第2章 統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)回顧(統(tǒng)計(jì)部分)

1、第二章第二章統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)回顧(統(tǒng)計(jì)部分) 第二章 第一節(jié)第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的整理與描述一、總體、個(gè)體與樣本一、總體、個(gè)體與樣本（一）總體與個(gè)體（一）總體與個(gè)體總體：在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中，我們把研究對(duì)象的總體：在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中，我們把研究對(duì)象的 全體成為總體。全體成為總體。 當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)，也常時(shí)，也常把全體產(chǎn)品的特性看做為總體。把全體產(chǎn)品的特性看做為總體。個(gè)體：構(gòu)成總體的每個(gè)成員。個(gè)體：構(gòu)成總體的每個(gè)成員。 當(dāng)研究產(chǎn)品的某個(gè)特定的質(zhì)量特性當(dāng)研究產(chǎn)品的某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)，時(shí)， 把把一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值

2、x視為個(gè)體。視為個(gè)體。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （二）隨機(jī)樣本（二）隨機(jī)樣本 滿足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，滿足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱隨機(jī)樣本：簡(jiǎn)稱隨機(jī)樣本：1. 隨機(jī)性?？傮w中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣。隨機(jī)性。總體中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣。2. 獨(dú)立性。從總體中抽取的每個(gè)樣品對(duì)其它獨(dú)立性。從總體中抽取的每個(gè)樣品對(duì)其它 樣本樣本的的抽取無(wú)任何影響。的的抽取無(wú)任何影響。 隨機(jī)樣本可看做隨機(jī)樣本可看做n個(gè)相互獨(dú)立的、同分布的隨機(jī)個(gè)相互獨(dú)立的、同分布的隨機(jī)變量，其分布與總體分布相同。變量，其分布與總體分布相同。 下面所述的樣本都是指滿足這兩個(gè)要求的簡(jiǎn)單下面

3、所述的樣本都是指滿足這兩個(gè)要求的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。隨機(jī)樣本。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、統(tǒng)計(jì)量二、統(tǒng)計(jì)量1統(tǒng)計(jì)量的概念統(tǒng)計(jì)量的概念不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) 樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本 方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是 統(tǒng)計(jì)量，只有眾數(shù)除外。統(tǒng)計(jì)量，只有眾數(shù)除外。2抽樣分布抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （一）樣本數(shù)據(jù)集中位置的統(tǒng)計(jì)量（一）樣本數(shù)據(jù)集中位置的統(tǒng)計(jì)量（1）樣本均值）樣本均值x niixnx11（2）樣本中位數(shù)）

4、樣本中位數(shù)Me(或或 )x 1222121nnnxxx)x(Me，n為奇數(shù)為奇數(shù)，n為偶數(shù)為偶數(shù)（3）眾數(shù)（）眾數(shù)（Mod）數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值。數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （二）描述樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量（二）描述樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)量（2）樣本方差）樣本方差 niixxnS12211（1）樣本極差）樣本極差)()n(xxR1 極差也稱為全距，是最大值與最小值之間的距離，它是數(shù)據(jù)離散或差異程度的最簡(jiǎn)單測(cè)度值，即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因?yàn)橐驗(yàn)閚個(gè)離差（個(gè)離差（ ）的總和為零，所以）的總和為零，所以對(duì)于對(duì)于n個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)，獨(dú)立的離差個(gè)數(shù)只有個(gè)獨(dú)立

5、數(shù)據(jù)，獨(dú)立的離差個(gè)數(shù)只有n-1個(gè)，稱個(gè)，稱n-1為離差（或離差平方和）的為離差（或離差平方和）的自由度。故方差用離差平方和除以自由度。故方差用離差平方和除以n-1。xxi 簡(jiǎn)化計(jì)算公式：簡(jiǎn)化計(jì)算公式： niixnxnS122211或或 niniiixnxnS12122111機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差）樣本標(biāo)準(zhǔn)差2SS 標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、變異系數(shù)三、變異系數(shù)樣本變異系數(shù)樣本變異系數(shù)xsC 變異系數(shù)是衡量資料中各觀測(cè)值變異程度的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)進(jìn)行兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度的比較時(shí)，如果度量單位與平

