第九章板殼結構有限元.

1、板殼結構基本知識板殼結構在工程上應用十分廣泛。在設計分析中采用板殼單元板殼結構在工程上應用十分廣泛。在設計分析中采用板殼單元進行結構分析，可以得到足夠的精度和良好的效果。進行結構分析，可以得到足夠的精度和良好的效果。板殼結構基本知識厚度方向的尺寸小于長度和寬度方向尺寸的結構。其中，表面厚度方向的尺寸小于長度和寬度方向尺寸的結構。其中，表面為平面的成為板，表面為曲面的稱為殼。為平面的成為板，表面為曲面的稱為殼。 平板：平板：分薄板和厚板。載荷作用在垂直于板面的方向。對于薄分薄板和厚板。載荷作用在垂直于板面的方向。對于薄板小撓度問題，它的變形完全由橫向變形確定；對于薄板大撓板小撓度問題，它的變形完

2、全由橫向變形確定；對于薄板大撓度問題，則屬于幾何非線性問題。對于厚板，應考慮橫向剪切度問題，則屬于幾何非線性問題。對于厚板，應考慮橫向剪切變形的影響。變形的影響。殼體：殼體：殼體的變形除了橫向彎曲變形外，同時存在中面變形。殼體的變形除了橫向彎曲變形外，同時存在中面變形。因此可以認為殼體是平面應力問題和平板彎曲問題的組合。當因此可以認為殼體是平面應力問題和平板彎曲問題的組合。當然，對于厚殼結構，仍需要橫向剪切變形的影響。然，對于厚殼結構，仍需要橫向剪切變形的影響。11111008085hb薄板基礎理論知識薄板基礎理論知識薄平板，取其中性面為坐標面，薄平板，取其中性面為坐標面，z軸垂直于中性面。其

3、中軸垂直于中性面。其中 t 為為板厚。當板受有垂直于板中性面的外力時，板的中性面將發(fā)板厚。當板受有垂直于板中性面的外力時，板的中性面將發(fā)生彎扭變形，從而變成一個曲面。板變形的同時，在板的橫生彎扭變形，從而變成一個曲面。板變形的同時，在板的橫截面上將存在內力截面上將存在內力彎矩和扭矩。彎矩和扭矩。薄板基礎理論知識薄板基礎理論知識對于薄板問題采用如下假設：對于薄板問題采用如下假設：（1 1）直法線假設：薄板中面法線）直法線假設：薄板中面法線變形后仍保持為法線且長度不變。變形后仍保持為法線且長度不變。（2 2）忽略板中面的法線應力分量，）忽略板中面的法線應力分量，且不計其引起的應變。且不計其引起的應

4、變。（3 3）薄板中面內的各點沒有平行）薄板中面內的各點沒有平行于中面的位移，即中面不變形。于中面的位移，即中面不變形。由第（由第（2）條可知撓度）條可知撓度w與與z無關，無關，由第（由第（1）條可知）條可知 zx和和 yz等于零，另外根據(jù)第（等于零，另外根據(jù)第（3）條中面無變形）條中面無變形薄板基礎理論知識薄板基礎理論知識薄板彎曲問題只需要考慮三個分量。薄板彎曲問題只需要考慮三個分量。根據(jù)幾何方程，應變可表示為根據(jù)幾何方程，應變可表示為對于薄板問題，對于薄板問題，一般采用形變分量表示一般采用形變分量表示x向曲率向曲率y向曲率向曲率扭率扭率薄板基礎理論知識薄板基礎理論知識相應的內力可表示為：相

