1004重積分的應(yīng)用ppt課件

1、一、重積分的幾何應(yīng)用一、重積分的幾何應(yīng)用二、二重積分的元素法二、二重積分的元素法三、空間曲面的面積三、空間曲面的面積四、小結(jié)四、小結(jié)第四節(jié)第四節(jié) 重積分的應(yīng)用幾何應(yīng)用）重積分的應(yīng)用幾何應(yīng)用）一、重積分的幾何應(yīng)用一、重積分的幾何應(yīng)用(1)(1)平面圖形的面積平面圖形的面積: :(2)(2)空間立體的體積空間立體的體積: :(3)(3)空間曲面的面積空間曲面的面積: : DDdddA dvV Ddyxzyxz ),(),(12? SD .2622222圍圍成成的的立立體體的的體體積積及及求求由由曲曲面面yxzyxz .1xyDxoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在求求所所圍圍立立體體 222226

2、2yxzyxzz消消去去. 222 yx2:22 yxDxy面面上上的的投投影影：交交線線在在xoy 0222zyx例例1解一利用二重積分來(lái)計(jì)算解一利用二重積分來(lái)計(jì)算xyzo xyDdxdyyxyxV)2()26(2222 xyxyDDdxdyyxdxdy)(3622 2023)2(6d 202 d 64612204 2226yxz 222yxz 2:22 yxDxy.2622222圍圍成成的的立立體體的的體體積積及及求求由由曲曲面面yxzyxz 解二利用三重積分來(lái)計(jì)算解二利用三重積分來(lái)計(jì)算.1xyDxoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在求求所所圍圍立立體體 2222262yxzyxzz消消去

3、去. 222 yx2:22 yxDxy面面上上的的投投影影：交交線線在在xoy 0222zyx例例1xyzo xyxyDDdxdyyxdxdy)(3622 2023)2(6d 202 d 64612204 2226yxz 222yxz 2:22 yxDxy dxdydzV 2222262yxyxDdzdxdy xyDdxdyyxyx)2()26(2222.)0(24222222的的體體積積所所圍圍成成的的立立體體與與求求由由 aaxyxazyx解解面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在xoy 2axyxDxy2:22 1 畫畫的草圖的草圖3 由對(duì)稱性，得由對(duì)稱性，得14VV )(1在在第第一一卦卦限

4、限部部分分的的體體積積為為 V例例2dxdyyxaVD 122214xyoD1 ddaD 1224axyx222 cos2a dada cos2022042 2230cos2022)4(3221 daaxyzo 2230cos2022)4(3221 daa 2033)1(sin38 da)2132(383 a).322(332431 aVV).(2222要要求求利利用用三三重重積積分分計(jì)計(jì)算算的的體體積積所所圍圍成成的的立立體體及及計(jì)計(jì)算算由由曲曲面面yxzyxz 1.1.練習(xí)題練習(xí)題解解, 立體為立體為記兩曲面所圍成的空間記兩曲面所圍成的空間:則則所所求求體體積積為為 dxdydzV dzd

5、d dzdd 0 2012 .61 1.1.練習(xí)題練習(xí)題).(2222要要求求利利用用三三重重積積分分計(jì)計(jì)算算的的體體積積所所圍圍成成的的立立體體及及計(jì)計(jì)算算由由曲曲面面yxzyxz 二二 )d( 32d解解, 1:22 yxD記記:則則所所求求體體積積為為 DdxdyV )(2222yxyx ddD )(2 0 201.61 把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中. .),( DdyxfU 二、二重積分的元素法二、二重積分的元素法假設(shè)要計(jì)算的量假設(shè)要計(jì)算的量U 關(guān)于閉區(qū)域關(guān)于閉區(qū)域D具有可加性具有可加性., . 1 dD上任取一個(gè)代表子區(qū)域上任取一個(gè)代表

