防災地球物理場論課件2-第二章穩(wěn)定磁場

1、 1 1、真空中恒定磁場的基本方程、真空中恒定磁場的基本方程 2 2、矢量磁位、矢量磁位 3 3、磁偶極子、磁偶極子 4 4、磁介質(zhì)中的基本方程、磁介質(zhì)中的基本方程 5 5、 不同磁介質(zhì)分界面的邊界條件不同磁介質(zhì)分界面的邊界條件 6 6、標量磁位、標量磁位第二章 穩(wěn)定磁場 2.1 2.2 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程 安培力的實驗定律指出：安培力的實驗定律指出：在真空中載有電流在真空中載有電流I 1的回的回路路C1上任一線元上任一線元 對對另一載有電流另一載有電流I2的回路的回路C2上任一線元上任一線元 的作用的作用力為力為11I dl22I dl02211212233011()44I

2、 dlI dlRdFI dlI dlRRR1、電流產(chǎn)生磁場的規(guī)律、電流產(chǎn)生磁場的規(guī)律電流元電流元 受的作用實際是電流元受的作用實際是電流元 產(chǎn)生的磁場對它的作用產(chǎn)生的磁場對它的作用,11I dl22I dl02321114dFII dlRdlR即電流元即電流元 在電流元在電流元 處產(chǎn)生的磁場處產(chǎn)生的磁場 為為11I dl22I dl011134I dlRdBR上式就是熟知的上式就是熟知的畢畢薩薩定律定律1dB對于整個線電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為對于整個線電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為 若電流是具有體分布的電流若電流是具有體分布的電流 ，則為，則為 J若電流是具有面分布的電流若電流是具有面分布的電流 ，則為

3、，則為 SJ034CCIdlRBdBR疊加原理疊加原理/03( )( )4VJ rRB rdVR積分公式積分公式/03( )( )4SSJrRB rdSR積分公式積分公式 磁感應(yīng)強度可用一系列有向曲線來表示。曲線上某磁感應(yīng)強度可用一系列有向曲線來表示。曲線上某點的切線方向為磁感應(yīng)強度矢量的方向，這些曲線稱為點的切線方向為磁感應(yīng)強度矢量的方向，這些曲線稱為磁感線（磁力線）磁感線（磁力線） 。磁場線的矢量方程為。磁場線的矢量方程為 0B dl2、磁場的幾何描述、磁場的幾何描述磁感線磁感線3、恒定磁場的基本方程、恒定磁場的基本方程 1） 磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理 （磁場的高斯定理）（磁場的高斯定

4、理）mSB dS/034CCI dlRBdBR以線電流的磁場為例，求一閉合曲面的磁通量以線電流的磁場為例，求一閉合曲面的磁通量003344mSCCSIdlIdlRRdSdSRR 故故上式上式可寫為可寫為 31RRR 014mSCSIdlB dSdSR由矢量恒定式由矢量恒定式 VSAdVA dS 014mSCVIdlB dSdVR10R0SB dS0mSB dS磁通連續(xù)性原理（磁場的高斯定理）磁通連續(xù)性原理（磁場的高斯定理）0SVB dSBdV由于上式中積分區(qū)域由于上式中積分區(qū)域V是任意的，是任意的， 所以對空間的各點，所以對空間的各點， 有有 0B 上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應(yīng)

5、強度上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它表明磁感應(yīng)強度 是一個無源是一個無源(指指散度源散度源)場。場。 B2）安培環(huán)路定理）安培環(huán)路定理 0CB dlI 其中的電流其中的電流I為穿過以閉合曲線為穿過以閉合曲線C為邊界的曲面上電流的代為邊界的曲面上電流的代數(shù)和，即電流與閉合曲線相交鏈。數(shù)和，即電流與閉合曲線相交鏈。()CSSB dlBdSIJ dS0()SSBdSJ dS因上式的積分區(qū)域因上式的積分區(qū)域S是任意的，是任意的， 因而有因而有 0()SSBdSJ dS0BJ 上式是安培環(huán)路定理的微分形式，它說明磁場的渦旋源是上式是安培環(huán)路定理的微分形式，它說明磁場的渦旋源是電流電流。真空中恒定磁場的