5、應的內力可表示為：D為平面應力問題的彈性矩陣：為平面應力問題的彈性矩陣：薄板基礎理論知識薄板基礎理論知識圖示為板的一個微元體。為方便計，取圖示為板的一個微元體。為方便計，取x和和y的方向的寬度均為的方向的寬度均為1。在垂直于。在垂直于x軸的橫截軸的橫截面上的正應力面上的正應力x可合成為一個力偶，從而可合成為一個力偶，從而構成該橫截面上的彎矩（單位寬度上的彎構成該橫截面上的彎矩（單位寬度上的彎矩）矩）Mx。同理，在垂直于同理，在垂直于y軸的橫截面上的正應力軸的橫截面上的正應力y合成彎矩合成彎矩My，剪應力，剪應力xy合成扭矩合成扭矩Mxy，剪，剪應力應力yx合成扭矩合成扭矩Myx,由于剪應力互等

6、由于剪應力互等內力列向量為內力列向量為Mxy=Myx薄板基礎理論知識薄板基礎理論知識內力可以根據(jù)應力進行計算得到內力可以根據(jù)應力進行計算得到使用記號使用記號于是于是平面應力問題平面應力問題中的彈性矩陣中的彈性矩陣薄板基礎理論知識薄板基礎理論知識進行反向回代，可以得到進行反向回代，可以得到在板的上、下表面處，在板的上、下表面處，z=0.5t，于是應力為于是應力為薄板基礎理論知識薄板基礎理論知識假設發(fā)生虛位移假設發(fā)生虛位移 ， 則薄板內部會發(fā)生虛應變則薄板內部會發(fā)生虛應變如果薄板在如果薄板在z方向承受分布荷載方向承受分布荷載此時薄板內部產生應力此時薄板內部產生應力 與之平衡，與之平衡，則可以采用虛

7、功原理則可以采用虛功原理應力做的虛功為應力做的虛功為外力做的虛功為外力做的虛功為在后面我們會利用虛功原理來建立有限元控制方程。在后面我們會利用虛功原理來建立有限元控制方程。薄板矩形單元薄板矩形單元設局部編號設局部編號1、2、3、4，x 、y方向長度分別為方向長度分別為2a、2b的矩形板單元如圖所示。的矩形板單元如圖所示。每個結點的位移分量為每個結點的位移分量為則一個單元的位移向量和載荷向量為則一個單元的位移向量和載荷向量為每個結點的載荷分量為每個結點的載荷分量為薄板矩形單元薄板矩形單元下面開始嘗試建立形函數(shù)。下面開始嘗試建立形函數(shù)。一個單元有一個單元有12個位移分量，那么個位移分量，那么位移函

8、數(shù)應該為位移函數(shù)應該為利用利用1212個結點位移條件，由廣義坐標法可建立形函數(shù)，顯然個結點位移條件，由廣義坐標法可建立形函數(shù)，顯然十分麻煩。因此形函數(shù)的建立采用拉格朗日插值函數(shù)形成，十分麻煩。因此形函數(shù)的建立采用拉格朗日插值函數(shù)形成，完成這項工作首先需要將其轉化為一個完成這項工作首先需要將其轉化為一個2 22 2的正方形，對于的正方形，對于矩形單元，這項操作并不困難。矩形單元，這項操作并不困難。四次項的選取為了保證坐標的對稱性，且曲率與扭率同階次。四次項的選取為了保證坐標的對稱性，且曲率與扭率同階次。薄板矩形單元薄板矩形單元下面開始嘗試建立形函數(shù)。下面開始嘗試建立形函數(shù)。建立的形函數(shù)形式如下：

9、建立的形函數(shù)形式如下：每個分塊的每個分塊的薄板矩形單元薄板矩形單元薄板矩形單元形函數(shù)的性質薄板矩形單元形函數(shù)的性質對對N1有有:N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4另外，另外，N1對對x，y的偏導數(shù)在各結點的偏導數(shù)在各結點處均為零。？處均為零。？于是，位移函數(shù)可表達為：于是，位移函數(shù)可表達為：薄板矩形單元薄板矩形單元薄板矩形單元應變離散薄板矩形單元應變離散薄板矩形單元薄板矩形單元薄板矩形單元應力離散薄板矩形單元應力離散那么，相應的，內力矩那么，相應的，內力矩薄板矩形單元薄板矩形單元薄板矩形單元的單元剛度矩陣，其形式也為通用的薄板矩形單元的單元剛度矩陣，其形式也為通用的展開進行積分展開