6、均數(shù)相同，可以直接利用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)比較。如果單位和（或）平均數(shù)不同時(shí)，比較其變異程度就不能采用標(biāo)準(zhǔn)差，而需采用標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值（相對(duì)值）來(lái)比較。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、偏度與峭度四、偏度與峭度偏度偏度) 1()(3131nSxxVnii峭度峭度) 1()(4142nSxxVnii所謂偏度是指反映頻數(shù)分布偏態(tài)方向和程度的測(cè)度所謂峰度，是指頻數(shù)分布曲線高峰的形態(tài)，即反映分布曲線的尖峭程度的測(cè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 五、頻數(shù)（頻率）直方圖五、頻數(shù)（頻率）直方圖 為了研究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一為了研究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理。直方圖是為研究數(shù)

7、據(jù)變化規(guī)律而對(duì)定的加工整理。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （一）直方圖的作法（一）直方圖的作法 例例1 食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機(jī)抽取批罐頭中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行稱量，獲得罐頭的凈重個(gè)進(jìn)行稱量，獲得罐頭的凈重?cái)?shù)據(jù)如下：數(shù)據(jù)如下：342 352 346 344 343 339 336 342 347340340 350 347 336 341 349 346 348 342346347 346 346 345 344 350 348 352

8、 340356339 348 338 342 347 347 344 343 349341348 341 340 347 342 337 344 340 344346342 344 345 338 351 348 345 339 343345346 344 344 344 343 345 345 350 353345352 350 345 343 347 354 350 343 350344351 348 352 344 345 349 332 343 340346342 335 349 348 344 347 341 346 341342為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)做如下整理：為了解這組

9、數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)做如下整理： （1）找出這組數(shù)據(jù)中的最大值）找出這組數(shù)據(jù)中的最大值xmax及最小值及最小值xmin，計(jì)算它們的差計(jì)算它們的差R= xmax- xmin，R稱為稱為極差極差，也就是這，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍。在本例中組數(shù)據(jù)的取值范圍。在本例中xmax=356，xmin =332，從而從而R=356-332=24。 （2）根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量）根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量n，決定分組數(shù)，決定分組數(shù)k及組距及組距h。 選擇選擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過(guò)多，但也不能太少。律，組數(shù)不能過(guò)多，但也不能太少。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

10、 返回 結(jié)束 每一組的區(qū)間長(zhǎng)度，稱為組距。組距可以相等，每一組的區(qū)間長(zhǎng)度，稱為組距。組距可以相等，也可以不相等。組距相等的情況用得比較多，不過(guò)也可以不相等。組距相等的情況用得比較多，不過(guò)也有不少情形在對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個(gè)或兩也有不少情形在對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個(gè)或兩個(gè)組，使用與其他組不相等的組距。對(duì)于完全相等個(gè)組，使用與其他組不相等的組距。對(duì)于完全相等的組距，通常取組距的組距，通常取組距h為接近的某個(gè)整數(shù)值。為接近的某個(gè)整數(shù)值。 在本例中，在本例中，n=100，取，取k=9，R/k=24/9=2.7，故，故取組距取組距h=3。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （3）確定組限，即每個(gè)區(qū)

11、間的端點(diǎn)及組中值。）確定組限，即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)及組中值。為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開(kāi)右閉的：將各組的區(qū)間確定為左開(kāi)右閉的： 通常要求通常要求 xmin, xmax。在等距分組。在等距分組時(shí)，時(shí)， ， ， ，而每一組的組中值而每一組的組中值0akahaa 01haa 12haakk 1)aa(xiii 121 在本例中取在本例中取 =331.5，則每組的組限及，則每組的組限及組中值見(jiàn)下表。組中值見(jiàn)下表。0a,(12110kkaaaaaa ，（，（，（，（，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （4）計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)

12、的頻數(shù)及頻率）計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率 確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)以及頻率中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)以及頻率 ，列出每組的，列出每組的頻數(shù)、頻率表，見(jiàn)下表。頻數(shù)、頻率表，見(jiàn)下表。n/nfii 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 頻數(shù)、頻率及累積頻率表頻數(shù)、頻率及累積頻率表組號(hào)組號(hào) i (1iiaa， ix in if 1 （331.5，334.5 333 1 0.01 2 （334.5，337.5 336 4 0.04 3 （337.5，340.5 339 11 0.11 4 （340.5，343.5 342 20 0.20 5 （343.5，

