先取,乙后取,兩人輪流各取一次, 規(guī)定每次取p顆,p為1或20以內(nèi)的任一質(zhì)數(shù),不能不取.誰(shuí)最后取完誰(shuí)為勝者.問(wèn)甲、 乙兩人誰(shuí)有必勝的策略.解：乙有必勝的策略.由于p為1或20以內(nèi)的任一質(zhì)數(shù),所以p或者是2,或者可以表示為 4 k +1或4 k +3k 為0或正整數(shù)形式,乙可以采取如下的策略：假設(shè)甲取2顆,那么乙也取2顆；假設(shè)甲取4 k +1顆,那么乙取3顆；假設(shè)甲取4 k +3顆,那么乙取1顆；這樣,每次甲、乙兩人取走的棋子之和都是4的倍數(shù).由于100是4的倍數(shù),因此余下的棋子數(shù)必定還是

7、4的倍數(shù).從而經(jīng)過(guò)假設(shè)干回合后,剩下的棋子數(shù)必定為不超過(guò)20的4的倍數(shù).由于p不是4的倍數(shù),所以這時(shí)甲不能取走全部的棋子,從而最終乙可以取走全部的棋子.評(píng)注：此題中,甲雖然先取,但他沒(méi)有必勝的策略.而乙雖然后取,但他能根據(jù)甲的取法, 應(yīng)對(duì)有序,后發(fā)制人,最終取勝.由此看出,誰(shuí)能取得最后勝利,一要看他所面臨的情形, 二要看他采用的策略,兩者缺一不可.例5有三堆小石子.每次操作從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子不同次操作,取走的小石子數(shù)目可以不同,或?qū)⑵渲腥我欢讶绻湫∈訑?shù)是偶數(shù)的一半小石子移到另一堆上.開(kāi)始時(shí),第一堆有小石子 1989塊,第二堆有小石子 989塊,第三堆有小石子 89塊.能否使1 某

8、兩堆小石子一個(gè)不剩2三堆小石子都一個(gè)不剩第十五屆全俄數(shù)學(xué)奧林匹克試題分析：1很容易發(fā)現(xiàn)三堆小石子剛開(kāi)始時(shí)的小石子數(shù)的末兩位數(shù)字相同,因而首先三堆各 取89塊,這樣剩下的石子數(shù)是：1900、900、0,接下來(lái)將第二堆移 450塊到第三堆,石子數(shù)變?yōu)椋?900、450、450,再接下來(lái)三堆各取走 450塊就可以了.2發(fā)現(xiàn)最初三堆的石子數(shù)的和是：1989+989+89=3067,它不被3整除.而題目中的兩種操作方法不改變這個(gè)特征,因而可得出結(jié)論.解：1可以使某兩堆小石子一個(gè)不剩.只要按如下步驟取即可.1989 , 989, 891900 , 900, 01900, 450, 4501450, 0,

9、02最初三堆石子的總數(shù)是 1989+989+89=3067,它不能被3整除.而進(jìn)行任何一次操作后所得的三堆石子的總數(shù)被3除所得的余數(shù)不變,所以不管進(jìn)行幾次操作,三堆石子的總數(shù)被3除所得的余數(shù)都不為 0,即不可能將三堆石子都取光.評(píng)注：此題第二步中,抓住了三堆石子的總數(shù)被3除所得的余數(shù)不變這個(gè)特征,從而使問(wèn)題得到順利解決.因而解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析,抓住關(guān)鍵.例6人的血型通常為 A型、B型、O型、AB型.子女的血型與其父母血型間的關(guān)系如下表 所示：父母的血型子女可能的血型O、OOO、 AA、OO、 BB、OO、ABA、BA、AA、0A、BA、B、AB、0A、ABA、B、ABB、BB、0B、ABA、B、

10、ABAB、ABA、B、AB現(xiàn)有三個(gè)分別身穿紅、黃、藍(lán)上衣的孩子,他們的血型依次為O、A、Bo每個(gè)孩子的父母都戴著同樣顏色的帽子,顏色也分別為紅、 黃、藍(lán)三種,依次表示所具有的血型為 AB、A、0.問(wèn)穿紅、黃、藍(lán)上衣的孩子的父母各戴什么顏色的帽子第五屆華杯賽復(fù)賽試題分析：由于父母都戴著同樣顏色的帽子,所以父母的血型都相同,這樣血型表只需保存一、 五、八、十這4行.又由于三種顏色的帽子分別表示AB、A、0三種血型,所以第八行也可劃去.這樣血型表就比原來(lái)簡(jiǎn)單多了,再討論這個(gè)簡(jiǎn)表就不難得出血型間的關(guān)系,從而再得出題目結(jié)論.解：由于父母都戴著同樣顏色的帽子,所以父母的血型都相同,根據(jù)血型表,只有0、0,