10、進行積分單元剛度矩陣由單元剛度矩陣由16個子矩陣組成，其表示如下個子矩陣組成，其表示如下薄板矩形單元薄板矩形單元具體的元素計算為：具體的元素計算為：式中：式中：薄板矩形單元薄板矩形單元結點載荷向量的計算：結點載荷向量的計算：積分展開，得積分展開，得假設板單元受橫向均布載荷假設板單元受橫向均布載荷p作用，則作用，則 等效結點力為等效結點力為如果承受的分布荷載隨位置如果承受的分布荷載隨位置（x,y）變化，積分工作量較大變化，積分工作量較大薄板矩形單元薄板矩形單元應用實例應用實例受中心集中力的四邊支承板的計算結果受中心集中力的四邊支承板的計算結果( (邊長為邊長為1 1，厚度為，厚度為0.010.0

11、1，彈模為，彈模為1 1，泊松比為，泊松比為0.3)0.3)單元數(shù)單元數(shù)（1/41/4板）板）四邊固定四邊固定板中心撓度板中心撓度wD/PLwD/PL2 2邊中點彎矩邊中點彎矩M/PM/P2 22 20.006140.00614-0.1178-0.11784 44 40.005800.00580-0.1233-0.12336 66 60.005710.00571-0.1245-0.1245理論解理論解0.005600.00560-0.1257-0.1257薄板三角形單元薄板三角形單元三角形單元能較好地適應斜邊界，實三角形單元能較好地適應斜邊界，實際中廣泛應用。單元的結點位移仍然際中廣泛應用。單

12、元的結點位移仍然為結點處的撓度為結點處的撓度wi和繞和繞x，y軸的轉角軸的轉角xi、yi，獨立變量為，獨立變量為wi。三角形單元三角形單元位移模式應包含位移模式應包含9個參數(shù)。個參數(shù)。如果在直角坐標系下建立位移模式，則完全三次多項式需要如果在直角坐標系下建立位移模式，則完全三次多項式需要1010個參數(shù)個參數(shù)zyxw1y1x1123若以此為基礎構造位移函數(shù)，則必須去掉一項。無法保證對稱。若以此為基礎構造位移函數(shù)，則必須去掉一項。無法保證對稱。薄板三角形單元薄板三角形單元三角形單元采用直角坐標系建立位移模式的嘗試：三角形單元采用直角坐標系建立位移模式的嘗試：TocherTocher方案方案單元有兩

13、邊分別平行于單元有兩邊分別平行于x x軸和軸和y y軸時，上述位移模式中的待定系數(shù)將無法軸時，上述位移模式中的待定系數(shù)將無法確定，因此離散時，網格劃分有局限性。確定，因此離散時，網格劃分有局限性。AdiniAdini方案方案舍去了二次項舍去了二次項xyxy，致使常扭率無法保證，單元過剛、位移偏小，因此分析，致使常扭率無法保證，單元過剛、位移偏小，因此分析結果只有一階精度。結果只有一階精度。BellBell方案方案增加單元內部位移參數(shù)增加單元內部位移參數(shù)三角形形心撓度。整體分析前需要消去內部自三角形形心撓度。整體分析前需要消去內部自由度（靜力凝聚），由度（靜力凝聚）， ZienkiewiczZi