6、基本方程真空中恒定磁場的基本方程 微分形式微分形式積分形式積分形式0BJ0CB dlI0B0SB dS1、定義、定義0BBA 2.3 矢矢 量量 磁磁 位位 定義：定義：BA 為矢量磁位為矢量磁位(簡稱磁矢位簡稱磁矢位)，其單位是，其單位是Tm(特斯拉特斯拉米米)或或Wb/m(韋伯韋伯/米米)。矢量磁位是一個輔助量。矢量磁位是一個輔助量。A 某點磁感應(yīng)強度某點磁感應(yīng)強度 B 等于該點矢量等于該點矢量磁位磁位 A 的旋度。的旋度。AAAB 關(guān)于關(guān)于矢量磁位矢量磁位說明說明：1）對于磁矢位散度的規(guī)定）對于磁矢位散度的規(guī)定BA 因為因為 僅僅規(guī)定了磁矢位僅僅規(guī)定了磁矢位 的旋度，由亥姆的旋度，由亥姆

7、霍茲定理知：還必須規(guī)定其散度，否則霍茲定理知：還必須規(guī)定其散度，否則 不唯一，如：不唯一，如：AA 、 具有相同的旋度，說明具有相同的旋度，說明 不唯一，應(yīng)規(guī)定其散度。不唯一，應(yīng)規(guī)定其散度。AA/A 若有一矢量若有一矢量 滿足滿足 ，另一矢量，另一矢量（ 是一個任意標量函數(shù)），是一個任意標量函數(shù)）， 和和 是是兩個不同的矢量函數(shù)兩個不同的矢量函數(shù)。BA /AAAA/A0A規(guī)定規(guī)定2）磁通的計算可通過矢量磁位計算）磁通的計算可通過矢量磁位計算mSSCmSCB dSA dSA dlB dSA dl （ 庫侖規(guī)定庫侖規(guī)定 ）C是曲面是曲面S的邊界線。的邊界線。00BJBAAJ 使用矢量恒等式使用矢量

8、恒等式 2()AAA 20AJ 2、矢量磁位方程、矢量磁位方程0A由關(guān)于由關(guān)于 散度的規(guī)定散度的規(guī)定A20A20AJ 磁矢位的泊松方程磁矢位的泊松方程對于無電流分布的區(qū)域?qū)τ跓o電流分布的區(qū)域( )，磁矢位滿足矢量拉普，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程拉斯方程 0J 關(guān)于磁場的求解問題，可歸結(jié)為求解磁矢位的泊松方程關(guān)于磁場的求解問題，可歸結(jié)為求解磁矢位的泊松方程或拉普拉斯方程的邊界問題或拉普拉斯方程的邊界問題 zzyyxxJAJAJA020202其分量方程為其分量方程為每一個分量方程都是一個二階的偏微分方程。每一個分量方程都是一個二階的偏微分方程。對于球坐標和圓柱坐標，其表達式不是這樣簡單。對于球坐標

9、和圓柱坐標，其表達式不是這樣簡單。在直角坐標系中在直角坐標系中2222xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae AAeAeAeA關(guān)于磁矢位積分表達式關(guān)于磁矢位積分表達式 與靜電場的電位方程比較，可得在直角坐標系中對于與靜電場的電位方程比較，可得在直角坐標系中對于（體）電流分布，關(guān)于磁矢位的積分表達式（體）電流分布，關(guān)于磁矢位的積分表達式/000444xxVyyVzzVJAdVRJAdVRJAdVR將其寫成矢量形式為將其寫成矢量形式為 /0()( )4VJ rA rdVR若磁場由面電流若磁場由面電流 JS 產(chǎn)生，其磁矢位為產(chǎn)生，其磁矢位為 /0()( )4SSJrA rdSR線電流產(chǎn)生的磁矢位為