13、346.5 345 30 0.30 6 （346.5，349.5 348 19 0.19 7 （349.5，352.5 351 12 0.12 8 （352.5，355.5 354 2 0.02 9 （355.5，358.5 357 1 0.01 合計(jì)合計(jì) 100 1.00 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （5）作頻數(shù)頻率直方圖）作頻數(shù)頻率直方圖 在橫軸上標(biāo)上每個(gè)組的組限，以每一組的區(qū)在橫軸上標(biāo)上每個(gè)組的組限，以每一組的區(qū)間為底，以頻數(shù)（頻率）為高畫一個(gè)矩形，所得間為底，以頻數(shù)（頻率）為高畫一個(gè)矩形，所得的圖形稱為頻數(shù)（頻率）直方圖，如下圖。在本的圖形稱為頻數(shù)（頻率）直方圖，如下圖。在本例

14、中頻數(shù)直方圖及頻率直方圖的形狀是完全一致例中頻數(shù)直方圖及頻率直方圖的形狀是完全一致的。這是因?yàn)榉纸M是等距的。的。這是因?yàn)榉纸M是等距的。 在分組不完全等距的情形，在作頻率直方圖在分組不完全等距的情形，在作頻率直方圖時(shí)，應(yīng)當(dāng)用每一個(gè)組的頻率與組距的比值時(shí)，應(yīng)當(dāng)用每一個(gè)組的頻率與組距的比值 / 為為高作矩形。此時(shí)以每個(gè)矩形的面積表示頻率。高作矩形。此時(shí)以每個(gè)矩形的面積表示頻率。ifih機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 頻數(shù)（頻率）直方圖頻數(shù)（頻率）直方圖機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （二）直方圖的觀察與分析（二）直方圖的觀察與分析a. 對(duì)稱型對(duì)稱型b. 偏態(tài)型偏態(tài)型c. 孤島型孤島型d. 鋸

15、齒型鋸齒型e. 平頂型平頂型f. 雙峰型雙峰型機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 累積頻數(shù)分布累積頻數(shù)分布為了統(tǒng)計(jì)分析的需要，有時(shí)要觀察某一數(shù)值以上或某一數(shù)值以下頻數(shù)或頻率之和，這就累積頻數(shù)或累計(jì)頻率。由表的上方向表的下方的頻數(shù)或頻率相加就稱為“向下累積”，反之稱為“向上累積”。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二章 第二節(jié)第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 幾個(gè)重要的概率分布 多元統(tǒng)計(jì)研究的是多指標(biāo)問(wèn)題多元統(tǒng)計(jì)研究的是多指標(biāo)問(wèn)題,為了了解總體的特征為了了解總體的特征,通過(guò)對(duì)總體抽樣得到代表總體的樣本通過(guò)對(duì)總體抽樣得到代表總體的樣本,但因?yàn)樾畔⑹欠稚⒌驗(yàn)樾畔⑹欠稚⒃诿總€(gè)樣本上的在每

16、個(gè)樣本上的,就需要對(duì)樣本進(jìn)行加工就需要對(duì)樣本進(jìn)行加工,把樣本的信息濃把樣本的信息濃縮到不包含未知量的樣本函數(shù)中縮到不包含未知量的樣本函數(shù)中,這個(gè)函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量這個(gè)函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量,如如前面介紹的樣本均值向量前面介紹的樣本均值向量 、樣本離差陣、樣本離差陣 等都是統(tǒng)計(jì)量等都是統(tǒng)計(jì)量.統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.XL 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的抽樣分布有在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的抽樣分布有 分布、分布、 分布分布和和 分布分布. .在多元統(tǒng)計(jì)中在多元統(tǒng)計(jì)中, ,與之對(duì)應(yīng)的分布非別為與之對(duì)應(yīng)的分布非別為WishartWishart分布、分布、 分布和分布和WilksWilks分布分布. .2tF