14、enkiewicz指出這種單元不能保證收斂。指出這種單元不能保證收斂。薄板三角形單元薄板三角形單元Zienkiewicz采用面積坐標解決了直角坐標下遇到的困難。采用面積坐標解決了直角坐標下遇到的困難。面積坐標面積坐標采用面積坐標表達的位移模式為：采用面積坐標表達的位移模式為：基于面積坐標性質，上述位移模式還可改寫為：基于面積坐標性質，上述位移模式還可改寫為：薄板三角形單元薄板三角形單元進行一系列的推導后，可得到進行一系列的推導后，可得到形函數(shù)的具體計算式為：形函數(shù)的具體計算式為：薄板三角形單元薄板三角形單元建立了位移模式之后，那么剩下的工作就并不復雜：位移模式建立了位移模式之后，那么剩下的工作

15、就并不復雜：位移模式應變離散應變離散 應力離散應力離散剛度矩陣剛度矩陣載荷向量載荷向量約束處理約束處理求解。求解。但位移模式是建立在面積坐標上的，相關的計算怎么進行？但位移模式是建立在面積坐標上的，相關的計算怎么進行？zyxw1y1x1123導數(shù)間的關系為導數(shù)間的關系為那么那么薄板三角形單元薄板三角形單元應用實例應用實例四邊簡支板的中心撓度系數(shù)計算四邊簡支板的中心撓度系數(shù)計算單元數(shù)單元數(shù)（1/41/4板）板）板中心撓度板中心撓度wD/qLwD/qL4 42 22 20.0042490.0042494 44 40.0041530.0041538 88 80.0040980.004098解析解解析

16、解0.0040420.004042薄板單元薄板單元關于薄板單元，要提醒大家注意的：關于薄板單元，要提醒大家注意的：不管是三角形單元還是不管是三角形單元還是矩形單元，事實上其都是非完全協(xié)調元。矩形單元，事實上其都是非完全協(xié)調元。對左圖所示的相鄰單元對左圖所示的相鄰單元公共邊撓度公共邊撓度公共邊切向轉角公共邊切向轉角公共邊法向轉角公共邊法向轉角位移場不能完全滿足收斂的協(xié)調性準則，具體為撓度及切向轉角跨單元協(xié)調，位移場不能完全滿足收斂的協(xié)調性準則，具體為撓度及切向轉角跨單元協(xié)調，法向轉角跨單元不協(xié)調，因此該單元不是完全協(xié)調元。法向轉角跨單元不協(xié)調，因此該單元不是完全協(xié)調元。要解決這一問題，可以通過增

17、加結點數(shù)或結點自由度來構造高階協(xié)調元，目要解決這一問題，可以通過增加結點數(shù)或結點自由度來構造高階協(xié)調元，目前國內較成熟的工作有大連理工大學唐立民教授等提出的擬協(xié)調元和龍馭球前國內較成熟的工作有大連理工大學唐立民教授等提出的擬協(xié)調元和龍馭球院士提出的廣義協(xié)調元等，這方面仍然處于研究之中。院士提出的廣義協(xié)調元等，這方面仍然處于研究之中。厚板基礎理論知識厚板基礎理論知識對于厚板，基本假設：對于厚板，基本假設：a a板的撓度板的撓度w w微微小小；b b板中性面法線在變形后仍保持直線板中性面法線在變形后仍保持直線，但不再垂直變形后但不再垂直變形后的中的中性性面面；c c垂直于中性面的應力可以忽略垂直于

18、中性面的應力可以忽略。中性面法線在變形后不再垂直變形后的中中性面法線在變形后不再垂直變形后的中性性面面則意味著還存在則意味著還存在橫向剪切變形，橫向剪切變形， 此時即需要采用此時即需要采用HenckyHencky理論進行分析，理論進行分析，這種情況下板任意一點有三個下面的變形這種情況下板任意一點有三個下面的變形事實上對于薄板，也是這樣三個變形，只不過事實上對于薄板，也是這樣三個變形，只不過對于厚板對于厚板厚板基礎理論知識厚板基礎理論知識對于厚板，板的曲率和扭率為對于厚板，板的曲率和扭率為厚板與薄板的區(qū)別在于，還要考慮由于剪切而產生的應變會厚板與薄板的區(qū)別在于，還要考慮由于剪切而產生的應變會產生