6、子區(qū)域在在: . 2dUUd的的近近似似值值的的部部分分量量求求出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于子子區(qū)區(qū)域域 dyxfdU),( : . 3的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式寫寫出出量量U的元素的元素量量U預(yù)備知識(shí)：預(yù)備知識(shí)：.,1221的的面面積積（面面積積），求求為為上上的的投投影影在在上上的的閉閉域域，夾夾角角為為與與設(shè)設(shè)有有平平面面AA 1 1n2 2n A 用兩組直線分割用兩組直線分割A(yù)其中一組平行于兩平面其中一組平行于兩平面的交線為的交線為n個(gè)小矩形，個(gè)小矩形，:iA考考慮慮baAi ), 1(ni cos1baAii 上上的的投投影影：在在 cosiA ,cos iiA ,1 niiAA cos A為為邊

7、邊長(zhǎng)長(zhǎng)，ba,i iAab cosddA 1. 設(shè)曲面設(shè)曲面S的方程為：的方程為：),(yxfz ,xyDxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠?xyDd 設(shè)設(shè)小小區(qū)區(qū)域域,),( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的的切切平平面面上上過(guò)過(guò)曲曲面面為為yxfyxMS . dAdSdAdSSzd 則可取則可取，為為；截切平面；截切平面為為柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準(zhǔn)線，母線平行邊界為準(zhǔn)線，母線平行以以 如圖如圖三、空間曲面的面積三、空間曲面的面積,面上的投影面上的投影在在為為xoydAd d),(yxMdAxyzs o n n),1 ,(yxff ,面上的投影面上的投影在在為為x

8、oydAd dAd n),1 ,(yxff d),(yxMdAxyzs o n cos又又 dAdS xyDS .)()(1 22dxdySxyDyzxz 即即,cos ,1122yxff dffyx221 ,122 dffyx （教材下冊(cè)（教材下冊(cè)P10）3. 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy dzdxSzxDxyzy 22)()(12. 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx dydzSyzDzxyx 22)()(11. 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz dxdySxyDyzxz 22)()(1dxdyzzSxyDyx 22)()(12解解例例1 .的的

9、球球面面的的面面積積求求半半徑徑為為R,21SS 由對(duì)稱性由對(duì)稱性,:222RyxDxy ,1表表示示上上半半球球面面S,:2221yxRzS 的方程為的方程為dxdyyxRRxyD 2222 ddRRxyD 222 200222RdRdR.42R 解解,4 1SS 由對(duì)稱性由對(duì)稱性,1面積面積表示位于第一卦限內(nèi)的表示位于第一卦限內(nèi)的S.222222內(nèi)部的面積內(nèi)部的面積含在圓柱面含在圓柱面求球面求球面axyxazyx 例例2 )0,( :22 yxaxyxDxy,:222yxaz 曲曲面面方方程程為為dxdyzzSxyDyx 2214 dada22 4dxdyzzSxyDyx 2214dxdy

10、yxaaxyD 2224 ddaaxyD 224xyo cosa 02 0 cosa).12(42 a222yxaz 解解:解方程組解方程組,22222 yxazazyx得交線得交線:,222 azayx在在 面上的投影域?yàn)槊嫔系耐队坝驗(yàn)閤oy,:222ayxD 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy ).0( 22222 ayxazazyx表表面面積積所所圍圍成成的的和和求求由由曲曲面面 DyxdxdyzzS2211dxdyayaxD 22221dxdyyxaaD 222441知知由由222yxaz 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy ddaaD 2241

11、 20022 41adadaaaa02322)4(1212 ),155(6 2 a ,22yxxzx ,22yxyzy 21SSS )155(6 2a dxdyzzSDyx 2221知知由由222yxaz ,22yxxzx ,22yxyzy dxdyD 2, 22a ).26155(6 2 a 2 2a 練習(xí)練習(xí). 計(jì)算雙曲拋物面計(jì)算雙曲拋物面yxz 被柱面被柱面222Ryx 所截所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影為面上投影為,:222RyxD 那那么么yxzzADyxdd122 yxyxDdd122 d1d0220 R )1)1( 32232 R 出的面積出的面積 A .M平面薄片的

