大學(xué)物理：熱學(xué) 02

1、8.4 8.4 能量均分定理能量均分定理 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能 實(shí)際氣體分子具有一定實(shí)際氣體分子具有一定 的大小和比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)的大小和比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu),不能看作質(zhì)點(diǎn)。因不能看作質(zhì)點(diǎn)。因此，分子的運(yùn)動不僅有平動此，分子的運(yùn)動不僅有平動,還有轉(zhuǎn)動還有轉(zhuǎn)動,以及分子內(nèi)原子間的振動。分子以及分子內(nèi)原子間的振動。分子熱運(yùn)動的能量應(yīng)把這些運(yùn)動的能量都熱運(yùn)動的能量應(yīng)把這些運(yùn)動的能量都 包含在內(nèi)。為了說明分子無規(guī)則包含在內(nèi)。為了說明分子無規(guī)則運(yùn)動的能量所遵從的統(tǒng)計規(guī)律運(yùn)動的能量所遵從的統(tǒng)計規(guī)律,并在此基礎(chǔ)上計算理想氣體的內(nèi)能并在此基礎(chǔ)上計算理想氣體的內(nèi)能,下面下面將介紹力學(xué)中自由度的概念。將介紹力學(xué)中

2、自由度的概念。一、自由度一、自由度i :決定一個物體在空間的位置所需的決定一個物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)獨(dú)立坐標(biāo)的個數(shù)。的個數(shù)。1.自由質(zhì)點(diǎn)的自由度：自由質(zhì)點(diǎn)的自由度：i=3（x、y、z）；）；2.自由剛體自由度：自由剛體自由度：i=6（x、y、z、）。）。oYXZP(x,y,z)確定剛體上某一點(diǎn)位置確定剛體上某一點(diǎn)位置:確定剛體轉(zhuǎn)軸的方位確定剛體轉(zhuǎn)軸的方位:確定剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度確定剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度,需要一個自由度需要一個自由度();需要二個自由度需要二個自由度(,);需要三個自由度需要三個自由度(x,y,z);vrti 自由度數(shù)目自由度數(shù)目3.氣體分子模型自由度氣體分子模型自由度

3、單原子分子模型單原子分子模型:質(zhì)心需要三個平動自由度質(zhì)心需要三個平動自由度;兩原子連線方位需要二個轉(zhuǎn)兩原子連線方位需要二個轉(zhuǎn)動自由度動自由度,一共五個自由度一共五個自由度;剛性雙原子分子模型剛性雙原子分子模型:彈性雙原子分子模型彈性雙原子分子模型:質(zhì)心需要三個平動自由度質(zhì)心需要三個平動自由度;兩原子連線方位需要二個轉(zhuǎn)動兩原子連線方位需要二個轉(zhuǎn)動自由度自由度,一個沿連線方位的振動自由度。一個沿連線方位的振動自由度。如氦原子如氦原子 如氧氣分子如氧氣分子i=t+r=3+2=5三個平動自由度三個平動自由度 i=t=3;i=t+r+s=3+2+1=6剛性三原子以上分子模型剛性三原子以上分子模型:i=t

4、+r=3+3=6OHHH2OHeO2 這說明平動自由度對能量而言是等價的。還可進(jìn)一步這說明平動自由度對能量而言是等價的。還可進(jìn)一步證明：證明：這就是這就是。在經(jīng)在經(jīng)典物理學(xué)中這一結(jié)論同樣適用于液體和固體分子熱運(yùn)動。典物理學(xué)中這一結(jié)論同樣適用于液體和固體分子熱運(yùn)動。kTvmvmvmvvvvvvmvmkTzyxzyxzyx21212121)(2121232222222222 ，又又 一個系統(tǒng)內(nèi)所有分子的動能（質(zhì)心系）和分子間相互一個系統(tǒng)內(nèi)所有分子的動能（質(zhì)心系）和分子間相互作用勢能的總和稱為系統(tǒng)的內(nèi)能。作用勢能的總和稱為系統(tǒng)的內(nèi)能。 對理想氣體而言，其分子間無相互作用，其內(nèi)能就是對理想氣體而言，其

