電磁場(chǎng)與電磁波chap4

1、主要內(nèi)容： 靜態(tài)的場(chǎng)唯一性定理 分離變量方法 Green函數(shù)方法 鏡像原理第四章第四章 靜態(tài)電磁場(chǎng)求解靜態(tài)電磁場(chǎng)求解4.1 4.1 靜態(tài)場(chǎng)的唯一性定理靜態(tài)場(chǎng)的唯一性定理1 1 靜態(tài)電磁場(chǎng)的方程靜態(tài)電磁場(chǎng)的方程 靜電場(chǎng)由電荷激發(fā)，電荷是靜電場(chǎng)的通量源。靜電場(chǎng)由電荷激發(fā)，電荷是靜電場(chǎng)的通量源。 恒定磁場(chǎng)由恒定電流激發(fā)，電流是靜態(tài)磁場(chǎng)的恒定磁場(chǎng)由恒定電流激發(fā)，電流是靜態(tài)磁場(chǎng)的 渦旋源。靜態(tài)電磁場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，具有相同的渦旋源。靜態(tài)電磁場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，具有相同的 基本特性?；咎匦?。 靜態(tài)電磁場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，屬于時(shí)不變場(chǎng)， 數(shù)學(xué)上滿足同一類方程（Poisson方程） rr2為介質(zhì)的電磁特性參數(shù) 靜態(tài)電磁場(chǎng)（

2、恒定電流磁場(chǎng)源區(qū)）具有 無(wú)旋特性，可以用標(biāo)量函數(shù)（稱為位函 數(shù)或勢(shì)函數(shù)）的梯度來(lái)表示，即 在介質(zhì)的分界面上，位函數(shù)滿足 rrF sSSSSnn|2121rr靜態(tài)電磁場(chǎng)的定解問(wèn)題為： MnM|，或邊界邊界rrrr2 r rn2 2 唯一性定理唯一性定理 設(shè)在區(qū)域V內(nèi)源已知，在區(qū)域的邊界S上： 或 已知（M為邊界上 的變點(diǎn)）。則在區(qū)域V內(nèi)存在唯一的解， 它在該區(qū)域內(nèi)滿足Poisson方程；在區(qū)域 的邊界上滿給定的邊界條件。稱為靜態(tài)電 磁場(chǎng)的唯一性定理。 M|邊界r Mn|邊界r 311rArrE 322rArrEttEE21nnDD212122112ddd21QAQSSSSESESD設(shè)兩個(gè)同心導(dǎo)體

3、球殼之間充滿兩種介質(zhì)。內(nèi)導(dǎo)體帶電，電荷量為Q，外導(dǎo)體球殼接地。 分離變量方法又稱為Fourier級(jí)數(shù)方法。其實(shí)質(zhì)是通過(guò)變量分離將原來(lái)的偏微分方程變?yōu)楹写▍?shù)的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函數(shù)。利用本征函數(shù)的完備性展開(kāi)表示待求函數(shù)；把求待求函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求展開(kāi)系數(shù)。通過(guò)邊界條件等確定展開(kāi)的系數(shù)，從而求出問(wèn)題的解 4.2 分離變量方法 CAB 02,00,0,0,0,0,0,00CyxyxzBxzxzyAzyr【例【例4-1】長(zhǎng)方形盒的長(zhǎng)為A、寬為B、高為C，上蓋電位為 ，其余接地，求盒內(nèi)的電位分布。 0 0000000000000dd1dd1dd1222222Z, y

4、, xYBYz , xz ,B, xXAXz , y,z , y,AzZZyYYxXX zZyYxXr0 00dd222AXXxXkxX 00dd222BYYxYlyY 00dd222ZzZpzZ0222plk ,m,Aml,yBmAyY,n,Ank,xAnAxX321sin321sin21 zlkCzZkl22sinhzBmAnyBmxAnCz , y, xm, nnmsinhsinsin221CBmAnmnCmmsinh162220上述求解過(guò)程，歸納分離變量方法的基本程序如下：上述求解過(guò)程，歸納分離變量方法的基本程序如下： 提煉出定解問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即方程和邊界條件；提煉出定解問(wèn)題的數(shù)學(xué)