10、線電流產(chǎn)生的磁矢位為 /0()( )4lIdlrA rR 例例1 求長度為求長度為l 的載流直導線的磁矢位。的載流直導線的磁矢位。解解 : 用矢量磁位的疊加計算用矢量磁位的疊加計算取一電流元取一電流元 ，在場點的，在場點的矢量磁位矢量磁位 為為/IdzdA/002/244()zdAe dAIIdzdzdARrzz22llzAedA/2022 1/2/222 1/2022 1/24() ( /2) ( /2)ln4( /2) ( /2)llIdzArz zIlzlzrlzlzr 當當l z 時有時有 22 1/2022 1/2/2 ( /2)ln4/2 ( /2)IllrAllr若考慮若考慮l

11、r, 即是無限長的載流導線，則有即是無限長的載流導線，則有 200lnln42IIllArr 當電流分布在當電流分布在無限區(qū)域時，一般應(yīng)指定一個磁矢位的參考無限區(qū)域時，一般應(yīng)指定一個磁矢位的參考點，點， 可以使磁矢位不為無窮大?？梢允勾攀肝徊粸闊o窮大。若指定若指定 r = r0 處為磁矢位的零處為磁矢位的零點時，有點時，有 00ln2zIrAer200lnln42zzIIllA eerr 對上式，對上式， 用圓柱坐標的旋度公式，可求出用圓柱坐標的旋度公式，可求出 02IABAeerr 00ln2zIrAer02IBer 例例2 求一對載相同電流、但流向相反的的載流直導線的磁求一對載相同電流、但

12、流向相反的的載流直導線的磁場。場。12AAA解解 : 00110022ln2ln2zzIrAerIrAer 221/21221/22(2cos )(2cos )rraarrraar021221/20221/222022ln2(2cos )ln2(2cos )2cosln42coszzzIrAerIraareraarIraareraar在圓柱坐標中在圓柱坐標中 1rAABAeerr 2202212()sin0zIa raABrr rB 2202212()sin1rIa raABrr r 例例3 用磁矢位重新計算半徑為用磁矢位重新計算半徑為a a、載流為、載流為I I的長直圓柱的長直圓柱導線的磁場

13、。導線的磁場。 解：解： 20zIeJa r a r a 從電流分布可以知道磁矢位僅有從電流分布可以知道磁矢位僅有z分量，而且它只是坐標分量，而且它只是坐標r的函數(shù)，即的函數(shù)，即 ( )zAe A r201121aIrArrrA設(shè)在導線內(nèi)磁位是設(shè)在導線內(nèi)磁位是 , 導線外磁位是導線外磁位是 1A2A r a 01222rArrrA201122ln4IrACrCa 234lnACrCr a 因為因為 ，A1必須有限，有必須有限，有C1 =00r 201224IrACa （r a） （ r a ）可求出導線內(nèi)、可求出導線內(nèi)、 外的磁場分別為外的磁場分別為 031222IrCBeBear 203IC

14、導體外部的磁感應(yīng)強度為導體外部的磁感應(yīng)強度為 022IBerABAer 常數(shù)常數(shù)C3 的確定可根據(jù)在圓柱面上的邊界條件計算為的確定可根據(jù)在圓柱面上的邊界條件計算為2.4 2.4 磁磁 偶偶 極極 子子載流為載流為I I、半徑為、半徑為a a的圓電流的圓電流位于位于xyxy平面，有平面，有 ，可將可將圓電流稱為磁偶極子，圓電流稱為磁偶極子，常用磁矩常用磁矩 描述它描述它arm2mI a nISn求磁偶極子產(chǎn)生的遠區(qū)磁場求磁偶極子產(chǎn)生的遠區(qū)磁場利用矢量磁位的積分公式求解利用矢量磁位的積分公式求解0044CCIIdldlARR利用矢量公式利用矢量公式CSdlndS/1()zCSdledSRR/023

