1004重積分的應用ppt課件

1、一、重積分的幾何應用一、重積分的幾何應用二、二重積分的元素法二、二重積分的元素法三、空間曲面的面積三、空間曲面的面積四、小結(jié)四、小結(jié)第四節(jié)第四節(jié) 重積分的應用幾何應用）重積分的應用幾何應用）一、重積分的幾何應用一、重積分的幾何應用(1)(1)平面圖形的面積平面圖形的面積: :(2)(2)空間立體的體積空間立體的體積: :(3)(3)空間曲面的面積空間曲面的面積: : DDdddA dvV Ddyxzyxz ),(),(12? SD .2622222圍圍成成的的立立體體的的體體積積及及求求由由曲曲面面yxzyxz .1xyDxoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在求求所所圍圍立立體體 222226

2、2yxzyxzz消消去去. 222 yx2:22 yxDxy面面上上的的投投影影：交交線線在在xoy 0222zyx例例1解一利用二重積分來計算解一利用二重積分來計算xyzo xyDdxdyyxyxV)2()26(2222 xyxyDDdxdyyxdxdy)(3622 2023)2(6d 202 d 64612204 2226yxz 222yxz 2:22 yxDxy.2622222圍圍成成的的立立體體的的體體積積及及求求由由曲曲面面yxzyxz 解二利用三重積分來計算解二利用三重積分來計算.1xyDxoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在求求所所圍圍立立體體 2222262yxzyxzz消消去

3、去. 222 yx2:22 yxDxy面面上上的的投投影影：交交線線在在xoy 0222zyx例例1xyzo xyxyDDdxdyyxdxdy)(3622 2023)2(6d 202 d 64612204 2226yxz 222yxz 2:22 yxDxy dxdydzV 2222262yxyxDdzdxdy xyDdxdyyxyx)2()26(2222.)0(24222222的的體體積積所所圍圍成成的的立立體體與與求求由由 aaxyxazyx解解面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在xoy 2axyxDxy2:22 1 畫畫的草圖的草圖3 由對稱性，得由對稱性，得14VV )(1在在第第一一卦卦限

4、限部部分分的的體體積積為為 V例例2dxdyyxaVD 122214xyoD1 ddaD 1224axyx222 cos2a dada cos2022042 2230cos2022)4(3221 daaxyzo 2230cos2022)4(3221 daa 2033)1(sin38 da)2132(383 a).322(332431 aVV).(2222要要求求利利用用三三重重積積分分計計算算的的體體積積所所圍圍成成的的立立體體及及計計算算由由曲曲面面yxzyxz 1.1.練習題練習題解解, 立體為立體為記兩曲面所圍成的空間記兩曲面所圍成的空間:則則所所求求體體積積為為 dxdydzV dzd

5、d dzdd 0 2012 .61 1.1.練習題練習題).(2222要要求求利利用用三三重重積積分分計計算算的的體體積積所所圍圍成成的的立立體體及及計計算算由由曲曲面面yxzyxz 二二 )d( 32d解解, 1:22 yxD記記:則則所所求求體體積積為為 DdxdyV )(2222yxyx ddD )(2 0 201.61 把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中. .),( DdyxfU 二、二重積分的元素法二、二重積分的元素法假設要計算的量假設要計算的量U 關于閉區(qū)域關于閉區(qū)域D具有可加性具有可加性., . 1 dD上任取一個代表子區(qū)域上任取一個代表

6、子區(qū)域在在: . 2dUUd的的近近似似值值的的部部分分量量求求出出對對應應于于子子區(qū)區(qū)域域 dyxfdU),( : . 3的的積積分分表表達達式式寫寫出出量量U的元素的元素量量U預備知識：預備知識：.,1221的的面面積積（面面積積），求求為為上上的的投投影影在在上上的的閉閉域域，夾夾角角為為與與設設有有平平面面AA 1 1n2 2n A 用兩組直線分割用兩組直線分割A其中一組平行于兩平面其中一組平行于兩平面的交線為的交線為n個小矩形，個小矩形，:iA考考慮慮baAi ), 1(ni cos1baAii 上上的的投投影影：在在 cosiA ,cos iiA ,1 niiAA cos A為為邊

7、邊長長，ba,i iAab cosddA 1. 設曲面設曲面S的方程為：的方程為：),(yxfz ,xyDxoy 面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為在在,xyDd 設設小小區(qū)區(qū)域域,),( dyx 點點.),(,(的的切切平平面面上上過過曲曲面面為為yxfyxMS . dAdSdAdSSzd 則可取則可取，為為；截切平面；截切平面為為柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準線，母線平行邊界為準線，母線平行以以 如圖如圖三、空間曲面的面積三、空間曲面的面積,面上的投影面上的投影在在為為xoydAd d),(yxMdAxyzs o n n),1 ,(yxff ,面上的投影面上的投影在在為為x

8、oydAd dAd n),1 ,(yxff d),(yxMdAxyzs o n cos又又 dAdS xyDS .)()(1 22dxdySxyDyzxz 即即,cos ,1122yxff dffyx221 ,122 dffyx （教材下冊（教材下冊P10）3. 設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(xzhy dzdxSzxDxyzy 22)()(12. 設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(zygx dydzSyzDzxyx 22)()(11. 設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(yxfz dxdySxyDyzxz 22)()(1dxdyzzSxyDyx 22)()(12解解例例1 .的的

