概率論與數(shù)理統(tǒng)計 23 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1 1、概率密度的定義及性質(zhì)、概率密度的定義及性質(zhì)2 2、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量、常見的連續(xù)型隨機(jī)變量在平面幾何中我們知道無法通過點(diǎn)的在平面幾何中我們知道無法通過點(diǎn)的長度長度來度量來度量線段的長度，（是用單位長度度量的），對于連續(xù)型隨機(jī)線段的長度，（是用單位長度度量的），對于連續(xù)型隨機(jī)變量而言，取到某一個點(diǎn)上的概率是沒有意義的。不能用變量而言，取到某一個點(diǎn)上的概率是沒有意義的。不能用離散型隨機(jī)變量的分布律（分布列）來描述連續(xù)型隨機(jī)變離散型隨機(jī)變量的分布律（分布列）來描述連續(xù)型隨機(jī)變?yōu)榇艘M(jìn)定義為此引進(jìn)定義的概率的分布。而是用考察事件的概率的分布。而是用考察事件X

2、X落在落在aXbaXb的概率。的概率。引言引言1、定義、定義2.8: :使對任意實數(shù)使對任意實數(shù) a, b (ab) , 有有Pa Xb則稱則稱X是是連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量, f (x) 稱為稱為概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),baf x dx=( ) ,abxf (x)O簡稱簡稱概率密度概率密度, 下圖為其幾何解釋下圖為其幾何解釋 A陰影面積陰影面積A = PaXb2、密度函數(shù)性質(zhì)、密度函數(shù)性質(zhì):f x dx(2) ( )= 1 . 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, , 若存在一個非負(fù)可積函數(shù)若存在一個非負(fù)可積函數(shù) f (x) , , (1) f (x)0 是可積的是可積的 ;一、定義及性質(zhì)一、

3、定義及性質(zhì)(3)連續(xù)性隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的一個重要連續(xù)性隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的一個重要區(qū)別是區(qū)別是: :連續(xù)型隨機(jī)變量取連續(xù)型隨機(jī)變量取單個值的概率為單個值的概率為0 .因為因為(4)對于兩個常數(shù)對于兩個常數(shù)a，b有有 P a X b = P aX b =P a X b = P aXb baf x dx=( )3、定理、定理2.4:若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X是連續(xù)型的是連續(xù)型的, , 其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為 f (x) , , 則有則有 GP XGf x dx=( ),其中其中 G 表示一個區(qū)域表示一個區(qū)域 , , 且設(shè)且設(shè) f (x) 在在G上可積上可積 .00limlim()0ax

4、xaxPXaP axXafx dxFxf (x)O陰影面積為陰影面積為F(x)x4 4、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：F(x) = P X x xf t dt x=( ) , 對于連續(xù)型隨機(jī)變量對于連續(xù)型隨機(jī)變量 X ，其密度，其密度函數(shù)為函數(shù)為 f (x) ,則則 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為注注 (1)F(x)與密度函數(shù)與密度函數(shù) f (x) 關(guān)系的幾何解釋如圖所示關(guān)系的幾何解釋如圖所示:(2)由積分上限函數(shù)的由積分上限函數(shù)的性質(zhì)可知性質(zhì)可知dF xf xdx( ) =( ) .例例1、(90(90年考研題年考研題) )設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的概率密度函數(shù)為的概

5、率密度函數(shù)為1 2| |( ),xf xex則則X的概率分布函數(shù)的概率分布函數(shù)F(x)=_。12| |( )( )xxxF xf x dxedx解解：111222- -x0=|x0+x0+( )xxxF xe dxedx當(dāng)當(dāng)時時：001111222- -=-|=-|xx xxeee12( )( )f xfx其其所所對對應(yīng)應(yīng)的的概概率率密密度度為為和和是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則必必1021102F(x) = xxexex故故。12211211( )( )xx 例例 、（年年考考研研題題）設(shè)設(shè)F F 和和F F為為兩兩個個分分布布函函數(shù)數(shù)，1221122A A :( ) ( ):( ) ( ):(