17、2T 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、正態(tài)分布一、正態(tài)分布 略略機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常用抽樣分布常用抽樣分布1 的分布的分布X 設(shè)設(shè)X服從服從N（， ），（），（x1，x2，xn）是由）是由總體總體X中抽取的一個(gè)樣本，則服從中抽取的一個(gè)樣本，則服從N（， ）2 n/2 （1） 的精確分布的精確分布X二、樣本均值的分布二、樣本均值的分布機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （2） 的漸進(jìn)分布的漸進(jìn)分布X 設(shè)設(shè)X為任意分布，（為任意分布，（x1，x2，xn）是由總體是由總體X中抽取一個(gè)樣本，若中抽取一個(gè)樣本，若 ， ，則當(dāng)，則當(dāng)n時(shí)，時(shí)， 近似服從近似服從 N（， ）。）。 )x(

18、Ei02 )x(VariXn/2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、 分布分布2 設(shè)設(shè)X服從服從N(0，1)，且設(shè)（，且設(shè)（x1，x2，xn）是由總體是由總體X中抽取的一個(gè)樣本，則中抽取的一個(gè)樣本，則222212n 服從自由度為服從自由度為n的的 分布，記作分布，記作 (n)。2 2 2 設(shè)設(shè)X服從服從N（， ），則），則2 )n(S)n(11222 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n=1n=4n=10f(y)0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1有所改變有所改變. .2分布的概率密度圖形如下：分布的概率密度圖形如下：2顯然顯然分布的概率

19、密度圖形分布的概率密度圖形隨自由度的不同而隨自由度的不同而機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)1.1.),(22n設(shè)設(shè)nDnE2)(,)(22 則則2這個(gè)性質(zhì)稱為這個(gè)性質(zhì)稱為 分布的可加性分布的可加性. .2性質(zhì)性質(zhì)2.2.)(2122221nn ),(1221n設(shè)設(shè)),(2222n且且21與與22相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、四、 t 分布分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，XN(0，1)，Y (n)則則 服從自由度為服從自由度為n的的t分布記分布記作作tt(n)2xn/YXt 設(shè)設(shè)XN（， ），（），（x1，x2，xn） 是由總體是

20、由總體X中抽取的一個(gè)樣本，則中抽取的一個(gè)樣本，則2 )n( tn/sxt1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n=4n=10n=1xt(x;n)o t分布的概率密度函數(shù)關(guān)于分布的概率密度函數(shù)關(guān)于t=0對(duì)稱，且當(dāng)對(duì)稱，且當(dāng)n充分充分大時(shí)大時(shí)(n30)，其圖形與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，其圖形與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的圖形非常接近的圖形非常接近.但對(duì)于較小的但對(duì)于較小的n，t 分布與分布與N (0,1)分分布相差很大布相差很大.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且XN（， ），）， YN（， ），（），（x1，x2，xn1）與）與 （y1，y2，yn2）

21、分別由總體）分別由總體X和和Y中抽中抽 取的樣本，則取的樣本，則2 2 )nn( tnnnnS)n(S)n()()yx(21121121212122221121 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 五五 、 F 分布分布 設(shè)設(shè)X與與Y相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且X2(N1)，Y2(N2)則則 服從自由度為（服從自由度為（N1，N2）的）的F 分布。分布。記作記作 FF(N1，N2)。21N/YN/XF 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xo)n,n;x(f21 2n201 n252 n102 n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，X ，Y ， (x1，x2，xn)

22、與與(y1，y2，ym)分別由分別由X 和和Y中抽取的樣本，則中抽取的樣本，則 211 ,N 222 ,N22222121 /S/SF(n1，m1)當(dāng)當(dāng) = = 時(shí)，則時(shí)，則21 22 2 )m,n(FSS112221 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二章 第三節(jié)第三節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 參數(shù)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)1概念概念 設(shè)設(shè) 是一個(gè)未知參數(shù)，是一個(gè)未知參數(shù)， 由總由總體體X中抽取的樣本，則用中抽取的樣本，則用 來(lái)估來(lái)估計(jì)計(jì) ，則稱，則稱 為為 的估計(jì)量（或稱估計(jì)）。的估計(jì)量（或稱估計(jì)）。 nX,X,X21 nX,X,X21 2矩法估計(jì)矩法估計(jì)（1）用樣本矩估計(jì)相應(yīng)

23、總體矩；）用樣本矩估計(jì)相應(yīng)總體矩；（2）用樣本矩的函數(shù)估計(jì)相應(yīng)總體矩的函數(shù)。）用樣本矩的函數(shù)估計(jì)相應(yīng)總體矩的函數(shù)。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.1.設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度為的概率密度為xexf 21)(| |1()02xE Xxedx 解：解：| |221()2xE Xxedx 22 X1， ， Xn為樣本，求參數(shù)為樣本，求參數(shù) 的矩估計(jì)的矩估計(jì).20()xx de 02xedx 02()xx d e 200()|2xxx exedx 201xxedx 令令222112niiAXn 得得2112niiXn 總體矩總體矩樣本矩樣本矩機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2.2.

