大學(xué)物理薛定諤方程(老師課件)

1、薛定諤方程薛定諤方程 第第2727章章 薛定諤薛定諤 Erwin Schrodinger奧地利人奧地利人 1887-1961 創(chuàng)立量子力學(xué)創(chuàng)立量子力學(xué)獲獲1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)目目 錄錄 1 1 薛定諤方程薛定諤方程 2 2 無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子 4 4 一維諧振子一維諧振子 3 3 量子隧穿效應(yīng)量子隧穿效應(yīng) 有了德布洛意提出的物質(zhì)波，有了德布洛意提出的物質(zhì)波， 就應(yīng)有一就應(yīng)有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)波動(dòng)方程。薛定諤對(duì)此提出了一個(gè)與之對(duì)應(yīng)波動(dòng)方程。薛定諤對(duì)此提出了一個(gè)波方程，這就是后來(lái)在量子力學(xué)中著名的個(gè)波方程，這就是后來(lái)在量子力學(xué)中著名的薛定諤方程薛定諤方程。1 薛

2、定諤方程薛定諤方程 1926年，在一次學(xué)術(shù)討論會(huì)上，當(dāng)年輕的薛定諤年，在一次學(xué)術(shù)討論會(huì)上，當(dāng)年輕的薛定諤介紹完德布羅意關(guān)于粒子波動(dòng)性假說(shuō)的論文后，物理介紹完德布羅意關(guān)于粒子波動(dòng)性假說(shuō)的論文后，物理學(xué)家德拜（學(xué)家德拜（P.Debey）評(píng)論說(shuō)：認(rèn)真地討論波動(dòng)，必須）評(píng)論說(shuō)：認(rèn)真地討論波動(dòng)，必須有波動(dòng)方程。有波動(dòng)方程。 幾個(gè)星期后，薛定諤又作了一次報(bào)告。開頭就興幾個(gè)星期后，薛定諤又作了一次報(bào)告。開頭就興奮地說(shuō)：奮地說(shuō)：“你們要的波動(dòng)方程，我找到了！你們要的波動(dòng)方程，我找到了！”這個(gè)方這個(gè)方程，就是著名的薛定諤方程。程，就是著名的薛定諤方程。 薛定諤方程是量子力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程，它在薛定諤方程是量子

3、力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程，它在量子力學(xué)中的作用和牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的作用是量子力學(xué)中的作用和牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的作用是一樣的。一樣的。 同牛頓方程一樣，薛定諤方程也不能由其它的基同牛頓方程一樣，薛定諤方程也不能由其它的基本原理推導(dǎo)得到，而只能是一個(gè)基本的假設(shè)，其正確本原理推導(dǎo)得到，而只能是一個(gè)基本的假設(shè)，其正確性也只能靠實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。性也只能靠實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。由自由粒子波函數(shù)由自由粒子波函數(shù)微分，得微分，得( , )( , )x tiEx tt )(0e),(pxEtitx ),(),(2222txpxtx 由由非相對(duì)論非相對(duì)論粒子能量動(dòng)量關(guān)系式，如自由粒子粒子能量動(dòng)量關(guān)系式，如自由粒子mpE22t

4、ixm 2222這就是這就是一維自由粒子一維自由粒子( (無(wú)勢(shì)場(chǎng)無(wú)勢(shì)場(chǎng)) )的薛定諤方程的薛定諤方程。得得一、自由粒子的薛定諤方程一、自由粒子的薛定諤方程),(),(txpxtxix？推廣到推廣到粒子在勢(shì)場(chǎng)粒子在勢(shì)場(chǎng)U(x, t) 中運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)2( , )2PEU x tm 222( , )( , )( , )2ix tU x tx ttmx 二、在勢(shì)場(chǎng)二、在勢(shì)場(chǎng)中中運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)粒子的薛定諤方程粒子的薛定諤方程 在在一維勢(shì)場(chǎng)一維勢(shì)場(chǎng) U(x,t) 中的粒子中的粒子替換原來(lái)的替換原來(lái)的 E E 后得到后得到 推廣到推廣到三維三維：222222222xxyz 一般的薛定諤方程：一般的薛定諤方程：22(

5、 , )( , ) ( , )2r tiU r tr ttm 由自由粒子波函數(shù)由自由粒子波函數(shù)微分，得微分，得( , )( , )x tiEx tt )(0e),(pxEtitx ),(),(2222txpxtx 由由非相對(duì)論非相對(duì)論粒子能量動(dòng)量關(guān)系式，如自由粒子粒子能量動(dòng)量關(guān)系式，如自由粒子mpE22tixm 2222這就是這就是一維自由粒子一維自由粒子( (無(wú)勢(shì)場(chǎng)無(wú)勢(shì)場(chǎng)) )的薛定諤方程的薛定諤方程。得得一、自由粒子的薛定諤方程一、自由粒子的薛定諤方程),(),(txpxtxix？推廣到推廣到粒子在勢(shì)場(chǎng)粒子在勢(shì)場(chǎng)U(x, t) 中運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)用用分離變量法分離變量法：將波函數(shù)寫成將波函數(shù)寫成