5、表達(dá)式，即方程和邊界條件； 根據(jù)邊界條件選取適合變量分離的正交坐標(biāo)系；根據(jù)邊界條件選取適合變量分離的正交坐標(biāo)系； 把方程和邊界條件進(jìn)行變量分離，得到本征值方程；把方程和邊界條件進(jìn)行變量分離，得到本征值方程； 求解本征值方程，確定本征值和本征函數(shù)；求解本征值方程，確定本征值和本征函數(shù)； 根據(jù)線性疊加原理，由本征函數(shù)構(gòu)造定解問(wèn)題的解；根據(jù)線性疊加原理，由本征函數(shù)構(gòu)造定解問(wèn)題的解； 利用邊界條件確定展開(kāi)系數(shù)，利用邊界條件確定展開(kāi)系數(shù)， 驗(yàn)證解的正確性。驗(yàn)證解的正確性。 【例【例4-24-2】無(wú)窮長(zhǎng)導(dǎo)體圓筒，半徑為a，厚度 可以忽略不計(jì)。圓筒分成相等的兩個(gè)半片， 相互絕緣。其中的一半的電位為 ，另一

6、半電位為 ，求圓筒內(nèi)的電位分布。0V0V0V0V 20011002222,V,a,V,arrrrrr有限值, r, rn, rr0lim2 rRr nn202 有限值rRRndrdRrdrdrr02lim0 , ,n,nn3210sincos 00,ln00nnrbrarbarRnnnn當(dāng)當(dāng)0sincos,nnnnnBnArr20sincos000,V,VnBnAa,annnn012012sin1214nkkarkV, r4.3 Green 函數(shù)方法函數(shù)方法 VVrrrrrrr41d4dd小電荷元在 r 點(diǎn)產(chǎn)生的電位V V上體電荷在空間上體電荷在空間產(chǎn)生的電位是全體產(chǎn)生的電位是全體電荷元產(chǎn)生電

7、位的電荷元產(chǎn)生電位的疊加，表示為：疊加，表示為： VGVVVd4drrr,rrrr以電荷產(chǎn)生電位為例以電荷產(chǎn)生電位為例1 1Green Green 函數(shù)方法的基本思想函數(shù)方法的基本思想 上述分析說(shuō)明，只要點(diǎn)電荷元上述分析說(shuō)明，只要點(diǎn)電荷元 在空間在空間的電位求得，任意電荷分布的電位即可知。的電位求得，任意電荷分布的電位即可知。此即此即Green函數(shù)的基本思想。因此一個(gè)復(fù)雜的。因此一個(gè)復(fù)雜的靜電場(chǎng)問(wèn)題就可以通過(guò)先求解小電荷元的電靜電場(chǎng)問(wèn)題就可以通過(guò)先求解小電荷元的電位而獲得最終的。而小電荷元的電位的求解位而獲得最終的。而小電荷元的電位的求解又歸結(jié)為單位點(diǎn)電荷的電位，即又歸結(jié)為單位點(diǎn)電荷的電位，即

8、GreenGreen函數(shù)函數(shù)的的 求解。求解。 V dr)(rr,G2 Poisson2 Poisson方程的方程的GreenGreen函數(shù)函數(shù) MhnMrr2012nGG,Grr,rr,rrrr0)()(0nGnG,G,Grr,r ,rrrrr sn)(GhVGsVddrr,rrr,rrSVSVd)d(2應(yīng)用當(dāng)?shù)?r把 還原 ，又可表示為，以靜電場(chǎng)為例 rh snGnGVGsVd)()()()(drr,rrrr,rr,rr 區(qū)域內(nèi)體電荷對(duì)電位的貢獻(xiàn)區(qū)域邊界面上電荷對(duì)電位的貢獻(xiàn)區(qū)域邊界面上區(qū)域邊界面上電偶極矩貢獻(xiàn)電偶極矩貢獻(xiàn)ns sGGn rr,Prr,r兩個(gè)特例：（1)1)第一類邊界條件的G

9、reen函數(shù) MMrr2012|s,G,Grrrrrr snGVGsVd)(drr,rrr,rr物理模型rrGreenGreen函數(shù)其物理意義是：函數(shù)其物理意義是： 接地導(dǎo)體殼內(nèi)單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位接地導(dǎo)體殼內(nèi)單位點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位（2)2)第二類邊界條件的Green函數(shù) Mnrrr2012|sn,G,Grrrrrr sGVGrsVd )(drrr,rr,r物理模型物理模型rrGreenGreen函數(shù)其物理意義是：函數(shù)其物理意義是： 封閉絕熱邊界條件下區(qū)域內(nèi)部單位熱源產(chǎn)生的封閉絕熱邊界條件下區(qū)域內(nèi)部單位熱源產(chǎn)生的恒定的溫度場(chǎng)，這是一個(gè)與物理原理相矛盾的結(jié)果恒定的溫度場(chǎng)，這是一個(gè)與物理原理相矛盾的