5、分子間無相互作用，其內(nèi)能就是其所有分子動能之和。設(shè)其所有分子動能之和。設(shè)N為理想氣體分子總數(shù)，則其內(nèi)為理想氣體分子總數(shù)，則其內(nèi)能為：能為：單元子分子（單元子分子（ i=3 ）：）： 雙原子分子（雙原子分子（ i=5 ）：）：多原子分子（多原子分子（ i=6 ）：）：2/3kTk 2/5kTk kTk3 幾種分子結(jié)構(gòu)的平均總動能：幾種分子結(jié)構(gòu)的平均總動能：說明說明： （1）內(nèi)能完全決定于分子的自由度和氣體的熱力學(xué)溫度。內(nèi)能完全決定于分子的自由度和氣體的熱力學(xué)溫度。（2）“不計分子間的相互作用力不計分子間的相互作用力”是上述結(jié)論成立的條件。是上述結(jié)論成立的條件。（3）理想氣體再不同的狀態(tài)變化過程中

6、，只要溫度變化量）理想氣體再不同的狀態(tài)變化過程中，只要溫度變化量 相等，則它們的內(nèi)能變化也相等，即：內(nèi)能與過程無關(guān)相等，則它們的內(nèi)能變化也相等，即：內(nèi)能與過程無關(guān)RTiMMNENNMMNRkkTiNNEmolkAmolAk2:2 ，又又1摩爾氣體的內(nèi)能摩爾氣體的內(nèi)能( )。分子的平均平動動能分子的平均平動動能( );分子的平均總動能分子的平均總動能( );分子的平均總能量分子的平均總能量( );1摩爾氣體分子的總轉(zhuǎn)動動能摩爾氣體分子的總轉(zhuǎn)動動能( );2.寫出下列各量的表達(dá)式：寫出下列各量的表達(dá)式： 某種剛性雙原子分子的理想氣體處于溫度為某種剛性雙原子分子的理想氣體處于溫度為T的平衡態(tài)下的平衡

7、態(tài)下:1.三個容器內(nèi)分別儲有三個容器內(nèi)分別儲有1mol氦氣氦氣(He),1mol氫氣氫氣(H2),1mol氨氨氣氣(NH3)( 三種氣體均三種氣體均 視為剛性分子的理想氣體視為剛性分子的理想氣體),若它們的若它們的溫度都升高溫度都升高 1K , 則三種氣體內(nèi)能的增加分別是多少？則三種氣體內(nèi)能的增加分別是多少？思考題：思考題：(答案答案:12.5J, 20.8J, 24.9J)2/3kT2/5kT2/5kTRT2/5RT (答案答案: 1:8; 1:1; 5:24)（答案（答案: 不變不變,變變)（答案（答案:3 /5倍倍)3.有一個處于恒溫條件下的容器有一個處于恒溫條件下的容器,其內(nèi)貯有其內(nèi)貯

8、有1mol某種理想氣體某種理想氣體, 若容器發(fā)生緩慢漏氣若容器發(fā)生緩慢漏氣,試問容器內(nèi)氣體分子的平均平動動能是試問容器內(nèi)氣體分子的平均平動動能是否改變否改變?氣體的內(nèi)能是否改變氣體的內(nèi)能是否改變?4.兩個容器中分別貯有理想氣體氦和氧，已知氦氣的壓強(qiáng)是氧兩個容器中分別貯有理想氣體氦和氧，已知氦氣的壓強(qiáng)是氧氣的氣的1/2,氦氣的容積是氧氣的氦氣的容積是氧氣的2倍。試問氦氣的內(nèi)能是氧氣內(nèi)能倍。試問氦氣的內(nèi)能是氧氣內(nèi)能的多少倍的多少倍?5.質(zhì)量相等的的理想氣體氧和氦質(zhì)量相等的的理想氣體氧和氦,分別裝分別裝 在兩個容積相等的容在兩個容積相等的容器內(nèi)器內(nèi),在溫度相同的情況下在溫度相同的情況下,氧和氦的壓強(qiáng)