6、 ( , )( ) ( )r tr f t 即即 時(shí)，時(shí)，)(rUU 當(dāng)當(dāng)勢(shì)能與時(shí)間無(wú)關(guān)，勢(shì)能與時(shí)間無(wú)關(guān)，三、定態(tài)薛定諤方程三、定態(tài)薛定諤方程( , , , )( , , ) ( )x y z tx y z f t 代入薛定諤方程可得：代入薛定諤方程可得：( )eiEtf t EUm 222該方程該方程不含時(shí)間，不含時(shí)間，稱為稱為定態(tài)薛定諤方程。定態(tài)薛定諤方程。定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù)Etizyxtzyx e),(),(振動(dòng)因子振動(dòng)因子數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上：E 不論取何值，方程都有解。不論取何值，方程都有解。 物理上：物理上：E只有取一些特定值只有取一些特定值, ,才能使方程的解才能使方程的解滿足波函數(shù)

7、的物理?xiàng)l件（單值、有限、連續(xù)）。滿足波函數(shù)的物理?xiàng)l件（單值、有限、連續(xù)）。EUm 222這些這些特定的特定的E E值值稱為稱為能量本征值能量本征值各各E值對(duì)應(yīng)的值對(duì)應(yīng)的 叫叫能量本征函數(shù)能量本征函數(shù) 本征波本征波函數(shù)函數(shù)故該方程又稱為：故該方程又稱為：能量本征值方程能量本征值方程)(rE定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù): :( , )( ) ( )( )eiEtEEEr tr f tCr 波函數(shù)的物理?xiàng)l件波函數(shù)的物理?xiàng)l件用來(lái)描寫實(shí)物粒子的波函數(shù)應(yīng)滿足的物理?xiàng)l件用來(lái)描寫實(shí)物粒子的波函數(shù)應(yīng)滿足的物理?xiàng)l件1.1.標(biāo)準(zhǔn)條件：標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃怠⒂邢?、連續(xù)單值、有限、連續(xù)因?yàn)?，粒子的概率在任何地方只能有因?yàn)?，粒子的概?/p>

8、在任何地方只能有一個(gè)值一個(gè)值； 不不可能可能無(wú)限大無(wú)限大；不不可能在某處可能在某處發(fā)生突變發(fā)生突變。 2.2.歸一化條件歸一化條件 粒子在空間各點(diǎn)的概率總和應(yīng)為粒子在空間各點(diǎn)的概率總和應(yīng)為l* *在在量子力學(xué)量子力學(xué)中用中用 薛定諤方程式薛定諤方程式加上加上波函數(shù)的物理?xiàng)l件波函數(shù)的物理?xiàng)l件求解微觀粒子在一定的勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題求解微觀粒子在一定的勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題( (求求波函數(shù)，狀態(tài)能量，波函數(shù)，狀態(tài)能量，概率密度概率密度 等等) )1. .由粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況由粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況 正確地寫出勢(shì)函數(shù)正確地寫出勢(shì)函數(shù) U( (x) )2. .代入定態(tài)薛定諤方程代入定態(tài)薛定諤方程3. .解方程解方程

9、4. .解出能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)解出能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)5. .求出概率密度分布及其他力學(xué)量求出概率密度分布及其他力學(xué)量量子力學(xué)解題的一般思路：量子力學(xué)解題的一般思路：方勢(shì)阱方勢(shì)阱0)(xU)(xU是實(shí)際情況的極端化和簡(jiǎn)化是實(shí)際情況的極端化和簡(jiǎn)化例：金屬內(nèi)部自由電例：金屬內(nèi)部自由電子的運(yùn)動(dòng)。子的運(yùn)動(dòng)。0 xU(x)=0U= a勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù))0(ax 0)(xU,0( x)ax U= 一、一維無(wú)限深方形勢(shì)阱一、一維無(wú)限深方形勢(shì)阱 2 無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子粒子在粒子在0 x a范圍內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，但不能到達(dá)范圍內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，但不能到達(dá)x 0或或x a范圍。范圍。1. 定態(tài)