10、結(jié)果絕熱邊界條件：絕熱邊界條件：不與外界交換能量的邊界條件不與外界交換能量的邊界條件3 Green3 Green函數(shù)的對(duì)稱性函數(shù)的對(duì)稱性 在應(yīng)用Green函數(shù)方法求 解靜態(tài)電磁場(chǎng)問(wèn)題的一般 解時(shí)，為了解決表達(dá)式中 源點(diǎn)與場(chǎng)點(diǎn)出現(xiàn)矛盾的問(wèn) 題，有一個(gè)重要的假設(shè)：00n)(Gn)(GGGrr,r ,rrr,r ,r物理意義：物理意義： 點(diǎn)的源在點(diǎn)的源在r r 點(diǎn)點(diǎn)產(chǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)等于生的場(chǎng)等于 r r 點(diǎn)的點(diǎn)的源在源在 點(diǎn)點(diǎn) 產(chǎn)生的產(chǎn)生的場(chǎng)，具有互易性場(chǎng)，具有互易性 。rr,rrGrr ,G Green函數(shù)的求解： Green函數(shù)本身也是一個(gè)數(shù)學(xué)物理方程，所 有關(guān)于數(shù)學(xué)物理方程的求解方法也是Green

11、函數(shù)的求解方法，包括： 分離變量方法、積分變換方法 靜電鏡像方法、復(fù)變函數(shù)方法鏡像方法、復(fù)變函數(shù)方法 積分公式方法、積分公式方法、Fourier級(jí)數(shù)方法級(jí)數(shù)方法 【例【例4-34-3】求一無(wú)窮長(zhǎng)矩形】求一無(wú)窮長(zhǎng)矩形金屬殼內(nèi)單位線源的單位，金屬殼內(nèi)單位線源的單位，導(dǎo)體殼接地。導(dǎo)體殼接地。100sinsinm,nnmyamxanAy,x|y, xG設(shè)：（x0，y0）010000002|b ,ya ,x,Gyy,xx,Grrrrba122002sinsinm,nnmbymaxnbmanAy,x|y,xG 001221sinsinyyxxbymaxnbmanAm,nnm2200sin4sinbmana

12、bybnxanAnm4.4 鏡像方法 1 鏡像方法的基本思想鏡像方法的基本思想 以靜電場(chǎng)以靜電場(chǎng)Green函數(shù)滿足的函數(shù)滿足的方程為例：方程為例： 物理上它表示接地導(dǎo)體殼內(nèi)物理上它表示接地導(dǎo)體殼內(nèi) 單位點(diǎn)電荷的電位，它由單單位點(diǎn)電荷的電位，它由單 位電荷在直接激發(fā)的電位和位電荷在直接激發(fā)的電位和 邊界感應(yīng)電荷激發(fā)的電位兩邊界感應(yīng)電荷激發(fā)的電位兩個(gè)部分疊加而成。個(gè)部分疊加而成。 012|s,G,Grrrrrr感應(yīng)面電荷 上述表達(dá)式中，單位點(diǎn)電荷在空間產(chǎn)生的電位已 知道，因此方程的求解最終歸結(jié)為求出邊界感應(yīng) 電荷產(chǎn)生的電位。為了得到感應(yīng)電荷及其產(chǎn)生的 電位，人們?cè)噲D尋找一個(gè)或者多個(gè)想象的點(diǎn)電荷 來(lái)

13、等效邊界面上感應(yīng)電荷對(duì)電位的貢獻(xiàn)，這個(gè)想 象的一個(gè)或者多個(gè)點(diǎn)電荷稱為像電荷。這一方法 稱為鏡像方法。 無(wú)窮大接地導(dǎo)體平板上方單位點(diǎn)電荷在上半空間的電位。定解問(wèn)題是： 001002|z,Gz,Grrrrrr導(dǎo)體平板上方的電位為單位點(diǎn)電荷的貢獻(xiàn)和導(dǎo)體平板面上感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn)的疊加。如果能找到一個(gè)與導(dǎo)體平板感應(yīng)電荷在上半空間產(chǎn)生電位等效的像電荷Q來(lái)代替導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷，那么導(dǎo)體平板上方的電位可以表示為 2010441RQRGrr,R1R2001002|z,Gz,GrrrrrrQ,Grrrrrr021在上半空間等效在上半空間等效 像電荷的位置不在上半空間 像電荷像電荷在原電荷與感應(yīng)電荷中心的連線上