9、之比為氧和氦的壓強(qiáng)之比為 ;氧氧分子和氦分子的平均平動動能之比為分子和氦分子的平均平動動能之比為 ;氧和氦內(nèi)能之氧和氦內(nèi)能之比為比為_.練習(xí)練習(xí)1、一容器被中間的隔板分成相等的兩半、一容器被中間的隔板分成相等的兩半,一半裝有氦氣一半裝有氦氣, 溫度為溫度為250K;另一半裝有氧氣另一半裝有氧氣,溫度為溫度為310K，二者壓二者壓 強(qiáng)相等。求：去掉隔板兩種氣體混合后的溫度。強(qiáng)相等。求：去掉隔板兩種氣體混合后的溫度?；旌锨盎旌锨?對于氦對于氦:由于壓強(qiáng)相同由于壓強(qiáng)相同:混合前混合前,對于氧對于氧:221121221111TTRTVPRTVP解：解：混混 合前的總內(nèi)能合前的總內(nèi)能:112211020

10、10282523RTRTRTEEE混混 合后的總內(nèi)能合后的總內(nèi)能:RTTTRTRTEEE1212121)2523(2523由于混合前后的總內(nèi)能不變由于混合前后的總內(nèi)能不變:T=284KEE 0RTTTRT12111)2523(28練習(xí)練習(xí)2:一個大熱氣球的容積為一個大熱氣球的容積為 2.110 4 m3,氣球本身和負(fù)載質(zhì)氣球本身和負(fù)載質(zhì)量共量共4.5 10 3 Kg ,若外部空氣溫度為若外部空氣溫度為20C,要想使氣球上升要想使氣球上升,其內(nèi)部空氣最低要加熱到多少度其內(nèi)部空氣最低要加熱到多少度?nkTp 標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下空氣的密度:3kg/m29. 1o由于熱氣球內(nèi)外空氣壓強(qiáng)相同

11、由于熱氣球內(nèi)外空氣壓強(qiáng)相同(均取一個大氣壓均取一個大氣壓):ooTTT2211設(shè)熱氣球外空氣的密度設(shè)熱氣球外空氣的密度:1溫度溫度:1T設(shè)熱氣球內(nèi)空氣的密度設(shè)熱氣球內(nèi)空氣的密度:2溫度溫度:2T溫度溫度:K2730TT1T212由熱氣球所受浮力與負(fù)載重量平衡可得由熱氣球所受浮力與負(fù)載重量平衡可得:VgmgVg21mVTTToo)11(21C84o112mTTVTTVToooomgVg )(21T1T2128.58.5 氣體分子的速率分布率氣體分子的速率分布率 處于平衡態(tài)下的氣體，處于平衡態(tài)下的氣體，并非所有分子都以方均根并非所有分子都以方均根速率運(yùn)動，方均根速率只速率運(yùn)動，方均根速率只是分子速

12、率的一種統(tǒng)計平是分子速率的一種統(tǒng)計平均值，實(shí)際上個別分子的均值，實(shí)際上個別分子的速度大小和方向是毫無規(guī)速度大小和方向是毫無規(guī)則的或是偶然的，因而分則的或是偶然的，因而分子熱運(yùn)動速率是由子熱運(yùn)動速率是由0 的的連續(xù)隨機(jī)變量。但就大量連續(xù)隨機(jī)變量。但就大量分子整體來看，在平衡態(tài)分子整體來看，在平衡態(tài)下，它們的速率分布遵從下，它們的速率分布遵從一定的統(tǒng)計規(guī)律。一定的統(tǒng)計規(guī)律。“伽爾頓板伽爾頓板”統(tǒng)計規(guī)律實(shí)驗(yàn)圖統(tǒng)計規(guī)律實(shí)驗(yàn)圖: :一、測定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)一、測定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)lHg金屬蒸汽金屬蒸汽顯示屏顯示屏狹狹縫縫接抽氣泵接抽氣泵llvv2 1921年畢業(yè)于南京高等師范工科，年畢業(yè)于南

