計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的“柱殼法”

1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012柱柱 殼殼 法法 Shell MethodShell Method四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012柱殼法柱殼法 是計(jì)算是計(jì)算 xOy 坐標(biāo)面上的圖形繞坐標(biāo)面上的圖形繞 y 軸軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積的公式。美國的微積旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積的公式。美國的微積分教材一般都有這個(gè)公式的介紹（他們叫分教材一般都有這個(gè)公式的介紹（他們叫Shell Method）。柱殼法的思路柱殼法的思路是將旋轉(zhuǎn)體分成很多很薄的柱是將旋轉(zhuǎn)體分成很多很薄的柱殼，然后利用定積分將這些柱殼的體積累積殼，然后利用定積分將這些柱殼的體積累積起來，得到旋轉(zhuǎn)體的體積。起來，得到旋轉(zhuǎn)體的體積。

2、柱殼法的方便之處：柱殼法的方便之處：雖然圖形是繞雖然圖形是繞 y 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，但是柱殼法卻是沿但是柱殼法卻是沿 x 軸積分。這樣做有時(shí)會軸積分。這樣做有時(shí)會給我們的計(jì)算帶來極大的便利。給我們的計(jì)算帶來極大的便利。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012ab( )yf x設(shè)設(shè)( )0 (0)f xaxb由曲線由曲線 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所圍成的曲所圍成的曲邊梯形邊梯形繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體。，得一旋轉(zhuǎn)體。求旋轉(zhuǎn)體的體積求旋轉(zhuǎn)體的體積 V。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012用以下方法求體積元素：用以下方法求體積元素：x( )yf xxdx2

3、2()Vxdxxy22() xdxdxy(2)xdx y2 xydxdVy體積元素是一層柱殼的體積的近似值體積元素是一層柱殼的體積的近似值四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012ab2dVxydxbaVdV2baxydx柱殼柱殼柱柱殼殼半半徑徑柱柱殼殼的的高高度度柱柱殼殼的的厚厚度度體積元素是一層柱殼體積元素是一層柱殼的體積的近似值的體積的近似值柱殼法柱殼法四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012柱殼法示意圖柱殼法示意圖四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012柱殼法示意圖動畫柱殼法示意圖動畫四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛

4、May 2012sinyx0解解例例求求sin(0)yxx與與 x 軸所圍成的圖形分別繞軸所圍成的圖形分別繞 x 軸和軸和 y 軸所軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。得的旋轉(zhuǎn)體的體積。同濟(jì)大學(xué)同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（第六版）（第六版）286頁頁20題。題。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 201220sinxVxdx22sinyx0用用“圓片法圓片法”求繞求繞 x 軸的旋轉(zhuǎn)體體積：軸的旋轉(zhuǎn)體體積：四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012sinyx02sinyVxxdx22用用“柱殼法柱殼法”求繞求繞 y 軸的旋轉(zhuǎn)體體積：軸的旋轉(zhuǎn)體體積：四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May

5、 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012例例 求擺線求擺線(sin )(02 )(1 cos )xa tttyat 2 a2a與與 x 軸所圍成的圖形軸所圍成的圖形繞繞 y 軸軸所得的旋轉(zhuǎn)體所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。的體積。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012yV202axydx20 (sin ) (1 co2 (sin )s)d a tta ttat用用“柱殼法柱殼法”求圖形求圖形繞繞 y 軸軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。220 (sin ) (1 cos )2a ttatdt2302(sin )(1s2co)tttadt3223a336a2010.4.7四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012附：國內(nèi)外微積分教材有關(guān)“柱殼法”的介紹四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012Volumes by Cylindrical Shells美國微積分教材有關(guān)“柱殼法”的介紹四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May