14、像電荷與原電荷的符號(hào)相反 像與原電荷在平面xoy上的電位為零原電荷像電荷所以：fe zr0Q22222201141hzyxhzyxGrr,0441020100|zzRQRGrr,he z rhf 上半空間的上半空間的Green函數(shù)函數(shù)(1) 鏡像原理的基本思想是尋找一個(gè)或幾個(gè)想象 的電荷等效邊界感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn)(2) 像電荷須在區(qū)域的外部，并且與區(qū)域原電荷 符號(hào)相反 (3) 像電荷在界面感應(yīng)電荷與原點(diǎn)電荷連線的延 長(zhǎng)線上。理論證明，區(qū)域外部像電荷位置與 區(qū)域內(nèi)原電荷的位置互為共軛點(diǎn)對(duì)。利用邊 界條件確定像電荷大小和位置。 接地導(dǎo)體球殼外部空間的Green函數(shù) 00102|ar,Grr,Grrrr

15、rr，2010441RQRGrr,cos212121addrRcos222222addrR0121arRQR0)(cos2)( )(212212222ddQadaQda00)()(212212222dd Q,da Qda122dad1daQ4.5 4.5 勢(shì)函數(shù)的多極矩展開(kāi)勢(shì)函數(shù)的多極矩展開(kāi)1. 1. 無(wú)界空間中勢(shì)函數(shù)需要計(jì)算：無(wú)界空間中勢(shì)函數(shù)需要計(jì)算：上述體積分的精確計(jì)算是困難的，其上述體積分的精確計(jì)算是困難的，其原因在于被積函數(shù)中包含了場(chǎng)點(diǎn)變量原因在于被積函數(shù)中包含了場(chǎng)點(diǎn)變量在內(nèi)。今天，利用數(shù)值計(jì)算的方法，在內(nèi)。今天，利用數(shù)值計(jì)算的方法，借助計(jì)算機(jī)能夠給出空間任意場(chǎng)點(diǎn)的借助計(jì)算機(jī)能夠給出空

16、間任意場(chǎng)點(diǎn)的數(shù)值，但希望對(duì)于數(shù)值結(jié)果的理解有數(shù)值，但希望對(duì)于數(shù)值結(jié)果的理解有一個(gè)簡(jiǎn)潔而又清楚的物理圖像，以便一個(gè)簡(jiǎn)潔而又清楚的物理圖像，以便建立相應(yīng)的物理模型。建立相應(yīng)的物理模型。 VVd410rrrr2 2 電位函數(shù)多極矩展開(kāi)電位函數(shù)多極矩展開(kāi) 由于激勵(lì)源所在區(qū)域的尺度遠(yuǎn)小于源到場(chǎng) 點(diǎn)的距離，將Taylor展開(kāi)公式 應(yīng)用于 得到： rrrrfnfnn!11rr rnrrrnn1!11! 211112rrrrr所以：利用得到其中 r.nVnnnV1!1d4100 rrr rrrQ1:611410DPr VVVQVVVd3ddrrrDrrPr rrrrrrrrfff:2 333231232221131211d3De e De e De e De e De e De e De e De e De e VzzyzxzzyyyxyzxyxxxVrrrD31ddd3321321321j , izx ,yx ,xxxxxx ,x ,xxxDVjiij，其中3 3 展開(kāi)式各項(xiàng)的意義展開(kāi)式各項(xiàng)的意義 電多極矩概念電多極矩概念零級(jí)展開(kāi)項(xiàng)：零級(jí)展開(kāi)項(xiàng)：表示電荷全部集中于坐標(biāo)原表示電荷全部集中于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電位。它點(diǎn)時(shí)在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電位。它是忽略電荷體中不同電荷元是忽略電荷體中不同電荷元到場(chǎng)點(diǎn)距離差別的直接結(jié)果到場(chǎng)點(diǎn)距離差別的直接結(jié)果 rQ004r VQVdr一級(jí)展開(kāi)項(xiàng)：是小電荷體中電荷分布的