9、球球面面的的面面積積求求半半徑徑為為R,21SS 由對稱性由對稱性,:222RyxDxy ,1表表示示上上半半球球面面S,:2221yxRzS 的方程為的方程為dxdyyxRRxyD 2222 ddRRxyD 222 200222RdRdR.42R 解解,4 1SS 由對稱性由對稱性,1面積面積表示位于第一卦限內(nèi)的表示位于第一卦限內(nèi)的S.222222內(nèi)部的面積內(nèi)部的面積含在圓柱面含在圓柱面求球面求球面axyxazyx 例例2 )0,( :22 yxaxyxDxy,:222yxaz 曲曲面面方方程程為為dxdyzzSxyDyx 2214 dada22 4dxdyzzSxyDyx 2214dxdy

10、yxaaxyD 2224 ddaaxyD 224xyo cosa 02 0 cosa).12(42 a222yxaz 解解:解方程組解方程組,22222 yxazazyx得交線得交線:,222 azayx在在 面上的投影域為面上的投影域為xoy,:222ayxD 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy ).0( 22222 ayxazazyx表表面面積積所所圍圍成成的的和和求求由由曲曲面面 DyxdxdyzzS2211dxdyayaxD 22221dxdyyxaaD 222441知知由由222yxaz 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy ddaaD 2241

11、 20022 41adadaaaa02322)4(1212 ),155(6 2 a ,22yxxzx ,22yxyzy 21SSS )155(6 2a dxdyzzSDyx 2221知知由由222yxaz ,22yxxzx ,22yxyzy dxdyD 2, 22a ).26155(6 2 a 2 2a 練習練習. 計算雙曲拋物面計算雙曲拋物面yxz 被柱面被柱面222Ryx 所截所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影為面上投影為,:222RyxD 那那么么yxzzADyxdd122 yxyxDdd122 d1d0220 R )1)1( 32232 R 出的面積出的面積 A .M平面薄片的

12、質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量. 1，薄薄片片所所占占的的區(qū)區(qū)域域為為設設面面密密度度為為Dyx),( .),( DdydxyxM 則則oxy(x, y)四、重積分的物理應用四、重積分的物理應用，個個質(zhì)質(zhì)點點組組成成一一個個質(zhì)質(zhì)點點系系面面有有設設nxoy),2 , 1(),(nimyxiii 質(zhì)量：質(zhì)量：點：點：軸軸的的靜靜矩矩：該該質(zhì)質(zhì)點點系系對對 x niiixymM1軸軸的的靜靜矩矩：該該質(zhì)質(zhì)點點系系對對 y niiiyxmM1質(zhì)質(zhì)心心. 2 質(zhì)點系的質(zhì)心質(zhì)點系的質(zhì)心),(yx當薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心當薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心. .,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(

13、),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域 D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù). 則則由由元元素素法法，得得平平面面薄薄片片的的重重心心： 平面薄片的質(zhì)心平面薄片的質(zhì)心),(yx可推廣到空間體的質(zhì)心可推廣到空間體的質(zhì)心.4例5. 求位于兩圓 sin2 r sin4 r和和的形心的形心. 2D解解: 利用對稱性可知利用對稱性可知0 x而而 DydxdyAy1 drdrDsin312 rr dsin4sin22 dsin95604 2956

14、dsin2956204 37 之間均勻薄片之間均勻薄片 0dsin31 43 212 oyxC 設有一平面薄片，占有設有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點，在點),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上連續(xù)，平面薄片對于上連續(xù)，平面薄片對于x軸和軸和y軸軸的轉(zhuǎn)動慣量為：的轉(zhuǎn)動慣量為：3. 平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量,),(2 DxdyxyI 薄片對于薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量:x.),(2 DydyxxI 薄片對于薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量:yrraddsin0302 例6.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑解解: 建立坐標系如

15、圖建立坐標系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2 Drr ddsin23 441a 241aM 半圓薄片的質(zhì)量半圓薄片的質(zhì)量 221aM 2212 oxyDaa的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量.設設一一均均勻勻的的直直角角三三角角形形薄薄板板，兩兩直直角角邊邊長長分分別別 為為a、b，求求這這三三角角形形對對其其中中任任一一直直角角邊邊的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量. 解解設三角形的兩直角邊分別在設三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對對y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量為為dxdyxIDy 2 xabby 例7 babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同同理理：對對x軸軸的

16、的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量為為dxdyyIDx 2 .1213 ab 薄片對薄片對 軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力:z 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于 z軸軸上上的的點點), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力)0( a,zyxFFFF 4. 平面薄片對質(zhì)點的引力,222ayxrr ,ayxr oyzxr),(yx F,raryrxrrr 221 rmmfF 由由,)(),(23222 dayxxyx

17、fdFFDDxx 故故2),(rdyxfFd ;),(),(cos320rdyxxfrxrdyxfFdFMdx 投投影影：的的引引力力在在三三坐坐標標軸軸上上的的對對;),(3rdyxyfdFy ;),()0(3rdyxafdFz 同理同理,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f求面密度為常量、半徑為求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形的均勻圓形 薄片：薄片：222Ryx ，0 z對位于對位于 z軸上的軸上的 點點), 0 , 0(0aM處的單位質(zhì)點的引力處的單位質(zhì)點的引力)0( a 解解由積分區(qū)域的對稱性知由積分區(qū)域的對稱性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxF例8drrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aaRfaF 掌握掌握: :四、小結(jié)與教學基本要求四、小結(jié)與教學基本要求1.1.二重積分的幾何應用二重積分的幾何應用: : (1) (1)平面圖形的面積平面圖形的面積; ; (2) (2)空間立體的體積空間立體的體積; ; (3) (3)空間曲面的