13、京高等師范工科，1929年自費(fèi)赴年自費(fèi)赴 美留學(xué)，在南加洲大學(xué)攻讀物理，美留學(xué)，在南加洲大學(xué)攻讀物理，1930年獲碩士學(xué)位年獲碩士學(xué)位 后，入舊金山柏克萊加洲大學(xué)研究院攻讀博士學(xué)位，后，入舊金山柏克萊加洲大學(xué)研究院攻讀博士學(xué)位， 研究課題是研究課題是“用分子束方法證明麥克斯韋波爾茲用分子束方法證明麥克斯韋波爾茲 曼分子速率分布定律實(shí)驗(yàn)曼分子速率分布定律實(shí)驗(yàn)”，1933年完成重要學(xué)術(shù)論年完成重要學(xué)術(shù)論 文文用分子束方法證明麥克斯韋波爾茲曼分子速用分子束方法證明麥克斯韋波爾茲曼分子速 率分布定律，并測定雙原子的鉍分子的分解熱率分布定律，并測定雙原子的鉍分子的分解熱獲物獲物 理學(xué)博士及美國物理學(xué)會和

14、數(shù)學(xué)學(xué)會金鑰匙各一枚。理學(xué)博士及美國物理學(xué)會和數(shù)學(xué)學(xué)會金鑰匙各一枚。 1933年回國，先后在武漢大學(xué)解放軍第二軍醫(yī)大學(xué)任教，積年回國，先后在武漢大學(xué)解放軍第二軍醫(yī)大學(xué)任教，積極從事教學(xué)、科研工作指導(dǎo)制成國內(nèi)第一架腦電波直流放大器，裝配極從事教學(xué)、科研工作指導(dǎo)制成國內(nèi)第一架腦電波直流放大器，裝配成成50萬倍的場效應(yīng)發(fā)射電子顯微鏡并與一機(jī)部、上海照相器材廠等合萬倍的場效應(yīng)發(fā)射電子顯微鏡并與一機(jī)部、上海照相器材廠等合作研制靜電復(fù)印機(jī)。作研制靜電復(fù)印機(jī)。1984年加入中國共產(chǎn)黨。年加入中國共產(chǎn)黨。1988年年3月因病逝世。月因病逝世。分子速率分布圖分子速率分布圖N：分子總數(shù)分子總數(shù) 為速率在為速率在

15、區(qū)間的分子數(shù)區(qū)間的分子數(shù).Nvvv)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比總數(shù)的百分比 .NNSvvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf二、二、 分布函數(shù)分布函數(shù)SfNNdd)(dvv 表示速率在表示速率在 區(qū)間區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 .vvvd1d)(d00vvfNNN 歸一歸一化條件化條件vvv dSdv)(vfo 表示在溫度為表示在溫度為 T 的平衡狀的平衡狀態(tài)下，速率在態(tài)下，速率在 v 附近附近單位速率單位速率區(qū)間區(qū)間 的分子數(shù)占總數(shù)的百分比的分子數(shù)占總數(shù)的百分比 .v)(vfo1vS2

16、vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 內(nèi)分子數(shù)內(nèi)分子數(shù)vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 區(qū)間的分子數(shù)區(qū)間的分子數(shù):21vv vvvvvvd )()(2121fNNS速率位于速率位于 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比21vv vvvde)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麥?zhǔn)消準(zhǔn)戏植己瘮?shù)分布函數(shù):三、三、 麥克斯韋氣體速率分布定律麥克斯韋氣體速率分布定律 反映理想氣體在熱動反映理想氣體在熱動平衡條件下，各速率區(qū)間平衡條件下，各速率區(qū)間分子數(shù)占總分子數(shù)的百分分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比的規(guī)律比的規(guī)

17、律 .vvNddNf)(v)(vfo四、四、 三種統(tǒng)計速率三種統(tǒng)計速率pv1）最概然速率最概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT41. 12pvmolMRT41. 1pvkNRmNMmolAA,v)(vfopvmaxf根據(jù)分布函數(shù)求得根據(jù)分布函數(shù)求得: 氣體在一定溫度下分氣體在一定溫度下分布在最概然速率布在最概然速率 附近附近單位速率間隔內(nèi)的相對分單位速率間隔內(nèi)的相對分子數(shù)最多子數(shù)最多 .pv物理意義物理意義NNNNNnniidddd2211vvvvv2）平均速率平均速率vNNfNNN00d)(dvvvvvmkTf8d)(0vvvvmolMRTmkT60. 160. 1vv)(vfo3）方