24、設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)抽取抽取1010只燈泡，測(cè)得其壽命為只燈泡，測(cè)得其壽命為( (單位單位: :小時(shí)小時(shí)) )1050, 1100, 1080, 1120, 1200，1250, 1040, 1130, 1300, 1200，試用矩法估計(jì)該廠這天生產(chǎn)的試用矩法估計(jì)該廠這天生產(chǎn)的燈泡的平均壽命及壽命分布的方差燈泡的平均壽命及壽命分布的方差. .解：解：2 x )(1147101101hxii 1021110iixx （）2B 26821().h 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 000),(1xxeaxxfaxa，其中其中總體總體X 的樣本值，求參數(shù)

25、的樣本值，求參數(shù) 的極大似然估計(jì)值的極大似然估計(jì)值.例例3.3. 設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度為的概率密度為為待估參數(shù)，為待估參數(shù)，是已知常數(shù)，是已知常數(shù)，),(21nxxx是取自是取自解解: : niixfL1),()(aixniaieax 11 niaixaniinnexa111)(兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊取對(duì)數(shù)，得)(lnLalnnlnn n1iain1iix)xln()1a(對(duì)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo), ,并令其為并令其為0 0，dLd)(ln n1iaixn0 得得 niaixn1這就是這就是 的極大似然估計(jì)值的極大似然估計(jì)值. 二、二、 點(diǎn)估計(jì)優(yōu)劣的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)優(yōu)劣的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)（1）無(wú)偏性）無(wú)偏性 設(shè)設(shè)

26、 是是的一個(gè)估計(jì)量，若的一個(gè)估計(jì)量，若 ，則，則稱稱 是是的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)。 E （2）有效性）有效性 設(shè)設(shè) 都是都是的無(wú)偏估計(jì)量，若對(duì)一切的無(wú)偏估計(jì)量，若對(duì)一切的可能取值有：的可能取值有：21 , ，且至少有一個(gè)，且至少有一個(gè) ，嚴(yán)格，嚴(yán)格不等號(hào)成立，則不等號(hào)成立，則 比比 有效。有效。 21 VarVar0 1 2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （3）正態(tài)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)）正態(tài)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì) 的無(wú)偏估計(jì)有兩個(gè)，即的無(wú)偏估計(jì)有兩個(gè)，即 和和 。 xx 的無(wú)偏估計(jì)常用的只有一個(gè)，即的無(wú)偏估計(jì)常用的只有一個(gè)，即 。2 2S 的無(wú)偏估計(jì)有兩個(gè)，即的無(wú)偏估計(jì)有兩個(gè)，即 和和 2dR

27、4CS機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、區(qū)間估計(jì)三、區(qū)間估計(jì)（一）區(qū)間估計(jì)的概念（一）區(qū)間估計(jì)的概念 設(shè)設(shè)是總體分布中的未知參數(shù)，其一切可能取是總體分布中的未知參數(shù)，其一切可能取值組成的參數(shù)空間為值組成的參數(shù)空間為 ，從總體中抽取一個(gè)樣本，從總體中抽取一個(gè)樣本(x1，x2，xn)，對(duì)給定的，對(duì)給定的 ，確定，確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量： 與與 10 nLLx,x,x21 nuux,x,x21 對(duì)任意的對(duì)任意的 有有 1uLP 則稱則稱L,u是是的置信水平為的置信水平為 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 1 1- 置信區(qū)間的含義：置信區(qū)間的含義： 所構(gòu)造的一個(gè)隨機(jī)區(qū)間所構(gòu)造的一個(gè)隨機(jī)區(qū)間 能包含未