19、的轉角差：產生的轉角差：厚板基礎理論知識厚板基礎理論知識對于厚板，其微元體的平衡為對于厚板，其微元體的平衡為采用與薄板類似的積分可得到采用與薄板類似的積分可得到厚板結構有限元厚板結構有限元對于厚板，板內任意一點對于厚板，板內任意一點(x,y,z)的位移為：的位移為：其位移可以采用兩種方式表達。其位移可以采用兩種方式表達。方式一：方式一：對應的應變矩陣為對應的應變矩陣為厚板結構有限元厚板結構有限元方式二：方式二：對應的應變矩陣為對應的應變矩陣為事實上這只是寫法的區(qū)別，沒有實質影響事實上這只是寫法的區(qū)別，沒有實質影響厚板結構有限元厚板結構有限元由應變矩陣獲得應力矩陣由應變矩陣獲得應力矩陣事實上這只

20、是寫法的區(qū)別，沒有實質影響事實上這只是寫法的區(qū)別，沒有實質影響厚板結構有限元厚板結構有限元以最常用的以最常用的8 8結點厚板單元給大家進行介紹結點厚板單元給大家進行介紹首先需要將一個厚板單元進行等參變換，注意其是二維問題首先需要將一個厚板單元進行等參變換，注意其是二維問題中面形狀和厚度中面形狀和厚度厚板結構有限元厚板結構有限元熟悉的二維熟悉的二維8結點等參元形函數(shù)計算方法：結點等參元形函數(shù)計算方法：結點位移采用第一種方式表示，則：結點位移采用第一種方式表示，則：222341 58單元的位移可以采用形函數(shù)和結點位移表示為：單元的位移可以采用形函數(shù)和結點位移表示為：其矩陣形式為：其矩陣形式為：厚板

21、結構有限元厚板結構有限元應變的表達應變的表達厚板結構有限元厚板結構有限元應力的表達應力的表達分塊形式：分塊形式：厚板結構有限元厚板結構有限元應力的表達應力的表達分塊形式：分塊形式：厚板結構有限元厚板結構有限元單元剛度矩陣單元剛度矩陣具體數(shù)據(jù)計算如下：具體數(shù)據(jù)計算如下：厚板結構有限元厚板結構有限元結點荷載的等效結點荷載的等效應用舉例應用舉例設單元表面作用有均布荷載設單元表面作用有均布荷載q(x,y)，等效結點荷載為，等效結點荷載為承受均布荷載承受均布荷載q的方板，四邊的方板，四邊簡支簡支。44網格，撓度網格，撓度=？h/L有限元厚板薄板0.010.044380.044390.044370.10.

22、046280.046320.044370.20.052020.052170.044370.30.061600.061920.044370.40.075000.075570.04437厚板結構有限元厚板結構有限元一個問題：一個問題：薄板單元是非協(xié)調元，所以總是讓我們感覺不適，厚板單元薄板單元是非協(xié)調元，所以總是讓我們感覺不適，厚板單元認為兩個轉角與撓度獨立，而且根據(jù)前面等參元的使用我們認為兩個轉角與撓度獨立，而且根據(jù)前面等參元的使用我們知道厚板單元一定是協(xié)調的，那么為什么不就采用厚板單元知道厚板單元一定是協(xié)調的，那么為什么不就采用厚板單元進行薄板的計算呢？進行薄板的計算呢？用厚板單元進行薄板的計