15、1()RRRRRar因為求的是磁偶極子產(chǎn)生的遠區(qū)磁場，因為求的是磁偶極子產(chǎn)生的遠區(qū)磁場， ，故有，故有2200RrRr3()zCSdlredSRr因為上式積分是對圓面積進行的，因為上式積分是對圓面積進行的，即積分與即積分與r無關(guān)，且無關(guān)，且xyzrxeyeze001xyzzxyeeeeryexexyz 2331()()xyxyCSdlayexedSyexeRrr2003()44xyCIIdlaAyexeRr220032220032sinsin44sincos44xyIIaaAyrrIIaaAxrr 202202sinsin4sincos40 xyzIaArIaArA 矢量磁位矢量磁位 位于平行

16、位于平行xyxy平面內(nèi)，平面內(nèi)，將其在球坐標中表示，則知僅有將其在球坐標中表示，則知僅有 分量存在分量存在AA22220200sin4rxyzIaAAAAAAr220023sin()44zIam rAeme I arr其中03sin12sinsin(2cossin )4rrrerereBArrArArAmBeer 0033(2cossin )44rmm rBeerr磁偶極子產(chǎn)生的遠區(qū)磁場磁偶極子產(chǎn)生的遠區(qū)磁場與電偶極子產(chǎn)生的遠區(qū)電場比較與電偶極子產(chǎn)生的遠區(qū)電場比較30(2cossin )4rpEeer其場在空間的分布相同其場在空間的分布相同 位于外磁場中的磁偶極子，會受到外磁場的作用力及其位于

17、外磁場中的磁偶極子，會受到外磁場的作用力及其力矩，其作用力和力矩的公式分別為力矩，其作用力和力矩的公式分別為 ()FmBTmB 2.5 2.5 磁介質(zhì)中的場方程磁介質(zhì)中的場方程 1）磁化強度定義）磁化強度定義 0limiVmMV N VmMNmV式中式中 是是體積元體積元V內(nèi)的任一內(nèi)的任一分子磁矩。如在磁化介質(zhì)中的體積分子磁矩。如在磁化介質(zhì)中的體積元元V內(nèi)，每一個分子磁矩的大小內(nèi)，每一個分子磁矩的大小和方向全相同和方向全相同(都為都為 )， 單位單位體積內(nèi)分子數(shù)是體積內(nèi)分子數(shù)是N， 則磁化強度為則磁化強度為 imm1、介質(zhì)的磁化、介質(zhì)的磁化2 ）磁化電流）磁化電流 /03()()4M rdVR

18、dAR /其中R = r- r設(shè)磁化介質(zhì)的體積為設(shè)磁化介質(zhì)的體積為V V，表面，表面積是積是S S，磁化強度，磁化強度 ，計算在，計算在介質(zhì)外部任一點的矢量磁位。介質(zhì)外部任一點的矢量磁位。M取體積元取體積元d dV V ， 將其中的介將其中的介質(zhì)當成一磁偶極子，其磁矩質(zhì)當成一磁偶極子，其磁矩為為 ，它在，它在 處產(chǎn)生的處產(chǎn)生的磁位是磁位是/MdVr全部磁介質(zhì)在全部磁介質(zhì)在 處產(chǎn)生的磁矢位為處產(chǎn)生的磁矢位為 030( )41()4VVM rRAdVRMdVR將上式改寫為將上式改寫為 00 ()44VVMMAdVdVRR r利用矢量恒等式利用矢量恒等式 VSFdVFdS 將磁矢位的表示式變形為將磁

19、矢位的表示式變形為 /0044VSMMnAdVdSRR mmSJMJMn 磁化（體）電流密度磁化（體）電流密度磁化（面）電流密度磁化（面）電流密度左為磁化電流示意圖。左為磁化電流示意圖。磁介質(zhì)磁化后將磁介質(zhì)磁化后將有有磁化電流磁化電流存在，它是由磁介質(zhì)內(nèi)分子存在，它是由磁介質(zhì)內(nèi)分子電流的電流的有序取向有序取向形成的。磁化電流也要形成的。磁化電流也要產(chǎn)生磁場，從而影響原外磁場。產(chǎn)生磁場，從而影響原外磁場。2、 磁場強度磁場強度 00()()mmCSB dlIIJJdS00CCB dlIM dl0CBMdlImJM 在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流，磁化