6、 ) ( )f x fxBfx F xCf x F x_為為概概率率密密度度的的是是。1221:( ) ( )( ) ( )Df x F xfx F x1122,(x) =( ) , ( )( )Ff xFxfx解解：由由題題意意知知1212121212( ( ) ( ) )F x F xF FF Ff FF f1212121( ) ( )( ) ( )( ) ( ) |f x F xF x fx dxF x F x故選（故選（D） axbf xba 其其它它1,( ) =0, 二、幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量二、幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量:(1) 定義定義2.9:1、均勻分布、均勻分布:若隨機(jī)變量

7、若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 X 在區(qū)間在區(qū)間 a , , b 上服從均勻分布上服從均勻分布, ,記為記為 X U a , , b , ,其中其中 a , , b 為參數(shù)為參數(shù), , a b .均勻分布對應(yīng)的隨機(jī)試驗概型為幾何概型，隨機(jī)試驗的均勻分布對應(yīng)的隨機(jī)試驗概型為幾何概型，隨機(jī)試驗的結(jié)果如果可用隨機(jī)點(diǎn)在區(qū)域上的位置來表示。而落在區(qū)結(jié)果如果可用隨機(jī)點(diǎn)在區(qū)域上的位置來表示。而落在區(qū)域上的位置可用隨機(jī)變量域上的位置可用隨機(jī)變量X來表示，且等可能性，這就是來表示，且等可能性，這就是幾何概型（或均勻分布）幾何概型（或均勻分布）設(shè)設(shè)X為落點(diǎn)的位置，則為落點(diǎn)的位置，

8、則XU(a，b)。 它用來描述一個隨機(jī)變量它用來描述一個隨機(jī)變量X在一個區(qū)間上取每一個值的可在一個區(qū)間上取每一個值的可能性均相等的分布規(guī)律。能性均相等的分布規(guī)律。均勻分布的密度函數(shù)均勻分布的密度函數(shù) 的幾何意義是：的幾何意義是： 0 , ( ) =, xax b (2) 均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù):xe xf x 其其它它,0( ) =0, (1) 定義定義2.9:2、指數(shù)分布、指數(shù)分布:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其其中中為為常常數(shù)數(shù)0 , X稱稱 服服從從參參數(shù)數(shù)為為 的的 . .指指數(shù)數(shù)分分布布指數(shù)分布可用來描述衰減的隨機(jī)現(xiàn)象，例如：在可靠指數(shù)

9、分布可用來描述衰減的隨機(jī)現(xiàn)象，例如：在可靠性問題中，電子元件的壽命，常常服從指數(shù)分布，隨性問題中，電子元件的壽命，常常服從指數(shù)分布，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間也服從指數(shù)分布。機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間也服從指數(shù)分布。(2) 分布函數(shù)分布函數(shù):xe xF x 其其它它1,0( ) =0, 指數(shù)分布密度函數(shù)的幾何意義指數(shù)分布密度函數(shù)的幾何意義:(3) 服從服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)指數(shù)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn): “無記憶性無記憶性”某個產(chǎn)品已經(jīng)用了某個產(chǎn)品已經(jīng)用了s s個小時，能持續(xù)再用個小時，能持續(xù)再用t t小時的概率與小時的概率與前面用過的時間前面用過的時間s s無關(guān)。這好像前面時間無關(guān)。這好像前面時

10、間s s個小時的經(jīng)歷個小時的經(jīng)歷“忘記了忘記了”，人們喜歡稱指數(shù)分布永遠(yuǎn)年輕！，人們喜歡稱指數(shù)分布永遠(yuǎn)年輕！, 0 , s t 對對任任意意 有有P Xst XsP Xt + = 事實上，有事實上，有P Xst Xs + 11 ( + )( ) + = PXstXsP XstP XstP XsP XsP Xs( + )1( + )= t 1( )s tsF steeP XF se 指數(shù)分布的這一性質(zhì)，使之具有廣泛的應(yīng)用，特別是指數(shù)分布的這一性質(zhì)，使之具有廣泛的應(yīng)用，特別是在可靠性理論與排隊論中更有廣泛的應(yīng)用。在可靠性理論與排隊論中更有廣泛的應(yīng)用。3、正態(tài)分布、正態(tài)分布:正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)