11、A、A, B、B, AB、AB 符合條件.又由于父母都戴著紅、黃、藍(lán)三種顏色的帽子,而三種顏色依次表示所具有的血型為AB、A、0,所以符合條件的只有父母的血型0、0A、AAB、AB0、從上面的簡(jiǎn)表可以看出父母的血型為 父母戴藍(lán)帽子.劃去簡(jiǎn)表的第一行及子女血型中的0, A、A, AB、AB.因而,可以得出下面的簡(jiǎn)表： 子女可能的血型0A、0A、B、AB0的,孩子血型一定為 0,即穿紅上衣的孩子,0,又三個(gè)孩子中沒(méi)有 AB血型,所以子女血型中的AB也可劃去,這樣只剩第二行.由第二行,父母的血型為 A的,子女的血型一定為 A,即穿黃上衣的孩子,父母戴黃 帽子.最后,穿藍(lán)上衣的孩子,父母戴紅帽子.評(píng)注

12、：1、此題先將問(wèn)題簡(jiǎn)化,再?gòu)淖詈?jiǎn)單的情況入手,把結(jié)果能確定下來(lái)的先確定下來(lái), 然后再繼續(xù)討論,結(jié)果不能確定下來(lái)的,就分情況討論,這種方法叫枚舉法.枚 舉法在邏輯推理中常用.2、上面的解法是從父母的血型出發(fā)分析,從而確定孩子的血型,此題也可從孩子的 血型出發(fā)分析來(lái)確定父母的血型.例7在某市舉行的一次乒乓球比賽中 ,有6名選手參賽,其中專(zhuān)業(yè)選手與業(yè)余選手各 3名.比賽 采用單循環(huán)方式進(jìn)行,就是說(shuō)每?jī)擅x手都要比賽一場(chǎng).為公平起見(jiàn),用以下方法計(jì)分：開(kāi)賽前每位選手各有 10分作為底分,每賽一場(chǎng),勝者加分 ,負(fù)者扣分：每勝專(zhuān)業(yè)選手一 場(chǎng)的加2分,每勝業(yè)余選手一場(chǎng)的加 1分；專(zhuān)業(yè)選手每負(fù)一場(chǎng)扣 2分,業(yè)余

13、選手每負(fù)一 場(chǎng)扣1分.現(xiàn)問(wèn)：一位業(yè)余選手至少要?jiǎng)賻讏?chǎng)才能保證他必定進(jìn)入前三名第六屆華杯賽復(fù)賽試題分析：6名選手進(jìn)行單循環(huán)比賽,每名選手共進(jìn)行5場(chǎng)比賽,顯然1名業(yè)余選手只勝1場(chǎng)不能進(jìn)入前三名,5場(chǎng)全勝肯定能進(jìn)入前三名,因而我們只需討論1名業(yè)余選手勝二場(chǎng)、勝三場(chǎng)和勝四場(chǎng)三種情況,看是否能保證他必定進(jìn)入前三名.解：設(shè)業(yè)余選手為 A、B、C,專(zhuān)業(yè)選手為 D、E、F.(一卜如果A只勝兩場(chǎng),有三種情況：(1) A勝兩名專(zhuān)業(yè)選手,不妨為 D、E.在B、C、F都勝D、E,而且F勝B、C時(shí),B、C、F的分?jǐn)?shù)都比 A高,因此A 不能進(jìn)入前三名.(2) A勝一名專(zhuān)業(yè)選手,一名業(yè)余選手,不妨為 D、B在E、F、C都勝

14、D、B,而且E、F者陰4 C時(shí),E、F、C的分?jǐn)?shù)都比A高,因此 A不能進(jìn)入前三名.(3) A勝兩名業(yè)余選手 B、C在D、E、F者陰生B、C,而且D勝E, E勝F, F勝D時(shí),D、E、F的分?jǐn)?shù)都比 A高,因此A不能進(jìn)入前三名.所以如果A只勝兩場(chǎng),那么他不一定能進(jìn)入前三名.(二卜如果A恰好勝三場(chǎng),情況比剛剛要復(fù)雜.(1) A勝D、E、F.這時(shí)A比底分10分增加2 3-2 = 4分,其中又分兩種情況：如果有一名專(zhuān)業(yè)選手,比方 D,勝其他四人,那么 D比底分10增加2 2+2 1-2 =4分,剛好與A的得分相同.從而 E、F的得分均低于 A, B、C兩人即使都勝E、F, 他倆比底分10增加2 2+1-

15、1+1=5分與2 2+1-1-1=3分,從而A必定進(jìn)入前三名.如果每一名專(zhuān)業(yè)選手均未全勝其他四人,那么他們的得分都低于A, A必定進(jìn)入前三名.(2) A勝兩名專(zhuān)業(yè)選手,如 D、E,及一名業(yè)余選手,如 Bo這時(shí)A比底分10分增加 2 2+1-1-1=3分,其中又分多種情況.如果F恰好勝B、C中的一個(gè),那么在 F勝D、E時(shí),F的得分比底分增加 4分, 名次在A之上.假設(shè)同時(shí) B、C也都勝D、E,并且B勝F, C勝B,那么B的得分比 底分增加4分,C的得分比底分增加 5分,因此C、B、F的排名均在A前,即A勝3 場(chǎng)并不能保證他進(jìn)入前三名.由于前面已得到 A勝3場(chǎng)并不能保證他進(jìn)入前三名,所以 A勝3場(chǎng)

