2.1-變化率與導數ppt課件

1、章頭圖、引言學習章頭圖、引言學習: 微積分的創(chuàng)始人微積分的創(chuàng)始人 牛頓，萊布尼茲牛頓，萊布尼茲導數的產生導數的產生1 1、由、由s=f(t)s=f(t)求速度和加速度。求速度和加速度。 2 2、求已知曲線的切線。、求已知曲線的切線。導數的作用：可以研究函數的增減性，變化快導數的作用：可以研究函數的增減性，變化快慢，最值問題，可以描述任何事物的瞬時變化慢，最值問題，可以描述任何事物的瞬時變化率如效率、率如效率、GDPGDP、CPICPI增長率等等。增長率等等。積分的的作用：可以求平面圖形的面積，變速積分的的作用：可以求平面圖形的面積，變速直線運動的路程，變力做功等問題，積分在生直線運動的路程，變

2、力做功等問題，積分在生活生產科研等很多領域都有廣泛應用?；钌a科研等很多領域都有廣泛應用。微積分的創(chuàng)立是微積分的創(chuàng)立是 數學史上劃時代的數學史上劃時代的里程碑。里程碑。1.1.1-1.1.2變化率與導數變化率與導數 21212121:r Vr VrVVVVr Vr VrVV V半 徑 的 增 量 體 積 的 增 量 就 是 氣 球 的。結 論一 定 時 ,r逐 漸 變 小 ， 即逐 漸 減 小平 均 膨 脹 率問題問題1 1 【氣球膨脹率】【氣球膨脹率】 一、變化率問題一、變化率問題2( )4.96.510h ttt 問題問題2 2 高臺跳水運動中，高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度是運動

3、員相對于水面的高度是00.5求秒的平均速度0 .504 .0 50 .50hhv2121hththvttt探究活動探究活動 氣球的平均膨脹率，跳水運動員的平均氣球的平均膨脹率，跳水運動員的平均速度是特殊的情況，我們把這一思路延伸到速度是特殊的情況，我們把這一思路延伸到函數上，歸納一下得出函數上，歸納一下得出函數函數 的平均變化率的平均變化率2121()()r Vr VVV2121h th ttt2121()()f xf xyxxx 12f xxx從 【平均變化率的幾何意義】 20021121,212 2+f xxxxxyxx【例】求在區(qū)間上的平均變化率;求函數在區(qū)間，上的平均變化率?！军c撥】求

4、函數f(x)的平均變化率的步驟是：(1)根據x1和x2值寫出自變量的增量x；(2)由yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)計算函數增量；問題：問題：1、運動員在、運動員在0 0.5秒這段時間是靜止的秒這段時間是靜止的嗎？嗎？2、你認為用平均速度描述運動員狀態(tài)有、你認為用平均速度描述運動員狀態(tài)有什么什么 問題嗎？問題嗎？3、你能求出、你能求出t=2時的速度嗎？時的速度嗎？能否從平均速度這個角度出發(fā)去求瞬時速度能否從平均速度這個角度出發(fā)去求瞬時速度(2)(2)hhthvtt2( )4.96.510h ttt 000(2)(2)limliml(4.913.1)1im3.1ttthhthttt

5、(2)(2)0 ,13.14.913.1hhthtvttt 當時一個穩(wěn)定值結論：(2)v用右式表示用右式表示逼近思想逼近思想體現了什么數學思想？ht0limtht00limlim(2)(2)(2)(2)tththvththhthtt 平 均 速 度從瞬 時 速 度過 渡 到問題：函數問題：函數 y =f(x) 在點在點x=x0處處的瞬時變化率怎樣表示？的瞬時變化率怎樣表示？二、導數的概念二、導數的概念00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 一般地，函數一般地，函數 y =f(x) y =f(x) 在點在點x=x0 x=x0處的瞬時變處的瞬時變化率是化率是0000()()

6、limlimxxf xxf xyxx ox xy0()fx我們稱它為函數我們稱它為函數 y = f (x)在點在點x=x0處的導數，處的導數，記為記為 或或，即，即定義定義:函數函數 y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000稱為函數稱為函數 y = f (x) 在在 x = x0 處的導數處的導數, 記作記作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其導數值一般也不相同的值有關，不同的與000)(. 1xxxf 的具體取值無關。與 xxf)(. 20一概念的兩個

7、名稱。瞬時變化率與導數是同. 3)(xfy 0 x由導數的定義可知，求函數由導數的定義可知，求函數在在處的處的導數的步驟導數的步驟:00()()f xxf xyxx（1求平均變化率求平均變化率:；00()limxyfxx （2取極限，得導數取極限，得導數:即：一差、二化、三極限即：一差、二化、三極限例例1、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第時，原油的溫度單位：時，原油的溫度單位：）為）為x h2( )715(08).fxxxx計算第計算第2 h原油溫度的瞬時變化率，原油溫度的

8、瞬時變化率，并說明它們的意義。并說明它們的意義。(2)(2):3yfxfxxx 解 00limlim(3)32xxxxfy 2=2,=2ftt為原油溫度在時的瞬時變化率反映了原油溫度在時附近的變化情況.2353yxxx【例 】求函數在處的導數.0(1)(1)lim3xfxfx 【變式訓練】【變式訓練】 (1)函數f(x)在x1，x2處有定義； (2)x2是x1附近的任意一點，即xx2x10，但x可正可負； (3)注意變量的對應，若xx2x1，則yf(x2)f(x1)，而不是yf(x1)f(x2)； (4)平均變化率可正可負，也可為零 2根據導數的定義，求函數yf(x)在x0處的導數的步驟 (1

9、)求函數的增量yf(x0 x)f(x0)；*3對導數概念的理解某點導數即為函數在這點的瞬時變化率，含著兩層含義： 考慮：設函數f(x)在點x0處可導，試求下列各極限的值 分析給出某抽象函數在某點x0處可導的條件，求另一抽象函數在某點x0處的導數，或求另一抽象函數在某點x0處的極限 點撥在導數的定義中，增量x的形式是多種多樣的，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇與之相對應的形式利用函數f(x)在xx0處可導的條件，可以將已給定的極限式恒等變形為導數定義的形式概念是解決問題的重要依據，只有熟練掌握概念的本質屬性，把握其內涵與外延，才能靈活地應用概念進行解題數學思想：體會“以直代曲，以不變應萬變，逼近思想”.0000()()()limxf xxf xfxx 0 xx3、導數概念：函數f x 在處的瞬時變化率即為f x 該處的導數。yx0limxyx 1、已知自由落體的運動方程為、已知自由落體的運動方程為s= gt2，求，求:(1) 落體在落體在t0到到t0+t這段時間內的平均速度；這段時間內的平均速度；(2) 落體在落體在t0=2秒到秒到