10、薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 阱外阱外：dd222( )( )2xExm x dd222( )( )2xExmx 阱內(nèi)阱內(nèi)： 根據(jù)波函數(shù)根據(jù)波函數(shù)有限有限 ( )0,0 xxa x 阱外阱外:2. 求通解求通解二、薛定諤方程和波函數(shù)二、薛定諤方程和波函數(shù)令令222mEk 阱內(nèi)阱內(nèi):( )2( )0 xkx 則：則：其通解為其通解為( )cossinxAkx Bkx )()()(rErrUm 2223. 由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件定特解由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件定特解0AkxBxsin)(1)解的形式成為解的形式成為( )cossinxAkx Bkx 通解為通解為0(0)0 x 處應(yīng)處應(yīng)已有已有A=0，要求要求

11、,kan (1,2,3,)n 0B，只能只能 sinka 等于零等于零即即( )0 xaa (2)222mEk 0sinkaB又又),(32122222 nnmaEn能量為：能量為：?jiǎn)沃祮沃?、有限、有限條件已滿足條件已滿足；由；由連續(xù)連續(xù)條件定特解：條件定特解： 1 ) ) 粒子能量只能取特定的分立值粒子能量只能取特定的分立值 ( (能級(jí)能級(jí)) ) 能量量子化能量量子化 2 ) )最低能量不為零最低能量不為零 波粒二象性波粒二象性的必然結(jié)果的必然結(jié)果討論討論22212maE 零點(diǎn)能零點(diǎn)能),(32122222 nnmaEn能量：能量：3 ) )當(dāng)當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)趨于無(wú)窮時(shí) 能量趨于連續(xù)能量趨于連

12、續(xù)(3)定常數(shù)定常數(shù) B由波函數(shù)的歸一化性質(zhì)由波函數(shù)的歸一化性質(zhì)),()( 3212nxanaxnsin1d xxxa)0()(* 1sin022axkxBdaB2得得于是，于是，波函數(shù)波函數(shù)( (空間部分空間部分) ), 3 , 2 , 1(nankax 0 ( )0,0 xxa x 阱內(nèi)阱內(nèi)阱外阱外考慮到考慮到振動(dòng)因子振動(dòng)因子tEine是以是以x = 0 和和x = a為為節(jié)點(diǎn)的一系列駐波解。節(jié)點(diǎn)的一系列駐波解。tnEinnex)(4. 定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù)(包括包括空間、時(shí)間空間、時(shí)間部分部分)( , 321sin2nexanatnEin5. 概率密度概率密度*Pn,sin2122nxa

13、naax 00 xax,0 a0 0 x n n , , n n 2 2 n=1n=1E=EE=E0 0 ( (基態(tài)基態(tài)) )E=4EE=4E0 0 ( (第一第一激發(fā)態(tài)激發(fā)態(tài)) )E=9EE=9E0 0 ( (第二第二激發(fā)態(tài)激發(fā)態(tài)) )n=2n=2n=3n=3n=4n=4E=16EE=16E0 0 ( (第三第三激發(fā)態(tài)激發(fā)態(tài)) )一維一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)和概率密度無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)和概率密度粒子在阱中各處出現(xiàn)粒子在阱中各處出現(xiàn)的概率密度不均勻的概率密度不均勻 n時(shí)，時(shí)，量子量子經(jīng)典經(jīng)典| |2n| |an很大很大En0有限深有限深勢(shì)阱中粒子的概率密度勢(shì)阱中粒子的概率密度2n

14、x)( n=1n=2n=3Oax粒子在粒子在阱外阱外不不遠(yuǎn)處遠(yuǎn)處出現(xiàn)的概出現(xiàn)的概率不為零率不為零！從！從經(jīng)典理論很難經(jīng)典理論很難想象，但實(shí)驗(yàn)想象，但實(shí)驗(yàn)已證實(shí)了這種已證實(shí)了這種量子效應(yīng)。量子效應(yīng)。？)(xUaxx , 0, 0axU0,0 1. 一維一維有限寬有限寬方勢(shì)壘方勢(shì)壘0U)(xUaoxE3 3 勢(shì)壘穿透勢(shì)壘穿透-量子隧穿效應(yīng)量子隧穿效應(yīng)兩塊金屬或半導(dǎo)體接觸處勢(shì)能隆起，形兩塊金屬或半導(dǎo)體接觸處勢(shì)能隆起，形成成勢(shì)壘勢(shì)壘 從勢(shì)壘左方從勢(shì)壘左方射入的粒子，射入的粒子，在各區(qū)域內(nèi)的在各區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)：波函數(shù)：隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)E E1 12 20 0a aU U0 0 x x區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)3 3粒