16、的其他情況就 不需要再討論.(三卜如果A勝4場(chǎng),分兩種情況討論.(1) A僅負(fù)于一名專(zhuān)業(yè)選手,比方 D,這時(shí)A比底分增加5分,而專(zhuān)業(yè)選手 E、F由于 被A擊敗,每人至多比底分增加 4分,名次均在A后面.同時(shí)B、C中至少有一人(B、 C之間的失敗者),負(fù)的場(chǎng)數(shù)多于 A,從而名次在 A后面.所以A必定進(jìn)入前三名.(2) A僅負(fù)于一名業(yè)余選手,比方B,按(1)中所說(shuō)的理由,D、E、F的名次均在 A后面,所以A必定進(jìn)入前三名.所以,如果A勝4場(chǎng),A必定進(jìn)入前三名.綜上所述,一名業(yè)余選手至少要?jiǎng)?場(chǎng)才能保證他必定進(jìn)入前三名.評(píng)注：此題也采用了枚舉法, 可見(jiàn)枚舉法是邏輯推理問(wèn)題中最常用的一種方法.枚舉一定

17、要耐心、仔細(xì).例8袋內(nèi)有100只球,其中紅球 28只、綠球20只、黃球12只、藍(lán)球20只、白球10只、 黑球10只.任意從袋內(nèi)摸球,要使一次摸出的球中,一定有 15只同色的球,那么, 從袋內(nèi)摸出的球的只數(shù)至少應(yīng)是多少分析：如果運(yùn)氣好的話,一下子從袋中摸出的15只球中都是紅球,或都是綠球,或都是藍(lán)球,問(wèn)題就解決了.但是,運(yùn)氣不是一直這樣好的,所以要一定有15只同色的球,必須從“最壞處考慮.解：從運(yùn)氣“最壞處考慮.假設(shè)一開(kāi)始12只黃球、10只白球、10只黑球全摸上了,此時(shí)已摸出32只球,但15只同色的球也沒(méi)摸到.接下來(lái),又摸出14只紅球、14只綠球、14只藍(lán)球,但還是沒(méi)摸到15只同色的球,此時(shí)已摸

18、出32+14 3=74只球.接下來(lái)再摸出任意一只,就可摸到15只同色的球,這樣從袋內(nèi)摸出的球的只數(shù)至少應(yīng)是 74+1=75 只.評(píng)注：此題應(yīng)用了數(shù)學(xué)中的極端原理,也就是從問(wèn)題“最壞的情況來(lái)分析.例9在黑板上寫(xiě)上三個(gè)整數(shù),然后將其中一個(gè)擦去,換上其他兩數(shù)的和與1的差,將這個(gè)過(guò)程重復(fù)假設(shè)干次后得到17, 1983, 1999.問(wèn)一開(kāi)始黑板上寫(xiě)出的是哪三個(gè)數(shù)分析：根據(jù)操作規(guī)那么,三個(gè)整數(shù)中擦去一個(gè),換上其他兩數(shù)的和與 1的差,假設(shè)擦去的是三個(gè)整數(shù)中的較大者,那么這三個(gè)整數(shù)越來(lái)越小,假設(shè)擦去的是三個(gè)整數(shù)中的較小者,那么這三個(gè)整數(shù)越來(lái)越大.現(xiàn)在經(jīng)過(guò)假設(shè)干次操作后,結(jié)果是 17, 1983, 1999,顯

19、然我們 要尋找最初最小的三個(gè)整數(shù),因而,要擦去的是三個(gè)整數(shù)中的較大者.由于題目告訴我們的是最后的結(jié)果,所以我們要往前推,尋找擦數(shù)的規(guī)律.解：根據(jù)題意,要擦去的是三個(gè)整數(shù)中的較大者.由于現(xiàn)在的結(jié)果是 17,1983, 1999,由于1999=1983+17-1 ,所以前三數(shù)中最大的是1983,即為(17, x, 1983).根據(jù)規(guī)那么,有 1983=x+17-1 ,x=1967所以又知再前面的三數(shù)中最大的是1967,即(17, y, 1967),又根據(jù)規(guī)那么,有 1967=y+17-1,y=1951.這樣,最大的數(shù)漸漸變小,直到出現(xiàn)比17還小.接下來(lái),尋找擦數(shù)的規(guī)律.設(shè)某次操作中的一組數(shù)為(a, b, c),且0abc,那么c=a+b-1,擦去c,那么有(a, d, b)