12、質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量. 1，薄薄片片所所占占的的區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)面面密密度度為為Dyx),( .),( DdydxyxM 則則oxy(x, y)四、重積分的物理應(yīng)用四、重積分的物理應(yīng)用，個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)組組成成一一個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系系面面有有設(shè)設(shè)nxoy),2 , 1(),(nimyxiii 質(zhì)量：質(zhì)量：點(diǎn)：點(diǎn)：軸軸的的靜靜矩矩：該該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系系對(duì)對(duì) x niiixymM1軸軸的的靜靜矩矩：該該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系系對(duì)對(duì) y niiiyxmM1質(zhì)質(zhì)心心. 2 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心),(yx當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心當(dāng)薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心. .,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(

13、),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域 D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù). 則則由由元元素素法法，得得平平面面薄薄片片的的重重心心： 平面薄片的質(zhì)心平面薄片的質(zhì)心),(yx可推廣到空間體的質(zhì)心可推廣到空間體的質(zhì)心.4例5. 求位于兩圓 sin2 r sin4 r和和的形心的形心. 2D解解: 利用對(duì)稱性可知利用對(duì)稱性可知0 x而而 DydxdyAy1 drdrDsin312 rr dsin4sin22 dsin95604 2956

14、dsin2956204 37 之間均勻薄片之間均勻薄片 0dsin31 43 212 oyxC 設(shè)有一平面薄片，占有設(shè)有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點(diǎn)，在點(diǎn)),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上連續(xù)，平面薄片對(duì)于上連續(xù)，平面薄片對(duì)于x軸和軸和y軸軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：3. 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,),(2 DxdyxyI 薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:x.),(2 DydyxxI 薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:yrraddsin0302 例6.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如

15、圖建立坐標(biāo)系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2 Drr ddsin23 441a 241aM 半圓薄片的質(zhì)量半圓薄片的質(zhì)量 221aM 2212 oxyDaa的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)設(shè)一一均均勻勻的的直直角角三三角角形形薄薄板板，兩兩直直角角邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)分分別別 為為a、b，求求這這三三角角形形對(duì)對(duì)其其中中任任一一直直角角邊邊的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量. 解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對(duì)對(duì)y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為dxdyxIDy 2 xabby 例7 babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同同理理：對(duì)對(duì)x軸軸的

16、的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為dxdyyIDx 2 .1213 ab 薄片對(duì)薄片對(duì) 軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力:z 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，計(jì)計(jì)算算該該平平面面薄薄片片對(duì)對(duì)位位于于 z軸軸上上的的點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力)0( a,zyxFFFF 4. 平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,222ayxrr ,ayxr oyzxr),(yx F,raryrxrrr 221 rmmfF 由由,)(),(23222 dayxxyx

17、fdFFDDxx 故故2),(rdyxfFd ;),(),(cos320rdyxxfrxrdyxfFdFMdx 投投影影：的的引引力力在在三三坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上的的對(duì)對(duì);),(3rdyxyfdFy ;),()0(3rdyxafdFz 同理同理,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f求面密度為常量、半徑為求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形的均勻圓形 薄片：薄片：222Ryx ，0 z對(duì)位于對(duì)位于 z軸上的軸上的 點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0(0aM處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力)0( a 解解由積分區(qū)域的對(duì)稱性知由積分區(qū)域的對(duì)稱性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxF例8drrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aaRfaF 掌握掌握: :四、小結(jié)與教學(xué)基本要求四、小結(jié)與教學(xué)基本要求1.1.二重積分的幾何應(yīng)用二重積分的幾何應(yīng)用: : (1) (1)平面圖形的面積平面圖形的面積; ; (2) (2)空間立體的體積空間立體的體積; ; (3) (3)空間曲面的