23、算在數(shù)學構造上并沒有太大的問用厚板單元進行薄板的計算在數(shù)學構造上并沒有太大的問題，無非是現(xiàn)在轉角是撓度的偏導數(shù)，所以不需要對一個題，無非是現(xiàn)在轉角是撓度的偏導數(shù)，所以不需要對一個矩形設置矩形設置8個結點，個結點，4個結點已經足夠表達。個結點已經足夠表達。計算結果表明：當采用計算結果表明：當采用2 22 2高斯數(shù)值積分時，厚板單元也可高斯數(shù)值積分時，厚板單元也可用于薄板的分析，但是太薄時將產生用于薄板的分析，但是太薄時將產生剪切閉鎖現(xiàn)象（進行剛剪切閉鎖現(xiàn)象（進行剛度矩陣計算時與剪切變形相關的剪切剛度時會出現(xiàn)無窮大而度矩陣計算時與剪切變形相關的剪切剛度時會出現(xiàn)無窮大而導致單元剛度矩陣變成奇異矩陣）

24、導致單元剛度矩陣變成奇異矩陣）。殼結構基礎理論知識殼結構基礎理論知識殼體的中性面是一個曲面，殼單元受力狀態(tài)及應力狀態(tài)見圖。殼體的中性面是一個曲面，殼單元受力狀態(tài)及應力狀態(tài)見圖。在作結構分析時，一般采用平面單元（板）或者曲面單元處理。在作結構分析時，一般采用平面單元（板）或者曲面單元處理。平面單元是平面應力單元和平面彎曲單元的組合體，它依賴平面單元是平面應力單元和平面彎曲單元的組合體，它依賴于平板理論。在幾何上以平板代替殼體，結構模擬是一種近于平板理論。在幾何上以平板代替殼體，結構模擬是一種近似。但是，這種單元簡單，只要結構離散化分合理，完全可似。但是，這種單元簡單，只要結構離散化分合理，完全可

25、以滿足工程上的要求。以滿足工程上的要求。殼結構基礎理論知識殼結構基礎理論知識曲面單元能夠更好地模擬真實結構，相應得到的計算結果會曲面單元能夠更好地模擬真實結構，相應得到的計算結果會更有效。但是，曲面殼體的變形與平板變形有所區(qū)別。殼體更有效。但是，曲面殼體的變形與平板變形有所區(qū)別。殼體的中性面變形不能忽略，在殼體中的內力包括彎曲內力和中的中性面變形不能忽略，在殼體中的內力包括彎曲內力和中性面內力。性面內力。對于曲面單元，現(xiàn)常采用考慮橫向剪切變形的超參數(shù)曲面殼對于曲面單元，現(xiàn)常采用考慮橫向剪切變形的超參數(shù)曲面殼單元。曲面殼元往往較難滿足完備性和協(xié)調性要求，這里不單元。曲面殼元往往較難滿足完備性和協(xié)

26、調性要求，這里不作具體介紹。作具體介紹。殼結構基礎理論知識殼結構基礎理論知識任何單曲或雙曲薄殼，在單元較小時均可用薄板單元組成的單任何單曲或雙曲薄殼，在單元較小時均可用薄板單元組成的單向或雙向折板體系來近似，也就是采用平面殼單元進行分析。向或雙向折板體系來近似，也就是采用平面殼單元進行分析。平面殼單元可以視為平面應力單元與板彎曲單元的組合體。平面殼單元可以視為平面應力單元與板彎曲單元的組合體。平面應力單元（亦稱膜單元）僅僅能夠承受作用于平面內的平面應力單元（亦稱膜單元）僅僅能夠承受作用于平面內的載荷載荷 ，不能夠承受其它載荷，不能夠承受其它載荷 。假設。假設z方向上的位移方向上的位移w=0，每

27、，每一結點僅存在沿一結點僅存在沿x軸和軸和y軸的位移軸的位移板彎曲單元僅僅承受彎曲載荷板彎曲單元僅僅承受彎曲載荷 ，此類單元只有沿坐標，此類單元只有沿坐標z方向的方向的位移，實際上就是利用前面已經接觸過的薄板單元。位移，實際上就是利用前面已經接觸過的薄板單元。平面殼單元有限元平面殼單元有限元根據(jù)前面的假定，那么單元上任意一點根據(jù)前面的假定，那么單元上任意一點(x,y,z)的位移為的位移為平面應力位移平面應力位移 薄板彎曲位移薄板彎曲位移 注意：上面的位移表達式是基于局部坐標系建立的，不然則不注意：上面的位移表達式是基于局部坐標系建立的，不然則不成立。成立。平面殼單元有限元平面殼單元有限元根據(jù)上