15、子從粒子從x x = - = - 處以確定能量處以確定能量E E入射入射0UE 2.隧道效應(yīng)隧道效應(yīng) 粒子的能量雖粒子的能量雖不不足以足以超超越越勢(shì)壘勢(shì)壘 , ,但在勢(shì)壘中似乎有但在勢(shì)壘中似乎有一個(gè)隧道一個(gè)隧道, ,能使少量粒子能使少量粒子穿穿過(guò)過(guò)而進(jìn)入而進(jìn)入 的區(qū)域的區(qū)域 , , 所以形象地稱之為所以形象地稱之為或或 。ax 隧道效應(yīng)的隧道效應(yīng)的本質(zhì)本質(zhì): : 源于微觀粒子的波粒二象性源于微觀粒子的波粒二象性量子物理量子物理：粒子有：粒子有波動(dòng)性波動(dòng)性遵從遵從不確不確定定原理只要?jiǎng)輭緦挾仍碇灰獎(jiǎng)輭緦挾?x = a不是無(wú)不是無(wú)限大粒子能量就有不確定量限大粒子能量就有不確定量 E x = a很

16、小時(shí)很小時(shí) P和和 E很大很大EUE 0mpE22 mppE22 經(jīng)典經(jīng)典: :量子量子: :隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)E E1 12 20 0a aU U0 0 x x區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)3 3經(jīng)典物理經(jīng)典物理：從能量守恒的角度看是不可能的：從能量守恒的角度看是不可能的 如何理解？如何理解？掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡（STM）（Scanning Tunneling Microscopy） STM 是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明是一項(xiàng)技術(shù)上的重大發(fā)明 用于觀察用于觀察材料表面的微觀結(jié)構(gòu)材料表面的微觀結(jié)構(gòu)（不接觸、不破壞樣品）（不接觸、不破壞樣品） 3. 隧道效應(yīng)的應(yīng)用隧道效應(yīng)的應(yīng)用隧道二極管隧道二極管 金屬場(chǎng)致發(fā)射金

17、屬場(chǎng)致發(fā)射 核的核的 衰變衰變通過(guò)掃描可觀通過(guò)掃描可觀測(cè)固體測(cè)固體表面的表面的微觀結(jié)構(gòu)微觀結(jié)構(gòu). . 探探針頭還可吸附針頭還可吸附并搬動(dòng)原子，并搬動(dòng)原子，形成形成人工微結(jié)人工微結(jié)構(gòu)構(gòu). .應(yīng)用：應(yīng)用：STM(STM(掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡19821982年年) )19861986年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)隧道隧道電流電流反饋傳感反饋傳感器器參考信號(hào)參考信號(hào)顯示器顯示器壓電壓電控制控制加電壓加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖掃描隧道顯微鏡示意圖某種型號(hào)的掃描隧道顯微鏡某種型號(hào)的掃描隧道顯微鏡原子搬遷：原子搬遷：操縱原子不是夢(mèng)操縱原子不是夢(mèng) “原子書法原子書法” 1994 1994年中國(guó)科

18、學(xué)院科學(xué)家年中國(guó)科學(xué)院科學(xué)家“寫寫”出的出的 平均每個(gè)字的面積僅百萬(wàn)分之一平方厘米平均每個(gè)字的面積僅百萬(wàn)分之一平方厘米“原子和分子的觀察與操縱原子和分子的觀察與操縱” - - 白春禮白春禮 插頁(yè)彩圖插頁(yè)彩圖1313硅單晶硅單晶表面直表面直接提走接提走硅原子硅原子形成形成2 2納米的納米的線條線條1991年年 恩格勒等用恩格勒等用STM在鎳單晶表面遂個(gè)移在鎳單晶表面遂個(gè)移動(dòng)氙原子拚成了字母動(dòng)氙原子拚成了字母IBM，每個(gè)字母長(zhǎng)每個(gè)字母長(zhǎng)5納米，納米，鑲嵌了鑲嵌了48個(gè)個(gè)Fe原子的原子的Cu表面的表面的STM照片照片 Fe原子間距：原子間距：0.95 nm， 圓圈平均半徑：圓圈平均半徑：7.13 nm48個(gè)個(gè)Fe原子形成原子形成“量子圍欄量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。圍欄中的電子形成駐波?！皰呙杷淼览L畫掃描隧道繪畫” 一氧化碳一氧化碳“分子人分子人”“原子和分子的觀察與操縱原子和分子的觀察與操縱” - 白春禮白春禮 P.151 圖圖7-8CO分子豎分子豎在鉑片上在鉑片上分子人高分子人高5nm用用STM得到的神經(jīng)細(xì)胞象得到的神經(jīng)細(xì)胞象硅表面硅表面STM掃描圖象掃描圖象 4 諧振子諧振子1. 勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)2222121)(xmkxxU m 振子質(zhì)量，振子質(zhì)量， 固有頻率固有頻率，x 位移位移2. 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程0)()21(2dd222