熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理課后作業(yè)講稿

1、.1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù)試求理想氣體的體脹系數(shù)a a，壓力系數(shù)，壓力系數(shù)b b和等溫壓縮系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)k kT。 TnRTnRpnRVpnRTTVTVVpp1111aTnRTnRVnRpVnRTTpTppVV1111bpVpRTpnRTVpnRTpVpVVTTT111122k解：由理想氣體的狀態(tài)方程pV=nRT和a，b和kT的定義式可得： (1)(2)(3).證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量T，p的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù)a a及等溫壓縮系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)k kT，根據(jù)下述積分求得：，根據(jù)下述積分求得：

2、)(dpkdTInVTa，T1apkT1如果如果，試求物態(tài)方程。，試求物態(tài)方程。.1.8 滿足滿足pVn=C的過(guò)程稱為多方過(guò)程，其中常數(shù)的過(guò)程稱為多方過(guò)程，其中常數(shù)n名為多方指數(shù)。試證，理想氣名為多方指數(shù)。試證，理想氣體在多方過(guò)程中的熱容量體在多方過(guò)程中的熱容量Cn為為VnCnnC1.1.12 設(shè)理想氣體的設(shè)理想氣體的Cp和和CV之比之比 是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中T和和V的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)F(T)，其表達(dá)式為，其表達(dá)式為 TdTTInF) 1()(.1.14 根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相

3、交根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交解：用反證法來(lái)證明。解：用反證法來(lái)證明。兩條絕熱線交于一點(diǎn)兩條絕熱線交于一點(diǎn)C，一條等溫線，一條等溫線T與兩條絕熱線分別交于與兩條絕熱線分別交于A和和B兩點(diǎn)兩點(diǎn)（這樣的等溫線總能找到，因?yàn)榈葴鼐€的斜率總是比絕熱線的斜率?。＃ㄟ@樣的等溫線總能找到，因?yàn)榈葴鼐€的斜率總是比絕熱線的斜率小）。把把ABCA認(rèn)為是可逆循環(huán)，在循環(huán)中，僅在等溫過(guò)程中系統(tǒng)吸收認(rèn)為是可逆循環(huán)，在循環(huán)中，僅在等溫過(guò)程中系統(tǒng)吸收熱量熱量Q，系統(tǒng)對(duì)外作功的量值等于面積，系統(tǒng)對(duì)外作功的量值等于面積ABC。因此在循環(huán)過(guò)程中，系統(tǒng)。因此在循環(huán)過(guò)程中，系統(tǒng)從單一熱源吸收熱量完全轉(zhuǎn)化為有用的功而不引

4、起其他變化，這違背了從單一熱源吸收熱量完全轉(zhuǎn)化為有用的功而不引起其他變化，這違背了熱二定律的開(kāi)氏表述。因而，兩條絕熱線不能相交。熱二定律的開(kāi)氏表述。因而，兩條絕熱線不能相交。此外還有很多種證明的方法。此外還有很多種證明的方法。pVABC.1.15 熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量。在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱源中，熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量。在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為熱源的最高溫度為T1，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為T2.試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過(guò)試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過(guò)121TT.物體的

5、初溫物體的初溫T1高于熱源的溫度高于熱源的溫度T2。有一熱機(jī)在此物體與熱源之間工作，直到將。有一熱機(jī)在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到物體的溫度降低到T2為止。若熱機(jī)從物體吸取的熱量為為止。若熱機(jī)從物體吸取的熱量為Q，試根據(jù)熵增加原理，試根據(jù)熵增加原理證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為其中其中S1-S2是物體的熵減少量。是物體的熵減少量。)(212maxSSTQW.1.23 簡(jiǎn)單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量，如果以簡(jiǎn)單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量，如果以T，S為獨(dú)立參量，可以縱坐標(biāo)表示溫度為獨(dú)立參量，可以縱坐標(biāo)表示溫度T，橫坐標(biāo)表示熵，橫坐標(biāo)表示熵S，構(gòu)成，構(gòu)成T-S圖。圖中