28、知參能包含未知參數(shù)數(shù) 的概率為的概率為1- 。由于這個(gè)隨機(jī)區(qū)間會(huì)隨樣本。由于這個(gè)隨機(jī)區(qū)間會(huì)隨樣本觀察值的不同而不同，它有時(shí)包含了參數(shù)觀察值的不同而不同，它有時(shí)包含了參數(shù) ，有時(shí)，有時(shí)沒(méi)有包含沒(méi)有包含 ，但是用這種方法作區(qū)間估計(jì)時(shí)，但是用這種方法作區(qū)間估計(jì)時(shí)，100次中大約有次中大約有100(1- )個(gè)區(qū)間能包含未知參數(shù)個(gè)區(qū)間能包含未知參數(shù) 。UL, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （二）一個(gè)正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間（二）一個(gè)正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間（1） 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2 的的1- 置信區(qū)間為：置信區(qū)間為： nuxnux 2121（2） 未知，求未知，求 的

29、置信區(qū)間的置信區(qū)間2 nsntxnsntx112121 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （3）方差）方差 的的1- 的置信區(qū)間（的置信區(qū)間（ 未知）未知）2 111122222212 nSnnSn（4）標(biāo)準(zhǔn)差）標(biāo)準(zhǔn)差 的的1- 的置信區(qū)間（未知）的置信區(qū)間（未知） 111122221 nnSnnS機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （三）比例（三）比例p的置信區(qū)間（大樣本場(chǎng)合）的置信區(qū)間（大樣本場(chǎng)合） 設(shè)總體設(shè)總體 ，樣本為，樣本為x1，x2，xn，樣本之和為樣本之和為K，樣本均值為，樣本均值為 則則 p,bX1nKx nKp （點(diǎn)估計(jì)）（點(diǎn)估計(jì)） 當(dāng)當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)，相當(dāng)大時(shí)， ，故，故p的

30、的 置置 信區(qū)間。信區(qū)間。 n/pp,pNx 1 1 n/xxuxpn/xxux 112121其中其中 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 分位數(shù)。分位數(shù)。21 u21 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4.某食品處理前取樣分析其含脂率為：某食品處理前取樣分析其含脂率為：0.19，0.12，0.18，0.30，0.21，0.27，0.30，0.42，0.66，0.08；處理后取樣分析其含脂率為：處理后取樣分析其含脂率為：0.15，0.04，0.13，0.08，0.00，0.20，0.07，0.12，0.24，0.13，0.24，假如處理前后的含脂率均假如處理前后的含脂率均 服從正態(tài)分布，且

31、方差不服從正態(tài)分布，且方差不變，試求處理前后的含脂率期望之差變，試求處理前后的含脂率期望之差1- 2的的置信度置信度為為0.95的的置信區(qū)間置信區(qū)間.1- 2的置信的置信度度為為1-的的置信區(qū)間置信區(qū)間是：是：解：解：由由 未知，但未知，但 ，可知，可知，2221,22221 由給定數(shù)據(jù)算得由給定數(shù)據(jù)算得，2730.x ，12730.y ，3221006186 .s，0281021.s ；101 n，112 n)2) 1() 1(112,2) 1() 1(112(21222211212121222211212122 nnSnSnnnnntYXnnSnSnnnnntYX）（）（所以，所以，1-

32、2的置信的置信度為度為0.95的的置信區(qū)間置信區(qū)間是：是： 計(jì)算計(jì)算）（2111122122221121212 nns )n(s )n(nnnntyx(）19100618. 6100281. 091111010930. 21273. 0273. 0(3 ），2632. 00282. 0( ），2632. 00282. 0(）（190250.t ）（2212 nnt，95. 01 ，05. 0 又又09302. 上節(jié)已經(jīng)給出了多元正態(tài)分布的定義上節(jié)已經(jīng)給出了多元正態(tài)分布的定義和有關(guān)的性質(zhì)和有關(guān)的性質(zhì), ,在實(shí)際問(wèn)題中在實(shí)際問(wèn)題中, ,通常可以假通?？梢约俣ū谎芯康膶?duì)象是多元正態(tài)分布定被研究的對(duì)象