11、計中最重要的一個分布，正態(tài)分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的一個分布，很多隨機(jī)變量可以用正態(tài)分布來近似描述。譬如測量誤很多隨機(jī)變量可以用正態(tài)分布來近似描述。譬如測量誤差，產(chǎn)品的質(zhì)量，人的身高和年降水量等等均可用正態(tài)差，產(chǎn)品的質(zhì)量，人的身高和年降水量等等均可用正態(tài)分布來描述。凡隨機(jī)現(xiàn)象呈分布來描述。凡隨機(jī)現(xiàn)象呈“兩頭小，中間大兩頭小，中間大”都可以都可以用正態(tài)分布來描述。用正態(tài)分布來描述。進(jìn)一步研究表明，凡是考察的指標(biāo)都受到為數(shù)眾多的相進(jìn)一步研究表明，凡是考察的指標(biāo)都受到為數(shù)眾多的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個因素的影響都是微互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，而每一個因素的影響都是微小的（無主導(dǎo)因素）。

12、那么具有上述特點(diǎn)的指標(biāo)一般都小的（無主導(dǎo)因素）。那么具有上述特點(diǎn)的指標(biāo)一般都服從或近似服從正態(tài)分布。服從或近似服從正態(tài)分布。xf xex,22()21( ) =2 (1) 定義定義2.11:若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為XXN 稱稱 服服從從, , 記記作作正正分分布布 態(tài)態(tài)2( , ) ,其其中中,0 . xf (x)OXN 的的密密度度函函數(shù)數(shù)2( , )f x 的的圖圖形形: :( )txF xedt ,22()21( ) =2 (2) 正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù):xF (x)OS 其其圖圖形形為為一一條條光光滑滑上上升升的的 形形曲曲線線: :221( )

13、 =2,t xxedtx (2) 定義定義2.12:01(0,1) N稱稱 = , = = , = 時時的的正正態(tài)態(tài)分分布布 為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布. .( )x標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的密密度度函函數(shù)數(shù): :221( ) =2,xxex ( )x標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的分分布布函函數(shù)數(shù): :(1) () = 1( )xx注注(2) ( )x 中中不不含含任任何何未未知知參參數(shù)數(shù). .(i) = 1( ) ;P X xx (3) 定理定理2.5: 設(shè)設(shè)XN(0 , 1) , 則有則有(ii) =( )( ) ;P a X bba (iii) = 2 ( )1 .PX cc 注注 可

14、用可用 (x) 的定義證明定理的定義證明定理. 2 ( , ) , (0,1) .XXNY =N若若則則 (4) 定理定理2.6: ( ) ( ) ,XYX Y FxFy 設(shè)設(shè)與與的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為和和證證則則由由分分布布函函數(shù)數(shù)定定義義知知( ) = =YXFyP YyPy ( )X= P Xy= Fy 由由于于正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)且且處處處處可可導(dǎo)導(dǎo), , 所所以以若若( ) ( ) , XYX Y fxfy設(shè)設(shè) 與與的的密密度度函函數(shù)數(shù)分分別別為為和和則則有有(0,1) .XY =N故故 ( ) =( ) = ()YYXddfyFyFydydy 221=

15、 ()=2yXfye (5) 相關(guān)結(jié)論相關(guān)結(jié)論: 2 ( , ) , (), XNa b c ab設(shè)設(shè)對對于于任任意意實實數(shù)數(shù) , , , ,有有 =() ,cP Xc =() () .baP a 0），且），且= 2 (2.5) -1 = 20.9938 -1 = 0.982624= b - 4ac = 16 - 4X 4 = 1- PX4 = 1- PX414042=.XP 二次方程二次方程y2 +4y+X=0無實根的概率為無實根的概率為1/2,則則=_例例3 3、（8989年數(shù)年數(shù)1 1）設(shè)隨機(jī)變量）設(shè)隨機(jī)變量 在區(qū)間（在區(qū)間（1,61,6）上服從）上服從均勻分布，則均勻分布，則要使方程有根，則須使要使方程有根，則須使= 2 -40，即，即方程方程x2 + x+1=0 x+1=0有實根的概率是有實根的概率是_。11 650(, )( )f解解：由由題題意意知知其其他他40222 2 2 | |PPP456 62 21 15 5d則則a，b應(yīng)滿足應(yīng)滿足_。14 4 ( (1 10 0) )( )f x例例 、年年考考研