18、均根速率方均根速率2vmkT32vv)(vfoNNfNNN02022d)(dvvvvv2pvvvmkT32vmolMRT73. 12vmolMRT60.1vmolMRT41. 1pvmolMRT2pvmol8MRTvmolMRT32v 同一溫度下不同氣體同一溫度下不同氣體的速率分布的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo N2 分子在不同溫度下分子在不同溫度下的速率分布的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo1.氣體處于平衡態(tài)時氣體處于平衡態(tài)時,分子速率分布曲線如圖分子速率分布曲線如圖(1)所示所示,圖中圖中 A、B 兩部分兩部分的面積之比為的面積之比為1:2,則它們的物

19、理意義是什么則它們的物理意義是什么? 3.某氣體分子在溫度某氣體分子在溫度T1時的方均根速率等于溫度為時的方均根速率等于溫度為T2時的平均速率時的平均速率,則該二則該二溫度之比為溫度之比為T2/T1=?2.在圖在圖(2)中中, 兩條曲線分別表示相同溫度下兩條曲線分別表示相同溫度下, 氫氣和氧氣分子的速率分氫氣和氧氣分子的速率分布曲線布曲線,則則a表示什么表示什么 氣體分子的速率分布曲線氣體分子的速率分布曲線;b表示什么表示什么 氣體分子的氣體分子的速率分布曲線速率分布曲線, 又氧氣分子和氫氣分子的最概然速率之比為又氧氣分子和氫氣分子的最概然速率之比為 vpO2:vpH2 =? 圖圖(2)f（v

20、）voabf（v）vo圖圖(1)ABvp(答案答案:3:8)(答案答案:氧氧;氫氫;1:4)練習(xí)練習(xí)1、N個假象的氣體分子，其速率分布如圖所示個假象的氣體分子，其速率分布如圖所示 （當(dāng)（當(dāng)v2v0時，粒子數(shù)為零）。時，粒子數(shù)為零）。 （1）由）由N 和和 v0 求求a=? （2）求：速率在）求：速率在1.5v0到到2.0v0之間的分子數(shù)。之間的分子數(shù)。 （3）求：分子的平均速率。）求：分子的平均速率。Nf(v)v02v0a0v解：解：00000220)(vvovvvNavvvNvavf利用歸一條件：利用歸一條件：1)(0dvvf1)(0002000dvNadvvNvadvvfvvv032vNa

21、 321)(025 . 125 . 10000NavadvdvvNfNvvvv022000911)(0000vdvvNadvvNvadvvvfvvvvCNdvdNvf)(練習(xí)練習(xí)2:有有N個粒子，其速率分布函數(shù)為個粒子，其速率分布函數(shù)為)0(0 vv)(0vv 0)(vf（1）作速率分布曲線）作速率分布曲線（2）由）由 vo求常求常 數(shù)數(shù)C（3）求粒子的平均速率）求粒子的平均速率f（v）vovo（1）速率分布曲線）速率分布曲線（2）由歸一化條件）由歸一化條件（3）粒子的平均速率）粒子的平均速率0)(dvvf10ovCvCdvoovC/1dvvvfv)(0CvvCdvov20021oovvv21

22、12120解：解：8.6 氣體分子的平均自由程與平均碰撞次數(shù)氣體分子的平均自由程與平均碰撞次數(shù)每兩次連續(xù)碰撞之間每兩次連續(xù)碰撞之間一個分子自由運(yùn)動的平均一個分子自由運(yùn)動的平均路程。路程。一、一、 平均自由程平均自由程：單位時間內(nèi)一個分單位時間內(nèi)一個分子和其它分子碰撞的平子和其它分子碰撞的平均次數(shù)。均次數(shù)。二、平均碰撞頻率二、平均碰撞頻率Z：設(shè)分子的平均速率為設(shè)分子的平均速率為 vzvddd圍繞分子的中心圍繞分子的中心,以以 d為半徑畫出的球叫做分子的作用球。為半徑畫出的球叫做分子的作用球。(1)假定每個分子都是直徑為假定每個分子都是直徑為d 的剛性小球的剛性小球;(2)假定一個假定一個A分子以相對速率分子以相對速率 u 運(yùn)動運(yùn)動,其它分子都靜止不動其它分子都靜止不動;當(dāng)當(dāng)A分子與其它分子作一次彈性碰撞時分子與其它分子作一