6、的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)、一條曲線圖。圖中的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)、一條曲線與一個(gè)可逆過(guò)程相應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過(guò)程的曲線，并利用與一個(gè)可逆過(guò)程相應(yīng)。試在圖中畫出可逆卡諾循環(huán)過(guò)程的曲線，并利用T-S圖圖求卡諾循環(huán)的效率。求卡諾循環(huán)的效率。解：分析，在T-S圖上，可逆等溫過(guò)程是平行于橫縱的曲線，而可逆絕熱過(guò)程由于熵不變，因此是平行于縱軸的曲線。T-S圖上的卡諾循環(huán)曲線為 STT1T21234.0HpS0UVS2.3 求證：(a) ; (b) .0TVU0TpU2.4 已知，求證 .2.5 試證明一個(gè)均勻物體在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程中的熵隨體積的增減試證明一個(gè)均勻物體在準(zhǔn)靜態(tài)等壓過(guò)程中的熵隨體積的

7、增減取決于等壓下溫度隨體積的增減。取決于等壓下溫度隨體積的增減。VTCTCVTVVTTSTVTVTTSTTVTSVTTSVSpppppppppppaa111VTCTCVTVVTTSTVTVTTSTTVTSpTpVpTpSpVpSVSpppppppppaa111),(),(),(),(),(),(符號(hào)一致。和對(duì)于均勻物體ppTVVSVT, 0, 0.，pTpVTVTVTpCTpTVC2222,0220VVVVVdVTpTCCpppppdpTVTCC02202.8 證明證明并由此導(dǎo)出并由此導(dǎo)出根據(jù)上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容量只是溫根據(jù)上兩式證明，理想氣體的定容熱容量和定壓熱容量只是

8、溫度度T的函數(shù)。的函數(shù)。 . 2.12 一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力X與伸長(zhǎng)與伸長(zhǎng)x成正比，即成正比，即X=-Ax，比，比例系數(shù)例系數(shù)A是溫度的函數(shù)。今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自是溫度的函數(shù)。今忽略彈簧的熱膨脹，試證明彈簧的自由能由能F，熵，熵S和內(nèi)能和內(nèi)能U的表達(dá)式分別是：的表達(dá)式分別是： ,21)0 ,(),(2AxTFxTF,2)0 ,(),(2dTdAxTSxTS).(2)0 ,(),(2dTdATAxTUxTU .AxdxSdTdF.-.7.16 已知粒子遵從經(jīng)典波爾茲曼分布，其能量表達(dá)式為已知粒子遵從經(jīng)典波爾茲曼分布，其能量表達(dá)式為bxaxpppmzyx222

9、221其中，其中，a, b是常量，求粒子的平均能量。是常量，求粒子的平均能量。將能量表達(dá)式進(jìn)行配方，將能量表達(dá)式進(jìn)行配方，ababxapppmzyx422122222ababxapppmzyx422122222共含共含4個(gè)平方項(xiàng)個(gè)平方項(xiàng)由能量均分定理得，由能量均分定理得，abkT42142.8.8證明: (1) 根據(jù)普朗克公式，可知平衡輻射內(nèi)能按圓頻率的分布：decdTukT11),(332再根據(jù)c2可得，dcd22代入，可得 平衡輻射內(nèi)能密度按波長(zhǎng)的分布：18),(5kThcedhcdTu(2) 令 ，式變?yōu)椋簁Thcx18),(54455xexchTkTu.則，使u(,T)取極大值的波長(zhǎng)m

10、由下式確定：由于上式數(shù)值解為x=4.9651, 則，代入 ，有kThcxkhcTm9651. 4015xexdxd解得，55xex.8.14 求絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體中電子的平均速率求絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體中電子的平均速率解：根據(jù)絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體的性質(zhì)，可知絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體的性質(zhì)，可知T=0K時(shí)時(shí)一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)：一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)：)0(, 0)0(, 1ff考慮到 ，可將上式改為用動(dòng)量表示的形式：mp22)0(, 0)0(, 1ppfppf其中p(0)為費(fèi)米動(dòng)量，是0K下電子具有的最大動(dòng)量。且p(0)2=2m由于在體積V內(nèi)，T=0K，能量在pp+dp內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為：dpphV238.則，電子的平均動(dòng)量為：)0(43)0(31)0(418834)0(023)0(033pppdpphVdpphVppp因此，電子的平均速率為：mpmpv)0(43.8.18 求極端相對(duì)論條件下自由電子氣體在求極端相對(duì)論條件下自由電子氣體在0K時(shí)的費(fèi)米能量、時(shí)的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓。內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓。解：已知極端相對(duì)論條件下的能量動(dòng)量關(guān)系：=cp由于在體積V內(nèi)，+d的能量范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)：dchVdD238)(此處考慮的電子自旋的影響)絕對(duì)零度下金屬自由電子氣體一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)：絕對(duì)零度