20、電流和外磁化電流和外傳導電流傳導電流 都產(chǎn)生磁場，應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修改為：都產(chǎn)生磁場，應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修改為： I令令 0BHM磁場強度磁場強度，單位是，單位是A/m(安培安培/米米) CH dlI關(guān)于關(guān)于 安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律H與之相應(yīng)的微分形式是與之相應(yīng)的微分形式是 HJJ為自由電流密度為自由電流密度3、 磁導率磁導率 0()BHM對于對于線性的均勻線性的均勻磁介質(zhì)，有關(guān)系為磁介質(zhì)，有關(guān)系為 mMH式中式中 是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率，順磁介質(zhì)的是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率，順磁介質(zhì)的 ， 抗磁介質(zhì)的抗磁介質(zhì)的 ，且這兩類介質(zhì)的，且這兩類介質(zhì)的 量級。量級。m0m0m

21、5| 10m000()(1)mrBHMxHHH 00(1)mrBxHHH 式中式中 是介質(zhì)的相對磁導率，是一個無量綱數(shù)。是介質(zhì)的相對磁導率，是一個無量綱數(shù)。而而 ，是介質(zhì)的磁導率，單位和真空磁導率相同，為，是介質(zhì)的磁導率，單位和真空磁導率相同，為H/m(H/m(亨亨/ /米米) )。 鐵磁材料的鐵磁材料的 和和 的關(guān)系是非線性的，且不是的單值函的關(guān)系是非線性的，且不是的單值函數(shù)，數(shù)， 會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率 的變化范圍很大，可以的變化范圍很大，可以達到達到10106 6量級。量級。 1rm 0r BHm 磁導率為無限大的媒質(zhì)稱為磁導率為無限大的媒質(zhì)稱為理想導磁體理想導

22、磁體。在理想導磁。在理想導磁體中不可能存在磁場強度，因為由式體中不可能存在磁場強度，因為由式 可見，將有可見，將有無限大的磁感應(yīng)強度。產(chǎn)生無限大的磁感應(yīng)強度需要無限無限大的磁感應(yīng)強度。產(chǎn)生無限大的磁感應(yīng)強度需要無限大的電流，因而需要無限大的能量，顯然這是不可能的。大的電流，因而需要無限大的能量，顯然這是不可能的。HB 邊界上磁場強度的切向分量是連續(xù)的，因邊界上磁場強度的切向分量是連續(xù)的，因此，在理想導磁體表面上不可能存在磁場強度此，在理想導磁體表面上不可能存在磁場強度的切向分量，即的切向分量，即磁場強度必須垂直于理想導磁磁場強度必須垂直于理想導磁體表面體表面。 H例、例、 在具有氣隙的環(huán)形磁芯

23、上緊密繞制在具有氣隙的環(huán)形磁芯上緊密繞制N 匝線匝線圈，如圖示。當線圈中的恒定電流為圈，如圖示。當線圈中的恒定電流為 I 時，若時，若忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求磁芯磁芯及及氣隙氣隙中的磁感應(yīng)強度及磁場強度。中的磁感應(yīng)強度及磁場強度。 解解 忽略漏磁通，磁感應(yīng)強度的方向沿環(huán)形圓周。忽略漏磁通，磁感應(yīng)強度的方向沿環(huán)形圓周。由邊界條件知，氣隙中磁感應(yīng)強度由邊界條件知，氣隙中磁感應(yīng)強度Bg等于磁芯中的等于磁芯中的磁感應(yīng)強度磁感應(yīng)強度Bf ，即，即fg0fg HHBB 圍繞半徑為圍繞半徑為r0的圓周，利用媒質(zhì)中的安培環(huán)路定律，且考慮到的圓周，利用媒質(zhì)中的安培環(huán)路定律，且