33、是多元正態(tài)分布, ,但分布但分布中的參數(shù)中的參數(shù)和和是未知的是未知的, ,一般的做法是一般的做法是通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)。通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)。 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、均值向量和協(xié)差陣的估計(jì)四、均值向量和協(xié)差陣的估計(jì)均值向量的估計(jì)均值向量的估計(jì) 在一般情況下在一般情況下, ,如果樣本資料陣為：如果樣本資料陣為：/)(/)2(/)1(21212222111211),( nPnpnnppxxxxxxxxxXXXXXXX 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1.31) 112112111)(1pipniiniiniiniXXXXXXnXnX 即均值向量即均值向量的估計(jì)量

34、的估計(jì)量, ,就是樣本均值向量就是樣本均值向量. .這可這可由極大似然法推導(dǎo)出來(lái)。推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)由極大似然法推導(dǎo)出來(lái)。推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)33。 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)樣品設(shè)樣品 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,同遵從于同遵從于P P元正態(tài)分元正態(tài)分布布 , ,而且而且 ,0,0,則總體參數(shù)均值則總體參數(shù)均值的估計(jì)的估計(jì)量是量是)()2()1(,nXXX),(pNpn 協(xié)方差陣的估計(jì)協(xié)方差陣的估計(jì)總體參數(shù)協(xié)差陣總體參數(shù)協(xié)差陣的極大似然估計(jì)是的極大似然估計(jì)是 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(1)()( )(11XXXXnLniniipnipipninipipiinipipiniiXXXXXXXX

35、XXXXXXn1211222221111211)()()()()(1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中其中L L是離差陣，它是每一個(gè)樣品（向量）與是離差陣，它是每一個(gè)樣品（向量）與樣本均值（向量）的離差積形成的樣本均值（向量）的離差積形成的n n個(gè)個(gè) 階對(duì)階對(duì)稱陣的和。同一元相似，稱陣的和。同一元相似， 不是不是的無(wú)偏估計(jì)，為的無(wú)偏估計(jì)，為了得到無(wú)偏估計(jì)我們常用樣本協(xié)差陣了得到無(wú)偏估計(jì)我們常用樣本協(xié)差陣 作為總體協(xié)差陣的估計(jì)。作為總體協(xié)差陣的估計(jì)。 p11Lnpp 第二章 第七節(jié)第七節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 假設(shè)檢驗(yàn)(一一)基本思想基本思想 根據(jù)所獲得的樣本，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析的方法，

36、對(duì)根據(jù)所獲得的樣本，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析的方法，對(duì)總體總體X的某種假設(shè)的某種假設(shè)H0作出接受或拒絕的決定。作出接受或拒絕的決定。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （二）基本步驟（二）基本步驟1建立假設(shè)建立假設(shè) H0稱為原假設(shè)，稱為原假設(shè)，H1稱為備擇假設(shè)，如關(guān)于均稱為備擇假設(shè)，如關(guān)于均值值 常用有三類假設(shè)：常用有三類假設(shè)： H0： H1：H0： ，H1：0 0 （2）H0： ，H1：0 0 （1）0 0 （3）（1），（），（2）稱為單邊假設(shè)檢驗(yàn)）稱為單邊假設(shè)檢驗(yàn)（3）稱為雙邊假設(shè)檢驗(yàn)）稱為雙邊假設(shè)檢驗(yàn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T，確定拒絕域的形式，確定拒絕域

37、的形式 3給出顯著性水平給出顯著性水平 4給出臨界值，確定拒絕域給出臨界值，確定拒絕域 5根據(jù)樣本觀察值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值，根據(jù)根據(jù)樣本觀察值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值，根據(jù) 計(jì)算結(jié)果作出拒絕或接受計(jì)算結(jié)果作出拒絕或接受H0的判斷。的判斷。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)1. 1. 已知已知 ，檢驗(yàn)，檢驗(yàn)H H0 0： ，H H1 1：2 0 6 （1 1）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量n/xu 0（2 2）給定）給定 ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表定，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表定出臨出臨 界值界值 21 u（3 3）由樣本觀察值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量）由樣本觀察值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量u u（4 4）作出判定）作出判定當(dāng)當(dāng) 接受接受H H0 021 uu21 uu拒絕拒絕H H0 0，接受，接受H H1 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 已知已知 ，檢驗(yàn)，檢驗(yàn)H0： ，H1：