28、述位移關系，單元的應變矩陣為根據(jù)上述位移關系，單元的應變矩陣為注意：上面的位移表達式是基于局部坐標系建立的，不然則不注意：上面的位移表達式是基于局部坐標系建立的，不然則不成立。成立。平面殼單元有限元平面殼單元有限元為進行以下的單元分析，定義單元結點為進行以下的單元分析，定義單元結點i的位移列陣為的位移列陣為i結點力列陣為結點力列陣為單元結點位移、結點力矩陣為單元結點位移、結點力矩陣為均為均為0在局部坐標系下其實位移列陣和力列陣的最后一項沒有意義，在局部坐標系下其實位移列陣和力列陣的最后一項沒有意義，但是考慮到最后還是要在整體坐標下進行計算，所以占一格。但是考慮到最后還是要在整體坐標下進行計算，

29、所以占一格。平面殼單元有限元平面殼單元有限元有了剛才的位移列陣和力列陣，采用虛功原理，可以逐步完成有了剛才的位移列陣和力列陣，采用虛功原理，可以逐步完成有限元格式的建立過程。有限元格式的建立過程。以經典的三結點平面殼單元為例以經典的三結點平面殼單元為例局部坐標系下局部坐標系下整體坐標系下整體坐標系下平面殼單元有限元平面殼單元有限元以經典的三結點平面殼單元為例以經典的三結點平面殼單元為例三角形平面殼單元的三角形平面殼單元的3個結點個結點i，j，m共有共有15個自由度，位移函個自由度，位移函數(shù)可采用如下形式數(shù)可采用如下形式平面殼單元有限元平面殼單元有限元以經典的三結點平面殼單元為例以經典的三結點平

30、面殼單元為例將三個結點的位移代入進去，則可以反推出將三個結點的位移代入進去，則可以反推出單元位移單元位移=形函數(shù)形函數(shù)結點位移的三個表達式結點位移的三個表達式（u,v,w）。）。根據(jù)位移函數(shù)的表達形式，不難看出其就是平面應力單元和根據(jù)位移函數(shù)的表達形式，不難看出其就是平面應力單元和薄板彎曲單元的結合。后續(xù)分析過程較復雜，因此在這里只薄板彎曲單元的結合。后續(xù)分析過程較復雜，因此在這里只做文字性敘述注意事項。做文字性敘述注意事項。單元位移表達式單元位移表達式（u,v,w）建立后，下面的工作就是進行應變建立后，下面的工作就是進行應變計算。計算。但是注意但是注意up,vp并不是并不是u,v平面殼單元有

31、限元平面殼單元有限元以經典的三結點平面殼單元為例以經典的三結點平面殼單元為例得到應變后，接著就是計算應力，剛才的應變拆分成了兩項。得到應變后，接著就是計算應力，剛才的應變拆分成了兩項。單元內應力分量可以簡單地將相應的平面應力單元和薄單元內應力分量可以簡單地將相應的平面應力單元和薄板彎曲單元的應力分量進行疊加。板彎曲單元的應力分量進行疊加。平面應力單元平面應力單元所產生的應力所產生的應力薄板彎曲單元薄板彎曲單元所產生的應力所產生的應力平面殼單元有限元平面殼單元有限元以經典的三結點平面殼單元為例以經典的三結點平面殼單元為例在上述的分析過程中我們將得到應變矩陣在上述的分析過程中我們將得到應變矩陣B和和D，那么就可，那么就可以和往常一樣的建立起單元剛度矩陣以和往常一樣的建立起單元剛度矩陣 k，但是，但是此時建立起來此時建立起來的單剛矩陣是在局部坐標下的，所