24、考慮到 r0 a ， 可以認為線圈中磁場均勻分布，則由安培環(huán)路定理可以認為線圈中磁場均勻分布，則由安培環(huán)路定理有有 gf0 0(2 )BBdrdNI 0gf 00 (2 )NIBBedrd 氣隙中的磁場強度氣隙中的磁場強度Hg 為為 gg 0 00 (2 )BNIHdrd磁芯中的磁場強度磁芯中的磁場強度 Hf 為為 0ff 00 (2 )NIBHdrd01grfHH4 4、 磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程 0BHJ0SCB dSH dlI2AJ BH微分形式微分形式 積分形式：積分形式： 各向同性的均勻磁介質(zhì)各向同性的均勻磁介質(zhì)對于均勻介質(zhì)對于均勻介質(zhì)( ( 為常數(shù)為常數(shù))

25、)， 滿足矢量泊松方程滿足矢量泊松方程 A 例例 半徑為半徑為a a、高為、高為L L的磁化介質(zhì)柱的磁化介質(zhì)柱( (如圖所示如圖所示) )，磁化強度，磁化強度為為M M0 0( (M M0 0為常矢量，且與圓柱的軸線平行為常矢量，且與圓柱的軸線平行) )，求磁化電流，求磁化電流J Jm m和磁和磁化面電流化面電流J JmSmS。 解：取圓柱坐標系的解：取圓柱坐標系的z軸和軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)柱的中軸線重合， 磁介磁介質(zhì)的下底面位于質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面處，上底面位于位于z=L處。處。0()0mzJMM e 0()0mSzzJMnM ee 00mSzzJMnM ee00mSz

26、rJMnM eeM e在界面在界面z=0上，上， zne 在界面在界面z=L上，上， zne在界面在界面r=a上，上， rne 2.6 磁場的邊界條件磁場的邊界條件 1、 法向分量邊界法向分量邊界條件條件 21212211()coscos0SB dSBn SB n SnBBSBB 0SB dS磁感應(yīng)強度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件為磁感應(yīng)強度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件為 21()0(1)nBB21nnBB由由 有有BH2211nnHH 2、 切向分量邊界條件切向分量邊界條件 lSH dlJ dS21212121()()()lH dlHl lHlllHHlbnHHlb nHHl 因

27、為因為 h0，如果分界面的薄層內(nèi)有自由電流，如果分界面的薄層內(nèi)有自由電流， 則為面電流，則為面電流，在回路所圍的面積上在回路所圍的面積上 0limsSShJ dSJb lJb l 21()Sb nHHJb 21()Sb nHHJb 21()(2)SnHHJ21ttSHHJ如果分界面處沒有自由面電流，則如果分界面處沒有自由面電流，則 21ttHH即即 2121ttBB2121()0()0nHHnBB 若兩種介質(zhì)分界面不存在電流，則在分界面處的邊界條件為若兩種介質(zhì)分界面不存在電流，則在分界面處的邊界條件為 相應(yīng)的標量形式為相應(yīng)的標量形式為 1212ttnnHHBB1122tantan分界面處的折射定理分界面處的折射定理 折射定理表明，磁力線在分界面上通常要改變方向。折射定理表明，磁力線在分界面上通常要改變方向。 若介質(zhì)若介質(zhì)1為鐵磁材料，介質(zhì)為鐵磁材料，介質(zhì)2為空氣，此時為空氣，此時2 1, 有有 2 1，及，及 B2 B1 假如假如1=10000, 2=0，在這種情況下，當，在這種情況下，當=87時，時，2=1.09，B2 / B1=0.052。由此可見，鐵磁材料內(nèi)部的磁感應(yīng)。由此可見，鐵磁材料內(nèi)部的磁感應(yīng)強度遠大于外部的磁感應(yīng)強度，同時外強度遠大于外部的磁感應(yīng)強度，同時外部的磁力線幾乎與鐵磁部的磁